CC BY
19УДК 536.2.001.24
О новом подходе в методе функций Грина при решении краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа
© Э.М. Карташов
Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова, Москва, 119571, Россия
Описан новый подход в методе функций Грина при решении краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа на плоскости. В основе метода лежит построение «усеченной» функции Грина, что является достаточным для записи аналитического решения задачи.
Ключевые слова: уравнение Лапласа на плоскости, задачи Дирихле и Неймана, функция Грина, интегральные записи аналитических решений.
Введение. Уравнения эллиптического типа, к которому относится уравнение Лапласа, играют важную роль в приложениях. К ним приводят задачи о потенциальном движении несжимаемой жидкости, потенциале электростатического поля, стационарных тепловых и диффузионных процессах, потенциальном поле тяготения, а также задачи аэромеханики, теории упругости, электромагнетизма, дифракции и др.
Для линейных эллиптических уравнений второго порядка и, в частности, для уравнения Лапласа задачи Дирихле и Неймана являются основными краевыми задачами. Они детально разобраны в многочисленных руководствах по математической физике, в монографиях по теории ньютоновского потенциала, публикациях, касающихся применения соответствующих интегральных соотношений к изучению конкретных физических процессов. Для нахождения точных решений указанных задач существуют различные аналитические подходы, в основе которых лежат: теория потенциала и метод интегральных уравнений, метод отражения, метод конформных отображений, метод разделения переменных, метод интегральных преобразований, основанный на теории спектральных задач, метод разложения искомого решения в соответствующие ряды, функции единичных источников и диполей [1-5]. И как это ни странно, но в столь, казалось, завершенной области математической физики еще остались «математические резервы» для переосмысления основ некоторых развитых аналитических подходов, в частности, метода функций Грина при решении краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа на плоскости. Следствием последнего является существенное сокращение технических трудностей, связанных с нахождением
точных аналитических решений классических краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа. Последнее касается ряда областей, наиболее часто встречающихся в практических приложениях: бесконечная или полубесконечная полоса, полуплоскость или ее четверть, прямоугольник, круг или его внешность, части круга, кольцо, области в параболической, эллиптической и биполярной системах координат. Следует подчеркнуть, что двумерные задачи Дирихле и Неймана могут быть точно решены только для сравнительно простых областей [6]. Полученные в настоящей статье результаты позволяют предвидеть интересные перспективы в дальнейшем развитии аналитической теории краевых задач для уравнений эллиптического типа.
Постановка задачи. Пусть Б - конечная или частично ограниченная выпуклая область изменения М(х, у); Г - кусочно-гладкий контур, ограничивающий область Б; п - внешняя нормаль к Г, вектор, непрерывно меняющийся на Г. В области Б ищется гармоническая функция Т(х,у)е С2 (Б)пС0 (Б), §гаёЫ Т(Ы)е С0 (Б)х
х(( = Б + Г), удовлетворяющая уравнению Лапласа внутри Б
д 2Т дх 2
д 2Т ду 2
= 0, (х, у)е Б,
(1)
а на границе Г граничным условиям вида (задача Дирихле)
Т ( У) (х, у К = ^(3 У)
& у )еГ
(2)
либо (задача Неймана)
дТ (х, у )
дп
(х, у К = у )
(x,у)еГ .
(3)
Задача Дирихле (1) - (2) везде имеет решение при некоторых весьма общих предположениях относительно Г и х, у). Это решение имеет вид [3]
т ( у >="2; |
, г,дО (x, у, x', у') У(х, у)---
дП
сИ',
(4)
(х \ у' )еГ
если известна функция Грина G ( х, у, х' , у') .
Для задачи Неймана (1), (3) функция х, у) на кривой Г не может быть задана произвольно. Условием существования задачи Неймана является выполнение равенства
И*', У')
(х\у')еГ'
dl' = 0 .
Г
если D - замкнутая ограниченная область с кусочно-гладкой границей Г, или если рассматриваемая бесконечная область имеет конечную границу.
При этом очевидно, что вместе с любым решением T(х, y) решением будет также T (х, y) + const. Можно доказать, что других решений задача Неймана не имеет, т. е. разность двух любых решений задачи Неймана постоянна. Это означает, что решение задачи Неймана единственно с точностью до аддитивной постоянной и может быть представлено в виде
T (х, У )-i iW*, У' )G (х, У, х', У ' Я
(*', у' )г
dl ' + const. (5)
Согласно теории краевых задач, для уравнения (1) входящая в (4), (5) функция Грина О (х, у, х', у') находится с использованием фундаментального решения q (х, у, х', у') = 1п (1/г ), г = ^(х - х')2 +(у - у')2 для уравнения (1) и записывается в виде
О (х, у, х' , у') = Ж ( х, у, х' , у') - q ( х, у, х' , у'),
где W (х, у, х' , y') удовлетворяет условиям
AMW = 0, (х,y) е D,
w ( y, < у') (х,y)еГ = q ( ^ < У ')
в случае задачи Дирихле и
AmW = 0, (х,y) е D,
(x, У )еГ
(6) (7)
5W (х, у, х', y')
дп
(х, У )еГ
dq ( х, у, х', y')
дп
(х , )еГ
в случае задачи Неймана.
