CC BY
9ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1. МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №4
Математика
УДК 512.543.7 + 512.544.33 + 512.815.8 + 517.984.5 + 514.84
ФРОБЕНИУСОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УНИВЕРСУМЫ НА КОМПЛЕКСНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ
О. В. Герасимова1, Ю.П. Размыслов2
3
"Популярные издания обязаны выражать популярные взгляды."
Оскар Уайльд
На языке дифференциальных образующих и дифференциальных соотношений для конечно-порожденной коммутативно-ассоциативной дифференциальной C-алгебры A (с единицей) выражаются необходимые и достаточные условия того, что при любом гомоморфизме Тэйлора фм : A ^ C[[z]] степень трансцендентности образа фм(A) над C не
~ def W m
превосходит единицы (фм(о-) = "Фм^™1^)^j, где а £ А, М £ SpeccA — максимальный
m=0
идеал в A, a(m) — результат m-кратного применения сигнатурного дифференцирования к элементу а, фм — канонический эпиморфизм A ^ A/M).
Ключевые слова: дифференциальная алгебра, ее ранг, гомоморфизм Тэйлора, аналитический спектр, росток траектории, замыкание орбиты, аффинная алгебраическая кривая.
In terms of differential generators and differential relations for a finitely generated commutative-associative differential C-algebra A (with a unit element) there are studied and determined necessary and sufficient conditions in order under any Taylor homomorphism фм : A ^ C[[z]] the transcendence degree of the image фм(A) over C does not exceed 1 (фм(a) d=f , where a € A, M £ SpeccA is a maximal ideal in A, a,a result of m-fold
m=0
application of the signature derivation of the element a and фм the canonic epimorphism A ^ A/M).
Key words: differential algebra, its rank, Taylor homomorphism, analytic spectrum, trajectory germ, orbit closure, affine algebraic curve.
1. Введение. Эти заметки написаны не для "гордых ученых" (см. [1, введение]), а для тех, кто вслед за нами захочет их перечитать.
1.1. Дифференциальные C-алгебры Герасимовой. Пусть F2 =f C[x(i), y(j) |i, j = 0,1, 2,... ] — свободная дифференциальная C-алгебра с двумя свободными образующими x =f x(0), y =f y(0), в которой сигнатурное дифференцирование переводит x(i), y(j) в x(i+1), y(j+1) соответственно. Упорядочим все мономы степени ^ m от x и y следующим образом:
xm, xm-1y, xm-2y2, ..., xym-1, ym; xm-1, xm-2y, ..., xym-2, ym-1; ...; x2, xy, y2; x, y; 1. Определитель Вронского этих элементов (это конкретный дифференциальный полином из F2) обозначим Hm(x,y).
Зададим дифференциальную C-алгебру Gm,n дифференциальными образующими g1, ..., gn и дифференциальными определяющими соотношениями двух типов:
(a) Hm(gi,g') = 0 (i = 1, 2,..., n);
(b) Hm(gi ) = 0 (i ^ j; i,j = 1,2,...,n).
Предложение 1. Для любого максимального идеала M дифференциальной C-алгебры Gm,n образ этой алгебры при дифференциальном гомоморфизме Тэйлора фм : Gm,n ^ C[[z]] обладает следующими свойствами:
1 Герасимова Ольга Вячеславовна — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ynona_olga@rambler.ru.
2 Размыслов Юрий Питиримович — доктор физ.-мат. наук, сотр. лаб. вычислительных методов мех.-мат. ф-та
МГУ, e-mail: ynona_olga@rambler.ru.
4
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №4
(i) степень трансцендентности грм(Gm,n) не превосходит единицы;
(ii) как коммутативно-ассоциативная алгебра C-алгебра грм (Gm,n) конечно-порождена;
(iii) все степенные ряды gi(z) = грм(gi), ■ ■ ■, gn(z) = грм(gn) сходятся в некоторой окрестности нуля комплексной плоскости C1.
Доказательство. Так как гомоморфизм Тэйлора — дифференциальный гомоморфизм, то фм(Ст<п) — дифференциальная С-подалгебра в С [[г]] относительно дифференцирования ^ и gi(z),
..., gn(z) — дифференциальные образующие грм(Gm,n). Если все степенные ряды gi(z) (i = 1,..., n) являются константами, то утверждение предложения тривиально.
