Итерационный алгоритм обращения корреляционной матрицы помех Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.396.96

А. В. Ястребов

Итерационный алгоритм обращения корреляционной матрицы помех

Рассмотрена эффективность многоканального компенсатора помех в зависимости от числа используемых компенсационных каналов при фиксированном числе внешних помехопостановщиков. Предложен итерационный алгоритм обращения корреляционной матрицы помех, позволяющий на определенном шаге достичь нулевых потерь на выходе компенсатора и уменьшить вычислительную сложность нахождения весовых коэффициентов компенсационных каналов.

Ключевые слова: пространственная обработка сигналов, компенсатор помехи, минимизация вычислительной сложности, обращение эрмитовой матрицы.

о см

см

О!

<

I

(0 та

г

0 ^

со та

1

о.

<и

3

и <и со

см ■ч-

ю =?

см ■ч-ю см

Введение

В настоящее время продолжается быстрое развитие средств радиолокационного противодействия, таких как постановщики активных шумовых помех (АТТТП), что влечет за собой усложнение аппаратуры станций обнаружения целей [1-3]. В первую очередь это связано с ростом интенсивности использования беспилотных летательных аппаратов. На них устанавливаются излучатели помех, поэтому число действующих АТТТП постоянно растет. Одним из методов борьбы с АТТТП является применение многоканального компенсатора помех (МКП) в составе радиолокационных станций (РЛС). Причем число компенсационных каналов компенсатора должно быть не меньше числа помехопостановщиков [1, 3], поэтому на этапе проектирования РЛС число компенсационных каналов выбирается исходя из предполагаемого максимально возможного числа АТТТП

В работе проанализирована возможность адаптивного использования ресурсов МКП по компенсации АТТТП с целью уменьшения вычислительной сложности алгоритма пространственной обработки при количестве помехопостановщиков, меньшем числа компенсационных каналов компенсатора. Это позволяет использовать высвободившиеся ресурсы вычислительной системы для решения других задач.

Многоканальный компенсатор помех

Структурная схема МКП представлена на рис. 1. Обычно используют компенсационные каналы, диаграммы направленности (ДН) А(ф) (где А - нормированное усиление антен-

ной системы, дБ; ф - азимут, град) которых имеют глубокий провал в направлении максимума ДН основного канала, как показано на рис. 2.

Вычислительное устройство

Ф

№к

к 7 т • т к]

Рис. 1. Структурная схема МКП

А, дБ

-10

-20 -30

-50 -60 -70

/ \

г \ \

\

\

Г А 1 \ \ / / \ г\

\ / 1 1 у г

И © Ястребов А. В., 2017

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 ф,град

Рис. 2. Диаграмма направленности основного и компенсационных каналов

С помощью К обозначим вектор комплексных огибающих (КО) сигналов в компенсационных каналах МКП, тогда КО процесса на выходе компенсатора можно записать следующим образом:

у = х + WH К, (1)

где х - КО сигнала в основном канале МКП; W - вектор весовых коэффициентов; (•)я - знак эрмитового сопряжения.

Для максимизации выходного отношения сигнал-шум (ОСШ) весовой вектор W должен удовлетворять уравнению Винера - Хопфа [1, 3] и может быть найден по формуле

w = -m p,

(2)

где М = < ККн > - корреляционная матрица (КМ) помех в компенсационных каналах;

Р = < Кх* > - вектор взаимно корреляционных моментов между процессами в основном и компенсационных каналах МКП;

<•> - знак статистического усреднения. На рис. 3 представлена зависимость потерь В в ОСШ на выходе МКП от числа к используемых компенсационных каналов при фиксированном числе J действующих АТТТП относительно ОСШ на выходе МКП при использовании всех К компенсационных каналов. Заданы следующие параметры моделирования: общее число компенсационных каналов К = 8; число помехопостановщиков J = 3; мощность собственных шумов одинакова во всех каналах МКП, мощность внешних помех одинакова, а их суммарная мощность относительно собственного шума равна 5000.