Всякий случай нахождения функции Грина соответствующей краевой задачи для той или иной области Б весьма важен, так как содержит обширную информацию, позволяя выписать большое число аналитических решений в виде интегральных соотношений (4), (5) в зависимости от неоднородностей (2), (3). В то же время указанная процедура составляет основную трудность при решении задач Дирихле и Неймана, и в явном виде функция Грина известна только для небольшого числа простых областей.
Но и в этих случаях нахождение функции Грина связано с серьезными техническими (вычислительными) трудностями, однако в ряде случаев их можно избежать, если рассматривать следующий подход построения аналитических решений указанных задач в виде интегральных соотношений типа (4), (5).
Имея в виду задачи (1), (2) и (1), (3), определим функцию Грина О (х, у, х' , у' ) несколько иначе - как решение уравнения
+ = "5(х " х')(у - у'), [(х, у), (х', у ' )]е Б (8)
с граничными условиями в случае задачи Дирихле
О (х, у, х' , у ') дО ( х, у, х', у ')
(х у )еГ
= 0,
дп
^ у )е,Г
= 0
(9) (10)
в случае задачи Неймана.
Применим вторую формулу Грина к функциям О (Ы, Р), где
Р = Р(х' , у' ) и к искомому решению Т(Ы) :
Ц[О (Ы, Р) ДТ (Ы)- Т (Ы) АО (Ы, Р)]
а ы =
Б
О (Ы, Р - Т (Ы )°Ы£
дп
дп
(11)
<Иы .
Ы еГ
Учитывая теперь (1), (8), (9), (10), а также свойство симметрии формулы Грина О (Ы, Р) = О (Р, Ы ), найдем следующие интеграль-
ные соотношения:
для задачи Дирихле
(12)
и для задачи Неймана
(13)
В интегральных выражениях (12), (13) важно иметь в виду направление нормали при записи нормальной производной в конкретной системе координат, если учесть что в литературе по математической физике существуют разночтения в знаках в приведенных аналитических решениях задач Дирихле и Неймана. Дальнейшее упрощение процедуры нахождения аналитических решений в виде интегральных соотношений (12) и (13) заключается в том, что в (12) и (13) нет необходимости искать полное выражение для функции Грина G (х, у, х', у') путем решения задач (8), (9) или (8), (10). Действительно, введем новую функцию G (х, у, х ') как решение в случае задачи Дирихле
^ (х y, х ') (х, у >г = §(х -х ');
в случае задачи Неймана
(14)
Применим формулу Грина (11) к функциям G (х, у, u, у') и G (, у, х') , удовлетворяющим следующим условиям:
д2О д2О
+ —- = -5(х - и)8(у - у')
ди2 ду'2
О (х, у, и, у ')
(и, у' )еГ = 0,
(15)
(16)
либо
дО ( х, у, и, у ')
дп
(и, у' )еГ = 0,
д2 О* д 2О* п
•+ -7- = 0.
ди ду
2
О (u, у' , х ') (и,у')еГ =§(и -х ')■-
(17)
(18) (19)
либо
дО* (и, у' , х ')
дп
(и, у' )еГ
= 5 (и -х' ).
(20)
Имеем
Л [О (х, у, и, у ') ДО* (и, у' , х ') - О* (и, у', х ') ДО (х, у, и, у ') йийу' -
Б
г О АдО* (и у', х') О* ( ' '\дО ( у, и, у') =] О(х,у,и,у )—^—-О (и,у ,х —
Г
сВ„
(и, у' )еГ
где р = р (и, у ').
Учитывая (15) - (20), приходим к основному результату: в случае задачи Дирихле
О* (х, у, х ' ) = -
дО ( х, у, х ', у ')
дп
(х', у' )еГ
(21)
в случае задачи Неймана
О* (х, у, х ' ) = О (х, у, х', у ')
(x',у')еГ .
Таким образом, интегральные представления аналитических решений краевых задач Дирихле (1), (2) и Неймана (1), (3) теперь могут быть записаны в виде: задача Дирихле
Т (х, у ) = {[Т (х', у' (х, у, х')
Г
(х', у' )еГ
¿7 '.
