Характеристические мультиполи эллипса и решение задачи о проводящем эллипсе во внешних электрических полях Текст научной статьи по специальности «Физика»

Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics 2009, 2(4), 410-425

УДК 517.54+537.2

Характеристические мультиполи эллипса и решение задачи о проводящем эллипсе во внешних электрических полях

Владимир П.Казанцев Евгений Н.Шляхтич*

Институт инженерной физики и радиоэлектроники, Сибирский федеральный университет, пр. Свободный 79, Красноярск, 660041,

Россия

Получена 08.09.2009, окончательный вариант 25.10.2009, принята к печати 10.11.2009 Получено и представлено в комплексных переменных решение задачи о проводящем эллипсе во внешних электрических полях с помощью аппарата характеристических мультиполей. Рассмотрены как общая схема решения задачи так и конкретные примеры. Построены комплексные функции Грина для внешней и внутренней областей эллипса. Показана возможность ввести понятия "мнимый заряд" и "эллипс сходимости" ряда.

Ключевые слова: комплексная функция Грина, характеристические мультиполи, проводящий эллипс, эллипс сходимости, мнимый заряд, электростатика.

1. Характеристические мультиполи эллипса

Для решения электростатических задач о проводящем эллипсе наиболее удобо, на наш взгляд, применение аппарата характеристических мультиполей.

Впервые понятие о характеристических мультиполях проводников было введено в работе [1]. В работах [2, 3] оно получило свое развитие для электростатики на плоскости и в пространстве.

Характеристическими мультиполями эллипса будем называть базисные распределения плотностей зарядов по поверхности проводящего эллипса. Вначале рассмотрим некоторые общие соотношения, необходимые для решения задачи о проводящем эллипсе во внешнем электрическом поле. Функция

О(г) = 2 (г + у/г2 - с2)

конформно отображает внешнюю к эллипсу

—2 2

—2 + То = 1; с = л/а2 - Ь2 а2 Ь2

область на область, внешнюю к окружности комплексной плоскости О:

а + Ь

|G(z)| = A =

* e-mail: Shlyahtich2005@yandex.ru © Siberian Federal University. All rights reserved

Базисные комплексные потенциалы, соответствующие единичным значениям компонент мультипольных моментов минимальных порядков поляризационных зарядов эллипса, могут быть выражены через

1

nfcr (z) = 1 {

Gk (z)

2k-1( A2k + (c/2)2k)

при z e |G(z)| > A

Tk(z/c) при z e |G(z)| < A

(1)

nki(z)

Заметим, что

1

2ne„k

Gk (z) k

2k-1(A2k - (c/2)2k)

при z e |G(z)| > A

Tk (z/c) при z e |G(z)| < A

2k-! / r

Tk (z/c) = —— Gk (z) V

4G(z)

(2)

— это многочлен Чебышева первого рода.

Источниками комплексных потенциалов (1) служат заряды, распределенные по эллипсу с плотностями

Ак со8(&а)

&kr =

n(A2k + (c/2)2k Vа2 sin2 а + б2 cos2 а

Ak sin(ka)

n(A2k - (c/2)2k) ^а2 sin2 а + b^OS2^'

(3)

где а = arg G(z).

Приведем выражения для базисных электрических полей:

1

Vz2 - c2Gk(z)

E*r (z) = ^

2ne„

„k-1

2k-i^A2k + (c/2)2k)

при z e |G(z)| > A

Tk'(z/c) при z e |G(z)| < A

(4)

E-(z) = ¿0

Vz2 - c2Gk (z)

при z e |G(z)| > A

k-1

2k-1^A2k - (c/2)2k)

Tk'(z/c) при z e |G(z)| < A

(г) и Е^^), как видно из соотношений (4), могут быть аналитически продолжены из области > А внутрь эллипса вплоть до отрезка оси абсцисс, соединяющего фокусы

к

c

к

1

эллипса. Рассматривая эти аналитические продолжения как электрические поля, можно найти плотности электрических зарядов

_ _ 2к Тк(х/с) _ _ .

