CC BY
18
ВЫВОДЫ
Таким образом, в результате постановки и решения задачи дифракции плоской поверхностной Н^-волны
плоской диэлектрической пластины на полубесконечной решетке узких металлических лент получены выражения для элементов матрицы рассеяния решетки. В результате предположения узости лент решетки удалось избежать векторной постановки задачи и получить простые выражения для коэффициентов отражения и прохождения в решетку, а также для их модулей при одноволновом режиме работы. Данные выражения можно использовать
при исследовании согласования интегральных решеток, а также для их проектирования при построении многолучевых антенн, диаграммообразующих схем и просто излучателей на основе таких решеток.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Взятышев В.Ф., Ермолаев Е.А. Пучки диэлектрических волноводов как среда // Труды моск. энерг. ин-та. - М.: МЭИ, 1977. - Вып.341. - С.67-70.
2. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. - М.: "Мир", 1974. - 327с.
Надшшла 15.03.99 Шсля доробки 23.06.99
УДК 621.372.8.01
АЛГОРИТМ КВАЗИСТАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА МНОГОСЛОЙНЫХ ПОЛОЗОВЫХ СТРУКТУР С УЧЕТОМ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПЛАСТИН
Л. М. Карпуков, С. Н. Романенко
Рассмотрены методы, составляющие основу квазистатического анализа многопроводных и многослойных полосковых структур на подложке из диэлектрических пластин с конечными размерами. Предложен простой и универсальный метод моделирования функций Грина исследуемых структур с использованием декомпозиционных схем. Для решения систем уравнений большой размерности, возникающих при алгебра-изации используемого в работе интегрального уравнения, разработан итерационный алгоритм с высокой скоростью сходимости.
Розглянут1 методи, складаюч1 основу кваз1статичного ана-л1зу багатопров1дних та багатошарових смужкових структур на тдкладинцг з дгелектричних пластин з конечними роз-мграми. Запропонований простий i утверсальний метод моде-лювання функцш Грiна дослiджуeмих структур з викорис-танням декомпозицшних схем. Для рШення систем рiвнянь великоi розмiрностi, виникаючих при алгебраiзацi'i використу-емого в роботi iнтегрального рiвняння, розроблений iтера-цшний алгоритм з високою швидкiстю збiжностi.
Methods of quasistatic analysis of multiconductors and multi-layered strip structures on the substrate of dielectric sheets with final dimensions are discussed. Simple and universal method for modeling Green's functions of investigated structures by using decomposition scheems are proposed. To solve systems of large dimensions arising from algebraisation of integral equation used in the paper the iteration algorithm with high rate of convergence is developed.
При разработке современных интегральных схем СВЧ широко используются объёмные конструкции в виде комбинаций полосковых линий, располагаемых в различных слоях многослойной диэлектрической подложки. Основу инженерного расчета подобных конструкций составляют квазистатические модели [1]. Несмотря на
большое число публикаций по квазистатическому моделированию полосковых структур, актуальной продолжает оставаться задача создания универсальных и эффективных алгоритмов, обеспечивающих уменьшение объема вычислений и не имеющих ограничений на физико-топологические параметры элементов моделируемых конструкций. Предлагаемый в работе алгоритм реализует вычислительный процесс, включающий в себя составление и решение интегрального уравнения электростатики, моделирующего исследуемую структуру. Отличительными особенностями алгоритма, определяющими его оригинальность и полезность, являются простой и одновременно универсальный метод расчета функции Грина, представляющей собой ядро интегрального уравнения, а также итерационный, быстро сходящийся метод решения систем линейных алгебраических уравнений большой размерности, возникающих при алгебраизации интегрального уравнения электростатики методом моментов.
На рис.1 изображена исследуемая многослойная и многополосковая структура, состоящая из нескольких прямоугольных диэлектрических пластин и металлических полосок, расположенных на их поверхности. Каждая ьтая пластина характеризуется абсолютной диэлектрической проницаемостью и имеет в общем случае
конечные размеры по всем координатам. Структура может быть открытой, а также частично или полностью экранированной.