задача Неймана
т (x, у ) = /
Г
дТ ( х', у')
дп'
О* (х, у, х ')
07'.
(х', у ')еГ
(22)
(23)
Построение функции О (х, у, х ') значительно проще по сравнению с процедурой нахождения полного выражения для функции Грина О (х, у, х' , у') .
Рассмотрим ряд иллюстративных примеров для классических областей, описанных в литературе по математической физике.
Пусть V - полуплоскость у > 0, на границе у = 0 задано условие (задача Дирихле)
Т(ху) у=0 =^(х), Iх <а).
(24)
Функция Грина для полуплоскости у > 0 найдем, предварительного решив задачи (7) - (8), и получим [4]
О (х, у, х', у' ) = 1п (1/ Г )- 1п (V Г* ),
■ ^(х - х' )2 + (у - у ' )2 , Г* = ^(х - х' )2 +(у + у ' )2 .
(25)
где г = •
Выражение (25) находим методом отражения. Интеграл (4) и выражение (25) дают решение указанной задачи в виде интеграла Пуассона для полуплоскости:
Т (х, у ) = */
у 7 х ')
-1(х - х ' )2 + у 2
а'х'.
(26)
Не менее громоздка процедура построения функции Грина О (х, у, х' , у') , если исходить из определения (8), (9):
d2G d2G
ex2 ду2
= -5(x - x')5( - у'), XI , У > 0;
g (x, у, x', у')у=о = о, IX <да; \G(x,у,x',у')|<+да, у > 0, XI .
(27)
(28) (29)
Рассмотрим задачу (27), (28). В пространстве изображений синус-
да
преобразования Фурье G (x, Е, x', у') = (2/к)) G (x, у, x', у') sin Ьуйу
о
решение преобразованного уравнения (27) запишем в виде G (x, Е, x', у') = C1 exp (x) + C2 exp (-Ex ) + (i/V2tcE) sin Еу'х
да x
exp (Ex) | exp (-Ea) 5 (a - x')da + exp (—x) J exp (Ea) 5 (a - x')da
Далее, учитывая условие ограниченности решения в бесконечно удаленных точках (29), найдем функцию
G (x, Е, x', у') =
((V2K^)sin Еу' exp [-E(x - x')], x'< x, (VV2K^)sin Еу' exp [4(x'- x )], x'
> x.
Искомый оригинал (по формуле обращения) имеет вид
^(x - x')2 +(у + у')2
G (x, у, x', у') = (1/2к)1п
yj(x - x')2 + (у - у')2 '
(30)
Искомое решение Т(х, у) задачи (1), (24) по формуле (12), записанной для данной области в виде
dx',
у'=о
совпадает с интегралом Пуассона (26).
Теперь рассмотрим нахождение функции О (х, у, х ') как решение задачи
д2О* д2О*
дх2 ду2
= 0, х , у > 0;
(31)
О* (х,у,х ')|у=0 =5(х-х '), |х| ; (32)
О* (х, у, х' ) , у > 0, |х| . (33)
В пространстве экспоненциального преобразования Фурье
_
О* (, у, х') = 1/2к | ехр (¡Ъх)О* (х, у, х ')х решение преобразованного
-да
уравнения (31) с учетом граничных условий (32), (33) имеет вид О* (Ъ, у, х' ) = (1Д/2тс)ехр (¡Ъх' -|Ъ| у) . Искомый оригинал находим по формуле обращения:
О*(х,у,х') = (1/2к) | ехр(-¡Ъх-Щу)
у
к
(х - х ' )2 + у2
. (34)
Равенство (21), записанное для данной области в виде О (х, у, х' ) = дО (х, у, х' , у ')
ду'
проверяется непосредственно выражениями
у'=0
(30), (34). Искомое решение Т (х, у) задачи (1), (24) имеет вид (24): Т (х, у ) = |у(х')О* (х, у, х ' )ах '
и дает интеграл Пуассона (26).
Рассмотрим далее задачу Дирихле для круга:
д2Т (г, Ф) 1 дТ (г, Ф) 1 д2Т (г, ф) =
дг2
г дг
2 я 2
г дф
= 0, 0 <г <Я, 0 <ф< 2к; (35)
т(г, ф)г=я =у(ф) , 0 < ф< 2к; |Т (г, ф)<+да , 0 < г < Я, 0 < ф< 2к .