акт _ -к /о о:; акг _ гакт, (5)

пск Vс2 - X2

которые служат источниками аналитических продолжений полей и лежат на отрезке оси абсцисс —с < х < с. Таким образом, находим источники электрического поля внутри эллипса, создающие такие же электрические поля вне эллипса, что и электрические заряды, распределенные по эллипсу, то есть решаем задачу "заметания" зарядов с границы эллиптической области внутрь ее. Интересно, что решением задачи заметания электрических зарядов, распределенных по эллипсу с плотностью акг, служат мнимые электрические заряды, распределенные по отрезку —с < х < с с плотностью акг, так что мнимые заряды появляются здесь как эквивалентные, создающие такое же электрическое поле вне эллипса, как и электрические заряды эллипса.

2. Общая схема решения задачи о проводящем эллипсе во внешнем электрическом поле

При решении задач об электрически нейтральном проводящем эллипсе, находящемся во внешнем электрическом поле с комплексным потенциалом п(г), можно представить комплексный потенциал наведенных на эллипсе зарядов суммой потенциалов характеристических мультиполей эллипса:

П (г)_^^(хкт П кт (г) + ХкгПкг(^)); (6)

к = 1

хкт _ —2пе0к(Л2к + (с/2)2кУ п(г)акт 31; (7)

|С|=А

хкг _ —2п£ок(Л2к — (с/2)2к)йе У ф)аы 31. (8)

|С|=А

При этом для расчета значения электрической энергии наведенных зарядов

а(г)_^(хкт акт (г) + хыаы(г)) (9)

к=1

может быть использована формула

Ш _—У'-Г_хкт_+_хк_^ (10)

4п£о к\Л2к + (с/2)2к Л2к — (с/2)2к ) К '

Заметим, что если источником внешнего поля служит распределение зарядов 3Л(г), расположенных вне эллипса, то есть

1 г — е|зл(е),

— ¿О/ -(1)'

эо

то коэффициенты Хкг и Хк1 могут быть определены как

хкг — —(А2к + (с/2)2к)Ке | хь = -(A2k - (с/2)2к) И.е г |

¿т

ок (е)'

¿А(С)

ск (е)'

(11)

Обратим внимание на то, что все приведенные здесь ряды (6), (9) и (10) сходятся, коль скоро п(х) — аналитическая функция в какой-либо области, включающей в себя эллипс. В частности, это условие будет выполнено для элементарных функций комплексного аргумента

Е*хп; Е* оо8(7х) ; Е* 8ш(7х) ; Е* ехр(7х) ;

(12)

2пе„

1п

Я

' 2пе0и(х — х0 )п

(13)

при условиях, что точка х0 лежит вне эллипса, а Е*, 7, А0 и Ап — постоянные.

Если источники внешнего поля ¿А(х) лежат внутри эллипса, то коэффициенты Хкг и Хкг могут быть определены как

Хкг — Ие

2к-1

Тк (х/фА(£);

Хк1 — Ие г

2к-1

Тк (г/е)3,А(е).

(14)

В этом случае ряды (6), (9) и (10) сходятся, коль скоро п(х) — аналитическая функция в какой-либо области, полученной исключением из С какой-либо внутренней области эллипса. В частности, это условие будет выполнено для элементарных функций комплексного аргумента, определенных формулами (13), если хо лежит в области эллипса.

Когда поддерживаемый при нулевом потенциале проводящий эллипс находится в электрическом поле зарядов, расположенных внутри него, для описания электрического поля наведенных зарядов наряду с характеристическими мультиполями эллипса (3) необходимо будет использовать и мультиполь нулевого порядка, то есть заряды, распределенные по эллипсу с плотностью

1

2.2 .22- (15)

2

2п\/а2 8Ш2 а + Ь2 0082 <

Комплексный потенциал этого мультиполя

По(х) — —

1п

од

Я

2п£о

- Я

при

при

х е |С(х)| > А

х е |С(х)| < А

(16)

При решении задачи об электрически проводящем эллипсе, находящемся в электрическом поле распределенных внутри эллипса зарядов ¿А(х) с комплексным потенциалом

п(х) — — ¿о/1п г¿А(5)'

(17)

А

А

хх

0

0

п

к

С

к

С

1

комплексный потенциал наведенных на эллипсе зарядов можно представить суммой потенциалов характеристических мультиполей эллипса:

П(г) = Х°П°(г) +(ХкгПкг(г) + ХкгПф)); (18)

к= 1

Х0 =--, Ие I п(г)а° ¿1; (19)

