CC BY
57
ФУНКЦИЯ ГРИНА И МЕТОД ИЗОБРАЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ
ЭЛЕКТРОСТАТИКИ Лоскутников В.С.
Лоскутников Виктор Серафимович - кандидат физико-математических наук, доцент,
кафедра физики,
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет, г. Санкт-Петербург
Аннотация: в статье рассматриваются примеры решения задач электростатики с использованием метода изображений и метода функции Грина. Рассмотрена связь потенциала и функции Грина. Приведены примеры вычисления потенциала электрического поля, создаваемого точечным зарядом вблизи заземлённого проводника, которые демонстрируют возможности применения физически обоснованного метода изображений и эффективной математической техники функций Грина.
Ключевые слова: потенциал, метод изображений, функция Грина, уравнение Пуассона.
GREEN'S FUNCTION AND IMAGE METHOD IN ELECTROSTATIC
PROBLEMS Loskutnikov V.S.
Loskutnikov Victor Serafimovich - Associate Professor, DEPARTMENT OF PHYSICS, ST. PETERSBURG STATE ELECTROTECHNICAL UNIVERSITY, SAINT PETERSB URG
Abstract: the article discusses examples of solving problems of electrostatics using the image method and the Green function method. The relationship between the potential and the Green function is considered. Examples of calculating the potential of the electric field created by a point charge near a grounded conductor are given, which demonstrate the possibilities of using a physically sound image method and an effective mathematical technique of Green's functions. Keywords: potential, image method, Green's function, Poisson equation.
УДК 537.2
Одной из задач электростатики является вычисление потенциала электрического поля, созданного распределением зарядов в какой-либо области пространства. Существует много способов решения этой задачи. Если распределение зарядов известно, то потенциал может быть вычислен интегрированием функции распределения. Однако часто встречаются ситуации, когда такой способ неприменим. Например, если заряды находятся вблизи проводников, то на их поверхности будут индуцироваться заряды, распределение которых не известно. В этом случае электрическое поле может быть вычислено, например, методом изображений, который рассматривается в курсе общей физики [3].
В методе изображений для вычисления потенциала используются фиктивные заряды, называемые электростатическими изображениями заряда q, положение которых находится по правилам, аналогичным тем, по которым находятся изображения точечных источников света в системах оптических зеркал. При таком их расположении потенциал, создаваемый исходными зарядами и зарядами изображениями, на границе области обращается в ноль, обеспечивая тем самым выполнение краевых условий задачи Дирихле. По теореме единственности других распределений зарядов, удовлетворяющих заданным граничным условиям, нет.
На самом деле в электростатике существует не так много задач, которые могут быть решены таким способом, так как расположение этих фиктивных зарядов можно указать лишь при наличии симметрии. Наиболее общим методом является решение краевой задачи Дирихле (или Неймана) для уравнения Пуассона. Одним из эффективных методов решения задач такого рода является метод функций Грина [1, 2, 4]. Это очень полезный метод для решения волнового уравнения, уравнения теплопроводности и квантовомеханических уравнений, где функция Грина оператора Гамильтона играет важную роль и связана с плотностью состояний. В этой работе рассмотрены примеры, в которых функция Грина используется для вычисления потенциала электростатического поля.
Пусть в пространстве имеется область D, ограниченная поверхностью S.
Задача Дирихле для уравнения Пуассона формулируется следующим образом [2]:
*s--f \ (1)
Найти ф(г) внутри D.
Один из методов решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в электростатике основан на теореме Грина [2]: если функции ф и у - гармонические в области Б и непрерывны на границе & то
(2)
Если в качестве Ц/ взять некоторую специально подобранную функцию G{v, Г ) . называемую функцией Грина, где г - радиус-вектор точки наблюдения (где вычисляется потенциал) иг'- переменная интегрирования (радиус-вектор точки, где находится заряд), то дифференциальное уравнение Пуассона можно свести к вычислению интеграла. Это позволяет получить распределение потенциала ф(г) всюду в области D через распределение плотности заряда p(r ) и значения ф на границе области S. Конечно, на первый взгляд не очень понятно преимущество данного способа. По существу мы заменяем одну сложную задачу (решение уравнения Пуассона [1]) другой сложной задачей - вычислением интеграла. Однако во многих случаях вычисление интеграла всё-таки проще, чем решение дифференциального уравнения (1). Кроме этого, построив функцию Грина задачи Дирихле для какой-либо геометрии её можно использовать при решения других задач Дирихле для этой геометрии.
Функция Грина в общем случае может быть построена несколькими способами.
При решении уравнений эллиптического типа обычно применяется метод разделения переменных, метод разложения по собственным функциям оператора Лапласа, а также метод построения функции Грина в виде суммы двух функций [1, 5].