(36)
(37)
В математической физике эта задача считается классической и стандартной, хотя ее решение связано с длительными вычислениями. Согласно теории функции Грина О ( г, ф, г' , ф ' ) = Ж ( г, ф, г', ф ' )-
-4(г,ф,г',ф'), где q(г,ф,г',ф') = 1п(1/р) , р=^г2 + г'2-2гг'соБ(ф-ф '), а Ж (г, ф, г' , ф ') является решением задачи (6), (7), записанной для круга в полярной системе координат, находим с использованием сопряженности точек относительно окружности [4]:
О (г, ф, г' , ф ' ) = 1п
( Я/г')
^г 2 + (яV г '2 ) - 2г (я2/г ') СОБ (ф- ф ')
(38)
- 1п
г2 + г'2 - 2гг ' СОБ (ф-ф ')
Интегральное выражение (4), записанное для области, указанной в (35), имеет вид
Т( ) Я 2? ( „дО (г, ф, гф')
< ф'
г'=К
и с учетом (38) дает решение задачи (35) - (37) в виде интеграла Пуассона для круга
1 2л
т (г% ф)=' )
я 2 - г2
Я2 + г2 -2ЯгСОБ(ф-ф ' )
< ф '. (39)
Решение задачи (35) - (37) можно записать и в виде интегрального соотношения (12)
2л
т(г,ф) = -1 у(ф')
Я
дО ( г, ф, г' , ф ' )
дг
< ф',
г '=Я
(40)
если исходить из определения функции Грина (8), (9), то
д2О 1 дО 1 д2О
—Т +--+ Т—9"
дг2 г дг г2 дф2
0 < г < Я, 0 < ф < 2л;
= -—5(г - г')5(ф-ф' ),
(41)
1
О (г, ф, Г' , ф ' ))=Я = 0, (ф, ф ' )е[0,2я);
(42)
|о(г,ф,г' ,ф ' ))<+да, г г > 0, 0 <ф<2к.
(43)
Однако полное выражение для функции Грина О (г, ф, г ' , ф ' ) как
решение задачи (41) - (43) можно не находить, так как согласно развиваемой в статье теории в виде (21) под знаком интеграла (40)
дО (г, ф, г ' , ф ')
дг '
= О* (г, ф, ф ' )
(44)
г '=Я
где О (г, ф, ф ' ) является решением задачи
= 0, 0 < г <Я, 0 < ф< 2к;
ОН« и« он«
д2О 1 дО 1 д2О
дг2 г дг г2 дф2
(45)
О* (г , ф, ф' ))=я = -Я 5(ф-ф ' ), (ф, ф ' )е[0,2я); (46)
О* (г, ф, ф ' ) < , г > 0, 0 < ф< 2л.
(47)
Эта задача интересна тем, что для ее решения можно применить теорию сопряженных гармонических функций - достаточно редкий подход в аналитической теории теплопроводности твердых тел для случаев установившихся температур. Предлагаемые ниже преобразования основаны на следующих соображениях.
Пусть Ъ = Ъ(х,у) и л = л(х,у) - действительные функции х и у, причем такие, что
Тогда
откуда
Ъ + 'Л = / ( х + /у ) = / ( ^ ) .
+ 3 = /'(г); + 3 = ГЫ.
ох ох ду ду
дЪ = оЛ , д^ = дЪ дх ду дх ду
(48)
Отсюда следует, что кривые £ = const и л = const ортогональны. В задаче (45) - (47) запишем уравнение (47) в декартовой системе координат, а граничные условия оставим без изменения:
aG aG
ax2 ay2
0, 0 <Vx2 + y2 < R;
G* (r, ф, Ф ' ))=r = R5(ф-ф ' ), (ф, ф ') e [0,2л);
(49)
(50)
G* (r, ф, ф ' ) < , 0 < r < R, 0 < ф< 2л. Введем преобразование
£ + /л = -/' ln [(x + iy)/R] ,
(51)
а вместо функции G (x, y, x ') тождественно равную ей: W (£, Л, £' ) = G* (x, y, x') . Так как x + iy = r exp (/ф), то
£ = ф, Л = ln( Rr )
(52)
и область 0 < г < Я , 0 <ф< 2л перейдет в область л ^ 0, 0 <£< 2л. Используя (48), можно показать, что функция Ж (£, л, £ ' ) также удовлетворяет уравнению Лапласа, и задача (49) - (51) теперь будет иметь вид
a2w a2w
а£2 ал2
= 0, л > 0, 0 <£<2л;
(53)
W ( Л, £ ' )л=0 = R8(£-£ ' ), (£ ^ ' ) e [0,2л); (54)
W (£, л, £') = W (£ + 2л, л, £'), Л > 0, £'е[0,2л); (55)
W (£, л, £')|<+да, л - 0, 0 <£<2л.