Пусть gq(z) = const для некоторого q € {1,...,n}. Известно (см., например, [2]), что если определитель Вронского lf1(t),...,fs(t)l степенных рядов f1(t),... ,fs(t) € k[[t]] равен нулю, то эти степенные ряды линейно зависимы над k. Поэтому из определения Hm(x,y) и равенств Hm(gq,g'q) =
0, 0 = грм(Hm(gq,g'q)) = Нт(грм(gq),грм(g'q)) = Hm((jq, g'q) заключаем, что степенные ряды gq(z), g'q(z) должны быть связаны некоторым нетривиальным полиномиальным соотношением H(gq,g'q) = 0, где H(u, v) € C[u,v] и степень H не превосходит m. Выберем среди таких полиномов многочлен наименьшей степени, тогда
а) H(u, v) — неприводимый полином в C[u, v] (так как C[[z]] не содержит делителей нуля);
б) ^ ф 0 (в противном случае Н(и, v) = Н(и, 0) = а • « + • 1 и gq(z) = const );
в) ^f~\u=gq,v=g'q ф 0 (так как степень Щ- строго меньше степени Н), и мы попадаем в досконально изученную (см. [3]) ситуацию.
Теорема (О.В. Герасимова). Существует единственная с точностью до изоморфизма дифференциальная область целостности Wh , порожденная одним дифференциальным образующим w, для которого w = const и H(w,w') = 0, где H(u, v) — неприводимый в C[u, v] многочлен■ Более того, степень трансцендентности Wh над C равна единице и как коммутативно-ассоциативная алгебра C-алгебра Wh конечно-порождена■
Поэтому дифференциальная C-подалгебра Aq, порожденная gq (z) в C [[z]], и ее поле частных Q(Aq) имеют степень трансцендентности над C, равную единице.
Аналогично из определяющих соотношений типа (b) алгебры Gm,n и соотношений Вронского Hm((ji,gj) = грм(Hm(gi,gj)) = грм(0) = 0 заключаем, что элементыgj алгебраичны над полем Q(Aq), т.е. поле частных C-алгебры грм(Gm,n) совпадает с Q(Aq)[g1,...,gn] и является конечным расширением поля Q(Aq). Следовательно, degcгрм(Gm,n) = 1, что доказывает свойство (i) C-алгебры грм (Gm,n).
Как было показано в работе [3] (см. теорему 1 и следствие из нее), свойства (ii) и (iii) C-алгебры грм(Gm,n) вытекают из свойства (i). Предложение 1 полностью доказано.
12■ Обозначения и терминология. Далее будем придерживаться для любой конечно-порожденной дифференциальной C-алгебры (с единицей) B следующих обозначений и определений: degcB — степень трансцендентности B над C; SpeccB — множество всех максимальных идеалов в B; грм : B ^ C [[z]] — гомоморфизм Тэйлора в точке M € SpecC B;
def —
RANGc B = тахмespecC в degCгрм (B) — ранг дифференциальной C-алгебры B; грмо (B) — росток траектории в точке M0 € SpeccB;
{M € SpeccB|M ^ Ker грм0} — замыкание орбиты, проходящей через точку M0 € SpeccB; {M € SpeccB| все ряды из грм(B) сходятся в некоторой окрестности нуля } — аналитический спектр дифференциальной C-алгебры B.
Такая терминология позволяет переформулировать предложение 1 и основные результаты работы авторов [3] (см. теорему 1 и следствие из нее) следующим образом.
Предложение 2. Если ранг конечно-порожденной дифференциальной C-алгебры B равен единице, то ее спектр аналитичен, а замыкание орбиты, проходящей через произвольную точку спектра, — это неприводимая аффинная алгебраическая кривая (если не сама эта точка) ■
Очевидно, что класс конечно-порожденных дифференциальных C-алгебр ранга ^ 1 замкнут относительно взятия гомоморфных образов и локализаций таких алгебр по ненильпотентному элементу. По предложению 1 он содержит все алгебры Gm,n. Есть ли существенно другие объекты в выделенном классе? Ответ будет дан ниже.
А сейчас мы предлагаем читателю (в качестве упражнения) самостоятельно ответить на два вопроса.
Вопрос 1. Какие счетномерные дифференциальные C-алгебры (с единицей и без ниль-элементов) имеют ранг, равный нулю?
