CC BY
9ПЕРЕДАЧА, ПРИЕМ И ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
УДК 621.39
Фрактальные алгоритмы многопользовательского детектирования «плотных» ансамблей сигналов
Бобровский В.И.
Аннотация. Одной из наиболее важных проблем подвижной связи, использующей технологии радиоинтерфейсов на основе CDMA и OFDM, является возможность применения частотно эффективной системы линейно зависимых сигналов, передаваемых в одном частотно-временном интервале при наличии переходных помех. Решение данной проблемы связано с разработкой практически приемлемых алгоритмов многопользовательского детектирования, что позволит существенно повысить такие взаимосвязанные параметры системы связи, как пропускную способность, абонентскую емкость, информационную скорость передачи. Оптимальный прием групповой сигнальной конструкции имеет экспоненциальную зависимость вычислительного ресурса от величины группового символа, что в реальных системах подвижной связи приводит к значительному повышению вычислительной сложности алгоритмов многопользовательского детектирования и ограничивает его практическое применение. Существующие подходы к построению практически приемлемых алгоритмов многопользовательского детектирования малоэффективны или имеют существенные недостатки, ограничивающие их практическое применение. Причиной этого служит неразрешенное противоречие между повышением удельной информационной скорости передачи «плотных» ансамблей сигналов и не экспоненциальным ростом вычислительной сложности алгоритмов их многопользовательского детектирования. В работе показано, что в соответствии с компенсационным подходом к синтезу алгоритмов многопользовательского детектирования, формирование границ оценок информационных параметров «плотных» ансамблей, образованных путем аддитивного объединения одномерных многопозиционных сигналов и аддитивных ансамблей двоичных сигналов, можно строить на основе алгебраических фракталов. При этом границы областей принятия решения «плотных» ансамблей можно строить на основе соответствующих границ аддитивных ансамблей двоичных сигналов, что позволит существенно снизить их вычислительную сложность.
Ключевые слова: система подвижной связи, многопользовательское детектирование, алгоритмы приема сигналов, области принятия решения, границы принятия решения, границы оценки информационных параметров помехоустойчивость, фракталы, кодовое разделение сигналов, мультиплексирование с ортогональным частотным разделением каналов, вычислительная сложность алгоритмов.
Введение
Как известно, одним из подходов, применяемым для повышения эффективности функционирования систем подвижной связи (СПС), при использовании множественного доступа с кодовым разделением (CDMA), а также мультиплексирования с ортогональным частотным разделением каналов (OFDM), является многопользовательское детектирование (МПД) частотно-эффективной системы «плотного» ансамбля сигналов, передаваемых в одном частотно-временном интервале при наличии переходных помех.
Очевидно, что повышение удельной скорости R/F (где R - информационная скорость, F - занимаемая полоса частот) группового ансамбля сигналов передачи приводит к увеличению пропускной способности канала радиодоступа на физическом уровне ЭМВОС. Считается, что в случае выполнения R/F > 1 сигналы, составляющие групповой ансамбль становятся линейно зависимыми. В работе [1] такие ансамбли сигналов названы «плотными».
Одной из проблем МПД «плотного» ансамбля сигналов является преодоление экспоненциальной зависимости роста сложности алгоритмов МПД от числа детектируемых двоичных сигналов. Данная проблема может быть решена на основе представления алгоритмов МПД в виде алгебраических фракталов.
В [2] показано, что разрешение проблемы снижения вычислительной сложности алгоритмов МПД основано на эффективном построении границ оценок информационных параметров детектируемых цифровых сигналов. Поэтому в работе построение алгоритмов МПД основано на компенсационном подходе [3].
Впервые в компенсационном виде были синтезированы алгоритмы оптимального МПД по критерию минимум вероятности ошибки на символ пользователя Бураченко Д.Л. [3]. В [3] также представлены в компенсационном виде линейно-компенсационные алгоритмы Агеева Д.В. Данное представление было выполнено с целью оценки их потенциальной помехоустойчивости для сравнительного анализа.
В соответствии с компенсационным принципом алгоритм представляется в виде схемы формирования откликов корреляторов с последующей их обработкой, формированием так называемых компенсирующих структур и вычитанием последних из соответствующих откликов корреляторов. На основании полученной разности производится оценка символов пользователей [3].
Рассмотрим принципы компенсационного подхода применительно к настоящей работе. Формально представим в компенсационном виде алгоритм МПД в соответствии с критерием минимума вероятности ошибки на групповой символ (min Pe).
В формализованном виде критерий оптимальности min Pe можно записать:
min Pe = max p(r = r* / y) , (1)
Y * Y *
r r
где Y - область пространства наблюдений на выходе банка корреляторов,
соответствующая групповому информационному параметру r = r .
В соответствии с (1) оптимальная область наблюдений примет вид:
7 . = {y : max p(r / y) = p(r* / y)} . (2)
r r
Поскольку в соответствии с постановкой задачи нас интересует информационный параметр определенного пользователя, то (1) трансформируется следующим образом.