В, дБ

В обоих случаях в направлениях на все помехопостановщики формируются глубокие провалы, однако в случае использования меньшего числа компенсационных каналов несколько выше уровень боковых лепестков результирующей ДН (рис. 4).

А, дБ

f \

¡1 ! \

11 II || Ii \\ V 11 /

/ V А / \ J Ii f i \ ' \ 1 \

1 , 1 1 lin Я 1 1 I" 1 I' 1 " 1 \ / j 1' 1 ' '' V' 1 1) !' I * V >' 1 i1 1

1 1

Рис. 3. Зависимость потерь в ОСШ от числа компенсационных каналов

Согласно данным рис. 3, потери в ОСШ практически равны нулю, когда количество используемых компенсационных каналов равно числу АШП (к = J). Поиск весового вектора МКП (2) включает в себя процедуру обращения КМ помех, вычислительная сложность которой пропорциональна третьей степени порядка КМ (К3). Следовательно, использование не всех компенсационных каналов позволяет существенно сократить объем вычислений, если количество АШП меньше общего числа компенсационных каналов (У < К), к тому же без потерь в ОСШ.

0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 ср,град

Рис. 4. Результирующая ДН МКП при использовании:

--к = J =3 компенсационных каналов;

----всех К = 8 компенсационных каналов;

—>■ - направления на источники АШП

Использование части компенсационных каналов соответствует применению части КМ помех м. Например, при наличии в весовой сумме (1) только первого канала вместо всей КМ м и вектора взаимных корреляций р достаточно взять из них по одному элементу: тп - элемент матрицы м, находящийся на пересечении первой строки и первого столбца, и р1 - первый элемент вектора р соответственно.

Использование же двух компенсационных каналов подразумевает обращение матрицы второго порядка, являющейся частью исходной КМ помех м К-го порядка, и умножение ее на вектор взаимных корреляций между сигналом в основном и сигналами в первых двух компенсационных каналах и т. д. Итерационный алгоритм Рассмотрим итерационный алгоритм обращения КМ помех, позволяющий на каждом к-м шаге вычислять обратную КМ для к используемых компенсационных каналов. В основе предлагаемого алгоритма лежит формула Ф. Г. Фробениуса обращения блочных матриц [4]:

та

х

(U

ч

та 0-

та

О

О.

£

ф ц

(Ч

о см

см

О!

<

I

со та

г

а в с d_ а+ авнса нса-1

— ■

авн-1

н-1

(3)

где н = d - са-1в.

Введем обозначение Ак для КМ помех в к первых компенсационных каналах (к < К) или, что аналогично, для матрицы, составленной из элементов, находящихся в к первых строках и столбцах исходной КМ м порядка К (рис. 5). С помощью Рк обозначим вектор взаимных корреляций между сигналом в основном канале и сигналами в первых к компенсационных каналах.

Матрица м - эрмитовая, поэтому с учетом данных рис. 5

Вк - ,

с - вн.

(4)

Первый шаг соответствует использованию одного компенсационного канала, весовой коэффициент которого вычисляется по формуле

щ =- а-1р1.

(5)

Здесь вектор р! состоит из единственного комплексного элемента.

Так как матрица м - эрмитовая, матрица А1 - ти (рис. 5, а) является действительным числом, следовательно, обратная к ней матрица также является действительным числом:

А-1 = 1 / т11.

(6)

Второй шаг соответствует использованию двух компенсационных каналов МКП. Найдем обратную матрицу к матрице а 2 (рис. 5, б), для этого перепишем формулу (3):

а"1 -

а2 —

а1 с1

в1

-1

а-1 + а-1в1н-1с1 а-1 -а-1в1н-1

-н-с1а-

-1

н

-1

(7)

где Н1 = D1 - С1А^В1.

