Двухступенчатая адаптивная компенсация активных шумовых помех с ортогонализацией сигналов части компенсационных каналов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.396.963:621.391.26

ДВУХСТУПЕНЧАТАЯ АДАПТИВНАЯ КОМПЕНСАЦИЯ

АКТИВНЫХ ШУМОВЫХ ПОМЕХ С ОРТОГОНАЛИЗАЦИЕЙ СИГНАЛОВ ЧАСТИ КОМПЕНСАЦИОННЫХ КАНАЛОВ1

7 2

Жук С. Я. , д.т.н., профессор, Семибаламут К. М.

1 Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт», г. Киев, Украина, [email protected] 2Военно-дипломатическая академия имени Евгения Березняка,

г. Киев, Украина

TWO-STAGE ADAPTIVE COMPENSATION OF ACTIVE NOISE INTERFERENCE WITH SIGNALS ORTHOGONALIZATION OF A PART OF COMPENSATION

CHANNELS

1 * * * 2 Zhuk S. Ya. , Doctor of Engineering, Professor; Semibalamut K. M.

National Technical University of Ukraine «Kyiv Polytechnic Institute», Kyiv, Ukraine

Yevhenii Berezniak Military-Diplomatic Academy, Kyiv, Ukraine

Введение

Для пространственной компенсации активных шумовых помех в радиоэлектронных системах различного назначения широкое применение находят автокомпенсаторы помех на основе цифровых антенных решёток. Задача когерентной компенсации помех в цифровой антенной решётке сводится к определению весовых коэффициентов адаптивного фильтра. Большинство методов определения весовых коэффициентов базируется на получении оценок прямой или обратной корреляционной матрицы (КМ) входных помеховых сигналов [1], что связано со значительными вычислительными затратами. Увеличение мощности вычислительных средств путем простого повышения быстродействия в настоящее время уже практически невозможно, поэтому нужны подходы и средства, которые позволяют реализовать принцип параллельных вычислений. Достаточно перспективным является подход, основанный на ортогональных преобразованиях сигналов [2]. Он позволяет получить алгоритмы, которые обеспечивают параллельную обработку сигналов в соответствии с особенностями параллельных и векторных процессоров и могут быть реализованы на базе систолических структур.

Широкое распространение для синтеза цифровых автокомпенсаторов активных шумовых помех нашел метод наименьших квадратов (МНК) [3, 4], в соответствии с которым минимизируется сумма квадратов модулей погрешностей компенсации помехи. МНК позволяет получить решение

1 http://radap.kpi.ua/radiotechnique/article/view/1172

задачи адаптивной фильтрации в условиях априорной неопределенности характеристик помех. Решение задачи МНК может быть получено с использованием классического LS-алгоритма, который заключается в решении нормальных уравнений, а также рекуррентного R.LS-алгоритма калмановс-кого типа [3]. Но полученные на их основе цифровые автокомпенсаторы помех не обеспечивают параллельную обработку и требуют значительных вычислительных затрат.

В статье на основе теоремы разбиения регрессоров на два блока с использованием LS- и RLS-алгоритмов синтезированы двухступенчатые цифровые автокомпенсаторы активных шумовых помех, которые обеспечивают параллельную обработку сигналов и возможность подключения/отключения блока компенсационных каналов и соответственно части вычислительных модулей полученного устройства.

Постановка задачи Пусть цифровая антенная решетка имеет основной канал, на вход которого в г -й момент времени поступает комплексная огибающая помехового сигнала у (г), а также т компенсационных каналов, на входы которых поступают комплексные огибающие помеховых сигналов х (г), у = 1, т [5]. Будем полагать, что помеховые сигналы на основном у(г) и компенсационных входах ху (г), у = 1, т связаны соотношением

т

у(г) = Ер X (г) + в(0 = хТ (г)р + 8(0, (1)

у=1

где хТ (г) = (хх (/),..., хт (г)) - вектор, элементами которого являются сигналы на компенсационных входах х (г), у = 1, т в г -й момент времени; р, у = 1,т - неизвестные комплексные весовые коэффициенты; рТ =(р, ... , Рт) -вектор весовых коэффициентов р, у = 1, т; 8(г) - некоррелированная комплексная гауссовская последовательность с нулевым математическим ожиданием и постоянной, но неизвестной дисперсией.