X min Pe [r(r*)] = Z max р\г(г*)/у] ' (3)
ж Y ж ж Y ж
* * r(r' ) r(r' ) r(r' ) r(r' ) *
где r(rt) 4 (r]_, r2,..., rt = Гг,..., rK) - групповой символ с r = rt = {0,1}; K - число
детектируемых символов; Y . - область пространства наблюдений на выходе банка
* *
корреляторов, соответствующая групповому информационному параметру r (r ). Из (3) следует, что оптимальная область наблюдений примет вид:
Y0 = {y : max £p[r(r/)/y]= £pV(iVу]} . (4)
' r(V') r (r')
В соответствии с компенсационным принципом построения алгоритмов МПД на основании (3) с учетом (4) правило оценивания двоичных символов запишется в виде:
г* = геС { у - g }, (5)
где
[1, х > 0
гесЬ (х) = < - функция принятия решения, (6)
10, х < 0
г Д (г1, г г,..., гк) - вектор информационных параметров сигналов;
Т
У Д (Уьу2,. • •,ук) - вектор откликов корреляторов (вектор наблюдений), гдеуг Д (у,8г-) ;
= (ДУ
8г., г = 1,., К - нормированный г-ый двоичный цифровой сигнал. Как следует из формального представления в компенсационном виде алгоритма МПД
(5), основной задачей является формирование вектора границы оценки информационного
т т
параметра (ГОИП) g: g Д (^1, g2,..., gк) , gг Д gг(y)= Иг[(У1, Уг,., ук) ] - вектор оптимальных
ГОИП, определяемых на основе (4).
Отличие (5) от соответствующей формальной записи компенсационного алгоритма МПД, представленной в [3], заключается в том, что отклики корреляторов (согласованных фильтров) формировались путем свертки наблюдения y с ненормированным опорным сигналом Si.
Как показано в [2], синтез компенсационного алгоритма оптимального МПД по критерию min Pe традиционным способом дает ГОИП, требующую для своего вычисления известных информационных параметров (ИП) мешающих сигналов, которые в действительности неизвестны. Таким образом, синтез алгоритма оптимального МПД в соответствии с критерием min Pe традиционным способом невозможен.
Решение данной проблемы возможно на основе фрактального представления алгоритмов МПД двоичных сигналов.
Формальное представление фрактального алгоритма МПД
Для определения фрактала воспользуемся формулировкой, данной Мандельбротом, которая звучит так: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому» [4].
Фракталы делят на геометрические, алгебраические и стохастические1.
Фракталы, рассмотренные в данной работе, относятся к алгебраическим. Для построения алгебраических фракталов используются итерации нелинейных отображений, задаваемых простыми алгебраическими формулами.
Покажем, что применительно к компенсационным алгоритмам детектирования цифровых сигналов алгоритм построения границы оценки информационных параметров сигнала может быть представлен алгебраическим фракталом. Для удобства будем пользоваться описанием сигналов в векторном виде в евклидовом пространстве сигналов.
Сделаем несколько определений.
n-мерным будем называть пространство, в котором можно найти n линейно независимых элементов, а любые и+1 элементы - линейно зависимы.
Прямой в n-мерном пространстве будем называть множество точек, задаваемых параметрическим уравнением в векторном виде:
x = x0 + a t , (7)
T T
где x = (х1з x2,..., xn) - вектор произвольной точки прямой; x0=(x01, x02,..., x0n) - вектор начальной точки прямой; a=(a1, a2,..., an) - направляющий вектор прямой; t - параметр.
n-мерной плоскостью в m-мерном пространстве (m > n) будем называть множество точек, задаваемых параметрическим уравнением в векторном виде [5]:
х = х0 + a1 t1 + a2 t2+... + an tn, (m > n), (8)
где x = (x1, x2,..., xm) - вектор произвольной точки n-мерной плоскости; х0 = (x01, x02,..., x0m) -вектор начальной точки n-мерной плоскости; {ai = (ai1, ai2,..., aim) , i =1...n} - множество неколлинеарных ненулевых векторов; {tb i =1 ...n} - множество параметров.
Информационный параметр сигнала - параметр сигнала, значения которого соответствуют символу, передаваемому от источника к получателю посредством данного сигнала.
Неинформационные параметры сигнала - параметры, характеризующие форму сигнала и не связанные с передаваемой сигналом пользовательской информацией.
Граница оценки информационных параметров - граница, разделяющая области оценивания передаваемых двоичных символов: «0» и «1».
Линии стыков n-мерной ГОИП - множество точек, лежащих на пересечении (n-1)-мерных плоскостей, принадлежащих ГОИП.
1 Существуют и другие классификационные признаки, однако к данной работе они не имеют отношения.
2 (7) является частным случаем (8). Для пространства сигналов любой размерности одномерная плоскость есть прямая.
Линии стыков и-мерной ГОИП по i-ой оси - такие линии стыков и-мерной ГОИП, которые вызваны неортогональностью направляющего вектора г-ой оси и направляющего вектора оси детектируемого двоичного сигнала в и-мерном пространстве.
Аддитивным ансамблем цифровых сигналов (ЦС) называется групповой сигнал, образованный в результате их аддитивного объединения [3].
Базисом аддитивного ансамбля линейно независимых двоичных одномерных сигналов будем называть векторы, соответствующие этим сигналам, при условии передачи каждым из них информационного параметра «0». Введем следующие обозначения.
- аддитивный ансамбль v двоичных ЦС, на который действует аддитивная помеха п.