1П М \0\ = А

Хкг = -2пе°к(Л2к + (с/2)2к)Ие J п(г)акт ¿1; (20)

|С| = А

Хкг = -2пе°к(Л2к - (с/2)2к )Ие ! п(г)аы ¿1. (21)

|С| = А

При этом для расчета значения электрической энергии наведенных зарядов

а(г) = Х°а°(г) + ^ (Хкг&кт(г) + ХЫ(Гы(г)) (22)

к=1

может быть использована формула

Ш = — V -(_^_+_^М_1п(Я1 (23)

4пе° к\Л2к + (с/2)2к Л2к - (с/2)2к) 4пе° ^Л)' У '

Учитывая, что источниками комплексного потенциала (16) служат заряды, расположенные внутри эллипса, для Х°, Хкт и Хкг будем иметь

Х° = — J ¿Х(г);

ск

Хк = Хкт + гХкг = — Тк(г/с)<1Х(г). (24)

Вне эллипса комплексный потенциал наведенных зарядов

1 Л и. (°(г)\ ^ Хк

П(г) = -^г ( Х° Ь I I - Г Т^ Ь (25)

Я ) к-1 кОк (г)

а внутри эллипса

ПМ = —— и* 1п Л - £ 4т- Хк Л1 — Х (С'Т Тк ш) . (26)

^ ' 2пе°у° уя] 2к-1к Л4к - (с/2)4к к ' '! У '

Принимая во внимание, что вне эллипса П(г) = —п(г), учитывая также формулу (23), соотношение (24) можно представить в форме

/ (-е «27»

удобной для получения разложений электрических полей зарядов, распределенных внутри эллипса, по его характеристическим мультиполям. Эти разложения проводятся, как видно из (27), по степеням С-1(г). Перейдем теперь к рассмотрению некоторых примеров использования полученных общих соотношений.

3. Комплексная функция Грина внешней области эллипса и ее источники

На основе представленных соотношений решим задачу о проводящем эллипсе в электрическом поле точечного заряда, расположенного вне эллипса.

Задача об эллипсе в электрическом поле одного точечного заряда, расположенного вне эллипса в точке 5, эквивалентна задаче о функции Грина внешней к эллипсу области. Принимая во внимание важность такой задачи, исследуем ее подробно.

Учитывая, что внешнее электрическое поле создается точечным зарядом А0, расположенным в точке 5, лежащей вне эллипса, используя соотношение (11), находим

Хкг _ - (а2* + (с/2)2к) Ие = (А2к - (с/2)2к) 1т ^Ащ • (28)

Вне эллипса для потенциала зарядов, наведенных на нейтральном в целом проводящем эллипсе, с помощью (1) и (6) получим

_ _^ 1 / А2к + (с/2)2* Ие_1__ ^ - (с/2)2* !т

П(^) 2пе0к= к^ Ок (г) Ок(5) * Ок(г) Ок (5)

_ А0 ^ 1 ( А2к (с/2)2к

2-^1 к \ О* к (?)Ок (г) +

2пеО к\а* к(5)Ок(г) Ок(5)Ок(г)

"1 )(1 -Ж. П- (29)

2пеО I I О*(5)О(г) \ ОДОД

Внутри эллипса

Ап

П(г)_ -кСкЩ2^Тк(г/с)- (30)

Комплексному потенциалу П(г), определенному формулами (29) и (30), соответствует электростатическая энергия

2

А 2 л ( 1 4 А 1 1

\ 2\

1 ^ АО ^ 1 ( А2к (с/2)2к

+(А2к - (с/2)2к) (1т ок) ) _ 4Ао- к=1 (юАкг+Ие од2к

ао ш 1- А2

4пе0 ^ |С(5)| Отметим также, что из соотношения (30) следует:

А2

1 -

ОД2

(31)

/ А 1 ск

-^ - !)_ кат 2С-1 (Тк(г/с) - *е«к). (32)

Обсудим теперь полученные результаты.

