Алгоритм моделирования функций Грина многослойных диэлектрических структур Текст научной статьи по специальности «Математика»

Основш завдання модел1 технолопчного процесу переробки бобових культур i в першу чергу со!':

- мiнiмiзувати BMicT антипоживних речовин у продуктах переробки;

- тдвищити якicть кiнцевого продукту i його перетрав-нicть;

- оптимiзувати енерговитрати, витрати на обладнання при достатнш продуктивноcтi.

В цшому, представлене удосконалення процесу вирощу-вання i переробки со!', дозволяе забезпечити оптимальш режими роботи пiдприeмcтва по економiчним i енерго-економiчним показникам, чико обчислити i забезпечити надшшсть функцiонування апаратури, оптимально керува-ти резервами сировини, процесами ii' накопичення i збе-

рiгання (задача прогнозування) i що саме головне, отри-мувати продукцiю з максимально можливими яюсними показниками. Отримання екологiчно чисто!' продукцп дозволяе не пльки вирiшити частину екологiчних проблем сьогодення, а й зберегти здоров'я наци.

ПЕРЕЛ1К ПОСИЛАНЬ

1. Адамень Ф.Ф., Сичкарь В,И,, Письменов В.Н., Шерстобитов В.В. Соя. - К: Нора-принт, 1999. - 330 с.

2. Егоров Г.А. Влияние тепла и влаги на процессы переработки и хранения зерна. - Москва: Колос. - 1973 г. - 146 с.

3. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики - Москва: Наука, 1989. - 608с.

4. Вергунова 1.М. Основи математичного моделювання.- К.: Нора-принт, 2000.-146с.

УДК 621.372.8.01

АЛГОРИТМ МОДЕЛИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА МНОГОСЛОЙНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СТРУКТУР

Л.М.Карпуков

Рассмотрен алгоритм составления в численно-символьной форме соотношений для расчета функций Грина многослойных диэлектрических структур в краевых задачах электростатики. Основой алгоритма являются предложенные формулы для определения передаточных функций декомпозиционных схем, моделирующих многослойные структуры.

Розглянуто алгоритм складання у чисельно-символьтй форм1 ствв1дношень для розрахунку функцт Гр1на багатоша-рових д1електричних структур у крайових задачах електро-статики. Основою алгоритму е запропоноват формули для визначення передатних функцт декомпозицтних схем, що моделюють багатошаров1 структури.

The algorithm of compiling in the numerical-symbolical form of ratio for calculations of Green's functions of multilayerer dielectric structures in problems of an electrostatic is proposed. Offered formulas for definite of transfer functions of decompositions schemes, modeling multilayered structures are the basis of algorithm.

Использование многослойных диэлектрических структур в конструкциях микроэлектронных устройств обусловливает необходимость совершенствования существующих и разработки новых эффективных алгоритмов моделирования электростатических полей в плоско слоистых средах.

Для решения краевых задач электростатики предложены разнообразные методы и алгоритмы [1,2]. Среди них наибольшее распространение при моделировании многослойных диэлектрических структур получил метод интегральных уравнений, отличающийся высокой универсальностью и экономичностью.

Эффективность алгоритмов на основе метода интегральных уравнений в значительной степени определяется способом составления их ядер, представляющих собой функции Грина рассматриваемых краевых задач. Существую-

щие методы вычисления функций Грина для многослойных структур обеспечивают составление результатов расчетов в одной из двух форм - в виде явных зависимостей от пространственных координат [3] или в виде Фурье-изображений [4,5], применяемых при решении интегральных уравнений в спектральной области. Недостатками этих методов являются ограничение на сложность исследуемых структур из-за неформализуемости геометрических построений при непосредственном получении явных зависимостей [3] или трудоемкость аналитических преобразований при переходе к оригиналам, обусловленная используемыми способами составления Фурье-изображений [4,5]. Существенно упростить и формализовать процесс вычисления явных зависимостей для функций Грина многослойных структур можно путем формирования изображений в виде отношения экспоненциальных полиномов, по которым легко составляется разностное уравнение для оригинала [6].