4 s(r) + n; (9)
yv 4 (Уа,, У^,. ., Уа )T - вектор откликов банка корреляторов (согласованных фильтров), где ai, г= 1.v, - индексная переменная; sa е отклик г-го коррелятора:
V
Уг 4 X (s, (rk ),s') + П'; (10)
k=1
i-й отсчет вектора шума:
и 4 (П', S'); (11)
ri = {0,1}, г = 1, ..., и, - двоичный символ (информационный параметр), переносимый г-м цифровым сигналом;
ri = {0,1}, i = 1, ., и, - оценка информационного параметра ri i-го ЦС; r = {ri, i - индекс si(ri) е ^v} - групповой символ аддитивного ансамбля, состоящего из v двоичных ЦС;
r(ri') - групповой символ r, в котором двоичный символ ri имеет определенное значение ri', остальные rk, k - индекс si(ri) е k^i, не определены.
si(ri) - вектор двоичного сигнала i-го пользователя при условии, что переносимый им ИП равен ri ( si(ri=0) и si(ri=1) - эквидистантные противоположные вектора);
Si, ||s,|| 4 ,s) - соответственно вектор несущего колебания сигнала i-го
пользователя и его норма;
s, 4 si/||si|| - вектор нормированного несущего колебания сигнала i-го пользователя; Ei(ri) 4 ||si(ri)|| - энергия сигнала si(ri), равная по определению квадрату нормы его
4
вектора;
Eij 4 (S;-, Sj) - взаимная энергия сигналов si и Sj, равная по определению их скалярному произведению;
Ру 4 (s;, sj)/(||si|| ||Sj||) - коэффициент взаимной неортогональности сигналов s; и sj; i, j - индексы, для которых s;, Sj е
Ev 4 [ Ey, i, j - индексы, для которых s;, Sj е ^v] - матрица Грама;
p 4 [ Pij, i, j - индексы, для которых s;, sj е ^v] - нормализованная матрица Грама (матрица коэффициентов взаимной неортогональности сигналов);
E;v 4 [Eij, i, j - индексы, для которых s;, sj е j^i] - вектор взаимных энергий сигнала s; с другими несущими сигналов ансамбля n - вектор аддитивной случайной помехи;
V
S(r) 4 £ Si (r) - вектор результирующего сигнала;
'=1
gi 4 g,[*v] = gi({ykz, z =1... v-1}), (12)
3 В целях сокращения записей в дальнейшем слово «вектор» будем опускать.
4 Так как в работе рассматриваются только двоичные эквидистантные противоположные ЦС, то Е{г=0) = Е,(г=1) Д Е-18 Передача, прием и обработка сигналов
где к2 = 1, ..., К, к2 Фу, к2 Ф г, г = 1, ..., К,у = 1, ..., К, V - число двоичных сигналов; г - индекс ЦС (один из V), для которого строится ГОИП; у - индекс ЦС результирующей ГОИП; (12) -ГОИП г-го ЦС, разделяющая области оценки информационного параметра г-го ЦС: гг = 0 и гг = 1 при приеме ансамбля [^у], - проекции линий стыков (у+1)-мерной
ГОИП у-го ЦС по г-й оси у-мерной плоскости, образованной сигналами ансамбля (у-й сигнал не принадлежит ансамблю
Ограничения:
1) Сигналы ансамбля являются эквидистантными противоположными двоичными сигналами произвольной конечной энергии.
2) ГОИП состоит из набора однородных поверхностей, соединенных линиями стыков, каждая из которых соответствует одной паре сигнальных точек с разным детектируемым двоичным символом.
3) Помеха п задана плотностью распределения вероятности с нулевым средним, симметричной относительно произвольной гиперплоскости пространства v+1, проходящей через начало координат и перпендикулярной векторам (8г, г -индекс
В случае детектирования у-го двоичного символа v-мерный групповой сигнал условно можно разделить на две подгруппы, состоящие из сигнальных точек (СТ), соответствующих г(гу=0) и г(г7=1), у=1, ..., К. Применительно к случаю, представленному на рис. 1а, подгруппа, объединяющая СТ, соответствующие г(г1=0), включает точки (00, 01}, а подгруппа из СТ с г(г1=1) - точки (10, 11}. Пусть области оценки информационного параметра у-го двоичного сигнала разделены ГОИП g/ (на рис. 1, а V = 2). Евклидово пространство сигналов, содержащее групповой сигнал, обозначим О.
Предположим, что к существующему ансамблю сигналов добавляется еще один, ортогональный сигналам данного ансамбля (см. рис. 1, б). Области оценки информационного параметра у-го двоичного сигнала в этом случае будут разделены ГОИП gJv+ (на рис. 1, б -g,3). Изломы данной ГОИП будут отсутствовать в виду ортогональности добавляемого сигнала. При учете ограничения (3) кривые, образованные в результате пересечения gJv+I с гиперплоскостями, параллельными гиперплоскости О5, будут совпадать с g/.
Далее, если нарушить ортогональность добавленного сигнала к одному из сигналов, лежащих в гиперплоскости О, учитывая ограничение (2), однородность ГОИП нарушится. В этом случае она будет иметь два излома, и состоять из трех однородных поверхностей. Изломы, вызванные неортогональностью выделяемого (у-го) сигнала и одного
из сигналов, составляющих групповой ансамбль (к примеру, к-го сигнала), будем называть
6
изломами ГОИП у-го сигнала в направлении к-го сигнала .