Вопрос 2. Каков ранг свободной дифференциальной C-алгебры F = C[x(0), x(1), x(2),... ] с
одним свободным образующим x = x(0) ((x(i))' = x(i+1))?
2. Аффинные дифференциальные C-алгебры. Пусть X — аффинное комплексное алгебраическое многообразие, C[X] — его алгебра регулярных функций (X = SpecC C[X]).
Лемма 1. Если многообразие X неприводимо и не является точкой, то оно не может быть объединением счетного числа своих собственных подмногообразий.
Доказательство (Э. Б. Винберг). Индукция по размерности многообразия X. Дифференциальную C-алгебру C[X] относительно некоторого фиксированного (ненулевого) дифференцирования D будем называть аффинной дифференциальной C-алгеброй и обозначать Cd [X]. (Дифференцирование D задает на многообразии X векторное поле и определенные выше понятия: росток траектории в точке M € X; замыкание орбиты, проходящей через M; задача Коши — допускают естественную интерпретацию.)
Следующее предложение дает описание аффинных дифференциальных C-алгебр ранга 1. Предложение 3. Если a1; ..., aq — произвольные дифференциальные порождающие аффинной дифференциальной алгебры Cd [X] неприводимого многообразия X, то RANGc Cd [X] ^ 1 тогда и только тогда, когда Cd [X] является (дифференциальным) гомоморфным образом C-алгебры Gm,q (g1 ^ a1} ..., gq ^ aq) для некоторого натурального m, т.е. в Cd[X] выполняются дифференциальные соотношения:
(a) Ят(аг ,ai) = 0 (i = 1, 2,...,q);
(b) #m(a¿, aj) = 0 (i ^ j; i = 1,2,..., q).
Доказательство. Пусть Im — дифференциальный идеал в Cd [X], соответствующий дифференциальным соотношениям (a), (b). Этот идеал определяет некоторое аффинное подмногообразие Xm в X. Если RANGc Cd [X ] ^ 1, то для произвольного максимального идеала M € X в образе
фм (Cd [X]) элементы ai =f фм (ai), ai = фм (D(a¿)) (i = 1,...,q) должны быть связаны (попарно) некоторыми нетривиальными полиномиальными соотношениями. Обозначим через n максимум степеней таких многочленов, но тогда все определители Вронского Hn(ai, ai) = фи(Hn(ai,ai)), Hn(ai, aj) = фм(Hn(ai, aj)) в степенных рядах C[[z]] равны нулю. Следовательно, M € Xn и
oo
X = U Xn, т.е. неприводимое многобразие X — это счетное объединение своих подмногообразий.
n=0
Из леммы 1 заключаем, что X = Xm для некоторого m, что и доказывает предложение.
Следствие. В произвольной аффинной дифференциальной алгебре Cd [X] ранга 1 (X — неприводимое многобразие) любая (дифференциально) конечно-порожденная C-подалгебра A относительно дифференцирования D является гомоморфным образом некоторой C-алгебры Gm,s, в частности имеет ранг не больше единицы.
Доказательство. Дополним дифференциальные образующие a1, ..., as C-подалгебры A до конечной системы дифференциальных порождающих Cd [X]. Тогда по уже доказанному на этой системе образующих должны выполняться все соотношения (a), (b) из предложения 3 для некоторого натурального числа m. Но эти соотношения имеют место и для подмножества дифференциальных образующих a1, ..., as, т.е. A — гомоморфный образ Gm,s (gi ^ ai). Следствие полностью доказано. Здесь, как нам кажется, уместно сделать в нашем изложении небольшую передышку.
3. Кулоново поле и его ранг. Зададим коммутативно-ассоциативную дифференциальную C-алгебру (с единицей) R дифференциальными образующими x, y, r, r-1 и дифференциальными определяющими соотношениями
,, 4n2k ,, 4n2k 2 2 2 -i X =--5— • x, y =--5— ■ y, r = X + y , r ■ r =1,
r¿ Г 3
def
где 0 = k € C. Обозначим через RCT01 локализацию алгебры R по элементу a0;1 = x ■ y — x ■ y. Как было показано в работах [3-5], для произвольного максимального идеала M € Specc RCT0 х степенные
ряды x(z) d=f фм (x), y(z) d=f фм (y) связаны соотношениями
H(x, y) = 0, 0 = x ■ y' — x' ■ y = a = x(0) ■ y'(0) — x'(0) ■ y(0) € C,
где H(u, v) — неприводимый квадратичный полином, из которых (из-за отсутствия особых точек на кривой H(u, v) = 0) последовательно устанавливаются следующие свойства:
(i) L{x, у) • (x(z),y(z)Y = где L(u, v) §f • и + ff • t,;
(ii) L(x,y) — обратимый элемент в -фм(Ra0 1), который с точностью до числового множителя
совпадает с f(z) = фм(r) (см. формулы Н. Никчемного в работе [4]);
(iii) как коммутативно-ассоциативная алгебра C-алгебра -фм(Ra01) порождается тремя элементами X, y, (L(x,y))-1.
