Алгоритм квазистатическ0г0 моделирования полосковых структур в многослойной анизотропной среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

W( z ) =

2 , 87z + 0,4 z + 0 , 7 5

На рис.2 изображены входное воздействие и выход (а) системы фазовой автоподстройки с электронным интегратором и цифровым регулятором с рассчитанной передаточной функцией, ошибка системы 8 (б) и управляющее воздействие на входе объекта управления тХ} (в). Система является оптимальной в смысле указанного критерия для рассмотренного гармонического воздействия с частотой юэ = 12, 5 .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изложенный подход к расчету коэффициентов передаточной функции цифрового регулятора является достаточно простым, универсальным и гибким. Если цифровой регулятор выполняется на микропроцессоре, то можно произвести расчет коэффициентов для ступенчатого входного воздействия и произвольного входного воздействия и организовать автоматическое переключение из режима отработки скачкообразного воздействия в режим слежения за произвольным входным воздействием, и наоборот. Цифровой регулятор будет при этом иметь постоянную структуру, но разные коэффициенты, соответствующие каждому режиму.

Рисунок 2

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Зайцев Г.Ф., Стеклов В.К. Радиотехнические системы автоматического управления высокой точности. - К.: Техника, 1988. - 208 с.

2. Бесекерский И.А. Динамический синтез систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1970. - 576 с.

3. Гостев В.И., Стеклов В.К., Скляренко С.Н. Оптимальные системы управления с цифровыми регуляторами: Справ. -К.: КИРЦ "Сенс", 1995. - 484 с.

Надшшла 16.12.1999 Шсля доробки 14.03.2000

УДК 621.372.8.01

АЛГОРИТМ КВАЗИСТАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОЛОЗОВЫХ СТРУКТУР В МНОГОСЛОЙНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ

Л. М. Карпуков

Предложена элементная база для построения декомпозиционных схем, моделирующих структуру многослойных анизотропных подложек в задачах квазистатического анализа поло-сковых линий передачи. Разработан метод расчёта функций Грина по декомпозиционным схемам исследуемых структур. Приведены примеры анализа полосковых линий передачи с учётом анизотропных свойств многослойных подложек.

Запропоновано елементну базу для побудови декомпозицш-них схем, що моделюють структуру багатошарових атзо-тропних тдкладок у задачах кваз1статичного анал1зу смуж-кових лшш передач1. Розроблено метод розрахунку функций Гргна за декомпозицшними схемами дослгджуваних структур. Приведено приклади аналгзу смужкових лгнш передачг з урахуванням атзотропних властивостей багатошарових

тдкладок.

The elementary base for building decomposition schemes which model the structure of the multilayered anisotropic substrates in the problems of quasistatic analysis of strip lines is proposed. The method of counting the Green's functions by using the decomposition schemes of the investigated structures is developed. Examples of the strip lines analysis taking into account the anisotropic properties of multilayered substrates are given.

ВВЕДЕНИЕ

При конструировании современных интегральных схем СВЧ широко используются многослойные комби-

£п-1,Ьп-1

£2,^2

£1,Ь1

нированные подложки с расположением токонесущих проводников линий передач в различных её слоях, материал которых может отличаться физическими свойствами и степенью их анизотропии. Эффективность проектирования указанных конструкций определяется качеством алгоритмов, используемых для моделирования плоскослоистой анизотропной среды.

В квазистатическом приближении задача моделирования полосковых линий передачи формулируется в виде краевой задачи электростатики. Её решение в случае анализа линии на однослойной анизотропной подложке выполнялось различными методами: конечных разностей [1], моментов [2], конечных элементов [3], преобразования координат [4]. Среди перечисленных методов наиболее полно требованию построения универсальных алгоритмов, обеспечивающих анализ полосковых линий на многослойных анизотропных подложках, удовлетворяет метод моментов. Основной процедурой этого метода является нахождение функции Грина рассматриваемой краевой задачи. В [5] предложен эффективный метод расчёта функций Грина для многослойных изотропных подложек, который позволяет заменить решение сложных краевых задач простой и наглядной процедурой построения и анализа декомпозиционной модели слоистой диэлектрической среды.