Комплексную функцию Грина области, внешней к эллипсу, для нейтрального в целом эллипса найдем, добавляя к комплексному потенциалу наведенных зарядов (29) при АО = 1 комплексный потенциал единичного точечного зяряда

*м=- ¿о 4 ^У (зз)

В результате получим

'й(о(г) - А2/0*(5)) (О(г) - с2/40(5)) '

Г_(5 5 5*) = 2ПГ0 -О^-^ I • (34)

Учитывая, что

с^ с2 (О(г) - 0(5))№) - с2/40(5))

5 - 5 = О(г) + 40(5) - О(5) - 40(5) " О(г) '

представим функцию Грина (34) как функцию О(г):

1 / (о(г) - 0(5)) О(г) \

Г_(г, 5, = -— 1п -1-^ • (35)

2пе° \Д(0(г) - А2/0*(5Ш

Через эту функцию Грина можно, в частности, выразить энергию взаимодействия двух точечных зарядов А в точках и ¿2:

\(1) \(2)

чечных зарядов АО и АО , расположенных вне проводящего нейтрального в целом эллипса

^вз = А(1)А(2) КеГ_(5Ь 52,52*)

А(1)А(2) Ао Ао

-1п

2п£о

О(г1) - ОЫ О^О*^)

Д (0(51)0* (¿2) - А2)

(36)

Очевидно, что эта функция, как и должно быть, не изменяется при перестановке зарядов.

Через Г_(г, 5, 5*) можно также выразить комплексный потенциал точечного диполя А1, расположенного вне проводящего нейтрального в целом эллипса в точке 5:

П1(5,5,5*) = (А1д2 + А*д2*)Г_(5,5, 5*) =

= 1 ( А1О '(5) А*А2О '*(5) \ ( )

= ^0(5) - О(5) + О*(5)(О*(5)О(г) - А2)^ • (37)

Заметим, что при проведении конкретных вычислений может оказаться полезной формула

0 '«" = ОТ = орт-к <38)

Представляет интерес функция Грина, нормированная на нуль в бесконечно удаленной точке. Ее можно получить добавлением к Г_(г, 5, 5*) комплексного потенциала проводящего эллипса, заряженного единичным отрицательным зарядом:

Г<^*> = -¿О 1п (оОШ^- «39»

Эта функция — аналитическая вне эллипса, включая бесконечно удаленную точку, ее реальная часть на эллипсе принимает постоянное значение. Функция

7(5, 5, 5*) = Г(5, 5, 5*) +

1 ( 2 — 5 ■ 1п

2п£о

д

1 / й(Ъ(2) — С(5))

1п ' ^

2пе„

,(5 — 5)( С(5) — А2/С*(5)).

(40)

определяет комплексный потенциал зарядов эллипса. Собственная энергия зарядов эллипса будет равна

^соб =

1

Отметим, что величина

2п£о

А(5) =

1п

А

ДС '(5)

|С(5)|2 — А2 |С(5)|2 — А2

А

С '(5)

(41)

(42)

— это сопряженный с точкой 5 внутренний конформный радиус внешней к эллипсу области, поскольку должным образом нормированная функция

С(5, 5, 5*)

|С(5)|2 — А2

ехр ( — 2пе0Г(5, 5, 5*)

С*(5)С '(5) |С(5)|2 — А2 С(5) — С(5)

С '(5) С*(5)С(5) — А2 конформно отображает внешнюю к эллипсу область на круг |С(5, 5, 5*)| <А(5), причем

(43)

С(5, 5, 5*)=0; д2С(5, 5, 5*)

1.

Источники аналитического продолжения внутрь эллипса комплексного потенциала наведенных на эллипсе зарядов, казалось бы, лежат на отрезке, соединяющем фокусы эллипса, поскольку на нем расположены источники всех характеристических мультиполей эллипса. Однако, это утверждение не всегда справедливо. Чтобы убедиться в этом, формулу (29) для комплексного потенциала наведенных зарядов представим в виде

П(5)

Ас / (С(5) — А2/С*(5)) (С(5) — с2/4с(5))'

2пе„

С2 (5)

(44)

позволяющем интерпретировать этот потенциал на комплексной плоскости С как суперпозицию комплексных потенциалов точечных зарядов 2А0, —А0 и А0, расположенных в точках с комплексными координатами С = 0, С = с2/4С(5 ) и С = А2/С*(5 ). Так как функция С(5) осуществляет конформное отображение комплексной плоскости с выброшенным отрезком оси абсцисс |х| < с на внешнюю область окружности |С| = с/2 комплексной плоскости С, то П(5) будет аналитической функцией 5 вне отрезка оси абсцисс |х| < с, коль скоро

|А2/С*(5 )| < с/2.

