Первичные дифференциальные ниль-алгебры существуют Текст научной статьи по специальности «Математика»

50

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР. 1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2014. № 1

6. Boldin M.V. Local robustness of sign tests in AR(1) against outliers // Math. Methods Statist. 2011. 20. 1-13.

7. Reider H. Qualitative robustness of rank tests // Ann. Statist. 1982. 10. 205-211.

8. Boldin M.V. On median estimates and tests in autoregressive models // Math. Methods Statist. 1994. 3. 114-129.

Поступила в редакцию 06.02.2012

УДК 512.628.2 + 512.552.12

ПЕРВИЧНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ НИЛЬ-АЛГЕБРЫ СУЩЕСТВУЮТ

Г. А. Погудин1

Строится гомоморфизм из дифференциальной алгебры k{x}/ [xm] в алгебру Грассма-на, снабженную структурой дифференциальной алгебры. С его помощью доказывается первичность k{x}/[xm] и ее алгебры дифференциальных многочленов, решается связанная с этой алгеброй одна из задач Ритта и дается альтернативное доказательство инте-гральности идеала [xm].

Ключевые слова: дифференциальная алгебра, алгебра дифференциальных многочленов, задача Ритта, первичный радикал.

We construct a monomorphism from differential algebra k{x}/ [xm] to Grassmann algebra endowed with the structure of differential algebra. Using this monomorphism, we prove the primality of the k{x}/[xm] and its algebra of differential polynomials, solve the so-called Ritt problem and give a new proof of integrality of the ideal [xm].

Key words: differential algebra, algebra of differential polynomials, Ritt problem, prime radical.

Всюду в статье предполагается, что характеристика основного поля k равна нулю.

1. Основная конструкция. Изучение идеала [xm] в свободной дифференциальной алгебре k{x} началось с работы Г. Леви [1]. Там сформулировано достаточное условие принадлежности монома идеалу, выраженное в терминах веса и степени. В монографии Дж. Ритта [2] была сформулирована задача: в какую наименьшую степень следует возвести x¿, чтобы попасть в [xm]? В работе [3] эта задача решена для i = 1, 2. Насколько нам известно, решение для остальных случаев ранее получено не было. Однако была высказана гипотеза, которую мы и докажем в теореме 3.

В кандидатской диссертации А. И. Зобнина [4] было отмечено, что процесс редукции, который использовал Г. Леви в своей работе, является просто процессом редукции относительно дифференциального базиса Грёбнера, состоящего из одного элемента xm. Там же была сформулирована гипотеза об интеграль-ности идеала (теорема 4; ранее это утверждение было доказано М.В.Кондратьевой). Более подробно о базисе Грёбнера идеала [xm] написано в работе [5].

Введем свободную дифференциальную алгебру от одной образующей. Будем обозначать образующую через x, а ее i-ю производную через x¿. Тогда свободной дифференциальной алгеброй от x будем называть k+{x} = k+[x,xi,x2, • • •], т.е. свободную коммутативную алгебру от x и ее производных. Плюс в нижнем индексе обозначает, что берутся мономы только положительной степени. В частности, определенная алгебра не содержит единицы.

Введем основную конструкцию данной статьи. Для изучения идеала [xm] рассмотрим векторное пространство Vm с m — 1 парой счетных серий базисных векторов и tfl (k = 0, — ,m — 2, i £ N U {0}). Внешнюю алгебру этого пространства будем обозначать через A(Vm), а ее четную и нечетную компоненты — через Ac(Vm) и Ai(Vm) соответственно. Отметим, что мы не предполагаем наличия в A(Vm) единицы. Введем на A(Vm) дифференцирование, которое на образующих будет действовать увеличением на единицу нижнего индекса, т.е. )' = £k+i и (nk)' = П+i. Заметим, что Ao(Vm) является дифференциальной подалгеброй.

1 Погудин Глеб Александрович — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2014. №1

51

Вернемся к нашему основному объекту — фактору свободной дифференциальной алгебры к+{х} по дифференциальному идеалу [хт]. Обозначим его через образ х при факторизации через X. Построим

т-2

гомоморфизм дифференциальных алгебр рт: От — Ло(Ут), положив рт(Х) = ^ ^ Л Пк.