При решении задачи МНК с помощью ЬБ-алгоритма полагается, что отсчеты помеховых сигналов на основном у(г) и компенсационных входах

ху (г), у = 1, т на временном интервале г = 1, п известны. Векторно-матричная постановка задачи (1) имеет вид

У = хр + с, _(2)

где X = ,..., хт\ - матрица, состоящая из векторов х., у = 1, т;

ХТ =( ху (1),.., ху (п)) - вектор, элементами которого являются измерения у-

го компенсационного канала х (г),г = 1,п; уТ =(у(1),...,у(п)) - вектор, эле-

ментами которого являются измерения основного канала у (г), г = 1, п;

гТ = (е(1), ... , е(п)) - вектор, включающий в(/),г = 1,п. Вектора х.,у = 1,т

получили название регрессоров [6].

Пусть наблюдаемая регрессионная модель (2) представлена в блочном виде

у = ХД + Х2р2 + г, (3)

гДе Х1 = |X1, ..., Хк| , Х2 = к^ ..., Хт | - матрщы; вТ = (0^ ... , Рк )

РТ = (Р^+ 1, ... , Рт) - векторы весовых коэффициентов, при этом

Рт =(Р!, Р!).

Требуется синтезировать оптимальный по критерию наименьших квадратов автокомпенсатор, в котором, в начале выполняется компенсация помехи в основном канале с использованием сигналов компенсационных каналов блока регрессоров X, а затем компенсация остатка помехи с использованием блока регрессоров Х .

Синтез двухступенчатых цифровых автокомпенсаторов с использованием LS- алгоритма

Согласно теореме о разбиении регрессоров (теоремы Фриша-Вау-Ловелля (FWL)) [6], оптимальный по критерию наименьших квадратов вектор оценок у при декомпозиции уравнения регрессии на два блока X и Х2 определяется по формуле

у = ХР1 + Х2Р 2, (4)

где р^, Р2 - векторы оптимальных весовых коэффициентов, которые определяются по формулам

Р1 =(X?Х1 )_1 Х1Н(у - ХР2), (5)

Р 2 = ( Х? М1Х2 )-1 Х2М1У; (6)

М - ортогональный проектор на подпространство Я1 (Х), являющееся ортогональным дополнением Я (Х) в Сп, который имеет вид

М =1-Х1 (Х?Х1 )-1 Х? =1-П1; (7)

П - проектор на подпространство Я (Х1), определяемый по формуле

П1 = Х (Х? Х1 )-1 Х?; (8)

н - знак транспонирования и комплексного сопряжения.

Вектор остатков еТ =( е (1),...,е(п)) , содержащий погрешности компенсации помехи на интервале г = 1, п, описывается выражением

е = у - ХР1 - Х2р2. (9)

Рассмотрим алгоритм вычисления вектора остатков е при разбиении матрицы регрессоров на два блока (4). Вектор остатков е можно представить в виде

е = у - X! (Х1НX! )_1 Х1Н (у - Х2р2) - Х2р2. (10)

С учётом (7), (8) выражение (10) можно преобразовать к виду: е = у - П1 (у - Х2Р2) - Х2Р2 = (I - П1)у - (I - П1)Х2Р2 = М1У - М1Х2Р2 .(11) Первое слагаемое в (11) является проекцией е вектора у на подпространство Я1 (X)

е = М1У = (1 - П1) у = у - у, (12)

где у! - проекция вектора у на подпространство Я(Х), являющаяся его оценкой при использовании блока проекторов X

у 1 = П1У. (13)

Проекция е характеризует отклонение оценки у1 от вектора у. Выполним анализ второго слагаемого в выражении (11). В соответствии со свойствами проектора, соотношение (6) можно преобразовать к виду:

