Моделирование многослойных микрополосковых структур в квазидинамическом приближении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.372:004.942

Л.М. Карпуков, Р.Д. Пулов, С.Н. Романенко

МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОСЛОЙНЫХ МИКР0П0Л0СК0ВЫХ СТРУКТУР В КВАЗИДИНАМИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Предложен метод составления декомпозиционных схем многослойных плоскослоистых структур при расчете в квазидинамическом приближении функций Грина краевых задач электростатики. Разработан метод аналитического решения дисперсионного уравнения для вычисления динамической поправки к квазистатическим значениям эффективной диэлектрической проницаемости микрополосковых линий. Представлены результаты моделирования дисперсии в двухслойных конструкциях микрополосковых линий.

ВВЕДЕНИЕ

Основой инженерного проектирования микрополос-ковых устройств СВЧ являются квазистатические модели микрополосковых передающих линий [1]. Необходимость повышения качества проектных работ на этапе многовариантного анализа при синтезе структур проектируемых микрополосковых устройств требует привлечения более строгих электродинамических моделей и методов с возможностью анализа дисперсионных характеристик микрополосковых линий. Однако в строгой электродинамической постановке решение задачи моделирования отличается высокой трудоемкостью и повышенными требованиями к вычислительным ресурсам. Сложность и трудоемкость задач электродинамического моделирования еще более возрастают при разработке многослойных конструкций микрополосковых устройств.

Повысить достоверность результатов квазистатического моделирования при незначительном увеличении объема вычислений можно путем введения динамических поправок к вычисляемым на нулевой частоте значениям эффективной диэлектрической проницаемости исследуемых конструкций микрополосковых линий.

Эффективным способом нахождения динамических поправок является составление и решение дисперсионного уравнения микрополосковой линии в квазидинамическом приближении [2, 3, 4]. Квазидинамическое моделирование микрополосковых линий, реализуемых на однослойной подложке, проведено в [4, 5], где получены простые аналитические соотношения, обеспечивающие расчет эффективной диэлектрической проницаемости в широком диапазоне частот. Целью настоящей работы является обобщение методики квазидинамического моделирования, разработанной в [4, 5] для однослойной подложки, и ее использование для разработки дисперсионных моделей многослойных конструкций микрополосковых линий.

МЕТОДИКА КВАЗИДИНАМИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ СТРУКТУР

На рис. 1 приведена многослойная структура подложки микрополосковой линии. Структура состоит из п диэлектрических слоев с различными толщинами ^ и относительными диэлектрическими проницаемостями Вдоль осей х, у слои имеют бесконечные размеры. Сверху и снизу структура может быть ограничена металлическими экранами. Проводники микрополосковых линий, шириной щ, располагаются на границах раздела диэлектрических сред.

Рисунок 1 - Структура поперечного сечения п-слойной подложки

Для упрощения анализа пренебрежем поперечной составляющей поверхностной плотности тока на микро-полосковой линии. Продольную составляющую тока представим в виде

Зх (х, у) = Г (у) е-*хх,

(1)

где кх = к0^еэф - постоянная распространения волны вдоль продольной оси линии, к0 - волновое число свободного пространства, еэф - эффективная диэлектрическая проницаемость линии.

Приняв распределение /(у) равномерным, составим дисперсионное уравнение линии:

| ёу|г^х(Уо)(1у0 = °

(2)

где г« =- )0СХХ +-

- !кх

]®Ц0£0£г

■и г дОгх

ск

Здесь Охх, Огх - компоненты тензорной функции Грина слоистой структуры.

Л.М. Карпуков, Р.Д. Пулов, С.Н. Романенко: МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОСЛОЙНЫХ МИКРОПОЛОСКОВЫХ СТРУКТУР В КВАЗИДИНАМИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Зависимости для компонент тензора Грина могут быть получены по их спектральным представлениям [5]. Для этого выразим в спектральной области функцию д02х/Э2 через вспомогательную функцию Оух [6]:

д° ах да

.- !кх

^ - к2 дх да 2г

(3)

№ + к2 , кг

= -у/а

где а = у кх , ку

С учетом (3) спектральная функция поверхностного импеданса из (1) приобретет следующий вид:

2 хх 1 +

(- 1кх )2

}ЮЦо£0£г

,.2 ^

А + 1 д°ух

&гх +---

72 да

Поэтому функция (4) существенно упрощается:

2 хх = 1 ®&хх +

(1кх )2 ^ дЬх

]^к>£о£г кг дг

. Ч к*г+1

каг + 4+1

'0,

к21/ £г к21+1/ £г +1 4/ £г + кг,+1/ £г+1

. £г+1 -£г £+1 + £г

Здесь Гу - коэффициент отражения для электростатического потенциала.