к=0

Лемма 1. Гомоморфизм рт инъективен.

Доказательство. Сначала проверим, что рт — гомоморфизм. Для этого достаточно убедиться в том, что (рт(Х))т = 0. Действительно, в рт(х) входит 2(т — 1) антикоммутирующих переменных, а степень всех мономов в (рт(Х))т равна 2т. В силу кососимметричности получаем нуль.

Напомним (следуя Г. Леви [1]), что моном в к+{х} называется ат-мономом, если сумма степеней соседних производных меньше т. Мы будем пользоваться следующим фактом (см. [1, теорема 1.1]).

Факт. Множество образов ат-мономов является базисом к+{х}/[хт] как векторного пространства (в работе Г. Леви этот факт сформулирован и доказан для к{х}/[хт]).

Таким образом, достаточно проверить, что ни одна нетривиальная линейная комбинация ат-мономов не лежит в ядре рт. Рассмотрим какую-нибудь линейную комбинацию ат-мономов. Введем на мономах следующий порядок: сравниваем по очереди все производные начиная с младших. Если на очередном шаге мы получили неравенство, то большим будет тот моном, у кого эта очередная производная старше. Рассмотрим наибольший относительно этого порядка моном в линейной комбинации, и пусть он имеет вид М = хоп ... хо0, где кп ^ ... ^ ко. Заметим, что ат-свойство можно переформулировать следующим образом: для любых г и г', таких, что г — г' = т — 1, выполняется неравенство — к^/ > 1. Отсюда, в

частности, следует неравенство ^ 2 • Тогда укажем в рт(М) такой моном, который не появится

ни из какого другого монома исходной линейной комбинации. Из сомножителя, соответствующего х^, мы

возьмем в этот моном произведение -д Л %, где д и г — соответственно неполное частное и остаток от деления ] на т — 1. В силу доказанного неравенства относительно к это выражение корректно определено. Кроме того, из переформулированного ат-свойства следует такая цепочка неравенств для любого

к — д < к] +т-1 — д — 1 < к+2т-2 — д — 2 < ... . (1)

Из этих неравенств в свою очередь следует, что все образующие, входящие в этот антикоммутативный моном, различны, а значит, сам моном не равен нулю.

Докажем, что этот антикоммутативный моном мог появиться только из рассматриваемого ат-монома. Пусть он появился из еще какого-то ат-монома М' и младшая производная в М' имеет порядок к. Так как наш моном был наибольшим относительно введенного порядка, то к ^ ко .С другой стороны, производная порядка к должна дать в антикоммутативный моном произведение вида ^^ Л пС, но наименьшее возможное значение а + с, достигаемое в силу (1) при а = ко и с = 0, равно ко, т.е. к = ко, причем в антикоммутативный моном младшие производные дают одинаковый вклад. Повторяя аналогичные рассуждения для оставшихся производных, получаем М = М', что и требовалось.

Таким образом, инъективность рт доказана. □

2. Первичность алгебры к+ {х}/[х2].

Теорема 1. Алгебра ^2 первична.

Доказательство. Для начала установим справедливость некоторого общего факта: ни в одной дифференциальной подалгебре в Ло(У2) нет двух дифференциальных идеалов с нулевым произведением. Действительно, пусть в некоторой подалгебре есть такие идеалы А и В. Породим ими идеалы А и В в Ло(У2). Но эти идеалы можно порождать уже не в сигнатуре дифференциальной алгебры, а как идеалы в смысле коммутативной алгебры. Но тогда, очевидно, АВ тоже равно нулю.

Осталось показать, что в Ло(У2) нет таких двух идеалов. Пусть есть такие идеалы А и В ив них лежат элементы а € А и Ь € В. Тогда их можно домножить на такие мономы, чтобы а и Ь стали мономами. Теперь продифференцируем а столько раз, сколько потребуется, чтобы среди полученных слагаемых появилось такое, в котором все производные имеют порядок, больший порядка любой производной в Ь. Соответственно произведение Ь и этой производной а будет не равно нулю. □

Примером алгебры, существование которой анонсировано в названии, является ^2. Действительно, все элементы в ней нильпотентны, так как при гомоморфизме р2 они переходят в элементы внешней алгебры. Пример ассоциативной первичной ниль-алгебры приведен в теореме 1 [6, § 2].

