CC BY
6МЕАП ОБ СОММиШСЛПОМ Е((и ШМЕОТ. Ъй. 2 (142). 2018
В.И. Бобровский
доктор технических наук, доцент, ПАО «Интелтех»
А.К. Скворцов
ПАО «Интелтех»
СНИЖЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СЛОЖНОСТИ АЛГОРИТМОВ МНОГОПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКОГО ДЕТЕКТИРОВАНИЯ
АННОТАЦИЯ. В статье показана возможность снижения вычислительной сложности алгоритмов многопользовательского детектирования (МПД) на основе комбинирования оптимальных и по-доптимальных известных и вновь разработанных компенсационных структур, применяемых в компенсационных алгоритмах МПД. В качестве подоптимальных структур рассматриваются компенсационные структуры алгоритмов Агеева и Колмогорова [1, 2]. В качестве оптимальных структур рассматриваются компенсационные структуры алгоритмов, синтезированных по критериям минимума вероятности ошибки на символ пользователя и групповой символ [3, 4]. В статье приводятся формулы для расчета вероятностей ошибок и их вычислительной сложности. Представлен анализ потенциальной помехоустойчивости и вычислительной сложности комбинированных алгоритмов.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: Многопользовательское детектирование, оптимальное разделение сигналов, неортогональные сигналы, помехоустойчивость, декорреляция, компенсирующие структуры, алгоритм Агеева, алгоритм Колмогорова.
Ведение
Важной характеристикой алгоритмов МПД, определяющей их практическое применение, является зависимость их вычислительной сложности от числа детектируемых сигналов*. В данной статье описывается метод синтеза алгоритмов МПД неортогональных двоичных сигналов, позволяющий повысить потенциальную помехоустойчивость алгоритмов МПД при ограничении на их вычислительную сложность на основе комбинирования «промежуточных» границ оценки информационных параметров (ГОИП) сигналов пользователей на произвольных шагах рекурсии при построении результирующей ГОИП.
* Далее будет показано, что более общей характеристикой является зависимость вычислительной сложности алгоритмов МПД от позиционности группового сигнала. С учетом того, что известные алгоритмы МПД предполагают двоичные сигналы пользователей, в работе уместно говорить о зависимости вычислительной сложности от числа детектируемых двоичных сигналов.
Снижение вычислительной сложности алгоритмов МПД
Фрактальный алгоритм МПД при формировании результирующей ГОИП производит построение всевозможных ГОИП меньших размерностей [4]. В результате перебор всех вариантов компенсирующих структур (КС) ансамбля сигналов ЖК, образованного путем аддитивного объединения К двоичных сигналов пользователей и помехи, обусловливает экспоненциальный характер фрактального алгоритма.
Уйти от полного перебора КС можно, используя ее рекурсивный характер, который позволяет на определенном шаге рекурсии V' = 1...К использовать КС, отличные от оптимальных. В этом случае построение результирующей КС будет производиться без перебора всевозможных КС сигналов ансамблей меньшего объема. По-доптимальные КС, используемые вместо оптимальных, в целях снижения вычислительной сложности результирующей КС будем называть усредняющими. Таким образом, число шагов исходной рекурсивной формулы уменьшится на
V'—1, тем самым число переборов оптимальных КС сократится. ГОИП, образованную путем усреднения оптимальных КС, назовем комбинированной и обозначим Gj("> [Ж-8], где п — порядок усреднения. Под порядком усреднения будем понимать разность объема ансамбля двоичных сигналов и шага рекурсии, на котором используются усредняющие КС (УКС):
п = ¡—V' + 1, V' = 1...К.
(1)
-1
N
8а/А- £ са/у/ , I = (2а)
ьАи j=1( jФ1)
где
0 0 0 тЩ 0 0 0 ^
>-1
Г 1 Р12 Рш1-1
Р12 1 Р2М
р1Ж р2Ж 1
; (2б)
-1 N
8к ¡а- £ скцу} , 1 = (3а)
сКи j=1( j т)
где
Г1 Р12 Р1Ж ^ 1 + — 2 Г ^ 0 0 Л
ск =• Р12 1 р2м 0 л? 0
р2м 1 ) 0 V 0 4,
-1
Из (1) следует, что п лежит в пределах от 1 до К. Таким образом, если УКС применяется на последнем, К-м, шаге рекурсии, комбинированная ГОИП будет иметь первый порядок, соответственно, если на первом, порядок будет К-й. Применение УКС К-го порядка теоретически возможно, однако не имеет смысла ввиду того, что в этом случае вычислительная сложность результирующей ГОИП не снижается.
Очевидно, чем меньше порядок усреднения, тем ближе друг к другу по форме оптимальная и усредняющая компенсирующие структуры, тем выше помехоустойчивость алгоритмов МПД, использующих усреднение КС. Таким образом, в качестве УКС лучше выбирать подо-птимальные или близкие к ним КС. В общем случае в качестве УКС может служить КС любого компенсационного алгоритма МПД. Прежде всего, представляет интерес использование в качестве УКС КС популярных алгоритмов: Агеева (МПД с декорреляцией) и Колмогорова (МПД с минимальной среднеквадратической ошибкой (МСКО)) [1, 2]. Для этого необходимо представить их в компенсационном виде и выделить характерную для каждого алгоритма КС.