О (X, у, г) =
1
ш
( 2 П) £0£г
-]кх(х - х0) -]ку (у -у0) -]к2(г - г0)
2 2 2 к + к + к
х у г
- с1к с1к dk
х у г
О (х, у, г) =
1
4 ле0£гЯ '
2 2 2 1/2 где Я = [(х - х0) + (у -у0) + (г - г0) ]
В области, свободной от зарядов, Фурье-изображение потенциала в соответствии с методом разделения переменных записывается в виде произведения трёх функций
О (к , к , к) = О (к)- О (к)- О (к) ,
4 х у г' хч х' у4 у г4 г' '
(4)
Рисунок 1 - Структура подложки
Как известно, нахождение функции Грина в краевых задачах электростатики сводится к расчету потенциала
О(х, у, г) , удовлетворяющего уравнению Пуассона 2
V О(х, у, г) = -1 /(£0£г-)-8(х - х0, у -у0, г - г0) (1) с дельта-функцией Дирака в правой части и граничным условиям на поверхности раздела диэлектрических слоёв и экранов.
Одним из способов решения подобных задач является метод изображений [2], основанный на построении системы мнимых зарядов-изображений, моделирующих граничные условия. В [3] предложен эффективный метод построения подобных систем зарядов для слоистых структур в случае, когда размеры пластин на рис.1 предполагаются неограниченными вдоль осей х, у. Метод основан на построении и анализе декомпозиционной схемы, моделирующей исследуемую слоистую структуру в области Фурье-изображений распределений потенциала.
Для свободного пространства, заполненного диэлектриком с относительной проницаемостью £г решение
уравнения (1) с использованием Фурье-преобразования записывается в виде:
которые удовлетворяют однородному дифференциальному уравнению:
д 2 2
О%(к%) + кО(к%) = 0 , % = х,у, г . (5)
д%
Решение (5) удобно представить в форме Даламбера в виде суперпозиции падающей и отраженной волны:
О%(к%) = и+(к%) - ехр(-]к% - %) + и%(к%) - ехр(-]к% - %) . (6)
Амплитуды волн и+(к%), и%(к%) определяются в результате анализа декомпозиционной схемы, составляемой из представленных таблицей 1 базовых элементов, моделирующих с использованием матриц рассеяния граничные условия, возбуждение и прохождение волн в исследуемой структуре [3]. Переход к оригиналам осуществляется путём разложения Фурье-изображений амплитуд волн в ряды с почленным применением формул
(2), (3). Анализ двумерных краевых задач проводится аналогично, при этом выражения (2), (4) записываются относительно двух переменных %, п из х,у,7, а вместо
(3) используется соотношение
О (у, г) =
1
1п
2п£п£ \Я)'
0 г
(7)
2 2 1 /2 где Я = [(% - %0) + (п - П0)] .
Для учета конечных размеров компонентов исследуемых структур рассмотрим ключевую задачу, состоящую в моделировании изображенной на рис.2 диэктрической пластины, находящейся в свободном пространстве и характеризующейся относительной диэлектрической проницаемостью £г. Для простоты ограничимся решением
двумерной задачи на плоскости у,0,г. На рис.3 приведен ориентированный граф декомпозиционной схемы рассматриваемой структуры для функций от переменных ку, кг, при размещении точек источника поля и точек
наблюдения в характерных областях, отмеченных цифрами на рис.2. Потенциал в т-й области от источника в п-й области представим на основании (2), (4) в виде:
(2)
О
& г) = —1--1 1
1
2-2 - Бтп(ку , кг)СкуСкг, (8)
. + к
ж —ж у г
т, п = 1, ..., 9, где *тп(ку , кг) = ^ку) - *гг:(кг) , P, * ^ : = 1 2, 3 .
Коэффициенты передачи ку) , Бгг1:(кг), определяются по графу на рис.3. Например, для поля О85(у, х) в 8-й области от источника в 5-й области:
Здесь £0 - электрическая постоянная; кх, к у, кг - переменные преобразования Фурье вдоль соответствующих осей декартовой системы координат. Этому выражению соответствует
(2п) £0£г __ __ку + к
(3)
х
X
Таблица 1 - Элементная база моделирования
Элемент структуры
Граф элемента
Матрица рассеяния
«2 =«1 +А «1
+
♦ и«2 и«2
к
а
!