Кроме того, из данного доказательства можно извлечь следующее важное следствие.

Следствие. Для любых а,Ь € ^2 существует такое целое неотрицательное к, что а = 0.

3. Первичность соответствующей алгебры дифференциальных операторов. Если бы рас-

сматриваемая дифференциальная алгебра содержала единицу, то для доказательства первичности было бы достаточно воспользоваться результатом статьи [7]. Однако нам хотелось бы, чтобы полученная ассоциативная алгебра была ниль-алгеброй. Поэтому нам потребуется следующая лемма. Через (^2 будем обозначать алгебру ^2, к которой внешним способом присоединили единицу.

Лемма 2. Пусть /(Ь\, . ..,Ьк) — многочлен от переменных ^ и их производных с коэффициентами из . Пусть / (1,..., 1) =0. Тогда существуют такие а\,...,ао € ^2, что / (а\,..., ао) = 0.

Доказательство. Во-первых, заметим, что можно считать к равным единице и заменять ^ на а1 поодиночке. Во-вторых, можно считать, что многочлен / однороден по Ь. Пусть, действительно, требуемого значения Ь нет. Значит, / (Ь) =0 является тождеством в алгебре (^2)11 Так как основное поле имеет характеристику 0, то многочлен / можно линеаризовать. Для полученного полилинейного многочлена проведем еще раз первые две редукции.

В результате все свелось к случаю, когда /(Ь) — линейная форма от Ь и ее производных с коэффициентами в (^2)^ и с условием /(1) = 0. Пусть N — максимальный показатель производной среди всех производных, входящих в образы коэффициентов /, если их привести к виду линейной комбинации а2-мономов. Тогда положим а = хN+2, и /(а) будет являться линейной комбинацией разных а2-мономов, т.е. не нулем. □

Будем обозначать алгебру дифференциальных операторов, соответствующую дифференциальной алгебре А, через А[д].

Теорема 2. Алгебра ^2 [д] первична.

Доказательство. Для начала убедимся в первичности алгебры (^^[д]. Для этого можно было бы воспользоваться результатом из [7]. А можно просто заметить, что, будь в этой алгебре идеалы А и В, такие, что АВ = 0, их старшие относительно д коэффициенты давали бы дифференциальные идеалы с тем же свойством. Для обеспечения дифференциальности этих идеалов и нужна единица в (^2)1,1, тогда в алгебре есть элемент д, коммутирование с которым просто дифференцирует все коэффициенты.

Пусть же идеалы А и В, порожденные дифференциальными операторами а и Ь из ^[д], дают в произведении нуль. Пусть их старшие коэффициенты по д равны ао и Ьо соответственно. Согласно следствию из п. 2, для некоторого к не равно нулю выражение аок)Ьо. Сделать старший коэффициент аок) можно было бы, прокоммутировав к раз а с 1 • д. Вместо этого прокоммутируем с Ьд. Получим вместо а^^Ьо

многочлен /(Ь) от переменной Ь и ее производных, такой, что /(1) = а^Ьо = 0. По лемме 2 мы можем подобрать нужное Ь из ^2. Стало быть, произведение этих идеалов не равно нулю. Первичность алгебры доказана. □

Предложение. Все элементы алгебры ^[д] нильпотентны.

Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент а € ^[д]. Заметим, что минимальная степень монома среди коэффициентов ак не меньше к. Однако максимальный вес относительно дифференцирования среди коэффициентов ак растет не быстрее некоторой линейной функции от к.

С другой стороны, легко видеть, что в Л(У2) минимально возможный вес ненулевого монома ограничен снизу квадратичной функцией от его степени. Стало быть, ак = 0 при некотором к, что и требовалось. □

4. Следствия для дифференциальной алгебры. Из леммы 2 можно без труда получить ответ на вопрос Дж. Ритта (см. [2]).

Теорема 3. Минимальная степень дк, такая, что хк € [хт], равна (к + 1)т — к.