е-кЛ+

е-кЛ

£0 2

Гх,

а)

б)

Рисунок 2 — Ориентированные графы для функций Охх (а), и дв„/да (б)

На рис. 2 приведены графы, эквивалентные рассматриваемой многослойной структуре, моделирующие в квазидинамическом приближении составляющие функции поверхностного импеданса при расположении точечного источника тока на границе раздела г-й г+1-й сред. Символами ГТ., Гг. и Гт , г, на рисунке обозначены коэффициенты отражений, эквивалентные слоям, прилегающим к г+1-му слою.

Используя передаточные функции графов, получим

2 хх = -

Кхх + ( !кх) Кух 2кг у®£о£+1 2кг

(4)

Здесь

В квазидинамическом приближении принимается [2, 3, 4]:

а~ к2 , г = 0,1,2,...п. (5)

К ГГ =

Кух =

1+ ГТ +ГТмв~2кЛ+1 +Гт.гтме-2кгки 1 - ^е"2^+1

1 -Гг -Г2 ,е~2как'+1 + Г2 Г2 ,е~2ка^

2г 2г+1_2г 2г+1_

1 -Гг Г2 е~2какг+1

2 г 2 г+1

(9)

(10)

(11)

(6)

На основании приближения (7) коэффициенты отражения в (10) будут иметь следующий вид:

Для нахождения компонент Охх, Оух воспользуемся декомпозиционными схемами многослойной структуры, которые представим ориентированными графами, моделирующими распределения касательной Ат и нормальной Аг составляющих векторного электродинамического потенциала, возбуждаемых касательной составляющей тока [6, 7]. При построении схем коэффициенты отражения от разделов сред определим для полей Ат, Аг в соответствии с приближением (5):

Г =Г е~2ка ( +й2 т Т1

ГТ+1 = Тт„+1е

-2ка(+2 +кг+3 + '+кп

(12)

где Гт, ГТп+1 равны нулю для свободного пространства, или минус единице - для металлического экрана.

г

1 №

Б1; Б1,

(7)

(8)

а ) б )

Рисунок 3 — Примеры двухслойных структур

Нахождение коэффициентов отражения в (11) может быть выполнено с помощью метода, разработанного для расчета в численно-символьном виде функций Грина многослойных диэлектрических сред [8]. Например, для двухслойной структуры на рис. 3, ограниченной снизу металлическим экраном, эквивалентные коэффициенты отражения будут составлены в следующем виде:

г =

- г2 + г2 г2 г2 е

-2к2к1

¿2 ^з

. 2 е 2 2 +Г2 е 21

-2к2 (к1+к2

1 - г, г2 е 2 1 + г2 г2 е 2 2

-ГаГ, е'

-2к2 (к1+Н1

Г,_ = о

для структуры на рис. 3, а;

-Г,2 + у

\ (13)

-2кМ

Г"2 ~1 -Г, Г2 е~2как1

21 22

Г =Г

(14)

- для структуры на рис. 3, б.

а

1

2

а

г

Здесь Ггз = , Гг2 = 3^, гг1 = 1. 3 1 + £2 2 «2 + £ 1

На основании (9)-(14) функции поверхностного импеданса двухслойной структуры запишутся в спектральной области следующим образом:

г т Г1 - е"2кг ( + й2 ) +

хх2 2к7 У )

1 + Г„ )Х

]Ш£о£22кг 22

1 - е~2кА -Г е~2к2й2 +Г е~2кг (й1+й2 ) ^ 23

23

т- -2к-1ъ ^ -2к2й2 т- -2к2 (( +й2 ) (15)

1 -Г22 е 2 1 + Г22 Г23 е 2 2 -Г23 е ^ 1

- при расположении точечного источника тока в сечении 2 = й;

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ДИСПЕРСИОННОГО

УРАВНЕНИЯ И ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Представим функцию Ханкеля первыми членами разложения в ряд [9]:

н 02)(х) = 1 - ]2П ■ [с + 1п(х/ 2)+х2Д (19)

где с - постоянная Эйлера.