Так как КМ м - эрмитовая, то матрица б! в формуле (7) является действительным числом. Величина С А^В; с учетом (4) может быть записана как ВнАц1В1. Полученное выражение является квадратичной формой и действительным числом. Следовательно, матрица и - действительное число, поэтому обратная матрица к матрице и! также является действительным числом, равным 1/Нх. Учитывая вышеизложенное, можно переписать выражение (7) следующим образом:

а-1 -

а2 —

А-1 + Е1 (Е^ Н1 )Н -Е1/Н1 -(Ъ/Н )Н 1/ Н1

(8)

где с учетом (4) введено обозначение

Ех = А-1В1. (9)

Продолжая итерационную процедуру, можно аналогичным образом найти обратную матрицу к матрице а 3 (рис. 5, в).

Таг нахождения КМ помех для к > 1 компенсационных каналов можно записать следующим образом:

0

со та

1

.

<и

3

и <и со

см ■ч-ю

с?

см ■ч-ю см

(П (П

12 3 4

12 3 4

К

Рис. 5. Итерации алгоритма обращения КМ: а - матрица А1; б - матрица A2; в - матрица А3

Ах Вх 1 А2 В2 1 1

Сх Ох • 2 • 2 А3 Вз • 2

• • 3 С2 о2 • • 3 • • 3

4 4 С3 Б3 4

• • • • •• • ••

К К К

10

10

10

10

ÖkbW бит®

—

3 4 5 6 Число комплексных умножений а

QUK)/Qm{k) б

Рис. 6. Графики зависимости вычислительной сложности метода квадратных корней Qкв (—)

и предлагаемого метода Qит (-) от числа к компенсационных каналов (а) и отношения вычислительной

сложности Qкв метода квадратных корней при компенсационных каналах К = 8 к вычислительной сложности Qит предлагаемого метода в зависимости от числа k = 1 + К используемых

компенсационных каналов (б)

a-1 -

Ак —

+ Ek-1 (Ek-l/h k-1 ) -Ek -1 h k -1 -(ek-1/ h k-1 f 1/ h k-1

(10)

где

Ek-1 - A--1Bk-1;

h

k-1

Dk-1 - Bf-lEk-1.

(11) (12)

Qut(k) = 1 +1X (6n2 + 3n -12).

4 n=2

(13)

Вычислительная сложность алгоритма

Определим необходимые вычислительные ресурсы для выполнения к-го шага итерационной процедуры.

Для вычисления вектора ек-1 по формуле (11) потребуется (к -1)2 комплексных умножений (КУ).

Для вычисления н к-1 по формуле (12) потребуется (к - 1) КУ.

В формуле (10) матрица а--1 уже известна с предыдущего шага. Так как н к-1 - действительное число, то для вычисления величины ек-1/ н к-1 необходимо выполнить 2(к - 1) действительных умножений (ДУ).

На выполнение операции умножения комплексного вектора-столбца на нормированный эрмитово-сопряженный вектор

е4_1 (ек_1/нк_1)н потребуется 2(к - 1) ДУ для нахождения диагональных элементов и 2(к - 1)(к - 2) ДУ для нахождения элементов ниже главной диагонали.

Учитывая то, что одно КУ состоит из четырех ДУ, суммарная вычислительная сложность Qит алгоритма нахождения обратной КМ размера к х к, выраженная в КУ, составляет

На практике для поиска обратной КМ помех М-1 размера К х К часто применяется метод Холецкого, или, как его еще называют, метод квадратных корней [5]. Его вычислительная сложность составляет Qкв = К3 / 2 + + К 2 КУ [1]. Согласно рис. 6, а, число требуемых операций для обоих методов практически одинаково. Рис. 6, б содержит график отношения вычислительной сложности метода квадратных корней Qкв при К = 8 к вычислительной сложности каждого шага предлагаемого метода Qит^) при k = 1, 2, ..., К.

В рассмотренном выше случае наличия J = 3 АШП и К = 8 компенсационных каналов можно остановить итерационную процедуру при к > 3 и использовать матрицу а-1 для нахождения весового вектора компенсатора. При этом вычислительная сложность предлагаемого метода, например, для к = 3 приблизительно в 20 раз ниже метода квадратных корней (см. рис. 6, б). Алгоритм остановки итерационной процедуры Мощность процесса (1) на выходе компенсатора при оптимальном весовом векторе w (2) равна

о:

= ( x + WHK =

= ( x

(14)

+ рhw = ох + p w

где о2х - суммарная мощность помех и собственного шума (СШ) в основном канале.