Целью настоящей работы является дальнейшее развитие этого метода с разработкой элементной базы для построения декомпозиционных моделей многослойных анизотропных диэлектрических структур и с созданием экономичных и простых в реализации алгоритмов расчёта функций Грина по декомпозиционным моделям соответствующих краевых задач.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рисунок 1 - Поперечное сечение подложки

Распределение потенциала в рассматриваемой структуре подчиняется уравнению Лапласса:

¡£¿11 ■ ^Фг) = 0 .

(2)

На поверхности раздела г -й и к -й диэлектрических пластин имеет место:

п '(И ^Фг -| |£ к|| = Фг = Фк,

(3)

где п - нормаль к поверхности, совпадающая по направлению с осью у .

Необходимо определить по (1) - (3) матрицы рассеяния типичных элементов рассматриваемой структуры, составляющих элементную базу для построения декомпозиционных моделей многослойных подложек.

На рис.1 представлено поперечное сечение исследуемой полосковой передающей линии в виде нескольких плоских проводников, расположенных на поверхности диэлектрических пластин. Продольной осью линий является ось г. Сверху и снизу структуры могут располагаться экраны. Пластины и экраны имеют бесконечную протяженность вдоль оси х .

Пусть тензор относительной диэлектрической проницаемости г -й пластины имеет вид:

е.- =

£ххг гхуг 0

ее 0

хуг ьуу1 °

ЭЛЕМЕНТНАЯ БАЗА МОДЕЛИРОВАНИЯ

На основании (2) уравнение для функции Грина моделируемой двумерной структуры при расположении единичного линейного заряда в г -й пластине в точке с координатами х0, У0 приобретает следующий вид:

2 2 2 Э О, д О, д о, е _г + 2 е _- + е _

уугд у2 хугдхду ххгдх2

1

8(у - у 0 Жх - х0),

(4)

(1)

где £0 - электрическая постоянная, 8 - дельта-функция Дирака.

Из (3) вытекают граничные условия для функций Грина на поверхности раздела сред:

0

. дО+е О - (е О+е = 0

"УУгЪу хУгдX ) \ УУкду хУкдх ) ' О = О, .

(5)

дУ^О(кх) - 2/кха1-дуОг(кх) - кХРОДкх) =

е1кхх0 = 8(У - У0) ,

гууг %О<( кх) - к «ОД кх))=

= £УУк(дуОк(кх) -какОк(кх)),

Ог( кх ) = Ок ( кх ).

= щ е

'кх(^г + ]а1)к^

-кх(Ъ - 1аг)к

«1 = Г1М+ + ( 1 - Г1)и+, М2 = ( 1 + Г1)и + - Г1 м+.

(10)

Преобразование Фурье функций О;, Ок по координате х даёт представление (4), (5) в спектральной области:

Здесь Г1 = (е - еэ )/(еэк + £э^) - коэффициент отражения от слоя; еэк = (ехх еУУ - е2„ )172, т = г, к .

экт ххт УУт хУт

В сечении у = У0 , где расположен источник поля,

граничные условия в соответствии с (6), (7) приобретают следующий вид:

(6) (|-Ог(кх, У0 - 0) -}кха1О1 (кх, У0 - 0)) -

-(дУОг ( К У0 + 0 ) - 1'кхаг Ог ( К У0 + 0 )) =

(7)

е1кхх0 ^ 5( У " ^

(11)

Здесь кх - переменная преобразования Фурье, / -

мнимая еДиниЦа, ат = ехУ /еУУ , Рт = ехх /еуу ,

т т т т

т = г, к .

Решение однородного уравнения, соответствующего (6), запишем в виде суперпозиции прямой и обратной волн, распространяющихся вдоль и против оси У :

Ог(кх) = ипе-кх- 1аг)У + и?екх^г+-К)У , (8)

где = (Рг - а?)172.

Выделив граничными сечениями У1 и у 2 = У1 + к в г -

й пластине слой диэлектрика, толщиной к , получим на основании (8) соотношение для матрицы рассеяния

Ог(кх, У0 + 0) = Ок(кх, У0 + 0) .