(45)

2 = 2

В этом случае можно считать, что все источники потенциала П(х) лежат на отрезке, соединяющем фокусы эллипса, и распределены по этому отрезку с плотностью

*(х) — (хкг&кт (х) + ХкгСТкг(х)),

к = 1

представляющей собой комплексную величину. Подставляя в это соотношение Хкт и Хкг из (28), а Сткт и а кг из (5), будем иметь

— — пго Ё( (с^)^^)') Тк <Х/С> —

— Ао ( 1 — (2А2/сС*(5))(х/с)

г+

^ТС2—Х2 1 — 2(2А2/сС*(5))(х/с) + (2А2/сС*(Х))2

+_1 — х/2С(5)__2^ (46)

1 — х/С(5) + (с/2С(,?))2 )' К '

Отметим, что плотность зарядов а(х) будет вещественной величиной, только когда вещественна ), то есть когда создающий внешнее поле точечный заряд находится на оси абсцисс.

При выполнении неравенства

|А2/С*(5)| > с/2, (47)

обратного неравенству (45), в точке

С0 — А2/С*(Х )

комплексной плоскости С, как было уже указано ранее, расположен точечный заряд — А0. Если при справедливости неравенства (45) этой точке на комплексной плоскости х не соответствовало какой-либо точки, то теперь ей будет отвечать логарифмически особая точка потенциала (44)

С2 С2 Х0 — С0 + — А2/С* (5 ) + 4А2 С*(Х). (48)

Выделим эту особенность, добавив к потенциалу (67)

А0 х — х0

--1п

Я

и вычитая из него

А

1п

(X — хЛ — 1 ((С(х) — А2/С*(5))(С(х) — с2С*(Х)/4А2Л \ Я ) 2пе0 ^ С(х)Я у

2п£0

В результате такого тождественного преобразования будем иметь

П(х) — А- 1п (1 + ^ 1п ( ДИХ) - С2/4С^) 1 (49)

П(х)— 2п£0 I я / + 2п£0 1(ОД — с2С*(5)/4А2)С(х) ]' (49)

Второе слагаемое в правой части этой формулы, обозначим его Щ(г), не имеет особенностей вне отрезка, соединяющего фокусы эллипса. Своими источниками оно имеет заряды, распределенные по этому отрезку с плотностью

_ , , К ( 1 - х/2О(5 )

Wc2 - x2 1 - x/G(z) + (c/2G(z)) 1 - (cG*(Z)/2A2)(x/c)

- 1 . (50)

1 - 2(cG*(z)/2A2)(x/c) + (cG*(z)/2A2)2

Таким образом, здесь была решена задача заметания источников потенциала (44), распределенных по эллипсу с плотностью

А0 i A2 - A|G| cos(a - а) \

а(а) =--, - -=-=- , (51)

Wa2 sin2 а + b2 cos2 а \A2 + |G|2 - 2A|G| cos(a - a)) V ;

с эллипса внутрь его. Интересно, что при приближении точечного заряда к эллипсу, из первоначально распределенных по отрезку, соединяющему фокусы эллипса, зарядов, формируется точечный заряд величины -Ao как источник потенциала (44), который отрывается от первоначального распределения зарядов и изменяет свое положение в зависимости от положения внешнего заряда.

Заметим, что выражение (51) для плотности наведенных на эллипсе зарядов может быть найдено как

а(а) = Е (xkr^kr(x) + xkiaki(x)).

k=i

Подставляя в это соотношение xkr и xki из (28), а akr и aki из (3), будем иметь

™ 1 1

k 1 1

а(а) =--/ 2 . 2 ° Ak cos(to)Re ckm -sin(kQ:)ImсШ

■ку a2 sin2 а + b2 cos2 а k=1 \ G (z ) G (z )i

Л-: Re ¿f =

г \Ja2 sin2 а + b2 cos2 а k=1

|G(z )|

A° . (52)

_ -í1 rv — rv i Л / /о { Т. v '

После вычисления реальной части в правой части последнего равенства приходим к соотношению (51).