Используя (21) и (17), (18), выполним интегрирование в соответствии с формулой (2). В результате получим искомые выражения для частотной зависимости эффективной диэлектрической проницаемости £эф (ет)=к^/кд, представленные в виде динамической поправки к ее значению £эф0 на нулевой частоте:

г - е-2к2 (й1 +й2 ) +( + г )Х

ХХ2 2к2 У. ) ]Ш£2к2 1 23'

1 -Г е~2к2й1 +Г е~2к2й2 - е 2к 2 (й1 +й2 )

Х 1 22 е__е_(___(16)

1 -Г е"2к2Й1 +Г Г е~2к 2к2 -Г е~2к 2 ((+Й2 )

2£

■эф0,

г2 г3

23

+~Г--- ^ ^ У0),

4Ш£0 £1 +£2 1

гхх2 (у,У0^н02)(?Т0)-н02)(( +2„2 )]■ +

+-Ь.--К (У, У0).

4Ш£00 1 + £2

где £эф01

, В0,и1+и2 1--

40,и1

С1 ' ф02 с

1 В0,«1+«2 ^ , 4 Ц А

1 —с—I + 4 С « +"2

-, С = й (а0,п ), А = й (в0,п),

- при расположении точечного источника тока в сечении 2 = ^ + Й2 .

По этим спектральным представлениям составим по методу, изложенному в [8], оригиналы искомых функций:

гхх, (у, У0 )===^[н 02)и)-н02)(2П1)_

= К - г

т+р,т+д 2 \гт+ р гm+q

)+ ^02щ2 (х2 х2 Г . Цт

хт+р Xm+q

в - к0щ2 ( 2 -m+p,m+q . уСт+р ^m+q

(17)

гг = (Щ + X2 )1п (щ + Хг2)- Хг21п ^)- Зщ2 - 4Хг щ ■ arctg (1хг) -

1п(щ2 + Х?) 1п(), Хг = 2гй .

Коэффициенты С1, определяются по рекуррентным формулам в соответствии с (19), (20):

(18)

Здесь у=^ к02 - к2 , Гт =^(у - У0 )2 + (2тй)2, н02) - функция Ханкеля.

Функции Кух вычисляются по рекуррентным формулам [8]:

М = \н 02)(?Гт )-н02)(Гт+2П1 )"Г3н02)(т+2«2 )+

+ Г23н02)(?гт+ 2П1+ 2п2 )]] + Г2КУХ! («1й + тй)-

-Г2 Г3 КУх1 (2й2Й + тк)+Г2 3 КУх1 (й + 2«2Й + тй), Кух2 М = [н02)(?гт)-Г2н02)(гт+2П1 )+Г2н02^(]Тт+ 2п2 )"

-н02)(?гт+ 2п1 +2П2 )]] + Г2Кух2 (1й + тй)--Г2Г3КУх2 (2й2Й + тй)+Гг3КУх2 (2й1Й + 2й2Й + тй), п1 = ^/й , «2 = й^/й , т = ...3, 2, 1,0.

) , (,Ат,т+П1 +«2 Гг2 Ат+«1,т+ «2 )+ Гг2 ^(^т+щ )

£2 +1

-Гг2 Гг3 й(/т+«2) + Гг3 /т+«1 +«2),

Ф2 ((т )= ((т,т+ «^ _ Гг3Ат+ «2,т+«1 +«2 )+ Гг2 fm+ «1 ) -

£1 +£2

-Гг2 Гг3 й2 (fm+ «2 ) + Гг3 й2 (/т+«1 +«2 ).

На рис. 4, 5 представлены примеры расчета дисперсии эффективной диэлектрической проницаемости основного типа волны в двухслойных конструкциях мик-рополосковых линий.

Рисунок 4 — Дисперсия £эф для структуры на рис. 3, а с параметрами: ^ = 1 мм, £1 = 2, 1, £2 = 12,95, т = 1 мм; кривая 1 - ^ = 0,2, 2 - = 0, 1,

3 -н2/н1 = 0

к

£эф,

0,« + «

1 1 "2

B.M. OnyôpieHKO, Т.О. Штефан: 1НТЕГРОДИФЕРЕНЦ1АЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛ1Н1ЙН01' ПОЛЯРИЗАЦП ТА СТРУМУ У ФРАКТАЛЬНО НЕ0ДН0Р1ДНИХ ПЛАЗМОЩАХ

1

2

3

О 4 S 12 16 F. ГГц

Рисунок 5 - Дисперсия £эф для структуры на рис. 3, б с параметрами: hi = 0.2 мм, h2 = 0.003 мм, =12.95, е2 = 3.5; кривая 1 - w = 0.32 мм;

2 - w = 0.08 мм; 3 - w = 0.01 мм

Точками на рисунках отмечены данные, полученные строгим электродинамическим расчетом методом моментов [10, 11].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработана методика составления функций Грина многослойных структур подложек микрополосковых линий в квазидинамическом приближении. Проведен анализ микрополосковых линий на двухслойной подложке и получены простые аналитические формулы для расчета дисперсии. Представленные результаты расчетов дисперсии достаточно хорошо согласуются с данными численных расчетов по строгим электродинамическим методикам. Повысить точность моделирования можно путем уточнения величины £эфо, входящей в формулы для дисперсии, в результате более строгого решения краевых задач электростатики, формулируемых для исследуемых структур.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Проектирование интегральных устройств СВЧ: Справочник / Ю.Г. Ефремов, В.В. Конин, Б.Д. Солганик и др. - К.: Техшка, 1990. - 159 с.