та

х

(U

ч

та

Q.

та

О

.

Ё V

ц

(Ч

о см

см

OI

<

I

о та

0 ü СО та

1 о. ф

£

Предполагая, что СШ являются независимыми во всех приемных каналах, запишем выражение для суммарной мощности СШ на выходе компенсатора:

ш = °2 w h w,

(15)

где а^ - мощность СШ в основном канале;

- мощность СШ в каждом из компенсационных каналов.

Будем считать, что мощности СШ априори известны.

На каждом к-м шаге итерационной процедуры обращения матрицы необходимо вычислять вектор весовых коэффициентов

Wk = A¿1Pk.

(16)

Здесь рк - вектор, состоящий из первых к-эле-ментов вектора взаимных корреляций р.

Мощность на выходе компенсатора на к-м шаге итерационной процедуры обращения КМ помех может быть найдена путем подстановки выражения (16) в уравнение (14):

а 2 (wk ) = oi + ph wk.

(17)

Суммарную мощность СШ на выходе компенсатора с учетом выражений (15) и (16) на к-м шаге итерационной процедуры можно определить следующим образом:

аСш (Wk ) = а02 +аК WkЯ Wk. (18)

При оптимальном весовом векторе W (2) процесс на выходе компенсатора (1) не коррелирует с действующими на входе помехами, поэтому выходная мощность (14) при оптимальном векторе равна суммарной мощности СШ (15).

Следовательно, условие для остановки процедуры итерационного обращения и нахождения необходимого числа копт компенсационных каналов для подавления действую-

щих АШП в случае использования вместо точных КМ помех м и вектора взаимных корреляций Р их максимально правдоподобных оценок мм и р выглядит следующим образом:

а:

(W* )<уаС Ш (Wi )

(19)

где Wk - вектор весовых коэффициентов, найденный на k-м шаге итерационной процедуры в случае использования оценок MM и P;

Y - коэффициент, зависящий от точности оценок мощностей (17) и (18). Заключение

Используя изложенный алгоритм, можно прервать итерационную процедуру обращения КМ помех. В результате сократятся время и вычислительные ресурсы на реализацию пространственной обработки сигналов в РЛС при практически нулевых потерях в ОСШ и небольшом увеличении уровня боковых лепестков результирующей ДН. Список литературы

1. Монзинго Р. А., Миллер Т. У. Адаптивные антенные решетки. Введение в теорию. Пер. с англ. В. А. Лексаченко. М.: Радио и связь, 1986. 448 с.

2. Richards M. L., Scheer J. A., Holm W. A. Principles of Modern Radar. In 2 vol. Vol. 1. Basic Principles. NJ.: SciTech Publishing, Edison, 2010. 924 c.

3. Melvin W. L., Scheer J. A. Principles of Modern Radar. In 2 vol. Vol. 2. Advanced Techniques. NJ.: SciTech Publishing, Edison, 2013. 846 c.

4. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 552 с.

5. Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Гостехиздат, 1950. 240 с.

Поступила 06.02.17

и ф

со

см ■clin 9 см ■clin см

Ястребов Андрей Викторович - ведущий инженер ФГБОУ ВО «Нижегородский государственный технический

университет им. Р. Е. Алексеева», г. Нижний Новгород.

Область научных интересов: радиолокация, цифровая обработка сигналов.

(П (П

Iterative inversion algorithm for an interference correlation matrix

The article considers efficiency of a multi-channel interference canceller as a function of the number of compensation channels used for a fixed number of jammers. The author suggests an iterative inversion algorithm for an interference correlation matrix, making it possible to achieve zero loss at a certain stage and decrease the computational complexity of determining weight factors for compensation channels. Keywords: spatial signal processing, interference canceller, minimising computational complexity, inverse of a Hermitian matrix.

Yastrebov Andrey Viktorovich - Leading Engineer, Nizhny Novgorod State Technical University named after R. E. Alekseev, Nizhny Novgorod.

Science research interests: radiolocation, digital signal processing.