Функция неопределенности широкополосного зондирующего сигнала и ее объем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК.621.391.8

ФУНКЦ1Я НЕВИЗНАЧЕНОСТ1 ШИРОКОСМУГОВОГО ЗОНДУЮЧОГО СИГНАЛУ ТА ÏÏ ОБвМ

Мрачковський О.Д.

Обчислено об 'ем nid квадратом модуля широкосмуговог функци невизначеност1 зо-ндуючого сигналу. Уточнено принцип невизначеностi для локацтних систем

Використання функци невизначеност (ФН) Вудворда [1-4] в якост уза-гальнено1 характеристики зондуючого сигналу, що описуе його сумiсну потенцiйну роздiльну здатшсть за часом i частотою, пов'язане з характерною особливiстю ще1 функцiï, яка полягае у властивост iнварiативностi

обему, обмеженого поверхнею квадрата модуля ФН | Y(t,W) |2 i площи-

ною «дальшсть-допплер1вська частота» (t, W), яка математично формулю-

еться умовою:

|2

V

=я

Y(t,W) |2 dtdW = 2p (1)

о +2¥ ■

де т - часова затримка ехо-сигналу; £2= ±—ю0 - допплер1вськии зсув

с

центрально!' частоти ехо-сигналу; V - рад1альна складова швидкост цш; с - швидюсть розповсюдження сигналу в середовишд; ю0 - центральна часто-

• 1 +¥ * * та спектра сигналу; ¥(т,= Г £(г)£(г-т)- нормована фун-

л/2-Б-¥

кщя невизначеност Вудворда двох змшних (т, £); £ (г) - зондуючиИ сигнал

*

у комплексны формц £ (г -т) - комплексниИ сполучениИ ехо-сигнал; Е = Л £ (г )| dt = -- Л £ (ш)| dt

- енерпя зондуючого сигналу.

2-

Властив1сть (1), вперше сформульована Вудвордом [1,2] як принцип не-визначеност в радюлокаци: об 'ем нормованог ФН зондуючого сигналу е постшною величиною, яка ¡нвар1антна до змти виду сигналу та його па-раметргв (функци внутр1шнъо1мпулъсног модуляцп, тривалостг, ширини смуги, центральног частоти).

Потр1бно вщмгтити, що сформульований в [1,2] принцип невизначенос-т дшсний тшьки в межах теори вузькосмугових зондуючих сигнал1в. В основ1 ще1 теори е припущення про вщсутшсть спотворень закону внутрь шньо1мпульсно1 модуляци ехо-сигналу за рахунок руху об'екта виявлення. Вказане припущення дозволяе штерпретувати ефект Допплера як простий частотний зсув центрально! частоти спектра ехо-сигналу. Тобто без враху-

, 2V

вання неминучого допплер1вського зсуву нижньо1 ю, = ±—ю 1 верхньо1

н с н

—оо

,2V

wB = ±—wB частоти спектра ехо-сигналу.

c

Широке використання складних зондуючих сигналiв у сучасних радю-локацшних системах привело до зниження коефщента широкосмуговостi сигналу, який дорiвнюe вщношенню центрально!' частоти ю0 до ширини

смуги сигналу 2Aw до значень порядку > 50. Для ультразвукових i

2Aw

пдролокацшних систем це вiдношення дiстаe значень порядку < 10.

2Aw

Тому використовувати принцип невизначеностi Вудворда, дшсний для ву-зькосмугово" радюлокацп в таких областях як широкосмугова радюлока-цiя, ультразвукова локацiя, пдролокащя, неможливо [9].

У роботi Келлi i Вiшнера [5] вперше було показано, якщо рух об'екта локацп можливо вважати рiвномiрним за час, рiвний тривалостi зондуючо-го сигналу т , то аналiтично ефект Допплера можна записати як ефект змь ни часового масштабу вщбитого сигналу:

S1 (t ) = VaS (at) (2)

Амплiтудний множник Va в (2) виведений з умови рiвностi енергп зон-

+¥ 2 +¥ 2

дуючого i вiдбитого сигналiв: Е = J[s(t)] dt = J [VaS(at)

dt

Параметр a, що характеризуе допплерiвський коефiцieнт змiни часового масштабу ехо-сигналу, визначаеться як

a = = 1 -g (3)

c + V

2V . . ."