11
а)
100
110
00
v
01
б)
100 щ-
000
110 ' ч-
Sj'' -•'011
в)
111V-'
011
Рис. 1. Геометрическая иллюстрация видоизменения ГОИПу-го ЦС с ФМ-2 при нарушении ортогональности к: а) г-му ЦС в двумерном; б) г-му и к-му ЦС в трехмерном; в) г-му и к-му ЦС в четырехмерном пространстве
5 В [6] отмечается, что понятия пространство и плоскость являются родственными.
6 Если к-ый сигнал совпадает с направляющим вектором оси евклидова пространства, уместно говорить о изломах ГОИП в направлении его к-ой оси.
Проекции данных изломов на гиперплоскость, образованную ансамблем сигналов, не включающим детектируемый (/-ый) сигнал, разделяют области определения ГОИП gjv+l детектируемого сигнала. В случае неортогональности детектируемого сигнала более чем к одному двоичному противоположному сигналу группового ансамбля будут появляться изломы /-ой ГОИП в направлении каждого неортогонального /-му сигнала. При этом число однородных поверхностей g/+l, а, следовательно, и областей их определения, будет равным 3V. Выявив соответствие однородного участка ГОИП g/+l, в зависимости от области его определения, на которую, в свою очередь, указывает вектор наблюдения У, можно построить g/+l во всей области ее определения.
Предположим, что проекции изломов ГОИП g/+l, определяющие область ее определения, можно построить на основании ГОИП ^и, г=1, ..., V, кг ф/}. Каждую g^г' можно определить на основании ^гГ1, г=1, ..., ^-1, гг ф кг ф/} и т. д.. Из чего следует, что для построения ГОИП gjK требуется определить всевозможные ГОИП для ансамблей с числом сигналов 1 < V < К.
Учитывая вышеизложенное, на основании [2] формально алгоритм построения gjк, / = 1, ..., К, можно представить следующим образом.
1) Всевозможные одномерные ГОИП формально можно представить как
£ = aíгg{w(y1 // = 0) = Чу //■ = 1)}, г = 1, ..., К, г ф/, (13а)
У;
где ^(у^гг) - плотность распределения вероятности отклика г-го коррелятора (согласованного фильтра) уг при условии, что передавался символ гг.
2) Формально двухмерные ГОИП в соответствии с приведенным выше предположением о возможности построения у-мерных ГОИП gh на основе (у-1^-мерных ГОИП gzг'~l, г = 1...V-1, можно представить в виде
= £(^к1, Ук), г, к = 1, ..., К, г ф/, к ф/, г ф к, (13б)
где £ - функционал, позволяющий, во-первых, по ГОИП, размерность которых на единицу меньше размерности формируемой ГОИП, найти область определения одной из 3г (в общем случае, г - размерность формируемой ГОИП) однородных поверхностей, во-вторых, определить значение данной однородной поверхности в зависимости от значений откликов корреляторов ук, к = 1, ..., г.
V) Представление у-мерных ГОИП по аналогии с (13 а) и (13 б) будет выглядеть следующим образом:
gi! = £(ккЛук/, 1=1, ..., у-1}), г,к1 = 1, ..., К, г ф/, к1 ф/, г ф к. (13в)
В соответствии с (13в) К-мерная ГОИП запишется в виде
gjK = £(Ь/КЛук/, /=1, ..., К-1}), к1 = 1, ..., К, к1 ф/. (13г)
На основании (13) можно заключить следующее.
Алгоритм формирования результирующей ГОИП gf основан на алгоритмах
К.
формирования ГОИП {^к/ , / = 1, ..., К-1}, которые порядком построения подобны gj в соответствии с принятым критерием и различаются только размерностью пространства
*-» К.—1
сигналов, в котором они строятся. Построение каждой из gk/ , / = 1, ..., К-1, основано, в свою
К,—2 К К— 1
очередь, на ГОИП {^/ , / = 1, ...,К-2}, которые порядком построения подобны gj и gkl , и т. д.
Таким образом, из вышеизложенного можно сделать следующие выводы:
1) Алгоритм формирования gjK можно разбить на части, подобные целому. В соответствии с приведенным выше определением фрактала, данным Мандельбротом, алгоритм формирования ГОИП gjк, формально представленный (13), является алгебраическим фракталом. Учитывая, что ГОИП фактически определяет компенсационный алгоритм МПД, уместно его назвать фрактальным, а метод построения алгоритмов (13) - методом построения фрактальных алгоритмов МПД.
2) Если и - оптимальные по критерию минимума вероятности ошибки на групповой символ ГОИП /-го и у'-го цифровых сигналов соответственно, причем у'-й сигнал не принадлежит ансамблю то для определения проекций g. и gj линий стыков
ГОИП Я)[^У+1] по /-й оси ансамбля сигналов ^ на плоскость, образованную базисом ансамбля достаточно известных ГОИП г - индекс, для которого е энергии
у'-го сигнала и коэффициентов его неортогональности с сигналами, принадлежащими
3) Абсолютная величина смещения проекции g'J (или g" [^У]) по г-й оси
относительно ГОИП равна ||$у|| ргу.