Целью настоящей работы является разработка алгоритма расчета коэффициентов экспоненциальных полиномов, определяющих Фурье-изображения функций Грина и соответствующих числителю и знаменателю передаточных функций для параметров рассеяния декомпозиционных схем, моделирующих многослойные структуры [6].

Рассмотрим изображенную на рис. 1,а структуру, составленную из n прилегающих друг к другу пластин однородного и изотропного диэлектрика, размещенных между полупространствами с относительными диэлектрическими проницаемостями £a, . В плоскости, перпендикулярной

оси y , пластины имеют неограниченные размеры.

1НФОРМАТИКА

Ь1

е1

еЧ-1

Ьр-1 ер-1

еъ

У1

У2 Уя-1

Уч

Уч+1 Ур-1 а)

Ур

Ур+1 Уп-1

2 я р-1 р

р+1 п-1

б)

Га 31 «___ф. §Ч-1 §Ч 4___ 3р-1 3р -ф. 3п Гъ

+—•■ ---• +---

в)

Рисунок 1 - Построение модели многослойной структуры: а) соединение из п диэлектрических пластин, б) декомпозиционная схема соединения, в) эквивалентная схема соединения

Представим рассматриваемую структуру декомпозиционной моделью на рис. 1,6 в виде каскадного соединения п четырехполюсников. Элементы декомпозиционной модели будем описывать матрицей рассеяния, а искомое Фурье-изображение функции Грина формировать в виде [6]:

Представление (1) удобно для вычислений в спектральной области и одновременно обеспечивает простой переход к оригиналу по рекуррентной формуле [6]

Е °ге

О (к ) = и (к ) = -¿=1-

у В (ку) д у т

1 +

Е Ье

-кУкЬ,

- ич ( ку ) . (1)

и„ =

? 2ку е0ег

для единичного линейного заряда, ку = кх;

о (у + ИН) =

т п

= Е а + паН + ИН) - Е ь О (у + пьН + ИН),

где Н - шаг расчета, кратный толщинам слоев,

(2)

Здесь На , НЬ составляются из толщин диэлектрических слоев; а{, Ь{ - выражаются через коэффициенты отражений от плоскостей раздела сред и экранов;

ехр {¡кхХо + Д^) - _

для единичного точечного заряда, ку = ^к2 + к^

ехР (1кхХо) -

и (у + 2 НI ) =

q ^ '

4т0г^(х - х0)2 + (г - г0)2 + (у -у0 + 2НI)2

для трехмерной задачи, 1

4 пг0&г 1п[(х - Х0 )2 + (у - у 0 + 2НI )2 ]

для двумерной задачи.

Для начала вычислений используется нулевое граничное условие для потенциала на бесконечности:

индексом 0 отмечены координаты заряда, находящегося в среде с относительной диэлектрической проницаемостью Е„ .

О(у + (И + 1 )Н) = 0, И ^^ . Для нахождения передаточных функций Бр^ ку)

(3)

АРI ку -В(ку)

входящих в (1), запишем элементы и определитель мат-

Ь

Ь

Ь

р

п

я

е

е

е

е

р

п

а

Ч

У

У

п

1

п

Ч

р

88

1607-3274 "Радтелектронжа, ¡нформатика, управл1ння" № 1, 2001

рицы рассеяния г-го четырехполюсника, моделирующего размещенную в свободном пространстве г-ую пластину с относительной проницаемостью £г- и толщиной , следующим образом:

Г2 -ri -1 г,

Здесь Vi = , =

ri -1 -Г, Г2

A

^22, B

11,

Г, (1 - e~2 kyhi)

^21, ^12, B

1 - г2e-2kyh• A21i _ (1 - Г2)e-kyhi ~ 1 - г 2 e-2 ky h -

A, = A =

,B

Г 2 -2kyh, ,2 - e y ,

1 - Г2 e-2 kyh-,

(4)

Формулы (5), (6) позволяют легко реализовать процедуру вычисления коэффициентов экспоненциальных полиномов для формирования выражения (1) или (2) в удобном для расчетов численно-символьном виде. Например, для структуры из трех пластин с относительными проницаемостями £1 = 9, £2 = 5, £3 = 4, размещенных

между полупространствами с £a = 3 , £b = 100 , и при

нахождении точки источник во 2-м, а точки наблюдения в 3-м сечении, расчет по этим формулам дает следующее численно-символьное представление Фурье-изображения функции Грина:

где Г, = (1 - £.)/(1 + £.) .