Отсюда с учётом (8) вытекают соотношения, определяющие относительно граничных сечений У1 = У0 - 0 и

У2 = У0 + 0 матрицу рассеяния источника поля:

и1 = и2 + ег = и+ + е;,

(12)

(9)

Здесь и далее знаком плюс обозначены амплитуды волн, падающих на граничное сечение, а знаком минус -отраженные от него.

Для выделенной граничными сечениями У1 = у^ - 0

и У2 = Угк + 0 поверхности у = у^ раздела г -го и к -го диэлектриков, в соответствии с (7), (8) будет иметь

где е1 = ехр(]кхх0)/(2п£0еэк ) - Фурье-изображение источника.

МОДЕЛЬ ОДНОСЛОЙНОЙ СТРУКТУРЫ

В спектральной области функция Грина определяется в результате анализа декомпозиционной схемы моделируемой структуры, составляемой из базовых элементов. При этом для простых структур коэффициенты передачи, характеризующие функции Грина, удобно определять по ориентированному графу декомпозиционной схемы. Для примера на рис. 2 приведён ориентированный граф декомпозиционной схемы диэлектрической пластины из анизотропного материала (область 1). Пластина, имеющая толщину кг , расположена в свободном пространстве (область 2, е2 = 1). Нижняя поверхность пластины металлизирована. В точке с координатами х0, У0 расположен единичный заряд. Точки с

координатами х0, У1 и х0, У2 являются точками наблюдения.

место:

V У2

Ь1

VI

Уо

С2(кх)

Ё2 ................................К

01(кх) ' , Г1 -' <

! £1| е1

..................^ г -1

е - МУ2 - ь 1) 1+Г1

е - кх Ъ (Ь1 - У1)

е - кх 41 (У1- Уо)

а)

е - кх 41 Уо 6)

Рисунок 2 - Модель однослойной подложки: а) структура подложки, 6) ориентированный граф её декомпозиционной схемы

Из анализа графа вытекают соотношения для фурье-изображения функций Грина в области 1 и 2:

-1

О1(х х0, у^ у0) = 4п£ £ I (-Г1)п{1п[(х - хэк10)2 эк1 п = 0

+ 42(у1 -У0 + 2п^1 )2] - 1п[(х -хэк10)2 +

+ 42 ( у1 + у0 - 2п^1 )2 ] +

+ Г 1п [(х - хэК10)2 + 2( п + 1) Й1 - у1 - у0 )2 ]-- Г11п [(х - хэк10)2 + 42 (2 (п + 1 )Й1 - у1 + у0 )2 ]}, (16)

О2(х> x0, у2: у0) = _ -(1 + г) "

-I (-Г1 Я 1п[(х-хэк20)2 +

1 п = 0 1

О1(кх: х0: у1> У0 ) =

е кх (х0 + а 1 (у 1 - у 0 ) ) - к х 4 1 (у 1 - у 0 ) 4п £0 е.,к . к х( 1 + Г б"2 кх4 1 А 1 )

[ 1 - е

2кх41у0

4пе0еэк

+ (41 (¿1 - у0 + 2п^1) + у2 - Й1) ] - 1п[(х - хэк0)2

+ (41 (¿1 + у0 + 2п&1) + у2 - ¿1) П,

+ Г1е

0 эк1 х

2 кх41( ¿1- у1) - г е-2кх41(А1- у1 + У0 )]

(13)

О2(кх: х0: у2: у0) =

( 1 + Г ) е^кх(х0 + а1(А1- у0)) - кх41(¿1- У0) - кх(у1- ¿1) = ( 1 + 1 1 )е_ (14)

4п£0£эк1 кх( 1 + Г^2 ^)

Оригиналы для функций Грина могут быть получены в результате разложения знаменателя этих соотношений в геометрическую прогрессию с последующим применением обратного преобразования Фурье к членам образующегося ряда. Связь между изображением некоторого члена ряда и его оригиналом имеет вид:

~ -]'кх Iх - хэк„ I - кхА у эк

(15)

4 П е0 е эк 1 кх ёкх

-1

--1п[(х + х )2 + А у2к],

4 Пе0еэк, эк0 к

где хэк0 = х0 + а1(у - у0),

А уэк = 41А у1 + А у2.