и«2|
%
и «2 и-1
0 е - « ^ е--^ 0
и«1 и«1 Слой диэлектрика
£
и «2 и «2
и«2А
и «1 и «1 Сечение точки «0 источника
и«2
и«1
0 1 1 1 0 1
£
и«
и «2 и «2
^ р
а
и«2
и«1 и«1
01 10 а в
и «1 и «1
Сечение точки « наблюдения
а=в=1 для и«,
а= -к«, в= к« для ди«/д«.
и «2 и «2
«Р
и«1 и«1 Граница «р раздела сред
А к е2
к ех
-Г и+2
1+Г
Б:
1-Г
и«1 ^Г и«1
Г 1 - Г 1 + Г - Г
Г = (е1 -е 2)/(£1 + е 2)
коэффициент отражения
«
-•«1 и «1
и -Г | и +2
Г=1 - электрический, Г=—1 -магнитный экраны.
Поверхность экрана
Б
е
Б
5.
-к - (у2 -у20) ^ -]ку(у2 + У20 - 2 Ь1)
'у22 (ку ) = ~ + Ге
Ге
-ку(2 Ь2 -у2 -у20)
2 -]ку(2 Ь2 - 2 Ь1 + у20 -У2) + Г е
]/Ву(ку ),
5г32(кг ) = (1 + Г) - [е
-]кг(г3 - г20)
+ Ге
-]к_(г3 + г20 -2с.)-,
г 3 20 1 \/Вг(кг),
2 -2]ку(Ь2 - Ь1) где Ву(ку ) = 1 - Г2е у 2 1 :
2 -2]кг(с2 - с1) В (к ) = 1 - Г2е г 2 1 ,
г4 г ' '
Г = (£г - 1 )/(£г + 1) .
(9)
А
7 8 9
4 5 6
1 2 3
О Ь!
Рисунок 2 - Диэлектрическая пластина
ь
а2
^20 О-!
1-Й -г
г
1 г
1+Г
-г " II
1
1+Г 1-Г
Рисунок 3 - Ориентированный граф для переменной к
передачи кх), определяемые по декомпозиционной схеме для переменной кх , и составить соответствующую
матрицу рассеяния.
Разложение коэффициентов передачи (9) в геометрические прогрессии и применение к её членам соотношений (7), (8) позволяют получить явные выражения для функций Грина. Например, для исследованной в [4] микрополосковой линии с конечными размерами однослойной подложки функция Грина может быть рассчитана непосредственно по соотношениям, аналогичным (9), с учетом металлизации нижней грани диэлектрической пластины на рис.2. В частности, для точки у20 ,
20 = с2 источника и точки у2 , 2 = с2 наблюдения, размещённых внутри пластины толщиной к = С2 - С1 и шириной 5 = Ь2- Ь1 , получим:
О550») = < -1 >'Г+2 к х
0г
1 = 0 к = 0 (у2 -у20 + 2Ь)2 + (2(I + 1)к)2
1п-2-2""- +
(у2 -у20 + 2кя) + (21к)
Г 1п
Г 1п -
(10)
(у2 + у20 - 2Ь1 + 2к5)2 + (2 (I + 1 )к )2 2 2
(у2 + у20 - 2Ь1 + 2кя) + (21к)
(2Ь2 -у2 -у20 + 2кя)2 + (2(I + 1)к)2 2 2
(2 Ь2 - у 2 - у20 + 2 кя) + (ПК)
2 (2(к + 1)я -у2 + у20)2 + (2(I + 1)к)21 + Г 1п """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""2"""""""""""""""""""""""2""""""
(2 (к + 1) я - у 2 + у20)2 + (21к)2
Расчет функции Грина для структур, состоящих из нескольких диэлектрических пластин, осуществляется по декомпозиционной схеме, составляемой из многополюсников, соответствующих отдельным пластинам. Для сложных соединений автоматизация расчета матриц рассеяния может быть выполнена с помощью алгоритмов символьного анализа цепей СВЧ [5,6].
По известной функции Грина составляется интегральное уравнение потенциала [2]
ф(г) = 1 О(г, г0) - а(г0)Ся0 ,
(1)
%
Аналогично определяются остальные элементы матрицы рассеяния 9-ти полюсника, соответствующие рассматриваемой двумерной структуре. Для перехода к трёхмерным структурам достаточно ввести коэффициенты
где а( г0) - распределение плотности заряда на поверхности ^0 металлических полосок с заданным значением ф(г) потенциала.