Пусть в q-м сечении находится источник поля, а в p-м сечении точка наблюдения. Тогда по эквивалентной схеме на рис. 1,в нетрудно найти передаточную функцию

д 32 B

где A32 = 0, 153e~kyh2 + 0, 079e~ky(hl + 2h1) -

Spq(ky) = un(kv)/ua(kv), определяющую связь между - 0, 146e~ky(h2 + 2h3) - 0, 073e^2 + 2h1 + 2h3),

JpqK'yj "pV'y Фурье-изображениями наблюдаемого потенциала Up и

источника поля uq , располагаемого в среде с проницае--q

мостью £0 свободного пространства:

S pq P A

[ Aq - Bq ]

1 1 -1 -1

-Ap

-B

pq pq

B

pq

[Aq - Bq]

As Aqq App -Bs_

-AP -B,

(5)

B = 1 - 0, 143ekyh1 + 0, 032e~2kyhi - 0, 103e~2kyh3 -

- 0, 056e~2ky(h1 + h2) + 0, 015e~2ky(h1 + ^ -

- 0, 264 <f2ky(h2 + h3) + 0, 461 <f2ky (h1 + h2 + h3}.

Предложенный алгоритм расчета функций Грина, отличаясь простотой реализации и низкими вычислительными затратами, позволит существенно повысить эффективность решения сложных краевых задач электростатики при исследовании и проектировании конструкций, содержащих многослойные диэлектрические структуры.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

Здесь использовано представление параметров компонентов эквивалентной схемы на рис. 1,в в виде, аналогичном (4) : rq = Aq/Bq , Гр = A /Bp , Spq = Apq/Bs ,

As = ASZBs .

Представим члены выражения (5) с помощью формул символьного анализа каскадных соединений [7] и с учетом (4) в следующем виде:

P - 1

Apq = (-1)p -1 - q П( 1 - Г,2)e'kyh-,

i = q

-2th.,

B = [Га - 1 ]• П([V] + e y '[W])• i = 1

q -1

Cpq = [Га - П([ V] + e~2kyhi[ W])

-Г -1

i = 1

X П([ V1 ] + e 2kyhi[W,])• i=p

1 1 -1 -1

-rb -1

1. Миролюбов H.H. и др. Методы расчета электростатических полей. - М.: Высшая школа, 1963. - 415 с.

2. Фуско В. СВЧ цепи. Анализ и автоматизированное проектирование / Пер. с англ.- М.: Радио и связь, 1990. - 288 с.

3. Silvester P. TEM wave properties of microstrip transmission lienes // Pros. IEE, -1968. - V.115,- №1. - P. 43-48.

4. Grampagne R., Ahmadpanah M., Guiraud J. A simple method for determining the Green's function for a large class of MIC lines having multilayered dielectric structures // IEEE Trans. MTT.- 1978.- V.26, -№2. - P. 82-87.

5. Li K., Atsuki K., Hasegawa T. General analytical solutions of static Green's functions for shielded and open arbitrarily multilayered media // IEEE Trans. MTT.- 1997.- V.45, -№1. - P. 28.

6. Карпуков Л. М. Построение и анализ декомпозиционных моделей микрополосковых структур // Радиоэлектроника. -1984. - Т. 27. - №9. - С. 32 - 36. (Изв. высш. учеб. заведений).

7. Карпуков Л. М. Символьный анализ устройств СВЧ методом подсхем // Электронное моделирование. - 1984. - Т. 6. -№3. - С. 81 - 84.

(6)

u3 =

u

2

n

n