Р2 =((М1Х2 )Н М1Х2 )-1 М1Х2У = (( Х1)Н Х1) 1 Х1у, (14)

где X1 - матрица, которая определяется по формуле

Х1= М1Х2. (15)

В выражении (15) проектор М последовательно применяется к регрес-сорам матрицы X2. Поэтому регрессоры матрицы X1 являются ортогональными регрессорам X1 и образуют ортогональное Я(^) подпространство при этом ^(Х) и Д(Х^) = Д(Х). Тогда, с учетом (14), (15), второе слагаемое в (12) можно преобразовать к виду

М1Х2Р2 = Х1Р2 = Х1((Х1)Н Х1) 1 (Х1)Н у = П 1у, (16)

где П1 - проектор на подпространство Я(^)

П1= Х1(( Х1)Н Х1)-1 (Х1)Н. (17) Таким образом, ошибка

е = е1 - П 1у. (18)

С учетом ортогональности пространств Я^) и ) представим у в виде

у = у 1 + е1. (19)

Поскольку проекция у е Я(X) и Я(Хх) $ Я(Х$), справедливо соотношение

П $ у! = 0.

Поэтому

е = в! - П^е! = е - П$ (у! + е) = е - П$е! = (I - П$) е = М$е где М $ - ортогональный проектор, который имеет вид

М$=1-П $.

(20) (21)

(22)

Таким образом, вектор остатков е при разбиении регрессоров на два блока (3), может быть определен в два этапа. На первом этапе на основе матрицы регрессоров X определяется вектор остатков е1 путём проектирования у на ортогональное дополнение Я $ (X) по формуле (12), а также выполняется ортогонализация регрессоров второго блока Х$ на основе соотношения (15). На втором этапе выполняется вычисление вектора остатков е как проекции е1 на пространство Я $ (X), являющееся ортогональным

дополнением Я(Х) в Сп, с использованием ортогонального проектора М $ по формуле (21). Второй этап выполняется после окончания первого этапа.

Структурная схема двухступенчатого цифрового автокомпенсатора активных шумовых помех с использованием LS- алгоритма, на выходе которого определяется остаток е, при разбиении матрицы регрессоров X на два блока X и X с размерностями к*к и (ш-к)^(ш-к) соответственно, представлена на рис. 1.

Рис. 1. Структурная схема двухступенчатого цифрового автокомпенсатора активных шумовых помех с использованием LS- алгоритма В соответствии с [2] такие устройства обработки называют двухступенчатыми. В каждом модуле первой ступени выполняются операции ортого-

нального проектирования с использованием ортогонального проектора М (7) и определяются ортогонализированные регрессоры х... х^ и вектор остатков е1 . После их получения, в модуле второй ступени с использованием проектора М1 (22) вычисляется вектор остатков е . Полученное двухступенчатое устройство обеспечивает параллельную обработку данных. Синтез двухступенчатых цифровых автокомпенсаторов с использованием КЬ8- алгоритма Каждая процедура ортогонального проектирования, выполняемая в модулях первой и второй ступеней, может быть представлена в эквивалентной форме [3, 6] с использованием весовых коэффициентов $. Векторы весовых коэффициентов для модулей первой ступени определяются по формулам

р;. =(Х1Х)-1 ХНхя у = шт, (23)

р 0 = (ХН Х1 )-1 ХНу. (24)

Вектор весовых коэффициентов для модуля второй ступени вычисляется на основе ортогонализированных проекторов второго блока X! по формуле

р 2 =( Х1Н Х1)-1 Х1Не1. (25)

Как следует из выражений (23)-(25), весовые коэффициенты также вычисляются поэтапно: на первом этапе - на основе данных X,X,у , на втором - на основе X1, е1.