Решение (11) производится методом моментов с использованием кусочно-постоянных функций в качестве базисных. Получающаяся система линейных алгебраических уравнений приобретает следующий вид
ф = О-а. (12)
Здесь ф, а - вектора, составленные соответственно
5
0
из потенциалов и поверхностных плотностей зарядов в подобластях, на которые разбивается поверхность металлических полосок, О - квадратная матрица с элементами
топологические параметры исследуемых структур и на размерность решаемых задач.
°гк = J G(r,, rk)dsk >
(13)
n + 1 n . n
О, = ф, „О /ф, .
(14)
n n + 1
лдесь о, и о,
где г, - расстояние до центра 1-й подобласти, т^ -расстояние до точки на поверхности к-й подобласти Б^ с плотностью заряда о^.
Для решения систем (12) большой размерности используется итерационный процесс, относящийся к классу нелинейных [7], который в покомпонентной записи имеет вид:
V, 0^
значения поверхностной плотности заряда на п-й и (п+1)-й итерациях, фг0 - заданное
i
2
•V/h=0,2
1 2 3 4 5 s/W
а)
значение потенциала, ср. - его значение на п-и итерации,
соответствующие 1-й подобласти.
За начальное приближение в (14) удобно брать
ог° = Фг0. (15)
Итерационный процесс (14) является монотонным [7], а скорость его сходимости близка к линейной. Для ускорения сходимости применена процедура Эйткена-Стеффенсена, в соответствии с которой уточнённое знати , чение плотности заряда берется на прямой, проходя-
£+ 1 £ + 2
щей через значения , плотностей заряда 1-й
подобласти на двух соседних итерациях:
т Г. к + I.2 к к+ 1~|/Г„ к+ 1 к к + 2, О, = 1(0, ) - О, О, |/[2О, - О, - О, ] . (16)
Скорость сходимости итераций по (14), (16), близка к квадратичной. На практике оказывается достаточным проведение двух, трёх уточнений значений зарядов.
Для примера на рис.4 представлены результаты квазистатического расчёта предложенными методами эффективной диэлектрической проницаемости и волнового сопротивления микрополосковой линии с шириной w металлической полоски, расположенной на металлизированной с противоположной стороны подложке с толщиной к и шириной 5 при ет = 9 . В расчётах использовалась функция Грина, определяемая соотношением (10). Результаты приведенных расчетов полностью совпадают с [4].
Использование предложенных методов, составляющих основу квазистатического анализа, обеспечит существенное повышение эффективности процесса проектирования интегральных схем СВЧ благодаря практически полному отсутствию ограничений на физико-
160
120
80
40
Wfli=0,2
0,4
1
2
5
1 2 3 4 5 s/W
6)
Рисунок 4 - Эффективная диэлектрическая проницаемость а) и волновое сопротивление 6) микрополосковой линии при £r =9
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Проектирование интегральных устройств СВЧ: Справочник / Ю.Г. Ефремов, В.В.Конин, Б. Д. Солганик и др. - К. Тэхника, 1990. - 159 с.
2. Миролюбов H.H. и др. Методы расчета электростатических полей. - М.: Высшая школа, 1963. - 415 с.
3. Карпуков Л. М. Построение и анализ декомпозиционных моделей микрополосковых структур // Радиоэлектроника. -1984. - Т. 27. - №9. - С. 32 - 36. (Изв. высш. учеб. заведений).
4. Smith C.E., Chang R.S. Microstrip transmission line with finite-width dielectric. // IEEE Trans., 1980.- MTT-28, №2. -P.90-94.
5. Карпуков Л. М. Символьный анализ устройств СВЧ // Радиоэлектроника. - 1982. - Т. 25. - №6. - С. 85 - 87. (Изв. высш. учеб. заведений).
6. Карпуков Л. М. Символьный анализ устройств СВЧ методом подсхем // Электронное моделирование. - 1984. - Т. 6. -№3. - С. 81 - 84.
7. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. Пер.с англ./ Под ред. И.В.Коновальцева.- М.: Мир, 1975. -558с.
Надшшла 30.08.99
к