2. Das N.K. Pozar D.M. A generalized spectral-domain Green's function for multilayer Dielectric substrates with application

to multilayer transmission lines // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. - 1987. - Vol. 35. - № 3. - P. 326-335.

3. Arabi T.R., Murphy A.T., Sarkar T.K., Harrington R.F., Djord-jevic A.R. Analysis of arbitrarily oriented microstip lines a quasi-dynamic approach // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. - 1991. - Vol. 39. - № 1. - P. 75-82.

4. Карпуков A.M., Романенко С.Н. Упрощенный расчет дисперсии в микрополосковой линии // Радиотехника. -1991. - №5. - С. 97-98.

5. Карпуков A.M., Романенко С.Н., Пулов Р.Д. Анал1тичний розрахунок дисперсп у багатопров1дних мтросмужкових лш1ях на основ! кваз1динам1чного наближення // Вюник Нацюнального ушверситету "Льв1вська пол1техшка". Радюелектрошка та телекомушкаци. - Льв1в: Вид-во Нацюн. ушверситету "Льв1вська пол1техшка". - 2002. -№440. - С. 212-219.

6. Карпуков A.M. Алгоритм расчета тензоров Грина для полосково-щелевых структур в слоистой среде // Радюелектрошка. ¡нформатика. Управлшня. - 1999. -№1. - С. 11-15.

7. Карпуков A.M., Пиза Д.М. Метод составления функций Грина для моделирования микрополосковых конструкций // Радюелектрошка. ¡нформатика. Управлшня. - 2002. -№2. - С. 20-25.

8. Карпуков A.M. Алгоритм моделирования функций Грина многослойных диэлектрических структур // Радюелектрошка. ¡нформатика. Управлшня. - 2001. -№1. - С. 87-89.

9. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Наука, 1971. - 1100 с.

10. Verma A.K., Hassani Sadr G. Unified Dispersion Model for Multilayer Microstrip Line. // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. - 1992. - Vol. 40. - № 7. - P. 1587 - 1592.

11. Jackson D.R., Alexopulos N.G. Analysis of Planar Strip Geometries in a Substrate-Superstrate Configurations. // IEEE Trans. on Antennas and Propag. - 1986. - Vol. 18. -№ 6. - P. 1430-1438.

Надшшла 16.04.2004 Шсля доробки 05.10.2004

Запропоновано метод складання декомпозгцийних схем багатошарових плоскошаруватих структур при розрахунку у квазгдинамгчному наближеннг функцгй Грина крайових задач електростатики. Розроблено метод анал1тичного ргшення дисперсшного ргвняння для обчислення динамгчног поправки до кваз1статичних значень ефективноЧ д1елек-тричноЧ проникностг мгкросмужкових лгнгй. Наведено ре-зультати моделювання дисперсИ у двошарових конструк-цгях мгкросмужкових лгтй.

Method of compiling of multilayered structures decomposition schemes at calculation in quasi-dynamic approach of Green's functions for electrostatic boundary problems is proposed. Method of analytical solution of dispersion equation for calculation of dynamical correction to quasi-static value of effective dielectric permittivity of microstrip lines is developed. Results of dispersion modeling in two-layer constructions of microstrip lines are presented.

УДК 537.876.23

В.М. Онуфр1енко, Т.О. Штефан

1НТЕГР0ДИФЕРЕНЦ1АЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛ1Н1ЙН01 ПОЛЯРИЗАЦИ ТА СТРУМУ У ФРАКТАЛЬНО НЕ0ДН0Р1ДНИХ

ПЛАЗМ01ДАХ

Пропонуеться модель нелiнiйно'i поляризаци та струму заповнення областi речовиною (плазмою), але у термiнах

в фрактально неоднорiдних плазмоЧдах (неоднорiдного а-характеристик радiус-вектора положення для однорiдно'i

фрактального заповнення деякоЧ областi згустками неодно- множини. Виявленно вплив негомогенноЧ структури плаз-

рiдно'i плазми). За допомогою iнтегродиференцiального чис- моЧда на величину дiелектричноi проникностi та можли-

лення задача зводиться до класичного розгляду однорiдного вiсть керування нею.