Основным недостатком блочного МНК, реализуемого с использованием LS-алгоритма, являются вычислительные трудности, связанные с обращением матриц при больших размерностях X. Для преодоления указанных трудностей разработан рекуррентный алгоритм вычисления весовых коэффициентов, получивший название ЯЬБ-алгоритма [3, 4]. С использованием ЯЬБ-алгоритма вычисление весовых коэффициентов для модулей л 1 -

первой ступени р у = к +1, т , может быть выполнено рекуррентно по формулам

Г Т ~1"1

Ц (0 = р(/ - 1)х*(/)[I + Х1 (/)Р?(/ - 1)х*(/)] ; (26)

р (!) = ру (I -1) - к1у 0>1Т (Ор О -1); (27)

р1у (!) = Р1- (! - 1) + ^ (!) (X (!) - Х1Т (/)Р1 (! - 1)), (28)

где к1 (!) - коэффициент усиления; Хт (!) = (х (!),...,хк(!)) - г -я вектор-строка матрицы X; ) - матрица размером к* к; х (/) - ! -я компонента

регрессора х.; * - знак комплексного сопряжения.

Вычисление весовых коэффициентов р0 также выполняется с помощью рекуррентного алгоритма (26)-(28). При этом, в выражении (28) вместо х (г) используется г -я компонента у(г) вектора у.

Оптимальные значения весовых коэффициентов вычисляются на последнем п -м шаге (3 = Р °(п), ] = к + 0,т, (30 = Р0(п), после чего определяются ортогонализированные регрессоры х$, = к +1, т и вектор остатков е1 по формулам

I -

х^ = Xj - XlPj, j = к +1, т; ео = у - Х^. (29)

Вычисление весовых коэффициентов с использованием ЯЬБ-алгоритма для модуля второй ступени р 2 выполняется рекуррентно по формулам

Г ""1 — 1

к2(0 = р2(г - 1)х$*(г)[I + х21Т(0р?(/ - 1)х$*(/-)] ; (30)

Ро2(0 = Ро2(/ -1) - к2(0х$г(ОРо2(/ -1); (31)

Р2(0 = Р 2(г -1) + к 2(0 (^(0 - х^ (/)Р2(/ -1)), (32)

где х$г(г) = (х$+1 (/),...,х$(г)) - г -я вектор-строка матрицы X$; е(г) - г -я

компонента вектора остатков е выхода первой ступени.

Оптимальные значения весовых коэффициентов вычисляются на последнем п -м шаге р 2 = Р 2 (п), после чего определяется вектор остатков е по формуле

е = е - X$pо. (33)

Для работы ЯЬБ-алгоритмов на первой (26)-(28) и второй (30)-(32) ступенях должны быть заданы начальные условия

Р1(0), р°(0), j = к +1,т, Р01(0), р 1(0) и р2(0),р2(0) соответственно. Алгоритмы (26)-(28) и (30)-(32) относятся к классу рекуррентных алгоритмов ка-лмановского типа [3, 4].

Таким образом, и при применении ЯЬБ-алгоритма, переход ко второму этапу выполняется после завершения первого этапа. Данный подход может быть применен, если матрицу регрессоров X и вектор у рассматривать как обучающий пакет [2], который используется для оценивания неизвестных весовых коэффициентов.

Структурная схема двухступенчатого цифрового автокомпенсатора активных шумовых помех с использованием RLS- алгоритма, эквивалентная представленной на рис. 1, показана на рис. 2.

Синтезированные двухступенчатые цифровые автокомпенсаторы активных шумовых помех с использованием LS- и RLS-алгоритмов были полу-

чены без конкретизации характеристик помеховых сигналов, что является важным и очень полезным свойством алгоритмов МНК и относятся к классу адаптивных [7]. При их синтезе не использовались статистические характеристики помеховых сигналов.

Особенностью функционирования КЬБ-алгоритма по стационарным случайным выборкам является наличие переходного и установившегося режимов работы. В установившемся режиме работы оценки весовых коэффициентов практически не изменяются. Таким образом, запуск второй ступени автокомпенсатора может выполняться после завершения переходного режима работы первой ступени.