(56)
Задача (53) - (56) может быть решена методом разделения переменных [6], что дает в конечном счете
W л, 5') = -i--^^
2лЛ 1 - 2exp (-л) cos ( - ' ) + exp (-2л) '
Возвращаясь к старым переменным (52), находим искомую функцию
G* ( ' ) 1 R 2 -r 2 (57)
G (r,ф,ф ) =--2-2---- (57)
2xR R2 + r2 - 2 Rr cos (ф-ф')
вместе с этим на основании (40), (44), (57) и искомое решение задачи (35) - (37) в виде интеграла Пуассона (47) для круга.
Аналогично можно записать ограниченное решение внешней задачи (при r > R) для уравнения (35) в виде
1 2" r2 - R2
Г (r, ф) = - | vmr 2 + r 2 - 2Rr cos (ф-ф') dф' ■
Так же могут быть рассмотрены задачи Неймана для полуплоскости и круга.
Ограничимся краткой справкой.
Для полуплоскости , y > 0 функция Т (x, y) удовлетворяет
уравнению (1) и согласно (3) граничному условию
дТ (x, y )
dy
y=0 = -v(x), .
Функция О (х, у, х ') удовлетворяет уравнению (14), граничному условию
дО* (х ^х ') , ' . у ' ---|у=0 = -5(х - х ), |(x, х )|<<»
и имеет вид
О* (х, у, х ') = - (1/ к) (х -х ' )2 +у2 = О (х, у, х ', у '))=0 =
= {- (1/2 я) [in^/ (x - x ' )2 + (y - y ' )2 +ln^/ (x - x ' )2 +(y + y ' )2 Искомое решение
y=0
.-
T(x, y) = — (1/л) J y(x')ln^/(x -x ')2 +y2dx' +
const.
Для круга 0 < г < Я, 0 <ф<2л функция Т (г, ф) удовлетворяет уравнению (35) и граничному условию
дТ (г, ф)
dr
= у(ф), 0 <ф<2л.
r=R
Функция О (г, ф, ф ' ) удовлетворяет уравнению (45) и граничному условию
QG* (r, ф, ф ' )
dr
= r 8(ф — ф').
Искомое решение Т (г, ф) имеет вид (29) (интеграл Дини)
T (r, ф) = R J
2л[ат (r' фр G* ( ■
—)—LG (r, Ф, ф ) or
d ф ' =
r '=R
1 2л , ч r2 — 2Rr cos (ф —ф') + R2 ,
R— Гу(ф ') ln-V -dф + const.
2л J R2
Ограниченным решением внешней задачи (при г > Я ) для урав-
дТ ( г, ф)
нения (35) с граничным условием является интеграл вида
2л
dr
= —у(ф), 0 <ф<2л
r=R
T(r, ф) = J ^(ф)1п-2ф——-dф' + const.
0
Рассмотренный подход касался краевых задач для уравнения Лапласа. Для уравнения Пуассона ДТ (Ы) + ^ (Ы) = 0, Ы е Б остаются в силе классические представления теории уравнений эллиптического типа.
Заключение. Краевые задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа на плоскости принадлежат к числу достаточно трудных случаев для исследований. Несмотря на развитую теорию решения урав-
нений эллиптического типа двумерных задач Дирихле и Неймана, точно решены задачи только для сравнительно простых областей. Метод функций Грина в этих исследованиях имеет преимущество по сравнению с другими подходами, хотя и связан с длительными и громоздкими выкладками. Развитый в статье метод нахождения «усеченной» функции Грина значительно упрощает процедуру нахождения точных аналитических решений указанных задач и позволяет предвидеть дальнейшее развитие аналитической теории уравнений эллиптического типа.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Избранные труды В.А. Ильина. Т. 1. Москва, Макс-Пресс, 2008, 727 с.
[2] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Москва, Наука, 1966, 724 с.
[3] Владимиров В.С. Уравнения математической физики. Москва, Наука, 1971, 512 с.
[4] Полянин А. Д. Линейные уравнения математической физики. Москва, Физматлит, 2001, 576 с.
[5] Карташов Э.М., Кудинов В.А. Аналитическая теория теплопроводности и термоупругости. Москва, URSS, 2012, 970 с.
[6] Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. Москва, Высшая школа, 2001, 540 с.
Статья поступила в редакцию 27.06.2013
Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:
Карташов Э.М. О новом подходе в методе функций Грина при решении краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 13. URL: http://engjournal.ru/catalog/ mathmodel/hidden/900.html
Карташов Эдуард Михайлович - д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая и прикладная математика» Московского государственного университета тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова. е-mail: kartashov@mitht.ru