де g =--в.дносна швидюсть об екта локацп;

c

Визначимо функцш невизначеност зондуючого сигналу, спираючись на роботи [5-9]:

Cc(t,g)=|^ |JS(t)S[(1 -g)t-t]dt | (4)

+¥ • I N * 1 +¥ • *

Використовуемо р.вн.сть Парсеваля J u i t j v (t) dt = — J U (w)V (w) dw i запишемо вираз (4) в спектральнш форм.:

1 1

/ „ л ,w

С W ~J--i

~ ,- J S (w) S E 1-g dw (5)

2pE Vi-7-i 11 -g)

Вирази (4), (5) будемо називати анал^ичним записом широкосмугово" функцп невизначеност (ШФН), не змшюючи термшологп, на наш погляд

—оо

—оо

не дуже вдало!, яка була запропонована в [7], i тим самим шдкреслимо, на вщмшу вщ «класично!» ФН Вудворда, характер штерпретацп ефекту Доп-плера. Обчислимо об'ем, обмежений поверхнею квадрата модуля ШФН, а

також виявимо вплив коефщента широкосмуговостi сигналу на величину

|2

цього об'ему. Об'ем ШФН, обмежений %(т,у) i площиною (т,у):

+- 2

V = Ц|х(т,у) йу (6)

V

Пiдставляемо вираз (5) у (6) i обчислюемо об'ем ШФН

Л®1-®2 Ь^ 1

1-у

2 -Б2

*

Щ 5 (ю) 5 (ю) 5

^ * ( 5

1 -у^ 11 -у

х — I е

2 - *

1-у

й ю1й ю2й уй т (7)

Останнiй штеграл у виразi (7) е дельта-функщя Дiрака:

5(ю1 -ю2) = 2- |

т

7'(И1-®2)— 1 1-У

-й т

2-1 -у -¥

Використаемо фшьтруючу властивiсть дельта-функцп i iнтегруемо вираз (7) по . Отримуемо:

V

1

2-Б2

5 (ю)|

5

' ю ^

1 -у

й ю й у

(8)

Для роздшення змiнних штегрування робимо замiну змiнних у (8)

ю,

ю = ю, , ю =——, тобто у = 1

_1 ю

1 -у

ю0

Модуль якобiана цього перетворення дорiвнюе:

Эю Эю

В (ю,у) Эю 1 Эю 2

В (ю 1 ю2 ) Эю Эу

Эю 1 Эю 2

1 0

1 ю

ю 2 ю

ю 1 ю2

Таким чином, вираз (8) мае вигляд: 1 '

V =

2 - Е'

I ю! (ю! )|2 йю! | (ю2 )|

ю

(9)

Для бiльшостi технiчно реалiзованих зондуючих сигналiв обидва штег-рали у виразi (9) кшцевь Використаемо визначення несучо! частоти як но-рмований за енерпею перший момент енергетичного спектру сигналу:

ю,

1 2

=- I ю 5 (ю )| й ю

2 - Е 1 4 п

Тодi (9) набувае вигляду:

—оо

2

2

2

+ ¥

V = Ю>

Е

7 И (®)12

М V & ®

2

(10)

Як бачимо, об'ем ШФН е функцiоналом енергетичного спектра зонду-ючого сигналу, тобто для ШФН, на вщмшу вщ ФН Вудворда не збер^а-еться принцип iнварiантностi об'ему по вщношенню до змiн виду зондую-чого сигналу i його центрально! частоти.

Для вузькосмугового сигналу вираз (10) набувае вигляду:

2р ......... (11)

V

Юл

1 2 •X — | |5 (ю)| аш

1 П \|2

Використаемо визначення енергi! зондуючого сигналу Е = — I р (ю) & тодi вираз (11) набувае вигляду:

V =

2р

(Оп

(12)

Як бачимо з (10) об'ем ШФН залежить вщ широкосмуговостi зондую-

чого сигналу

со.

2Аю

, наприклад для ЛЧМ сигналу, енергетичний спектр

якого може бути апроксимований прямокутною функщею вигляду:

20 юе[ю„, юе ] 0

Р (ю)

[ЮнЮв ]

(13)

Об'ем ШФН залежить вщ величин ю0,

V = 2 р

2Аю

(Оп

дорiвнюе

1 - 0,25 ( 2 Аю ^ 2

Ю 0

1 ю 0

(14)

i е зворотнiм коефщенту широкосмуговостi сигналу.

