CC BY
6SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 3 I 2023 _ISSN: 2181-1601
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22257
NOLOKAL KVADRATIK NOCHIZIQLI POPULYATSIYA MODELI
Bekzod Sobir o'g'li Oripov Abdugappar Haydarov
O'zbekiston Milliy universiteti bekzod040398@gmail.com haydarovabdu@rambler.ru
ANNOTATSIYA
Mazkur maqolada nolokal kvadratik nochiziqli populyatsiya modeli haqida qisqacha ma'lumot berilgan. Har xil chegaraviy shartli nolokal kvadratik nochiziqli populyatsiya modeli masalalari bilan tanishilgan.
Kalit so'zlar: eksperimental, evolyutsiya tenglamasi, fazoviy diffuziya, diffuziya koeffitsienti, mutatsiya, apriori.
Fazoviy taqsimlangan populyatsiyaning asosiy modeli sifatida populyatsiyalarning dinamik nazariyasida an'anaviy yondashuvga rioya qilgan holda [68], R.Fisher [9] va Kolmogorov N.G Petrovskiy, N.S.Piskunov [10] tomonidan mustaqil ravishda taklif qilingan modelni tanlaymiz. Kvazichiziqli holga bunday masalalar Aripov, M.M., Sadullayeva, S.A., Sayfullayeva, M.Z. [11] va boshqa avtorlar tomonidan o'rganilgan. Soddalik uchun fazoni bir o'lchovli deb hisoblaymiz. Agar mikrob populyatsiyasining individlari o'zaro ta'sir qiladigan hudud tor va uzun quvur shaklida bo'lsa bu taxminni eksperimental sharoitda amalga oshirish mumkin. Trubka o'qi bo'ylab uzatish jarayonlari sodir bo'ladi va uning har qanday kesmasida, to'liq ichki aralashadi [7].
Fisher-Kolmogorov-Petrovskiy-Piskunov modelida u(x,t) kinetik o'zgaruvchining vaqtga bog'liq va fazoviy koordinatasi x dinamikasi (bo'masa yoki birlik hajmdagi ma'lum turdagi organizmlar soni bir o'lchovli holat-uzunlik birligi uchun) evolyutsiya tenglamasi bilan tavsiflanadi, bu doimiy diffuziya koeffitsienti D bo'lgan fazoviy diffuziyani, doimiy o'sish tezligiga (Maltus parametri) bo'lgan bakteriyalarni ishlab chiqarishni va a zichlikdagi kvadratik yo'qotishlarni hisobga oladi. b koeffitsient resurs uchun raqobat koeffitsienti hisolanadi. Qabul qilingan taxminlarga ko'ra, FKP modelining tenglamasi quydagi ko'rinishga ega bo'ladi
du^t) =D^£) + au(x> t) _ bu2(Xt t) . (1)
FPP modeli populyatsiyasining dinamikasini belgilovchi asosiy biologik qonunyatlarni o'z ichiga oladi, biroq tarkibidagi populyatsiyaning heterojenligi, xususan, mutatsiya taksilar (individual harakatchanlik), metabolik mahsulotlarning aholi o'sishiga ta'siri, atrof-muhitning heterojenligi ta'siri kabi omillar mavjud. FKPP
SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 3 I 2023 _ISSN: 2181-1601
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22257
modeli aholi agregatsiyalarining shakllanishini tushuntirish uchun yetarli emas. Ushbu hodisani tushuntirishga qaratilgan tadqiqot yo'nalishlaridan biri FKPP modelini model tenglamasiga populyatsiya dinamikasining yuqoridagi qo'shimcha omillari uchun javobgar bo'lgan qo'shimcha shartlarni kiritish orqali o'zgartirishdir. [1-6] dan keyin biz mahalliy bo'lmagan kvadratik chiziqli o'zaro ta'sirini o'z ichiga olgan FKPP populyatsiyasi dinamikasining umumlashtirilgan modelini ko'rib chiqamiz. Modelning asosiy tenglamasi quydagicha yoziladi
du<^t) + a^ , u^ , _ ku^ , b^ , y, u^ , dy (2)
bu yerda o'sish omili a(x,t) va yo'qotish omili b(x,y,t) (ta'sir qilish funksiyasi) fazoviy koordinata x va vaqtning t funksiyalari bo'lib, bu modelning ko'lamini kengaytirish imkonini beradi. (1) aholining ko'payishining fazoviy heterojen sharoitlari va tashqi omillar (masalan, turli xil yorug'lik, harorat gradyanlari va boshqalar) tomonidan yaratilgan yo'qotishlar holatiga bog'liq. £-chiziqsizlikning parametri. Biz tenglamaga kiritilgan miqdorlarni ko'rib chiqamiz. (2) tenglama "diffuziya reaktsiya" (RD) tipidagi tenglama yoki tenglamaga misoldir. RD turi tenglamadagi nolokallik shaxsni o'rab turgan fazoviy hududning chegaralanganligini, bunda u aholining qo'shni individlari bilan o'zaro ta'sir qiladi. Metabolik mahsulotlarning fazoda taqsimlanishi, taksilar, substrat taqsimotining heterojenligi va hududdagi boshqa ekologik omillarni hisobga oladi.