4) Если вектор откликов банка корреляторов уу по осям л = 0, ..., V евклидова пространства сигналов ^ принадлежит центральным областям определения ГОИП gу[Rv+l], а по остальным ^л осям данного пространства принадлежит боковым областям определения
данной ГОИП, то численное значение ГОИП g[^v+1] определяется по формуле
{ \
П__V V v-n
Xkj(а)ТЕ>а, -X Xk:(аUа)Е,% + Xuj(аЕ
/=1 ,=1 k=v+1 ,=1
0'^n) O'^n) (k<v) (i £v-n)
v+Ь 1
(14a)
где
-1, Уv
1, Уv , (14б)
0, Уv G3V
kV(,'W / , j j ,, 4 UV(,)A
l 0 y е ^ j
-левая, средняя и правая области соответственно, образуемые проекциями линий стыков v-мерной ГОИП по i-й оси пространства сигналов ее построения; j - индекс; Sj е ^v+1, Sj jiai, ai - индекс, i =1, ..., v; sa е
Формирование оптимальных по критерию минимума вероятности ошибки на групповой символ ГОИП на основе фракталов
Из вышеизложенного следует, что (14) позволяет строить ГОИП g[^N], j=1, ..., N в N-мерном евклидовом пространстве, в каждой точке которой значения плотностей вероятности распределения информационных параметров r,=0 и r,=1 равны:
т
w(r(rj=0)) = w(r(rj=1)), где r(r7- = 0) A (r1, r2,..., ri = 0,..., rN) .
Такая ГОИП состоит из примыкающих друг к другу гиперплоскостей, перпендикулярных отрезкам, концы которых соединяют ближайшие сигнальные точки, соответствующие групповым символам: r(r7- = 0) и r(r7- = 1), и делит эти отрезки пополам в случае равенства априорных вероятностейp(ri), i = 1, ..., N.
В случае реализации критерия минимум вероятности ошибки на групповой символ (min Pe) при действии принятых ограничений на плотность аддитивной помехи оптимальные области приема группового символа также будут отделяться друг от друга примыкающими гиперплоскостями, которые также перпендикулярны отрезкам, соединяющим концы ближайших сигнальных точек, и делят их пополам.
Таким образом, ГОИП при детектировании j-го сигнала будет совпадать с оптимальными по критерию min Pe границами, разделяющими области принятия решения по информационному параметру rj (см. рис. 2).
Необходимо отметить, что из-за наличия переменных верхних пределов суммирования выражение (14) несколько неудобно для практических расчетов, а также при подсчете вычислительной сложности ГОИП. Поэтому преобразуем (14) к виду, у которого верхние пределы сумм не будут зависеть от того, каким областям определения ГОИП принадлежит вектор откликов корреляторов у, а также не нужно отслеживать соотношение между верхними и нижними пределами данных сумм. Для этого переопределим коэффициенты k/(i) и u/(i).
¿01 m
Рис. 2. Расположение областей принятия решения при выделении rj в соответствии с критерием min Pe
Учитывая то, что суммирование первой суммы ведется по г =1, ..., л для уу е 3^ , то
kJ (i)A< .
0, y , 3V
Ji
V "1
где sign (x) = ■
-1, x < 0
(15)
£ [^ ] - ¿[^ ]) у [ 1, иначе
Так как суммирование третьей суммы ведется по г=1, ..., у-', соответствующему
v r—v r~v
yv еЗ; , 3; , то
J Ji* Ji'
u j (i)A
-1, УV
1 Уv .
0, yv e3j
(16)
Слагаемые Е/ второй суммы соответствуют таким индексам г и /, для которых уу е 3^, 3 П уу е 3* или уу е 3^ П уу е 3^, 3^ , то коэффициентами данных слагаемых являются
ц] (;, к) Д (к] (;) + к ; (к ))ф (и] (;) + и] (к)),
где (х+у)е - суммирование х и у по модулю 2.
Используя (15) - (17) выражение (14) перепишется в виде: 1
я;+1 =
V—1 V V ^
V * '
Ej v ,=1
XkJ(i)4Ey —X Y^J (i,k)Ek + XuJ(i)Eij
i=1 к =i+1
(17)
(18)
где v = 1, ..., N-1, j = 1, ..., v+1, i = 1, ..., v, i ^j, g1 - с точностью до индекса определяется (13а).
Если номера сигналов в ансамбле произвольные, с чем на практике приходиться считаться, то (18) примет вид
gj+1 = "7= I X kJ (а У^Уа, -X X ^J (а , ак +X Uj (^ )E,
■JEj V i=1 i=1 к =i+1 i=1
(19)
где у = 1, ..., N-1,/ = индекс е г = 1, ..., у, аг=индекс 8а е аг ^/, £1 - с точностью
до индекса определяется (13а).
На рис. 3а и 4 представлены области определения ГОИП третьего и четвертого сигналов при оптимальном по критерию минимум вероятности ошибки на групповой символ детектировании соответственно трех и четырех неортогональных сигналов.
Для каждого из представленных случаев области разделены проекциями линий стыков ^ и ¿'У при сдвигах ГОИП V = {2, 3}; г = {1, 2, 3}.
В соответствии с областями определения ГОИП третьего сигнала, показанными на
о
рис. 3, а, на рис. 3, б представлена фрактальная ГОИП §3 в случае МПД 3-х равнонеортогональных сигналов.