Проаналiзуемо (14). Якщо збiльшувати ширину смуги зондуючого сигналу 2Аю при ю0=сопб1;, то об'ем ШФН зростатиме i навпаки: якщо збшь-шувати центральну частоту ю0 при 2Аю=сош^ то об'ем ШФН зменшиться.

Залежностi, подiбнi (14), можуть бути отримаш для сигналiв, енергетичний спектр яких може бути апроксимований функщею, вщмшною вщ прямокутно!. Отриманий вираз для об'ему ШФН (10) потребуе уточнення принципу невизначеность Вiн може бути сформульований наступним чином: об'ем нормовано'1 ШФН не е постшною величиною, яка iнварiантна до змми виду зондуючого сигналу та його nараметрiв. Однак для кожного фiзичного сигналу, вибраного в якостi зондуючого з заданою формою обвi-дно'1, тривал^тю, шириною смуги i центральною частотою об'ему нормовано'1 ШФН е постШною величиною.

1

Уточнений принцип невизначеност дшсний для широкого класу локацш-них систем: широкосмугових радiолокацiйних, ультразвукових, пдролока-цiйних. I чим менша величина об'ему ШФН, тим менша потенцшна неви-значенiсть сумiсного вимiру дальност i швидкостi.

Величина об'ему ШФН повинна бути використана в якост «м1ри» по-тенцiйноi невизначеностi сумюного вимiру дальностi i швидкостi об'екту, що виявляеться. Цю «мiру» потрiбно застосовувати для вирiшення ращо-нального вибору зондуючого сигналу.

Таким чином, концепщя Вудворда про те, що об'ем нормованоi ФН завжди постшний при змiнi параметрiв сигналу хибна, якщо не розумiти i

не приймати вшх допустимих для цього припущень.

Лггература

1. Woodward P.M. Probability and Information Theory with Application to Radar London: Pergamon, 1953

2. Woodward P.M. Probability and Information Theory with Application to Radar New York: Pergamon, 2nd.ed. 1964.

3. Вудворд Ф.М. Теория вероятностей и теория информации с применениями в радиолокации, М. «Советское радио», 1955.

4. Вакман Д.Е. Сложные сигналы и принцип неопределенности в радиолокации, М. «Советское радио», 1965.

5. Kelly E.J., Wishner R.P. Matched filter theory for high-velocity targets//IEEE Trans. 1965, January, vol MIL-9, №1 pp56-69

6. Gassner R.L, Cooper G.R. Note on a Generalized Ambiguty Functions IEEE Trans. 1967, January, vol IT-13, №1, pp126.

7. Speiser R. Wide-Band Ambiguty Functions.IEEE Trans.1967,v.IT-13,№1,p 122-123.

8. Purdy R.J, Cooper G.R. A Note on the Valume of Generalized Ambiguity Functions. IEEE Trans. 1968, January, vol IT-14, №1, pp 153-154.

9. Мрачковский О.Д. Анализ, формирование и обработка сложных гидролокационных сигналов, используемых в АРГАС. Киевский НИИ гидроприборов. 1977.

Ключов1 слова: радюлокащя, пдролокащя, функщя невизначеносп

Мрачковский О.Д. Функция неопределенности широкополосного зондирующего сигнала и ее объем Вычислен объем под квадратом модуля широкополосной функции неопределеннос-ти зондирующего сигнала. Уточнен принцип неопределенности для локационных систем. Mrachkovsky O.D. The volume and ambiguity function of wideband sounding signal. The volume under a square of a module of wideband ambiguity function of a sounding signal is computed. The principle of ambiguity for any radar is updated.

УДК 621.391.26

ТОЧНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВУХПОЗИЦИОННОЙ РАДИОЛОКАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Доценко Д.И., Жук С.Я.

Получены аналитические выражения для дисперсий и взаимных корреляций ошибок измерения двухпозиционной радиолокационной системы в декартовой системе координат и на модельном примере выполнен их расчет и анализ.

Одним из перспективных видов радиолокационных систем являются двухпозиционные (ДП РЛС), в которых передающая и приемная подсистемы разнесены в пространстве. Угловые координаты цели в ДП РЛС изме-