Понятие об эллипсе сходимости естественным образом возникает при рассмотрении аналитического продолжения комплексного потенциала (30) за пределы эллипса в форме ряда, определенного правой частью соотношения (30), то есть при решении задачи об области сходимости этого ряда. Обращаясь к уравнению связи полиномов Чебышева с функцией О(5) (2), видим, что ряд (30) будет сходиться, если сходится ряд

Е

Gk (z) kGk (z),

к=1

который представляет собой степенной ряд по О (5), очевидно сходящийся при

1ВД| < |О(5)|. (53)

Заметим, что неравенство

|ад| <н

определяет область, ограниченную эллипсом

|ОД| = Н,

софокусным с рассматриваемым здесь. Таким образом, проведя через точку г эллипс, со-фокусный с основным, получим область сходимости ряда (30), то есть эллипс сходимости этого ряда. Внешний конформный радиус этого эллипса будет равен |С(5)|. Чтобы найти эллипс сходимости ряда

^ ск

/(г) = Е Ьк¿к-ГТк(г/с), (54)

к=1

в общем случае нужно перейти к степенному ряду

Ск (г),

к=1

определить его радиус сходимости в комплексной плоскости С,

Ко = ("Ж" кЛЫ^ , (55)

\ к—/

а затем установить эллипс сходимости

|ОД| <йс. (56)

Для определения эллипса сходимости можно было обратиться к выражению электростатической энергии, соответствующей комплексному потенциалу /(г),

Ш(/(г)) = ^п^ *((А2к + (с/2)2к)62г + (А2к - (с/2)2к)62ь) . (57)

к=1

В этом выражении внешний конформный радиус эллипса А > с/2 считаем переменным и находим его максимальное значение, при котором ряд для энергии сходится. В этом случае также приходим к

тах А = До.

Можно придать процессу определения эллипса сходимости физический смысл, для чего, фиксируя внешний конформный радиус, выделим отдельный эллипс из семейства софокус-ных. Затем зададимся вопросом о том, может ли электрический заряд, распределенный по этому эллипсу, создать электрическое поле с комплексным потенциалом (54). Ответ на этот вопрос будет положительным, если рассчитанная по формуле (57) электростатическая энергия окажется конечной, и отрицательной, если ряд (54) для энергии будет расходящимся.

Отметим, что с точки зрения электростатики разложения аналитической функции в степенной ряд и в ряд по многочленам Чебышева — это ее представление в базисах характеристических мультиполей окружности и, соответственно, эллипса.

Представление некоторых элементарных функций в виде ряда по полиномам Чебышева можно получить с помощью соотношения (32). Так, заменяя в правой и левой частях (32) г на -г, получим

/Л ^ 1 ск

- + ~)= Е кЩЩ (Тк(-г/с) - Ие(*)к). (58)

Вычитая из правой части (32) правую часть (58), а из левой — левую, будем иметь

+ Л 1 с2р-1

т—г) = £ (2р -1)0*- и 525-3 (59)

Принимая во внимание, что

2 г I г< + г\

^ < = 2]л^ и-г),

^ < = ^ (2р - 1)С2Р-1(г<) 225-2 Т2Р-1(г/с) =

находим

(_1)p+I

2p-1

= -(-)-,-T2p-i(z/c). (60)

(2p _ l)(d + )2P-1 2p 1 ' 1 У 1

Заметим, что эллипс сходимости этого ряда

IG(z)l = 2(d Wd2 + c2) включает в себя круг сходимости степенного ряда арктангенса

z ~ (-lyp+ií Л2p-1

arctg -d = g ?p—T {-d) ■

Задачу о проводящем эллипсе в электрическом поле, комплексный потенциал которого

г* z ineoE * ¡id + z\

n(z) = E arctg — =----^ ^- ; d> b, (61)

d 2neo \id _ z I

можно формально интерпретировать как задачу о проводящем эллипсе, находящемся в электрическом поле двух отличающихся знаками комплексных зарядов

Xoi = ineoE*; Xo2 = _in£oE*,

расположенных, соответственно в точках zi = _id и z2 = id. Такая интерпретация удобна для определения вне эллипса комплексного потенциала наведенных зарядов. Однако плотность наведенных на эллипсе зарядов, найденная с помощью соотношения (51)

. . ineoE* ( A2 + A|G| sin а

aía) =----- -=-=--

nvaSn^O+WCOSiaXA2 + |G|2 + 2A|G| sin а

--A|G| sin а V |G| =l_(d +уТ-2+СТ2l (62)

A2 + |G|2 _ 2A|G| sin aj' 1 ' 2V ^ V ;

оказывается комплексной величиной. С точки зрения классической электростатики задача об эллипсе во внешнем элетрическом поле с комплексным потенцалом (61) будет иметь физический смысл только при мнимых значениях E, поскольку в этом случае наведенные на эллипсе заряды действительны.