Иллюстрация на рис. 3 подтверждает приведенное выше заключения о том, что ГОИП в рамках соответствующей области ее построения имеет вид гиперплоскости, а также, что число таких гиперплоскостей экспоненциально растет с увеличением числа разделяемых сигналов.
i=1
У
У
a) yi
0.4
0 -
-0.4
g 2
g 2
gl
g 1
£i=£i=£3=-4.5 дБ
^11=^11=^11=0.5
б)
gl -0 -0.2 -0.4 -0.6
У2
-0.8
-0.4
0.4
0.8
Рис. 3. Детектирование трех равнонеортогональных сигналов (Е7 = -4.5 дБ; ру = 0.5; 7, у = 1, ..., 3; 7 Ф у): а) области построения ГОИП; б) ГОИП первого сигнала
Таким образом, в подтверждение вышеизложенного, как видно из рис. 3 и 4, важной задачей при формировании ГОИП детектируемого сигнала, определяющей вычислительную сложность алгоритма МПД, является определение области, в которой ГОИП имеет вид гиперплоскости.
g 3
g3
Рис. 4. Области построения ГОИП четвертого из четырех детектируемых неортогональных сигналов (Ei = -4.5 дБ; ргу = 0.5; i, j = 1, ..., 4; i ^j)
Вызывает интерес сравнение синтезированных алгоритмов с алгоритмами оптимального разделения неортогональных сигналов в соответствии с критерием минимум вероятности ошибки на бит, представленными в монографии [3].
Оба алгоритма являются компенсационными. Их общие представления имеют вид (5) для алгоритма оптимального разделения неортогональных сигналов в соответствии с критерием минимум вероятности ошибки на бит (min P&) и минимум вероятности ошибки на групповой символ (min Pe) для фрактальных алгоритмов. Главным отличием фрактальных алгоритмов от алгоритмов [3] является способ формирования ГОИП gf и, как следствие, их вид. На рис. 5 представлены ГОИП для известного [3] и синтезированного (14) алгоритмов детектирования первого, при мешающих втором и третьем неортогональных сигналах на фоне АБГШ. Для построения графика на рис. 5, б (14) была преобразована в соответствии с исходными данными, используемыми для алгоритмов в [3]: учтено, что опорные сигналы корреляторов в соответствии с принятыми обозначениями имеют вид si, а не S7-, i=1, ..., N, а также учтена необходимость оценки дисперсии гауссовского шума. С учетом этого для построения графиков на рис. 5 использовались следующие исходные данные: EjN0 = EjN0 = 0дБ; E2!~NÜ = -6дБ; р12 = р13 = 0.5; р23 = -0.5, где N0 - односторонняя спектральная плотность мощности АБГШ.
Из рис. 5 видно, что компенсирующая структура, построенная в соответствии с (14), аппроксимирует оптимальную по критерию минимум вероятности ошибки на бит структуру, строящуюся на основании алгоритмов, предложенных в [3]. Анализ сравниваемых алгоритмов показывает, что с увеличением отношения сигнал/шум (ОСШ), а также числа разделяемых сигналов форма последней стремительно приближается к форме фрактальной ГОИП, построенной в соответствии с алгоритмом (14). Отличие практически исчезает при ОСШ детектируемого сигнала 1,5 дБ и более. Таким образом, в большинстве практических случаев многопользовательское детектирование по критерию минимум вероятности ошибки на бит и групповой символ не имеет существенных отличий.
Рис. 5. Границы оценки информационного параметра первого из трех неортогональных сигналов:
а) алгоритма оптимального МПД по критерию минимум вероятности ошибки на бит [2]; б) фрактального алгоритма МПД (критерий минимум вероятности ошибки на групповой символ)
Результаты исследований, представленные ниже, получены в предположении, что «плотный» ансамбль сигналов на входе многопользовательского детектора образуется в результате аддитивного объединения многопозиционных одномерных сигналов с нумерацией сигнальных точек в натуральном манипуляционном коде. Каждый одномерный сигнал может быть образован передатчиком одного пользователя либо быть результатом аддитивного объединения одномерных сигналов нескольких пользователей. Возможность такого представления основано на построении проекций сигналов пользователей на выбранную ось опорного сигнала при условии применения быстрой регулировки мощности и когерентного приема.
Групповой сигнал на входе МПД сформирован в результате аддитивного объединения N 2Б/-ичных одномерных сигналов, сформированных на основе соответствующих кодовых структур. -ичный одномерный сигнал образован в результате аддитивного объединения Б/
двоичных эквидистантных сигналов с отношениями мощностей {^А Е(])/; у,
к=1, ..., Б/; у < к;/ = 1, ..., Щ. Будем полагать, что сигналы с меньшим номером, например,/-ой компенсирующей структуры,/=1, ..., N имеют большую мощность по отношению ко всем сигналам/-ой компенсирующей структуры, номер которых больше.
Будем также учитывать следующие допущения. Сопутствующие параметры входного сигнала будем считать известными. Априорные вероятности передачи двоичных символов равны или не определены.
На рис. 6 представлена сигнальная конструкция, образованная в результате аддитивного объединения трех двоичных сигналов на основе кодовой структуры з(г) и двух двоичных сигналов на основе кодовой структуры з^. Из данного рисунка видно, что как образованные таким образом одномерные многопозиционные сигналы 8(г)(г(г)) и 8(/)(г(/)), так двумерная конструкция в целом имеют натуральный манипуляционный код.