Рис. 2. Структурная схема двухступенчатого цифрового автокомпенсатора активных шумовых помех с использованием RLS- алгоритма На практике адаптацию коэффициентов фильтра, как правило, требуется выполнять в реальном масштабе времени при поступлении больших объемов данных. Как отмечалось выше, если весовые коэффициенты

/V - Л /\

ß°, j = k +1, m, ß0, ß0 определены, то вычисление вектора остатков e выполняется рекуррентно при одновременном функционировании на i -м шаге первой и второй ступеней, в которых соответственно вычисляются остатки e0 (i) и затем e(i).

Одновременное функционирование первой и второй ступени на основе рекуррентного RLS-алгоритма может быть использовано и при адаптации весовых коэффициентов ß 1, i = k +1, m, ß0, ß0. Такой рекуррентный алго-

ритм будет иметь квазиоптимальный характер, поскольку операция орто-

гонализации векторов х], ] — к +1 , т на начальных тактах (итерациях) не

будет завершена. Для повышения устойчивости сходимости второй ступени, она может включаться в совместную работу с первой ступенью с некоторой задержкой.

Анализ эффективности рекуррентного двухступенчатого цифрового

автокомпенсатора

Анализ эффективности рекуррентного двухступенчатого цифрового автокомпенсатора на основе RLS-алгоритма с одновременным функционированием ступеней выполнен с помощью статистического моделирования, в соответствии с соотношениями (26)-(33). Количество компенсационных каналов т=6. Компенсационные каналы разбивались на два блока с одинаковым числом каналов, равным трем. Суммарная мощность помех в 600 раз превышает мощность собственных шумов приемных каналов, которая полагалась равной единице, что соответствует 27,8 дБ. Для анализа эффективности представляет интерес работа данной схемы и алгоритмов в поме-ховых ситуациях, характеризуемых хорошей и плохой обусловленностью КМ помех, которая вычисляется по формуле

ц — 10 х 1е(А, хХ"1 ),

I о ^ макс сигн.мин)'

где , „„„ - максимальное и минимальное сигнальные собственные

макс сшн.мин

значения КМ помеховых сигналов дополнительных каналов. Хорошей обусловленности КМ помех соответствует значение ц единицы децибел,

На рис. 3 представлены зависимости мощности ошибок компенсации по-меховых сигналов на выходах 14, 10 первой и 20 второй ступеней цифрового авто-компенсатора (первое число соответствует номеру ступени, а второе - номеру канала) от количества итераций. Число постановщиков активных шумовых помех Ь=2; обусловленность КМ - 1,5 дБ. Для сравнения на рис. 3 представлена характеристика переходного процесса од-

плохой - десять и более децибел.

30

о ю я 3

о

л н и о я

э

о

И

ч

И <и

25

О 20 Я

я

Я 15

я

«

и Я <и

10

2 5 о

5Й

10 10 10 10 К о л и ч е с т в о и т е р а ц и й, п

Рис. 3. Мощность ошибок компенсации помех:

1=2; ц=1,5 дБ

0

ноступенчатого цифрового автокомпенсатора помех [5], полученного на основе RLS-алгоритма без разбиения регрессоров X на два блока. На рис. 4 представлены аналогичные зависимости при плохой обусловленности КМ - 21 дБ.

Как известно, эффективная компенсация одновременно действующих L постановщиков активных шумовых помех осуществляется при наличии не менее L вспомогательных каналов, что в данном случае выполняется уже на первой ступени (выходы модулей 10 и 14, рис. 3, 4). Поэтому, как следует из результатов моделирования, обеспечивается одинаковая эффективность подавления помехи в основном канале первой и второй ступени, как при хорошей, так и плохой обусловленности КМ помех - переходные процессы на выходах модулей 10 и 20 фактически совпадают. Это позволяет использовать для компенсации только первый блок компенсационных каналов и вычислительный модуль 10. Данное решение может быть принято путём анализа мощности ошибок компенсации помеховых сигналов в установившемся режиме на выходах 10 первой и 20 второй ступеней циф-

рового автокомпенсатора.

30-г

о

10о 101 102

К о л и ч е с т в о и т е р а ц и й, n

Рис. 4. Мощность ошибок компенсации помех: L=2; ц =21 дБ

10

Также из рис. 3, 4 видно, что переходные процессы в двухступенчатом и т-канальном одноступенчатом автокомпенсаторах практически совпадают. Однако в последнем устройстве используется шесть компенсационных каналов, число которых не может быть сокращено.