Nolokal aholi modeli uchun chekli ayirmali sxemalar
(2) tenglamani tegishli ayirmali sxemalari va sonli yechish algoritmlaridan foydalangan holda sonli usullar yordamida o'rganamiz. Umumiy shakldagi koeffitsientli (2) tenglama uchun aniq yechimlar va saqlanish qonunlari noma'lum, bu esa topilgan sonli yechimlarning mosligini baholash imkoniyatini cheklaydi. Ushbu baholash aniq va yashirin farq sxemalari va chekli elementlar usuli asosida olingan hisob-kitoblar natijalarni taqqoslash orqali amalga oshirildi. Masalan [12] ga qarang. [0,T], T=It yagona vaqt oralig'ini kiritamiz. x koordinata bo'yicha h qadam bilan, Xj=hj, j,l=-J, -J+1, ...0,...J simmetrik mintaqada [-L,L], L=Jh, I, J butun sonlar. To'rning (Xj, tj) tugunida u(x,t) funksiyasini a(Xj ,t j) = aj deb u(x j,ti) = uj belgilaymiz. b( , y i, ti)=bji rejimidagi hosilalar uchun biz farqni ishlatmaymiz.
ut(xj fa) « uj=(uj+1 _uj)t_1 ,
uxx(xjM) «^xx uj+1 ^ uj + uj_ 1)h 2
(2) tenglamadagi (Xj , tj) tugundagi integral sxema bilan yaqinlashadi.
SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 3 I 2023 _ISSN: 2181-1601
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7
00 j
jb (x.y.t) u (y,t) dy,Bj = ^biMh.
-CO l = ~J
Tenglamaning sonli yechimi uchun eng oddiy algoritm (2) ikki qatlamli farq sxemasi asosida amalga oshiriladi.
ui+1 = u) + t(D Axx u)+1 + ajuj - kujBj). (3 )
D 1
(3) sxemani qo'llash shartlari [11] da ko'rib chiqiladi. Sxema (3) ^"<2 sharti
bajarilganda turg'un bo'lib, bu uning kamchiligi hisoblanadi, chunki vaqt qadamining cheklanishi qadamlar sonini ko'paytirish zarurligiga olib keladi. Oshkormas sxemalardan foydalanilgan quydagi ikkita munosabat:
u)+1 - t(D Axx u)+1 + a)+1 u)+^ = u) - xkujBj (4)
va
u)+1 - t(D Axx u)+1 + a)+1 uj+1 - ku)+1 Bj+^ = u) (5)
dan foydalaniladi.
(4) sxema ikki qatlamli bo'lib, haydash (progonka) usuli bilan yechiladi. Shu bilan birga hisoblangan vaqt qadami t shunday tanlanganki, eritma shakli t ning yanada kamayishi bilan sifat jihatdan o'zgarmaydi. Sxema (5) asosidagi sonli yechim Nyuton usuli [12] yordamida qurilgan.