Доказательство. Проверим, что при возведении в эту степень выражения рт(хск) получится нуль. Действительно, в рт(хк) входит ровно 2(т — 1)(к + 1) = 2(дк — 1) из порождающих, а степень рт(хк) равна 21. В силу кососимметричности получим нуль.

Покажем, что на единицу меньшая степень не дает нуля. Действительно, рп(хк)Як-1 будет моном из произведения всех 2(п — 1)(к + 1) образующих и некоторой константы. Она будет ненулевой по двум следующим причинам:

1) все коэффициенты в сомножителях положительны (если считать, что в мономе второй степени сначала идет переменная типа £, а потом переменная типа п);

2) все подобные, из приведения которых получается этот коэффициент, имеют одну четность перестановки образующих, так как каждая образующая типа £ всегда идет в паре с одной и той же образующей типа п и наоборот. Таким образом, при приведении подобных достаточно переставлять пары образующих, что не влияет на знак перестановки. □

Теорема 4 (интегральное свойство идеала [хт]). Если /' € [хт] для / € От, то и / € [хт].

Этот результат был получен М.В.Кондратьевой (устное сообщение). Приведем другое доказательство.

Доказательство. Утверждение интегральности идеала равносильно отсутствию констант в факторе. Докажем, что во всей алгебре Л(Ут) нет констант. Пусть константа есть, обозначим ее через С. Без ограничения общности можно считать, что в нее входит образующая типа £0. Тогда достаточно рассмотреть старшую производную образующей указанного типа, пусть это £0. Но тогда в С' будет несократив-шийся член при □

Автор приносит благодарность А. И. Зобнину за полезные обсуждения и научному руководителю Ю.П. Размыслову за постановку задачи и внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Levi H. On the structure of differential polynomials and their theory of ideals // Trans. Amer. Math. Soc. 1942. 51. 532-568.

2. Ritt J.F. Differential algebra // Colloquium Publ. Vol. XXXIII. N.Y.: Amer. Math. Soc., 1950.

3. O'Keefe K.B. A property of the differential ideal [yp] // Trans. Amer. Math. Soc. 1960. 94. 483-497.

4. Зобнин А.И. Допустимые упорядочения и стандартные базисы дифференциальных идеалов: Канд. дис. М., 2007.

5. Зобнин А.И. Дифференциальные стандартные базисы при обратных лексикографических упорядочениях // Фунд. и прикл. матем. 2008. 14, вып. 4. 121-135.

6. Андрунакиевич В.А., Рябухин Ю.М. Радикалы алгебр и структурная теория. М.: Наука, 1979.

7. Ferrero M., Kishimoto K, Motose K. On radicals of skew polynomial rings of derivation type //J. London Math. Soc. 1983. 28. 8-17.

Поступила в редакцию 12.11.2012

УДК 511

МНОГОКАНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ

А. В. Ткаченко1

Рассматривается многоканальная система обслуживания с неидентичными приборами и регенерирующим входящим потоком в случайной среде. Эта среда может выводить из строя всю систему, которая затем восстанавливается. Установлено необходимое и достаточное условие эргодичности системы.

Ключевые слова: многоканальная система обслуживания, регенерирующий поток, случайная среда, эргодичность, стохастическая ограниченность.

This paper is focused on the multichannel queueing system with heterogeneous servers and regenerative input flow operating in a random environment. The environment can destroy the whole system and the system is reconstructed after that. The necessary and sufficient ergodicity condition of the system is obtained.

Key words: multichannel queueing system, regenerative input flow, random environment, ergodicity, stochastic boundedness.

1. Введение. Изучению различных задач, связанных с функционированием стандартных многоканальных систем обслуживания, посвящено множество работ (см., например, [1-14]). Также большое внимание уделялось исследованию многоканальных систем с ненадежными приборами (см. обзор литературы в [5] и [15]). В значительной мере это связано с широким спектром приложений в самых различных областях: компьютерные системы, коммуникационные сети, супермаркеты, аэропорты и т.д.

Одна из важнейших проблем теории очередей — выяснение условий существования предельных распределений (условий стабильности) процессов, описывающих функционирование систем обслуживания (см. [2, 4, 9, 10, 12-14]).

1 Ткаченко Андрей Викторович — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, преподаватель каф. математической экономики НИУ "Высшая школа экономики", e-mail: [email protected].