оо

4. Комплексная функция Грина внутренней области эллипса и ее источники

Теперь рассмотрим функцию Грина внутренней области эллипса и конформное отображение внутренней области эллипса на круг.

Напомним, что комплексная функция Грина представляет собой комплексный потенциал находящегося внутри эллипса единичного точечного заряда, экранированного проводящим эллипсом. Поэтому плотность наведенных на эллипсе зарядов будем искать в виде (21), вычисляя А^7 по формулам (23) и полагая полный заряд эллипса равным —1, как это следует из условия экранировки точечного заряда проводящим эллипсом. В результате получим

ск

Ао = —1; Ак = "2^ тк(5). (63)

Для плотности наведенных на эллипсе зарядов имеем

1 '1+

a2 sin2 а + b2 cos2 <

^ Akck f ReTk(-/c) cos(ka) ImTk(-/c) sin(ka) \ \ ,„4.

+ 2^^ A2k + (c/2)2k + A2k - (c/2)2k J)' ( )

Комплексный потенциал зарядов, наведенных на эллипсе, внутри него

( - 1 Л (А ^ c2k (Tk (-*/c)A2k - (c/2)2kTk (-/c)) T ( \ ,6_. 7(Z' Z - ) = 2^ ^ ^ ^R) - -22k-2k(A4k - (c/2)4k)-Tk(z/c)J • (65)

Собственная энергия поляризационных зарядов эллипса

Wco6 = - lRe -*) = 4^( 1П(R) +

+ ~ c2k / | Re Tk (-/c)|2 + | Im Tk(-/c)|2\\ (66)

+ k= 22k-2^ A2k + (c/2)2k + A2k - (c/2)2k j J • ( )

Величина

A(-) = A exJ- V — ( I Re Tk (- /c)|2 + IMmh (67)

A(-) = AexP^ 22k-2^A2k + (c/2)2k + A2k - (c/2)2kj (67)

— это не что иное, как отнесенный к точке - внутренний конформный радиус ограниченной эллипсом области. Из формулы (66), в частности, видно, что любой внутренний конформный радиус меньше внешнего.

Функция Грина для внутренней области эллипса совпадает с комплексным потенциалом экранированного проводящим эллипсом точечного заряда, то есть

1 I z — - \ „ _ 1 (г - - \

r(z, г-*) = - — 1n —— + y(г, г-, - *) = 1n

—

2пе„ \ R / ' ' ' 2пе„ \ A

1 ^ c2k (Tk(-*/c)A2k - (c/2)2k Tk (-/c)) T (/) (68)

-22k-2k( A4k — (c/2)4k )-Tk (z/c) (68)

2ne0 22k-2k(A4k - (c/2)4k)

Функция

0(5, 5, 5*) = Аехр ( - 2пеО(Г(5, 5, 5*) - 7(5, 5, 5*))) (69)

осуществляет конформное отображение внутренней области эллипса на круг |0| < А(5), причем 0(5,5,5*) нормирована так, что

G(z,z,z*) =0; G(z,z,z*)

1.

В частности, при 5 = 0 в определяющие функцию Грина соотношения войдут только многочлены Чебышева с четными номерами. Принимая во внимание, что

Ие Т2т(0) = (-1)т; 1т Т2т(0)=0,

записываем

1 ( 1 + —2mc2m (-1)m cos(2ma)

a2 sin2 a + b2 cos2 a \ m=1 22m 2 —4m + (c/2)4m ^

1 ( ( A\ -O c4m ( —1)m

y(z, 0,0) = - ln - - V --,--д/| ( >л T2m(z/c)

14 ' ' ' 2пеД \RI 24m-1m —4m + (c/2)4m 2mV ' '

1 i í R \ 00 c

Wco6 = ^—) + 24¿-1m —4¿ + (c/2)4m

0 c4m

~4m

/ ^ c4m 1 \

— (0) = — - 24m-1m— 4m + (c/2)4mj ; (70)

1 / z \ 1 0 C4m ( —1)m r(z,0,0) =--ln -г--V -¡-;--„ ( / , ^ T2m(z/c);

V ' ' ' 2ne0 [ — ) 2п£от=1 24m-1m —4m + (c/2)4m V ' h

0 c4m

Go(z) = ё(г, 0 0)= г eXP ]T —4m + (c/2)4m ((-1)mT2m(z/c) - 1

\m=1 V / /

Заметим, что через функцию Go(z) можно выразить функцию G(z, 5, z*), используя дробно-линейное преобразование

G(zz~z*)= |Go(5)|2 - —2(0) Ga(z) - G0(5 ) (71)

1 ' ' J Go(z ) Go(z)G*(z ) - —2(0)' 1 J

при этом

—2(0) -|Go(z)|2.