Поэтому поле частных C-алгебры фм(Ra0 1) совпадает с полем рациональных функций C(Xh) квадратичной кривой Xh (заданной уравнением H(u,v) = 0), которое (см. [6]) в свою очередь является полем комплексных рациональных функций от одной переменной. Следовательно, степень трансцендентности -фм(Ra0д) равна 1 для любого M е SpeccRa0д и RANGcRa0д = 1 в задаче двух тел3.
Так как Ra01 — аффинная дифференциальная C-алгебра и область целостности, то из следствия предложения 3 вытекает, что любая однопорожденная дифференциальная C-подалгебра в Ra01 имеет ранг ^ 1 ив ней для ее дифференциального образующего w должно выполняться одно из характеристических соотношений Hm(w,w') = 0. Как число m зависит от выбора w е Ra01 ?
Если w = r, то ответ мгновенно следует из "фундаментального" равенства
утверждающего, что дифференциальные мономы r2 ■
(r')2, r2, r, 1 становятся линейно зависимыми после применения к ним любого гомоморфизма Тэйлора. Следовательно, m = 4. Разумеется, соотношение H^(r,r') = 0 очень грубо отражает конкретную ситуацию w = r, так как в нем можно заменить H4(r,r') на определитель Вронского |r2 ■ (r')2,r2, r, 1|.
Вопрос. Почему со времен предшественников Роберта Гука в учебниках не появилось ничего подобного для w = а ■ x + в ■ У (а, в е C)?4
4. Азы алгебраической теории Браге—Декарта—Уоттона.5 Везде в этом пункте C-алгебра A — это (дифференциально) конечно-порожденная область целостности. Установим сначала, что результаты п. 2 справедливы для произвольных таких C-алгебр ранга 1.
4.1. Предварительные сведения.
Лемма 2. Если в A нет свободных дифференциальных C-подалгебр, то в A есть такой элемент a, локализация Aa по которому конечно-порождена как коммутативно-ассоциативная C-алгебра, т.е. Aa — аффинная дифференциальная C-алгебра и RANGc A ^ degc A = degc Aa = то.
Доказательство. Пусть ai, ..., an — дифференциальные образующие A. Рассмотрим цепочку элементов a¿, ai, ..., a(q), .... Из условия леммы заключаем, что среди них должны быть алгебраически зависимые. Пусть P¿(x0,xi,... ,xmi) — ненулевой полином наименьшей степени, для которого Pi(ai, ai,..., a(mi= 0. Дифференцируя это равенство, получаем соотношение
0 =í4^-at+1)+V^-at1))
\ dXmi i j=0 dXj J
' (mi)
xo=ai ,x1=ai,...,xmi =ai г'
Но тогда все a(mi+j) (j = 1,2,...) лежат в локализации Aei алгебры A по элементу
def dPi .
дхт. (j=0,l,...,mi)'
Положим а = е1-в2-...-вп. Тогда локализация Аа = А[а 1 является дифференциальной С-алгеброй,
— 1 И)
которая как коммутативно-ассоциативная С-алгебра порождается элементами а , а\ , где г =
3Мы не сомневаемся в том, что читатель, добравшийся до этого места, уже засучил рукава и самостоятельно пытается выяснить, чему равен ранг О. Герасимовой в задаче трех тел.
4 Ответ: потому, что это не нужно ....
5 См. также одноименную рубрику в работе [4].
1,..., n, j = 1,..., mj. Это доказывает, что Aa — аффинная дифференциальная C-алгебра. Остальные утверждения леммы теперь очевидны.
Следствие. Если в A нет свободных дифференциальных C-подалгебр, то ее аналитический спектр содержит главное открытое множество {M € SpeccA|a(M) = 0}.