На рис. 5 представлены аналогичные зависимости мощности ошибок компенсации помех от количества итераций при числе поста-

новщиков активных шумовых помех Ь=4 и обусловленности КМ - 10 дБ. В модулях первой ступени автокомпенсатора отмеченное выше требование числа компенсационных каналов не выполняется. В результате наблюдаются существенные потери в подавлении помехи на выходе первой ступени основного канала, которые достигают 17 дБ (выход модуля 10-выход модуля 20). Это подтверждает необходимость включения второй ступени для эффективного подавления помех. Необходимо отметить, что при плохой обусловленности КМ помех, скорость сходимости известного одноступенчатого автокомпенсатора с шестью компенсационными каналами несколь-

ко выше, чем у двухступенчатого автокомпенсатора с одновременным функционированием ступеней, что подтверждает его квазиоптимальный характер.

На рис. 6 представлены аналогичные зависимости мощности ошибок компенсации помех от количества итераций для примера, рассмотренного на рис. 5 при включении второй ступени с задержкой на три итерации. Введение задержки приводит к уменьшению длительности переходного процесса на порядок и приближает обучающую кривую двухступенчатой схемы к переходной характеристике одноступенчатой схемы. При этом характеристики подавления помех в установившемся режиме у обоих автокомпенсаторов одинаковы.

В отличие от известного одноступенчатого автокомпенсатора, разработанный рекуррентный двухступенчатый цифровой автокомпенсатор на основе КЬБ-алгоритма с одновременным функционированием ступеней обеспечивает параллельную обработку сигналов и возможность подключения/ отключения блока компенсационных каналов и соответственно части его вычислительных модулей адекватно имеющей место

35 г

и

п

X , 30 и

о

ю <и

2 25

а о С

■а 8 2°-

н 8

и 215-

о еЗ

X и

а 8 £10

о 8

О "

а

10

О д н о с т у п е н ч а т ы й А К

10

10

10 10 К о л и ч е с т в о и т е р а ц и й, п Рис. 5. Мощность ошибок компенсации помех: Ь=4; л=10 дБ

помеховой ситуации.

35

X о ю

а

о

■а н и о X

Э

из

,30

и <и

Я 25 о

С 3 20

5 15

и =

МММ I I МММ I МММ

О д н о с т у п е н ч а т ы й А К

10

о

0 10

10

10 10 10 К о л и ч е с т в о и т е р а ц и й, п

Рис. 6. Мощность ошибок компенсации помех:

Ь=4; л=10 дБ

Выводы

С использованием теоремы разбиения регрессоров на два блока по критерию наименьших квадратов синтезированы двухступенчатые цифровые автокомпенсаторы активных шумовых помех, у которых в первой ступени выполняется компенсация помех в основном канале с использованием сигналов компенсационных каналов одного из блоков и ортогона-лизация регрессоров другого

5

блока. Во второй ступени выполняется компенсация остатков помех с использованием полученных ортогонализированных регрессоров. Обработка всего пакета входных данных выполняется сначала в первой, а затем второй ступенях. В вычислительных модулях первой и второй ступеней реализуются операции ортогонального проектирования на основе LS- и RLS-алгоритмов, которые могут выполняться параллельно.

Рекуррентный двухступенчатый цифровой автокомпенсатор на основе RLS-алгоритма с одновременным функционированием ступеней при включении второй ступени с задержкой на несколько тактов обеспечивает показатели эффективности, близкие к потенциально достижимым, а также возможность подключения/отключения блока компенсационных каналов и соответствующих вычислительных модулей ступеней адекватно помехо-вой ситуации.

Список источников

1. Леховицкий Д. И. Адаптивные решетчатые фильтры. Часть 1. Теория решетчатых структур / Д. И. Леховицкий, Д. С. Рачков, А. В. Семеняка, В. П. Рябуха, Д. В. Атаманский // Прикладная радиоэлектроника. - 2011. - Том 10, № 4. - с. 381-404.