—(z ) =

—(0)|Go (z )

r(z,z,z*) = * —(0)- Go(z) - Go(z )

Оо(5)0*(5 ) - А2(0)у

Обратим внимание на то, что собственная энергия поляризационных зарядов эллипса может быть представлена в форме

= 4п1е- 1п( аУ • (72)

2 = Z

копирующей форму представления энергии уединенного заряженного проводника, поэтому величину

С(5) — 1п ^ АХ)) (73)

по аналогии с емкостью уединенного проводника будем называть емкостью проводника относительно точки х .

С помощью соотношения (26) можно найти, что вне эллипса комплексный потенциал единичного точечного заряда

— ^1п (^11 — —^1п (у ТкМ (74)

2п£0 \ Я ) 2п£0 \ Я ) 2п£0^ 2к-1к Ск(х) 1 ;

Это разложение имеет место для любых х и 5, лежащих соответственно вне и внутри эллипса. Продифференцировав левую и правую части этого соотношения по х , получим разложение по характеристическим мультиполям эллипса комплексного потенциала единичного точечного диполя

1 1 ~ Ск-1 ик-1(5/с)

2п£0(х — 5 ) 2п£0 к="1 2к-1 Ск(х)

(75)

где ^к-^5/с) — многочлены Чебышева второго рода.

Полезной в дальнейшем может оказаться формула для энергии взаимодействия двух

\(1) \ (2)

экранированных внутри проводящего эллипса точечных зарядов А0 и А0 , расположенных в точках х1 и х2:

^0о12) — — Ке А01)А02) ]п(^^ —

00 2п£0 а

А01)А02^ с2к(Тк(х*/с)А2к — (с/2)2кТк(х1/с)) Т ( /) (76)

^^^ -22к-2к(А4к — (с/2)4к)-Тк(х2/с)- (76)

5. Заключение

Обратим внимание на то, что при рассмотрении электростатических задач для эллипса с использованием аппарата характеристических мультиполей целесообразно было ввести такие понятия, как мнимый заряд и эллипс сходимости. Интересен также эффект рождения точечной особенности в распределении эквивалентных зарядов. В заключение отметим, что аппарат характеристических мультиполей весьма эффективен при рассмотрении электростатических задач для эллипса, в связи с чем возникает задача распространения этого аппарата на другие геометрические фигуры. В случае удачного решения поставленной задачи богатые возможности аппарата характеристических мультиполей смогут раскрыться в полной мере.

Список литературы

[1] В.П.Казанцев, Понятие о высших поляризуемостях уединенных проводников в плоских задачах электростатики, Красноярск, 1996, Деп. в ВИНИТИ 2291 - В96.

[2] В.П.Казанцев, Вариационные принципы и высшие поляризуемости уединенных проводников в плоских задачах электростатики, Докл. РАН, 361(1998), №4, 469-473.

[3] В.П.Казанцев, Вариационные принципы, электрические характеристические мультиполи и высшие поляризуемости в теории поля, Теоретическая и математическая физика, 119(1999), №3, 441-454.

Characteristic Multipoles of Ellipse and a Solution of the Electrostatic Problem for a Conductive Ellipse in Applied Electric Fields

Vladimir P.Kazantsev Evgeny N.Shlyahtich

A method of the general problem of electrostatics solution for conductive ellipse in applied electric fields is obtained in complex form in terms of "characteristic multipole ". Both a general scheme of the solution and particular examples are considered. Complex Green functions for the outside and the inside of an ellipse are constructed. The terms "imaginary charge " and "ellipse of convergence " are established.

Keywords: complex Green function, characteristic multipole, conductive ellipse, ellipse of convergence, imaginary charge, electrostatic.