Компенсационный характер алгоритма Агеева показан в [3]. Аналогично можно представить в компенсационном виде алгоритм Колмогорова.
В соответствии с компенсационным принципом ГОИП алгоритмы Агеева и Колмогорова, соответственно, примут вид: (2) и (3):
. (3б)
Данные компенсирующие структуры являются подоптимальными, в связи с чем могут служить хорошими примерами УКС при построении комбинированных ГОИП.
Применение таким образом усредняющих КС будем называть усреднением п-го порядка. Очевидно, что при п = 0 комбинированная ГОИП будет совпадать с УКС: GjK А ^ уср.
Общую запись комбинированной ГОИП при усреднении п-го порядка можно представить в виде [4]
Gj(v + 1) =
1
Г V £
VI=1
У-1 V V ^
-£ £ V)(а,а&)Ща,а& +£и)(а)Щ
г=1 &=г+1
I=1
(4)
где V = К—п + 1...К—1, п = 2...К, j — индекс sj■ е + 1, I = 1..^, а. — индекс; ва. е а^,
8] = 0 ; при V = К—п + 2...К—1 коэффициенты £Даг), иУ(аг) и ц/(аг) в случае V = К—п + 1 находятся в соответствии с выражениями
)А
0 V уе3у 3
3 <= ^уср,
-уср,.
81§п(,[ИУ]-8ус;ж]), V]е3:
и] ( О А
(5)
УСР
1, У £ 3УсР/. :
УСР
1, V Уе3
УСР ,<
(6)
0, V Уе3У
УСР п
где 8УсрЛ [^У ] и 8"уср[^У ] — положительное
и отрицательное смещение УКС 8усру [^У ] соответственно по оси Оу I пространства ансамбля 3УСр , 3УСр 3УСр — левая, средняя и правая
Усрл УСрл УСрл
области определения ГОИП соответственно 8j■[ЖV + 1], образованные положительным и отрицательным смещением УКС 8уср ^ [^У ] в пространстве ансамбля Ж^
Следует отметить, что шаг усреднения для КС разных сигналов ансамблей различного объема может различаться. Так, при построении результирующей ГОИП детектируемого сигнала, усреднение К-го порядка может производиться для числа КС от 1 до К—1 (или Ак^/О!), усреднение порядка К—1 — для числа КС от 1 до АК-12/1!, усреднение порядка К—2 — для числа сигналов от 1 до АК-13/2!, и т. д., усреднение 2-го
порядка — для числа сигналов от 1 до A
K-1
K-
У
(К—2)! (или К—1), и, наконец, может быть только одно усреднение 1-го порядка. В общем случае усреднение п-го (для п = 2...К) порядка может производиться для числа сигналов от 1 до АК-1К-П + 1/(К—п)!, где Атп — число размещений из т по п. Как выше отмечалось, усреднение первого порядка может быть только одно. Наличие факториала в знаменателе объясняется тем, что порядок аргументов при построении ГОИП не важен.
Порядки усреднения для КС разных сигналов можно также комбинировать. Данное обстоятельство служит хорошим средством для «плавного» регулирования вычислительной сложности ГОИП детектируемых сигналов.
Рассчитаем асимптотическую вычислительную сложность КС (4).
Под вычислительной сложностью будем понимать число элементарных операций ^ = = N + N+ : умножений и сложений, требуемых для вычисления КС. Выполнение условия в условном операторе также будем рассматривать как элементарную операцию.
Простоты ради, остановимся на случае, не предусматривающем комбинирование УКС сигналов в одном шаге рекурсии.
Учитывая, что УКС выбраны КС Агеева и Колмогорова, определим их асимптотическую вычислительную сложность (АВС).
С учетом особенностей линейного МПД АВС алгоритмов Агеева или Колмогорова можно представить в следующем виде:
АВСлИН1(К) = 0(Nx(K) + N + (K)), (7а)
где
Nx(K) = 2 No6p(K) + Holx(K) + K + 1; (7б) N + (K) = Hol + (K) + K-1 - (7в)
число умножений и сложений соответственно, необходимое для расчета ГОИП детектируемого сигнала;
На1х(К) = X[(К-1)((-1) + ((-1) +1] ; (7г)
I=1
На1+ (К) = Х [(К -1)((-1) + (( -1)] - (7д)
I=1
количество операций, требуемое для вычисления двух треугольных матриц из исходной матрицы Грама по алгоритму преобразования Хо-лецкого;
^бр(К) = 0,5 (К3-*2 + 2К) - (7е) количество операций для взятия обратной треугольной матрицы.