Гиперплоскости, разделяющие области оценки ИП, учитывая ограничения, наложенные на помеху, и равные априорные вероятности передачи двоичных символов, должны быть перпендикулярны прямым, проходящим через сигнальные точки, и пересекают
их посередине. Таким образом, элементарные ГОИП на стыках ячеек принятия решения будут совпадать. Это видно на рис. 6, применительно к описанной выше сигнальной конструкции, объединяющей двоичные разномощные сигналы кодовых структур 8(7) и 8().
На рис. 7 представлены ГОИП при выделении г2(7) и г2у совпадающие с границами разделения областей оценки информационных параметров, соответствующих оценке второго двоичного символа. Для построения данных границ необходимо определить, воспользовавшись алгоритмом (19) применительно к плотному ансамблю сигналов [2].
Рис. 6. Групповая сигнальная конструкция при аддитивном объединении пяти двоичных сигналов на основе двух кодовых структур: 8® и 8(/) при натуральном манипуляционном кодировании
Рис. 7. Границы областей оценки информационных параметров г2( ) и Гг® «плотного» группового сигнала, образованного базисными векторами (кодовыми структурами) si и Sj при Д=2; Д=3; /=2н /,=2у°; 4=2,2; 4=0,733; ру=0,2
Рис. 8 иллю стрирует форму границы областей оценки информационных параметров г1
(3)
и г1(2)в трехмерном пространстве сигналов, образованном базисными векторами ^»и 83.
В заключение отметим, что в случае оценки многопозиционного символа кодовой структуры г^, у=1, ..., N следует определить все разряды составного номера ячейки ГОИП, после чего с помощью соответствующего правила, использующего определенный номер SN
и оценку элементарного сигнала, непосредственно определяется оценка символа г
О
2
0
0
Рис. 8. Границы областей оценки информационных параметров г/3"1 и г1(3) «плотного» группового сигнала, образованного базисными векторами (кодовыми структурами) 81, 82 и 83 при D1=2; D3=1; {/,■=2'» /=1,..., 3}; ,41=2/3; .42=1; 43=1/2; Р12=0,2; р1з=0,25; р2з=0,3
А.нал из вычислительной сложности фрактального алгоритма МПД
Вычислим асимптотическую сложность фрактального алгоритма. Поскольку все алгоритмы МПД в работе представлены в компенсационном виде, для их сравнения достаточно определять асимптотическую вычислительную сложность их компенсирующих структур. Поскольку все известные когерентные алгоритмы МПД предполагают известные отклики корреляторов у и матрицу Грама Е, вычислительная сложность при определении этих величин рассматриваться не будет.
Таким образом, рассчитаем асимптотическую вычислительную сложность компенсирующей структуры (19).
Как видно из данной формулы, асимптотическая вычислительная сложность
V 2 2
компенсирующей структуры ^ ■ на v-ом шаге рекурсии равна О(С ), где С - число сочетаний из V по 2. Ее определяет вторая сумма (19).
K-1
K-1
Поскольку для расчета требуется вычислить в общей сложности Х^7
Л П »-»
структур, где Ат - число размещений из т по п, то в итоге асимптотическая сложность вычисления компенсирующей структуры gf равна
(к-1
O
ХтА
л'
Л
-С 2 (20)
v -1)! ' J
Таким образом, асимптотическая вычислительная сложность компенсационного алгоритма МПД, оптимального по критерию min Pe, является экспоненциальной и практически совпадает с асимптотической сложностью o(zKC^) алгоритма МПД, известного как алгоритм МПД «полного перебора» [5], оптимального по тому же критерию. Однако, при расчете ГОИП всех детектируемых сигналов вычислительная сложность фрактальных алгоритмов относительно алгоритмов «полного перебора» будет уменьшаться с ростом объема ансамбля сигналов за счет использования одних и тех же «промежуточных» ГОИП для расчета результирующих ГОИП разных детектируемых сигналов.
Заключение
В работе показано, что алгоритмы многопользовательского детектирования, в том числе сигналов с удельной информационной скорость выше единицы («плотных» сигналов), могут быть получены на основе фракталов. При этом форма их записи (19) выглядит компактно по сравнению с представлением в [3]. В этой связи следует отметить, что форма (19) остается неизменной при возрастании размерности пространства сигналов. Таким образом, представленный способ синтеза фрактальных алгоритмов МПД обеспечивает построение последних со структурной сложностью, робастной к числу детектируемых сигналов.
Второй особенностью построения фрактальных алгоритмов является то, что их МПД является оптимальным по критерию минимума вероятности ошибки на групповой символ. Представляются они в компенсационном виде, что открывает возможность использования известных методик точного расчета их потенциальной помехоустойчивости.
Еще одним преимуществом фрактальных алгоритмов является то, что для их вычисления не требуется использовать гиперболические функции от больших аргументов, а также оценивать дисперсию шума, как это делается в [3]. Форма ГОИП фрактальных алгоритмов МПД, представляется в виде линейных ломаных поверхностей. Формирование линейных составляющих данных поверхностей на основе механизма матричных вычислений в архитектуре современных сигнальных процессоров позволит значительно увеличить их производительность, тем самым повысить скорость формирования ГОИП детектируемых сигналов. Данные особенности фрактальных алгоритмов значительно упрощают процесс детектирования, что делает полученные в работе алгоритмы для практических целей более предпочтительными относительно алгоритмов оптимального разделения сигналов в соответствии с критерием минимум вероятности ошибки на бит.