Sonli yechimlarni qurish uchun u(x,0) boshlang'ich shartlari x=0 koordinatasida markazlashtirilgan kichik atrofida lokalizatsiya qilingan funksiyalar ko'rinishida tanlangan. Yechimlar te(0,T0) vaqt oralig'ida qurilgan. Hisoblangan vaqt T davomida istalgan funksiyaning nolga teng bo'lmagan qiymatlari u(x,t) fazoviy o'zgaruvchisi x, -L<x<L maydonining chap o'ng chegarasiga yetib bormasligi kerak. Bu cheksizlikda chegara shartlariga mos keladi va u (x, t)x^ œ = 0. Etibor bering, (2) sonli yechimlarni qurishning eng oddiy usuli (3) ko'rsatilgan shartlar bilan aniq ayirmali sxemasini beradi.
(2) tenglama sonli yechimlarni qurishda yo'qotish funksiyasi b(x,y,t) o'rnatilishi kerak. Ushbu funksiyaning shakli apriori noma'lum bo'lganligi sababli bu yerda ikkita (Gauss va tekis taqsimotlar) funksional misolni ko'rib chiqamiz. Bu o'sish dinamikasining xarakterli xususiyatlarini ochishga imkon beradi.Yuqorida keltirlgan muommoning matematik formulasi dinamikani kuzatish uchun tajribalarning odatiy shartlariga mos keladi. Ushbu shartlarga ko'ra, oz miqdorda modda soha markazining cheklangan qismida (substrat) qo'llaniladigan ozuqa moddasi bilan kiritiladi. Uning keyingi o'sishi aholi dinamikasi qonunlari bilan boshqariladi. Kuzatish aholi egallab turgan hudud chegara bilan aloqa qilgunga qadar amalga oshiriladi. (2) tenglamaning
SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 3 I 2023 _ISSN: 2181-1601
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7
sonli yechimlari (3)-(5) chekli ayirmali sxemalar asosida tuzilgan algoritmlar yordamida amalga oshirildi. Nitijalar jadval va grafik ko'rinishda taqdim etiladi.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Budrene E.O., Berg H.C. Complex patterns formed by motile cells of E. coli // Nature. - 1991. - V. 349. - № 2. - P. 630-633.
2. Ben Jacob E., Garik P. The formation of patterns in non-equilibri-um growth // Nature. - 1990. - V. 343. - № 2. - P. 523-530.
3. Fujikawa H., Matsushita M. Bacterial fractal growth in the concentration field of nutrient // J. Phys. Soc. of Japan. - 1991. - V. 60. - № 1. - P. 88-94.
4. Цыганов М.А., Бикташев В.Н., Бриндли Дж., Холден А.В., Иваницкий Г.Р. Волны в кросс-диффузионных системах - особый класс нелинейных волн // Успехи физических наук. - 2007. - Т. 177. - № 3. - С. 275-300.
5. Fuentes M.A., Kuperman M.N., Kenkre V.M. Nonlocal interaction effects on pattern formation in population dynamics // Phys. Rev. Lett. - 2003. - V. 91. - № 158104. - P. 158104_1-158104_4.
6. Murray J.D. Mathematical Biology. I. An Introduction (Third Edition). - N.Y., Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2001. - 551 p.
7. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. - М.: Наука, 1984. - 304 с.
8. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. - М.: Изд_во МГУ, 1993. - 302 c.
9. Fisher R.A. The wave of advance of advantageous genes // Annual Eugenics. - 1937. - V. 7. - № 3. - P. 255-369.
10. Колмогоров А.Н., Петровский Н.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюллетень МГУ. Сер. А. Математика и Механика. -1937. - Т. 1. - № 6. - С. 1-16.
11. 5. Aripov, M.M., Sadullayeva, S.A., Sayfullayeva, M.Z.To mathematical modeling of nonlinear problem biological population in nondivergent form with variable density AIP Conference Proceedings, 2021, 2325, 020064(Scopus)
12. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989. - 432 c.