Выполнив указанные преобразования с соотношениями (13), (14), получим искомые зависимости для оригиналов:

(17)

где хэк10 = х0 + а1(у1 - у0) , хэк20 = х0 + а1 (¿1 - у0).

Отметим, что при у1 = у0 = к эти зависимости совпадают с соотношением, приведенным в [6].

МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОСЛОЙНЫХ СТРУКТУР

Для алгоритмизации процесса вычисления функций Грина представим математическую модель декомпозиционной схемы п -слойной структуры следующим образом:

и - (кх) = 5 ■ I ■ Р(кх) и - (кх) + (Е + 5) У(кх) , (18)

и +(кх) = I ■ Р(кх)и - (кх), ]

х х х \ (19)

и (кх) = и + (кх) + и - (кх).

Здесь и - (кх) , и + (кх) - векторы, составленные из

амплитуд отраженных и падающих волн в граничных сечениях, совпадающих с поверхностью раздела слоёв; 5 = й1ад(-Г1, 52, ... 5п, Гп + 1) - блочно-диагональная матрица, составленная из матриц рассеяния разделов слоёв, определяемых по (10); Р( кх) = й,ад[ ехр (-к^ ),

"..., ехр(-кЛ )] - диагональная матрица, составленная

х п

по (9) из коэффициентов передачи слоёв, ¿эк = 4¿¿г; I - матрица перестановок, состоящая из нулей и единиц и

0

I

характеризующая связи между амплитудами падающих и отраженных волн; У( кх) - вектор, составляемый в соответствии с (12) из фурье-изображений источников е; , вводимых в г -тое граничное сечение; и(кх) - вектор искомых реакций, совпадающих с изображениями функций Грина; Е - единичная матрица.

В соответствии с [5] для нахождения оригиналов функций Грина введём шаг расчёта к , кратный эквивалентным толщинам кэк слоёв. Умножим обе части (18)

г

на ехр(-кхтк) и перейдем в (18), (19) от фурье-

изображений переменных к оригиналам. В результате получим:

и - (т) = Б1и - (т + г) + БЕУ (т) , (20)

и(0) = и - (0) + 1и - (0 + г) . (21)

Здесь Б! = 51, Бе = Е + 5 , и-(т + г) = [м^ (т + г 1), ..., ..., мп (т + гп)]í, гк - число шагов к , укладывающееся по ширине к к -го слоя, Ь - знак транспонирования.

Элементы вектора У(т) в соответствии с (12), (15) записываются в виде:

УД т) =

-1

-1п [(х + х )2 + (тк)2 ]

и = £ Бт ■ БеУ(т) +1 ■ ■ БеУ(т + 1) . (26)

т = 0

Составление формул вида (20) или (26) по декомпозиционным схемам анализируемых структур не вызывает затруднений. Например, при возбуждении границы раздела у = к однослойной структуры на рис.2, а и шаге расчёта к = к функция Грина О(х, Х0, к, к) = м2 определяется формулой:

-( 1 + Г1 )

4 Я£0еэк -

п=0

0 -1 т

Г1 0

0

1п (Ах2 + (т + 1) 2к^к1)

0 1 0 -1 т

1 0 Г1 0

1п (Ах2 + (т + 1)2 к2к^)

(27)

где Ах = х - х0 , к = 41 к1

ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Расчёт характеристик полосковых линий передачи производится по результатам решения интегрального уравнения

(22)

ф(х, у) = | О(х, х0, у, у0)о(х0, у0)йз0,

(28)

0 эк

Соотношение (20) представляет собой рекуррентную формулу. Для начала вычислений используется условие для потенциала на бесконечности:

и - (т + 1) = 0, т .

(23)

Искомая функция Грина в соответствии с (21) определяется по вектору и- (0), получаемому на последнем шаге расчёта, и по предшествующим значениям этого вектора.

Если расчленить слои вспомогательными граничными сечениями на отрезки длиной к и дополнить уравнения (18), (19) переменными, относящимися к вспомогательным сечениям, то соотношения (20), (21) приобретут наиболее простой вид:

и - (т) = Б1и - (т + 1) + 5ЕУ(т) , (24)

и(0) = и - (0) + 1и - (1) . (25)

Вычисления по этим формулам могут быть представлены в явной форме:

где о(х0, у0) - искомое распределение заряда на поверхности 50 проводников, ф(х, у) - заданное значение потенциала на проводниках.