Недостатком фрактальных алгоритмов МПД также как и алгоритмов полного перебора, а также алгоритмов, предложенных в [3], является экспоненциальный рост их сложности с увеличением числа детектируемых сигналов. Данный недостаток фрактальных алгоритмов МПД можно преодолеть на основе комбинирования границ оценки информационных параметров детектируемых сигналов.
Литература
1. Зюко А.Г., Фалько А.И. и др. Помехоустойчивость и эффективность систем передачи информации / Под ред. А.Г. Зюко. - М.: Радио и связь, 1985. - 272 с.
2. Бобровский В.И. Многопользовательское детектирование. Монография. - Ульяновск: Изд-во «Вектор-С», 2007. - 348 с.
3. Бураченко Д.Л. Оптимальное разделение цифровых сигналов многих пользователей в линиях и сетях связи в условиях помех. - Л.: ВАС, 1990. - 302 с.
4. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.: Институт компьютерных исследований, 2002.
5. Прокис Дж. Цифровая связь / Под ред. Д.Д. Кловского. - М.: Радио и связь, 2000. - 800 с.
References
1. Pomekhoustoychivost' i effektivnost' sistem peredachi informatsii [Noise immunity and efficiency of information transmission systems] / Zyuko A.G., Falko A.I. and etc .; Ed. A.G. Zyuko. Moscow. Radio and communications. 1985. 272 p. (In Russian).
2. Bobrovsky V.I. Mnogopol'zovatel'skoye detektirovaniye [Multiuser detection]. Monograph. Ulyanovsk: Vector-S Publishing House. 2007. 348 p. (In Russian).
3. Burachenko D.L. Optimal'noye razdeleniye tsifrovykh signalov mnogikh pol'zovateley [Optimal separation of digital signals from many users]. Leningrad. YOU. 1990. 302 р. (In Russian).
4. Mandelbrot B. Fraktal'naya geometriya prirody [Fractal geometry of nature]. Moscow. Institute for Computer Research. 2002. (In Russian).
5. Prokis J. Tsifrovaya svyaz' [Digital Communication] / Ed. D.D. Klovsky. Moscow. Radio and communications. 2000. 800 p. (In Russian).
Fractal algorithms for multiple user detectoring of "dense" signal assemblies
V.I. Bobrovsky
Annotation. One of the most important problems of mobile communications using CDMA and OFDM radio interface technologies is the possibility of using a frequency-efficient system of linearly dependent signals transmitted in the same time-frequency interval in the presence of crosstalk. The solution to this problem is associated with the development of practically acceptable multi-user detection algorithms, which will significantly increase such interconnected communication system parameters as bandwidth, subscriber capacity, and information transfer rate. The optimal reception of a group signal structure has an exponential dependence of the computing resource on the value of the group symbol, which in real mobile communication systems leads to a significant increase in the computational complexity of multi-user detection algorithms and limits its practical application. Existing approaches to the construction of practically acceptable multi-user detection algorithms are ineffective or have significant drawbacks that limit their practical application. The reason for this is the unresolved contradiction between an increase in the specific information rate of transmission of "dense" signal ensembles and a non-exponential increase in the computational complexity of their multi-user detection algorithms. It is shown that in accordance with the compensation approach to the synthesis of multi-user detection algorithms, the formation of the boundaries of estimates of information parameters of "dense" ensembles formed by the additive combination of one-dimensional multi-position signals and additive ensembles of binary signals can be constructed on the basis of algebraic fractals. Moreover, the boundaries of decision areas of "dense " ensembles can be built on the basis of the corresponding boundaries of additive ensembles of binary signals, which will significantly reduce their computational complexity.
Keywords: mobile communication system, multi-user detection, signal reception algorithms, decision areas, decision boundaries, information parameter estimation boundaries noise immunity, fractals, code division of signals, orthogonal frequency division multiplexing, computational complexity of algorithms.
Статья поступила 17 июня 2019 г.
Информация об авторах
Бобровский Вадим Игоревич - Главный специалист ПАО «Интелтех» (г. Санкт-Петербург). Доктор технических наук, доцент. Имеет более 130 научных трудов, в том числе 1 монография, 12 изобретений в области теории электрических цепей и сигналов.
Тел: +79626811021. E-mail: bobrovsky2001@mail.ru.
Адрес: 197341, Санкт-Петербург, Фермское шоссе, д.14, к.1, кв. 89.
Information about Authors
Bobrovsky Vadim Igorevich - Chief Specialist of PJSC Inteltech (St. Petersburg). Doctor of Technical Sciences (2009), Associate Professor (2010). He has more than 130 scientific papers, 1 monograph, 12 inventions in the field of the theory of electric circuits and signals.
Phone: +79626811021. E-mail: bobrovsky2001@mail.ru.
Address: 14, Fermskoye Shosse, St. Petersburg, building 1, apt. 89, index: 197341.
Для цитирования: Бобровский В.И. Фрактальные алгоритмы многопользовательского детектирования «плотных» ансамблей сигналов // Техника средств связи. 2019. № 4 (148). С. 15 - 28.
For citation: Bobrovsky V.I. Fractal algorithms for multiple user detectoring of "dense" signal assemblies // Means of communication equipment. 2019. № 4 (148). P. 15 - 28. (In Russian).