2. Ратынский М. В. Адаптация и сверхразрешение в антенных решетках / М. В. Ра-тынский. - М. : Радио и связь, 2003. - 200 с.

3. Джиган В. И. Адаптивная фильтрация сигналов: теория и алгоритмы. - М. : Техносфера, 2013. - 528 с.

4. Коуэн К. Ф. Н. Адаптивные фильтры / Под ред. К. Ф. Н. Коуэна ; П. М. Гранта. -М. : Мир, 1988. - 392 с.

5. Monzingo R. A. Introduction to adaptive arrays : 2nd ed. / R. A. Monzingo, R. L. Haupt, T. W. Miller. - Scitech publishing, 2011. - 510 p.

6. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ / Дж. Себер ; пер. с англ. В. П. Носко ; под ред. М. Б. Малютова. - М. : Мир, 1980. - 456 с.

7. Haykin S. Adaptive Filter Theory : International Edition, 5/E / S. Haykin., 2013. -912 р.

References

1. Lekhovitskii D. I., Rachkov D. S., Semenyaka A. V., Ryabukha V. P. and Atamanskii D. V. (2011) Adaptivnye reshetchatye fil'try. Chast' 1. Teoriya reshetchatykh struktur [The adaptive lattice filters. Part 1. Theory of lattice structures]. Prikladnaya radioelektronika, Vol 10, No 4, pp. 381-404.

2. Ratynskii M.V. (2003) Adaptatsiya i sverkhrazreshenie v antennykh reshetkakh [Adaptation and superresolution in antenna arrays]. Moskow, Radio i svyaz', 200 p.

3. Dzhigan V. I. (2013) Adaptivnaya fil'tratsiya signalov: teoriya i algoritmy [Adaptive Signal Filtering: Theory and Algorithms]. Moskow, Tekhnosfera, 528 p.

4. Cowan C. F. N. and Grant P. M. eds. (1988) Adaptive filters. Engewood Cliffs NJ: Prentice-Hall.

5. Monzingo R. A., Haupt R. L. and Miller T. W. (2011) Introduction to adaptive arrays. 2nd ed., Scitech publishing, inc., 510 p. doi: 10.1049/sbew046e

6. Seber G. A. and Lee A. J. (2003) Linear regression analysis. Vol. 936, John Wiley & Sons, 582 p.

7. Haykin S. O. (2013) Adaptive Filter Theory : International Edition, 5/E, Pearson, 912 р.

Жук С. Я., Семгбаламут К. М. Двоступенева адаптивна компенсащя активных шумових завад з ортогонал1зац1ею сигнал1в частини компенсацшних канал1в. З ви-

користанням теореми розбиття регресор1в на два блоки за критер1ем найменших квадрат1в синтезован двоступенев1 цифров1 автокомпенсатори активних шумових завад, у яких у першт ступен1 виконуеться компенсащя завад в основному канал1 з ви-користанням сигналов компенсащйних каналгв одного з блокгв i ортогоналгзацИ' регре-сор1в тшого блоку. У другт ступен виконуеться компенсащя залишшв завад з викори-станням отриманих ортогоналiзованих регресорiв. Автокомпенсатори забезпечують паралельн обчислення, що реалiзують LS- i RLS-алгоритми. Аналiз ефективностi реку-рентного двоступеневого цифрового автокомпенсатора на основi RLS-алгоритму з одночасним функщонуванням ступетв виконаний за допомогою статистичного моде-лювання при рiзнiй обумовленостi корелящйног матриц завад i рiзнiй ^bm^i джерел завад. Отриманий компенсатор забезпечуе можливкть тдключення^дключення блоку компенсащйних каналiв i вiдповiдних обчислювальних модулiв ступетв адекватно завадовт ситуацИ.

Ключов1 слова: автокомпенсатор завад, цифровi антенн рештки, метод найменших квадратiв, теорема FWL, LS- i RLS-алгоритми.