Лемма 3. Если A содержит свободную дифференциальную C-подалгебру, то RANGcA = то.
Доказательство немедленно вытекает из следующего фундаментального утверждения: если A содержит некоторую свободную дифференциальную C-алгебру, то в A можно найти такую свободную дифференциальную C-подалгебру Fi с одним свободным образующим x, что любой максимальный идеал в Fi поднимается до максимального идеала в A (см. [7]). Поэтому RANGc A ^ RANGCFi = то. (Действительно, рассмотрим дифференциальный C-гомоморфизм : Fi ^ C[[z]],
при котором (x) = eArz + ... + eAm^z, где Ai,...,Am € C линейно независимы над подполем рациональных чисел Q. Тогда дифференциальная C-подалгебра ^m(Fi) в C[[z]] относительно дифференцирования ^ будет содержать все экспоненты eXl'z, ..., eXm'z, которые алгебраически независимы над C. Так как любой гомоморфизм ^ : Fi ^ C[[z]] является гомоморфизмом Тэйлора, то max^deg^(Fi) > 1, 2,..., m,..., т.е. RANGCFi = то.) Лемма 3 полностью доказана.
Теорема 1. Любая п-порожденная дифференциальная C-алгебра B ранга 1, не содержащая ниль-элементов, является гомоморфным образом дифференциальной C-алгебры Герасимовой для достаточно большого натурального числа т. Более того, все дифференциальные C-подалгебры в B имеют ранг ^ 1.
Доказательство. По теореме Роденбуша-Ритта (см. [8]) C-алгебра B является конечным под-декартовым произведением дифференциальных областей целостности. Более точно: в B существуют
def
такие дифференциальные идеалы Ii,..., Is, что а) Ii ПI2 П ... П = 0, б) Aj = B/I (i = 1,..., s) — области целостности. Обозначим через bi, ..., bn дифференциальные образующие B, и пусть ^ : B ^ Aj — канонические (дифференциальные) эпиморфизмы. Тогда так как ранг ^(B) равен 1, то по лемме 3 алгебра Aj не может содержать свободные дифференциальные C-подалгебры, а по лемме 2 Aj — дифференциальная C-подалгебра некоторой аффинной дифференциальной C-алгебры и (bi), ..., (bn) — ее дифференциальные образующие. Поэтому из следствия предложения 3 вытекает, что Aj является гомоморфным образом C-алгебры Gmi(g ^ (bj), j = 1,..., n) и на образующих {^j(bj)|j = 1,... ,n} должны выполняться соотношения
а) Hmi(^(bj),^j(bj)) =0 (j = 1,2,..., n);
б) Hmi(^(bj),^j(bt)) =0 (j >t; j,t = 1,2,..., n).
def
Откуда, полагая m = max mj, заключаем (так как Ii П I2 П ... П = 0), что для bi, ..., bn имеют место соотношения
а) Hm(bj,bj) = 0 (j = 1,2,..., n);
б) Hm(bj, bt) =0 (j > t; j, t = 1,2,..., n),
в силу которых B является гомоморфным образом C-алгебры Gm>ra (gj ^ bj, j = 1,...,n). Это доказывает первое утверждение теоремы.
Дословно повторяя рассуждение в доказательстве следствия предложения 3, получаем, что любая (дифференциально) конечно-порожденная C-подалгебра в B имеет ранг ^ 1. Но тогда для каждой дифференциальной C-подалгебры E в B при гомоморфизме Тэйлора 0м : E ^ C [[z]] (M пробегает SpeccE) любые степенные ряды 0м(ei), 0м(e2) (ei, e2 пробегают E) должны быть связаны нетривиальным полиномиальным соотношением. Следовательно, degc 0м(E) ^ 1, а это означает, что RANGcE ^ 1. Утверждение теоремы полностью доказано.
Следствие. Дифференциальная C-алгебра B с дифференциальными образующими bi, ..., bq имеет ранг ^ 1 тогда и только тогда, когда существуют такие натуральные числа т, n, что
а) (Hm(bj,bj))n = 0 (j = 1, 2,..., q);
б) (Hm(bj,bj))n = 0 (i > j; i,j = 1,2,..., q).