Gif, Г) = -Ц + F(r, Г), A'F(r, F') = 0 (3) \r-r'\
первая из которых является фундаментальным решением оператора Лапласа, а другая, F (г , г') - некоторая функция также гармоническая в области D. Идея нахождения функции Грина таким способом состоит в том, что мы подбираем функцию F {г, г') так, чтобы выполнялись граничные условия:
G{S~r') = 0.
Неизвестную гармоническую функцию F(j°, Г ) находим методом изображений. Зная функцию Грина задачи Дирихле G (г, г') потенциал можно вычислить по формуле
ç(r) = $p(r')G(r,r')d3r' (4)
Применение этих методов проиллюстрируем на двух примерах, в которых граничная поверхность в краевой задаче имеет простую и симметричную геометрию.
1. Точечный заряд, расположенный в верхнем полупространстве над проводящей плоскостью. Пожалуй самый простой пример применения метода изображений - случай бесконечной проводящей заземлённой плоскости. Пусть в декартовой системе координат эта плоскость
совпадает с плоскостью 2=0. Точечный заряд ц находится в точке = (х^,у^, Х^), > 0,
заряд изображение — £/ будет находиться, очевидно, в точке 'о = ? У\ ? )•
Следовательно, искомый потенциал, равный сумме потенциалов, создаваемых реальным зарядом
q и его изображением ^
т= 4 4 - 4 4
Ml Ml Jix-xj+iy-yj+iz-z,)2 Jix-xJ+iy-yJ+iz + zJ
(5)
Найдём для данной проводящей плоскости функцию Грина задачи Дирихле. Искать её будем в виде (3), где
1 __1_
Функция /' (г, Г ) должна быть гармонической и такой, чтобы выполнялись граничные условия Дирихле. Таким условиям соответствует функция
F(r, г') = - . 1 .
V( x - x'f + (y — y')2 + (z + z')2 Чтобы получить выражение для потенциала, учтём, что величина точечного заряда q выражается через плотность распределения заряда р как р(x, y, z) = qS(x — X^S(y — yl)S(z — zj) . Подставив это выражение в формулу (4) получим
(рку) = I --1 , что совпадает с
V(x — Xj)2 + (y — yj)2 + (z — z)2 <J(x — Xj)2 + (y — y)2 + (z + z)2
результатом (5), полученным методом изображений.
Из рассмотренного примера ясен физический смысл функции Грина: она является потенциалом электрического поля, создаваемого в точке И единичным точечным зарядом, помещённым в точку f , если граница области заземлена.
2. Заряд, расположенный вне заземлённой сферы.
Рассмотрим задачу об определении потенциала электростатического поля, создаваемого зарядом q, находящимся в точке t\, находящейся вне заземлённой проводящей сферы. Зеркальным
изображением заряда q будет некоторый заряд q', находящийся в точке Я, в том же направлении
что и заряд q на расстоянии b от центра сферы. Так как сфера заземлена, то её потенциал равен
2 2 а а _
нулю. Из этого условия следует, что О = —, /*2 = —г Г , и величина заряда изображения
2 2
. aq q =--
ri
Таким образом, в любой точке И потенциал поля, созданного зарядами qяq' равен
q q да
2
^ а _
ri r —2" ri
ri
Выражение (6) можно записать в другом виде, введя угол у между векторами И и rt . т.е.
И-И
cos у =-L :
rrx
^r2 + r2 - 2rr cos Y Vr2r2 + a4 - 2a2rrx cos
Y
В соответствии с физическим смыслом функции Грина можно написать её вид используя формулы для потенциала (6) или (7), в которых следует положить q=l и заменить на г':
--^- (8)
\г - г
- а2.
G(H, ?) = 4 - 4 . (9)
уr2 + r'2 -2rr 'cosy \Jr2r'2 + a4 -2a2rr'cosy
Рассмотренные методы можно применить и для нахождения потенциала, создаваемого точечным зарядом вблизи проводников различной формы как заземлённых, так и имеющими заряд или потенциал.
Решение электростатических задач методом функции Грина поможет студентам приблизиться к пониманию более общих методов решения физических задач. Это, безусловно, будет
г
способствовать не только лучшему пониманию электростатики, но и междисциплинарной интеграции между физикой и математикой таким образом, что математика структурирует физическое мышление, а физика придаёт смысл понятиям математики.
Список литературы /References
1. Боголюбов А.Н., Левашова Н.Т. и др. Функция Грина оператора Лапласа // Учебное пособие. М.: Физический факультет МГУ, 2018.
2. Джексон Дж. Классическая электродинамика. Изд-во Мир, 1965. 702 с
3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 3. Изд-во МФТИ, 2004. 656 с.
4. Alam Y.F., Behne A., Chisholm W.S. Using Green function to solve potentials in electrostatics.: arXiv:2105.00533v1 [physics class-ph] 2 May 2021.
5. Pantoja G.C., Elias W.S. Green's functions and method of images: an interdisciplinary topic usually cast aside in physics textbooks.: arXiv: 2006.0999v2 [physics.ed-ph] 19 Apr. 2021.