Жук С. Я., Семибаламут К. М. Двухступенчатая адаптивная компенсация активных шумовых помех с ортогонализацией сигналов части компенсационных каналов. С использованием теоремы разбиения регрессоров на два блока по критерию наименьших квадратов синтезированы двухступенчатые цифровые автокомпенсаторы активных шумовых помех, у которых в первой ступени выполняется компенсация помех в основном канале с использованием сигналов компенсационных каналов одного из блоков и ортогонализация регрессоров другого блока. Во второй ступени выполняется компенсация остатков помех с использованием полученных ортогонализирован-ных регрессоров. Автокомпенсаторы обеспечивают параллельные вычисления, реализующие LS- и RLS-алгоритмы. Анализ эффективности рекуррентного двухступенчатого цифрового автокомпенсатора на основе RLS-алгоритма с одновременным функционированием ступеней выполнен с помощью статистического моделирования при разной обусловленности корреляционной матрицы помех и разном количестве источников помех. Полученный автокомпенсатор обеспечивает возможность подключения/отключения блока компенсационных каналов и соответствующих вычислительных модулей ступеней адекватно помеховой ситуации.

Ключевые слова: автокомпенсаторы помех, цифровые антенные решетки, метод наименьших квадратов, теорема FWL, LS- и RLS-алгоритмы.

Zhuk S. Ya., Semibalamut K. M. Two-stage adaptive compensation of active noise interference with signals orthogonalization of a part of compensation channels.

Introduction. Method of least squares (MLS) is widely spread for synthesis of digital automatic compensators of active noise interference. This method allows solving the problem of adaptive spatial noise filtration under conditions of expected uncertainty. However, the digital automatic compensators obtained with the help of LS- and RLS-algorithms do not allow implementation of parallel processing and require considerable computational cost. Also, they do not provide the possibility to connect/disconnect additional compensation channels or to change the structure of processing units adequately to the interference situation.

Problem statement. Autoregressive model is used for description of the interfering signals at the input of the digital multi-element antenna array. In this model regressors' matrix is divided into two blocks. Columns of regression matrix (regressors) are iteration readings of

complex enveloping interfering signals delivered for input to compensation channels. It is required to synthesize optimal by the least squares criterion digital automatic compensator, in this digital automatic compensator first interference compensation is performed in the main channel using one block of regressors, then the residue interference is compensated using the second block of regressors.

Synthesis of two-stage digital automatic compensators using LS- algorithm. Two-stage digital automatic compensators of active interference noise were synthesized using theorem of regression partition into two blocks (FWL-theorem). These compensators during the first stage compensate interference in the main channel with the use of the first block of regressors and orthogonalize regressors of the second block. During the second stage the compensators compensate residues interference with the orthogonalized regressors. The computing modules of the first and second stages perform orthogonal projection operations based on the block LS-algorithm.

Synthesis of two-stage digital automatic compensators using RLS-algorithm. Procedure of orthogonal projection performed in units of the first and second stages is represented in an equivalent form using weight coefficients. Recursive RLS-Kalman type algorithm is applied for their definition. In the optimal two-stage automatic compensators based on LS- and RLS-algorithms the processing of complete package of the input data is carried out primarily in the first stage and only then in the second stage.

Effectiveness analysis of the two-stage recurrent digital automatic compensator. An analysis of the effectiveness of the two-stage recurrent digital compensator based on RLS-algorithm with simultaneous operation of the stages is performed with the help of statistical modeling at different conditioning of the correlational interference matrix and different numbers of interference sources. When the second stage starts with a delay of a few tick marks the resulting compensator provides performance indicators close to the potentially achievable.

Conclusions. The synthesized two-stage active noise interference digital automatic compensators based on LS- and RLS-algorithms allow implementation of parallel processing. The resulting two-step recursive digital automatic compensator with simultaneous operation of the stages provides the possibility to connect / disconnect the compensation channels block and the relevant stage computing modules adequately to the interference situation.

Keywords: automatic interference compensators, digital multi-element antenna array, the method of least squares, FWL-theorem, LS- and RLS-algorithm.