Доказательство. Обозначим через Rad B множество всех ниль-элементов в B. Так как алгебра степенных рядов C[[z]] не имеет делителей нуля, то 0м (Rad B) = 0 при любом M € SpeccB, а это означает, что Rad B — дифференциальный идеал в B и ранги дифференциальных C-алгебр B и B/Rad B совпадают. Обозначим через ^ канонический эпиморфизм B ^ B/Rad B.
Если ранг B равен единице, то по теореме 1 фактор-алгебра B/Rad B является гомоморфным
образом некоторой алгебры (gj ^ bj (i = 1,... q)) и на ее образующих bi =f ^(bi), ..., =f ^>(bq) должны выполняться соотношения
а) Hm(bj,bj) = 0 (j = 1, 2,... , q);
б) Hm( Ьг,bj) = 0 (i > j; i,j = 1, 2,... , q).
Следовательно, все Hm(bj, bj), Hm(bi,bj) принадлежат Rad B, т.е. являются ниль-элементами. Выбирая число n достаточно большим, получаем доказательство следствия в одну сторону.
Если для дифференциальных образующих bi, ..., bq в C-алгебре B выполняются указанные в формулировке следствия соотношения, то в B/Rad B для ее образующих bi, ..., bq выполняются соотношения
а) Hm(bj,bj) = 0 (j = 1, 2,..., q);
б) Hm(bi,bj) = 0 (i > j; i,j = 1, 2,... , q),
т.е. B/Rad B является гомоморфным образом дифференциальной C-алгебры Gm,q и
1 ^ RANGc (B/Rad B) = RANGc (B),
что завершает доказательство утверждения следствия.
4-2. Дифференциальные C-алгебры 'ранга 1. Обозначим через Г1 класс дифференциальных (счет-номерных) C-алгебр B, у которых все (дифференциально) конечно-порожденные C-подалгебры имеют ранг ^ 1. Очевидно, что этот класс замкнут относительно взятия дифференциальных C-под-алгебр и гомоморфных образов. Внимательный читатель легко заметит, что встречавшиеся до сих пор в формулировках утверждений дифференциальные C-алгебры и C-подалгебры принадлежат Г1. Последние результаты Г. А. Погудина позволяют ослабить условия, накладываемые на C-подалгебры этого класса.
Теорема 2. Класс Г1 состоит из дифференциальных C-алгебр B, в которых для любого элемента w из B выполняется равенство вида (Hm(w, w'))n = 0 (m = m(w), n = n(w)).
Из определения класса Г1 и следствия теоремы 1 заключаем, что доказательство теоремы 2 сводится к обоснованию следующего утверждения.
Предложение 4. Конечно-порожденная дифференциальная C-алгебра B имеет ранг ^ 1, если ранг любой ее однопорожденной дифференциальной C-подалгебры не превосходит единицы.
Доказательство этого факта проведем в три этапа.
1. C-алгебра B не содержит делителей нуля. В этом случае утверждение предложения сразу следует из фундаментального результата Г. А. Погудина (см. [9]): если в B нет свободных дифференциальных C-подалгебр, то поле частных B совпадает с полем частных Q(A) некоторой дифференциально-однопорожденной в B C-подалгебры A. (Действительно, по лемме 3 алгебра B не может содержать однопорожденные свободные подалгебры, изоморфные F1, поэтому дифференциальные образующие b1, ..., bq C-алгебры B лежат в Q(A) и по лемме 2 в A найдется такой элемент а, что а) b1, ..., bq € Aa; б) Aa — аффинная дифференциальная C-алгебра ранга ^ 1, т.е. B — (дифференциально) конечно-порожденная C-подалгебра в Aa, и из следствия предложения 3 получаем, что RANGCB < 1.)
2. C-алгебра B не содержит ниль-элементов. Тогда, как было отмечено при доказательстве теоремы 1, в B найдутся такие дифференциальные идеалы /1, ..., Is, что а) /1 П I2 П ... П Is = 0,
def
б) Ai = B/Ii (i = 1,...,s) — области целостности, для которых неравенство RANGcAi ^ 1 уже было доказано на первом этапе. Следовательно, Ai являются гомоморфными образами некоторых C-алгебр Герасимовой Gmi,q. Но тогда, выбирая m = max{m1,..., ms}, заключаем (так как I1 ПI2 П ... П Is = 0), что B — гомоморфный образ Gm,q и RANGCB ^ 1.