Для решения использовался метод моментов с базисом в виде кусочно-постоянных функций. Функции Грина рассчитывались по соотношениям (20), (21), некратность толщин слоёв шагу расчёта учитывалась с помощью линейной интерполяции. По распределению зарядов определялись погонные ёмкости, а затем по известным соотношениям вычислялись волновые сопротивления 20 и эффективные диэлектрические проницаемости £эф линий передачи.

В качестве примера выполнен расчёт эффективной диэлектрической проницаемости микрополосковой линии на комбинированной подложке, структуры которой представлены на рис. 3. Слои подложки составлялись из изотропного диэлектрика с относительной проницаемостью £г = 9, 9 , а также из сапфира с проницаемостями:

£хх = 11, 4 £уу = 13, 2 и £ху = 0 т.

На рис. 4,а представлены зависимости £эф от отношения ширины полоска w к толщине к = к 1 при к2 = 1 мм для линии, изображенной на рис. 3,а. Аналогичные

м

м

2

0

0

зависимости для линии на рис. 3,б приведены на рис. 4,б при к1 = к2 = 0, 5 мм и нормировке ширины полоска

w к к = к1 + к2. На рисунках кривая 1 - оба слоя подложки из сапфира, кривая 2 - первый слой из сапфира, второй из изотропного диэлектрика, кривая 3 - первый слой из изотропного диэлектрика, второй из сапфира, кривая 4 - оба слоя из изотропного диэлектрика.

w

<->

£эф 10 9,5

8,5

1

2

4 ____3

0,2

0,6

1,4

1,8

w/h

I W I 82, h2

ei, hi

82, h2 ei, hi

а)

6)

Рисунок 3 - Микрополосковая линия на комбинированной подложке

ВЫВОДЫ

Осуществлена алгоритмизация вычислительного процесса, имеющего место при анализе в квазистатическом приближении полосковых линий передачи на многослойной комбинированной подложке, содержащей анизотропные слои. С использованием принципа декомпозиции сложные краевые задачи по расчёту распределения потенциала в слоистой анизотропной среде представлены в виде простой и легко формализуемой процедуры анализа декомпозиционных схем.

Разработанная элементная база для построения декомпозиционных схем многослойных подложек и алгоритмы расчёта функций Грина позволят расширить возможности и повысить эффективность существующих математических средств квазистатического моделирования в системах автоматизированного проектирования микроэлектронных устройств СВЧ.

а)

^эф

7,5

6,5

5,5

1 4

0,2 0,6 1

1,4 1,8 w/h

6)

Рисунок 4 - Зависимость эффективной диэлектрической проницаемости от отношения т/к: а) для линии на рис. 3,а; б) для линии на рис. 3,б

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Owens P., Aitken J.E., Edwards T.C. Quasi-statik characteristics of microstrip on an anisotropic sapphire substrate // IEEE Trans. MTT.-1976.-V.24.-№8.-P.499-505.

2. Alexopoulos N.G. Krowne C.M Characteristics of single and coupled microstrips on anisotropic substrates // IEEE Trans. MTT.-1978.-V.26.-№6.-P.387-393.

3. El Said M., Ahmed A.A. Microstrip analysis on anisotropic and inhomogeneous substrate with the finite element method // Proc. IEEE Int. Microwave Symp.-1980.-P.465-467.

4. Szentkuti B.T. Simple analysis of anisotropic microstrip lines by a transform methods // Electron. Lett. -1976.-V.25.-№12.-P.672-673.

5. Карпуков Л. M. Построение и анализ декомпозиционных моделей микрополосковых структур // Радиоэлектроника. -1984. - Т. 27. - №9. - С. 32 - 36. (Изв. высш. учеб. заведений).

6. Kobayashi M. Green's function technique for solving anisotropic electrostatic field problems // IEEE Trans. MTT.-1978.-V.26.-№7.-P.510-512.

Надшшла 24.02.2000 Шсля доробки 27.03.2000

9

1