CC BY
10УДК 1
Жанкулов Д.М.
«Информационные системы», магистрант- 2 курс Казахский Агротехнический Университет им. С. Сейфулина (Казахстан, г. Нур-Султан)
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ОСОБЕННОСТЯМИ. ФУНКЦИЯ ГРИНА
Аннотация: в данной статье рассматриваются особенности решения дифференциальных уравнений, как дифференциальные уравнения развивались в прошлом и какое будущее их ждет, рассматривается метод решения дифференциальных уравнений использованием функции Грина.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения, функция Грина, анализ, уравнения с частными производными, уравнения Лапласа, функция, задачи.
Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений, состоящей из двух обширных областей математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными.
Первая особенность - это непосредственная связь теории дифференциальных уравнений с приложениями. Характеризуя математику как метод проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира. Изучая какие-либо физические явления, исследователь прежде всего создает его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений. Такими оказываются модели
различных явлений механики сплошной среды, химических реакций, электрических и магнитных явлений и др.
Для составления математической модели в виде дифференциальных уравнений нужно, как правило, знать только локальные связи и не нужна информация обо всем физическом явлении в целом. Математическая модель дает возможность изучать явление в целом, предсказать его развитие, делать количественные оценки изменений, происходящих в нем с течением времени. Напомним, что на основе анализа дифференциальных уравнений так были открыты электромагнитные волны, и только после экспериментального подтверждения Герцем фактического существования электромагнитных колебаний стало возможным рассматривать уравнения Максвелла как математическую модель реального физического явления.
Обыкновенные дифференциальные уравнения возникают тогда, когда неизвестная функция зависит лишь от одной независимой переменной. Соотношение между независимой переменной, неизвестной функцией и ее производными до некоторого порядка составляет дифференциальное уравнение. В настоящее время теория обыкновенных дифференциальных уравнений представляет собой богатую, широко разветвленную теорию. Одними из основных задач этой теории являются существование у дифференциальных уравнений таких решений, которые удовлетворяют дополнительным условиям (начальные данные Коши, когда требуется определить решение, принимающее заданные значения в некоторой точке и заданные значения производных до некоторого конечного порядка, краевые условия и другие), единственность решения, его устойчивость. Под устойчивостью решения понимают малые изменения решения при малых изменениях дополнительных данных задачи и функций, определяющих само уравнение. Важными для приложений являются исследование характера решения, или, как говорят, качественного поведения решения, нахождение методов численного решения уравнений. Теория должна дать в руки инженера и физика методы экономного и быстрого вычисления решения.
Уравнения с частными производными начали изучаться значительно позже. Нужно подчеркнуть, что теория уравнений с частными производными возникла на основе конкретных физических задач, приводящих к исследованию отдельных
уравнений с частными производными, которые получили название основных уравнений математической физики. Изучение математических моделей конкретных физических задач привело к созданию в середине XVШ века новой ветви анализа - уравнений математической физики, которую можно рассматривать как науку о математических моделях физических явлений.
Основы этой науки были заложены трудами Д'Аламбера (1717 - 1783), Эйлера (1707 - 1783), Бернулли (1700 - 1782), Лагранжа (1736 - 1813), Лапласа (1749 - 1827), Пуассона (1781 - 1840), Фурье (1768 - 1830) и других ученых. Интересно то, что многие из них были не только математиками, но и астрономами, механиками, физиками. Разработанные ими при исследовании конкретных задач математической физики идеи и методы оказались применимыми к изучению широких классов дифференциальных уравнений, что и послужило в конце XIX века основой для развития общей теории дифференциальных уравнений.
Одним из важнейших уравнений математической физики является: уравнение Лапласа.
Здесь мы предполагаем, что функция u зависит от t и трех переменных х±> х2, х3. Уравнение с частными производными - это соотношение между независимыми переменными, неизвестной функцией и ее частными производными до некоторого порядка. Аналогично определяется система уравнений, когда имеется несколько неизвестных функций.
Разве не удивительным является тот факт, что такое простое по форме уравнение, как уравнение Лапласа, содержит в себе огромное богатство замечательных свойств, имеет самые разнообразные приложения, о нем написаны многие книги, ему посвящены многие сотни статей, опубликованных в течение последних столетий, и, несмотря на это, осталось еще много трудных связанных с ним нерешенных проблем.
К изучению уравнения Лапласа приводят самые разнообразные физические задачи совершенно разной природы. Это уравнение встречается в задачах электростатики, теории потенциала, гидродинамики, теории теплопередачи и многих других разделах физики, а также в теории функций комплексного переменного и в различных областях математического анализа. Уравнение Лапласа является
простейшим представителем широкого класса так называемых эллиптических уравнений.
На сегодняшний день я остановился на решении функции Грина оператора Лапласа и хотел показать вам один пример построения функции Грина.
Методы построения функции Грина задачи Дирихле. Для ряда областей весьма эффективным способом построения функции Грина задачи Дирихле является использование метода электростатических изображений. Если рассматривать задачу в рамках электростатики, то однородные условия Дирихле означают, что область ограничена заземленной идеально проводящей поверхностью S.
Пусть в точке M0 ЕD помещен точечный заряд величины
_ 1 ^ _ 4^.
Расположим вне области D фиктивные электрические заряды таким образом, чтобы потенциал поля на границе S обращался в ноль. Эти фиктивные заряды называются электростатическими изображениями заряда, помещенного в точку M0. Потенциал поля, порожденного зарядами, находящимися вне области, представляет собой гармоническую внутри области D функцию и, удовлетворяющую граничному условию
1
4 nRPM0
Замечание. Предложенный способ построения функции Грина является универсальным для любых задач Дирихле для оператора Лапласа и применим не только для задач электростатики.
Здесь, может быть, уместно вспомнить слова А. Пуанкаре: "Математика - это искусство давать разным вещам одно наименование". Эти слова являются выражением того, что математика изучает одним методом, с помощью математической модели, различные явления действительного мира.
Список литературы:
1. А.Н. Боголюбов, Н.Т. Левашова, И.Е. Могилевский, Ю.В. Мухартова, Н.Е. Шапкина, «Функция Грина оператора Лапласа», Москва, 2012 г.
2. Новосибирский Государственный Университет, «Краевые задачи. Функция Грина», Новосибирск, 2012 г.
3. http://sci.sernam.ru/lect mph.php?id=57
4. Михайлов В.П. «Дифференциальные уравнения в частных производных». Москва, 1976 г.
5. «Высшая математика: учебное пособие», Лакерник А. Р., 2008 г.