3. Общий случай: Rad B = 0. Как мы видели выше, RANGCB = RANGC(B/Rad B). В фактор-алгебре B/Rad B нет нильпотентных элементов, поэтому (как было доказано на втором этапе) ее ранг ^ 1. Следовательно, и ранг B не превосходит единицы.
Сказано было (см. [10]) о Тихо Браге: "... Мастерство не передашь. Уходит человек, и это уходит вместе с ним. Остаются ученики, последователи и ремесло". Такие дела ("So it goes"), так сказать. Извечный картезианский вопрос: "Стоит ли все уносить с собой?".
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вейль Г. Классические группы. Их инварианты и представления. М.: ИЛ, 1947.
2. Герасимова О.В., Погудин Г.А., Размыслов Ю.П. Rolling simplexes and their commensurability, III (соотношения Капелли и их применение в дифференциальных алгебрах) // Фунд. и прикл. матем. 2014. 19, вып. 6. 7-24.
3. Герасимова О.В., Размыслов Ю.П. Неаффинных дифференциально-алгебраических кривых не существует // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2017. № 3. 3-8.
4. Размыслов Ю.П. Законы катящихся симплексов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 6. 55-58.
5. Герасимова О.В. Rolling simplexes and their commensurability, II (лемма о директрисе и фокусе) // Фунд. и прикл. матем. 2014. 19, вып. 1. 13-19.
6. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. М.: МЦНМО, 2007.
7. Pogudin G.A. A differential analog of the Noether normalization lemma // Int. Math. Res. Notices. 2016. 191, N 4. 1177-1199.
8. Kolchin E.R. Differential algebra and algebraic groups. Academic Press, 1973.
9. Pogudin G-А. The primitive element theorem for differential fields with zero derivation on the base field // J. Pure and Appl. Algebra. 2015. 219, N 9. 4035-4041.
10. Razmyslov Yu.P. An explanation (field equations in accordance with Tycho Brahe) //J. Math. Sci. 2013. 191, N 5. 726-742.
Поступила в редакцию 06.09.2017
УДК 519.21, 519.872
ЭКСТРЕМУМЫ В ON/OFF-МОДЕЛЯХ ТЕЛЕТРАФИКА ПРИ ПОСТОЯННОМ И ПЕРИОДИЧЕСКОМ ИЗМЕРЕНИЯХ
А. В. Лебедев1
Изучается асимптотическое поведение экстремумов интенсивности потока в ON/OFF-моделях телетрафика при постоянном и периодическом измерениях. Предполагается, что интенсивность каждого источника имеет распределение с тяжелым (правильно меняющимся) хвостом. Получены совместное предельное распределение для максимумов с общей линейной нормировкой, маргинальные распределения и распределение отношения максимумов. Вычислен экстремальный индекс для последовательности периодических измерений.
Ключевые слова: ON/OFF-модели, телетрафик, тяжелые хвосты, экстремумы, экстремальный индекс.
The asymptotic behavior of stream intensity extreme values in ON/OFF models of teletraffic under permanent and periodic measurements is studied. It is assumed that the intensity of each source has a distribution with a heavy (regularly varying) tail. A joint limiting distribution for maxima with a common linear normalization, marginal distributions and the distribution of the maxima ratio are obtained. The extremal index for a sequence of periodic measurements is calculated.
Key words: ON/OFF models, teletraffic, heavy tails, extreme values, extremal index.
1. Введение. Для описания ряда явлений, характерных для информационных потоков в компьютерных сетях (самоподобие, долговременная зависимость и т.п.), вводятся так называемые ON/OFF-модели. А именно предполагается, что общий поток создается множеством источников, каждый из которых включается в случайный момент на случайное время независимо от других и дает поток единичной интенсивности. В пределе, когда источников очень много, можно считать, что моменты их включения образуют пуассоновский поток. Долговременная зависимость — это результат того, что распределение продолжительности работы источника имеет правильно меняющийся хвост с показателем в интервале (1, 2), так что среднее конечно, но нет дисперсии. Фактически суммарный поток описывается процессом числа заявок в некоторой системе M[1]. В более общей модели каждый источник независимо от других создает поток случайной интенсивности, величина которой также может иметь распределение с правильно меняющимся хвостом. Подобные процессы
1 Лебедев Алексей Викторович — доктор физ.-мат. наук, доцент каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: avlebed@yandex.ru.