С учетом свойств О после выполнения необходимых операций по упрощению (7) примет вид
АВСлИн1(К) = О(К3). (8)
Очевидно, что АВС детектирования всех сигналов, поступающих на вход приемного устройства,
АВСлин(К) = О(К4). (9)
Далее пусть N^5^+1 — количество операций, необходимое для вычисления УКС при усреднении п-го порядка ансамбля объема К. Количество УКС с вычислительной сложностью NКс-)n+1 определяется, как для фрактальных ГОИП на v(n)-м шаге ^(п) = К-п + 1) рекурсии:
A v(n) AK
(v(n) -1)!'
n = 1...K
Таким образом, асимптотическая сложность
вычисления всех УКС n-го порядка {g, = 1... N-n + 1} равна
N-n+1 • _
уср
, J :
(
АВСусp(K) = O
A v(n) AK
(v(n) -1)! ^ср
N-n+1
n = 1...K.
(10)
Количество рекурсий уменьшится на К-п. Следовательно, при подсчете асимптотической вычислительной сложности рекурсивных операций суммирование в (4) должно начинаться с I = N— п + 1. На v-м шаге рекурсии, как ранее отмечалось, АВС расчета одной «промежуточной» КС равна Су-12. Следовательно, АВС расчета «промежуточных» КС
(
АВСпромСЮ = O
A1 AK
K £
Vi=K-n+2 (( -1)! n = 2...K.
С2
i-1
Рис. 1. Графики зависимости асимптотической вычислительной сложности алгоритмов МПД
Порядок усреднения в (11) пф1 объясняется тем, что при n = 1 результирующая комбинированная ГОИП совпадает с УКС.
Соединив (10) с (11), получим АВС результирующей комбинированной ГОИП, определенной выше (4):
АВСКОмб(*) =
( K J л К-n+1 Л
= O У T^C2! + AK-Г^ус-П+1 ,
1 i--tn-+ 2 ((-1)! '-1 (К-n)! уср J ,
n = 2...К,(12)
где Amn — количество размещений из m по n.
При n = 1 АВСкомб(К) = АВСуср(К) и определяется по (10).
На рис. 1 представлены графики зависимости асимптотической сложности вычисления ГОИП всех детектируемых сигналов для традиционного алгоритма, оптимального по критерию min Pe, МПД «полного перебора», фрактального алгоритма [4] и комбинированных алгоритмов с порядками усреднения n = 1...10, в соответствии с (12).
Как видно из рисунка, асимптотическая сложность вычисления ГОИП при комбинировании КС, выраженная (12), в отличие от фрактального алгоритма [4], не является экспоненциальной. Вычислительная сложность комбинированной ГОИП меняется в зависимости от порядка усреднения n. При маленьких порядках усреднения ее можно считать полиномиальной. При n = 1 результирующая комбини-
рованная ГОИП полностью совпадает с усредняющей компенсирующей структурой. В случае увеличения порядка усреднения до значений, близких к объему пространства сигналов К, асимптотическая сложность приобретает экспоненциальный характер.
На рис. иллюстрируется случай, когда усреднение применяется ко всем «промежуточным» КС сигналов на одном шаге рекурсии, являющихся подмножеством ансамбля сигналов, поступающих на вход приемного устройства. Вследствие этого АВС комбинированных алгоритмов при фиксированном К с изменением порядка усреднения изменится скачками определенной величины (см. рис. 1).
Упомянутые скачки можно достаточно хорошо «сгладить» в случае дифференцированного применения УКС на одном шаге рекурсии, т. е. усреднять не все «промежуточные» КС, а некоторую их часть. Очевидно, данная особенность увеличивает гибкость комбинированных алгоритмов МПД.
Заключение
Таким образом, асимптотическая вычислительная сложность компенсационных алгоритмов МПД, использующих в качестве ГОИП комбинированные компенсирующие структуры с порядком усреднения п, лежит в пределах, определяемых вычислительной сложностью известных оптимальных и подоптимальных алгоритмов МПД [5—7] и определяется введенным и описанным выше порядком усреднения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Агеев Д.В. Основы теории линейной селекции// Научно-технический сборник. Л.: ЛЭИС, 1935. №10. С.8-28.
2. Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Изв. АН СССРБ. Сер. Матем. 1941. №5.
3. Бураченко Д.Л. Оптимальное разделение цифровых сигналов многих пользователей в линиях и сетях связи в условиях помех. Л.: ВАС, 1990. 302с.
4. Бобровский В.И. Метод построения фрактальных алгоритмов МПД. Отчет о НИР шифр «Балхаш — ВУС»: «Изыскание инженерно-технических путей
распределения информационных потоков в реальном масштабе времени на стационарных УС с обеспечением защиты информации в части существующих стационарных УС». СПб.: ВУС, 2005. С. 89-103.
5. Прокис Дж. Цифровая связь/ Под ред. Д.Д. Кловского. М.: Радио и связь, 2000. 800с.
6. Verdu S. Multiuser Detection. Cambridge university Press, 1998.
7. Бобровский В.И. Увеличение потенциальных возможностей многопользовательского детектирования на основе компенсационных алгоритмов // Мобильные системы. 2004. №3. С. 21-24.
