Фотохимические реакции на поверхности полупроводников, стимулированные электронными переходами Текст научной статьи по специальности «Физика»

В1СНИК ПРИАЗОВСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО ТЕХН1ЧНОГО УН1ВЕРСИТЕТУ

Вип. №11

2000 р.

Ф13ИКО-МАТЕМАТИЧН1 НАУКИ

УДК 535.377; 541.128

Гранкин В.П.1, Тузенко Д.В.2

ФОТОХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ НА ПОВЕРХНОСТИ ПОЛУПРОВОДНИКОВ, СТИМУЛИРОВАННЫЕ ЭЛЕКТРОННЫМИ ПЕРЕХОДАМИ

Рассмотрены механизмы диссипации энергии и предложен стадийный механизм гетерогенных экзотермических реакций, учитывающий явление высокоэффективной электронной аккомодации. Разработан математический аппарат и система компьютерного моделирования. Показано, что для широкозонных твердых тел с двухуровневой системой электронных ловушек электронный канал может быть использован для управления скоростью и селективностью гетерогенной реакции.

В исследовании природы каталитических реакций важную роль играет рассмотрение активных центров поверхности и их роль в процессах адсорбции, рекомбинации и диссипации энергии реакции. Чувствительность каталитических реакций к электронным преобразованиям в химическом окружении активных центров, вызванных тепловым либо световым воздействием определяет теоретическую и практическую ценность рассматриваемых механизмов. Наиболее распространенной теорией электронного катализа является теория Ф.Ф. Волькенштейна [1]. Согласно электронной теории катализа элементарный акт адсорбции и катализа описывается с точки зрения изменения заряда центров адсорбции при захвате ими носителей заряда полупроводника. Хемосорбция и катализ в этой теории рассматриваются в равновесных условиях. В [2] предложено учитывать влияние энерговыделения при захвате ностиелей на поверхностные состояния на скорость фотокаталитических процессов. Согласно работе [3], диссипация энергии захвата носителей заряда может приводить к генерации фононов на поверхности, возбуждению колебательных мод молекул и электронному возбуждению адсорбированных частиц, что будет способствовать реакционной способности молекул [4]. С позиции электронного возбуждения объяснялась обнаруженная в работе [5] адсорболюминесценция.

Рекомбинация атомов также происходит с выделением энергии, превышающей теплоту адсорбции, и может сопровождаться электронным возбуждением твердого тела. Следствием этого является радикалорекомбинационная люминесценция (РРЛ) [6], электронная эмиссия [7], хемопроводимость и пр.

В работе [8] скорость каталитической реакции связывается с процессам релаксации энергии реакции на поверхности. Основной вклад в скорость реакции на широкозонных катализаторах определяется фононным каналом аккомодации энергии реакции. Это связано с тем, что твердое тело можно рассматривать как бесконечный резервуар для поглощения энергии экзотермических реакций [9].

Помимо фононного принципиально возможен электронный канал аккомодации энергии гетерогенной химической реакции. Об этом свидетельствует РРЛ и другие хемостимулирован-ные электронные эффекты. Однако выход квантов люминесценции на акт рекомбинации атомов или адсорбции молекул на всех исследованных образцах порядка 10~2 и 10~4, соответственно. Поэтому вклад электронного канала аккомодации энергии в скорость гетерогенной химической реакции на невозбужденных твердых телах пренебрежимо мал, по сравнению с фононны-ми процессами релаксации энергии реакции.

1 ГТГТУ, д-р физ.-мат. наук, проф

2 ПГТУ, аспирант

В последние годы экспериментальные исследования по фотоэпитаксии [10] и фотокатализу [11] выявили наличие зависимости скорости реакции от степени электронного возбуждения твердого тела. В [12] обнаружено явление высокоэффективной электронной гетерогенной аккомодации (ВЭГА). Роль центров высокоэффективной аккомодации энергии выполняют электроны на мелких электронных ловушках в широкозонном твердом теле. Несмотря на низкую концентрацию центров ВЭГА, вклад этого канала аккомодации энергии в общую скорость реакции может быть соразмерен вкладу фононного канала.

Воздействуя на твердое тело потоком квантов света различной длины волны можно заселять электронные ловушки, либо высвечивать их, создавая необходимую для оптимального протекания реакции концентрацию центров ВЭГА, осуществляя таким образом селективный фотокатализ.

Стадийный механизм процессов

Стадийный механизм процессов, учитывающий существующие каналы аккомодации и

ВЭГА, запишем в виде:

V* V? - адсорбция атомов на

Х + Ь >ХЬ, У + Ь 1 >УЬ арм

поверхность;

X + ХЬ —>■ XVЬ. У + УЪ —>■ У2'Ь. - рекомбинация атомов по

ху ух механизму Ридила-Или.

Х + УЬ "2 >ХУ"Ь, У+ХЬ "2 >ХУ"Ь

Здесь введены следующие обозначения: X, У — символы атомов, а Ь - центра поверхности; ХЬ, УЬ — адсорбированные атомы; ух'у = у ах'у, у2'у = .¡х.у — вероятности адсорбции и ударной рекомбинации атомов, соответственно; }ху — плотности потоков атомов;

стх'у,ст2'у — сечения соответствующих процессов;

Образованные в результате реакций и -возбужденные молекулы релаксируют:

Х^ + Т^^ихр-Ь + Т! +еЬ , Х^ + Т2СЬ^ХГ^ + Т2 +еЬ " ™ электронному кана-1 1 лу (переходы 3 и 5 на

рис.1);

Х«Ь^Х2Ь + РЬ, Х^^Х2Ь + сЬ + рЬ: ; П° Ф™0МУ ™У

2 2 2 2 г (включая переход 1 на

Х^'Ь Г'Х >Х2Ь + рЬ, Х^'Ь >Х2Ь + еЬ + рЬ рис.1),

где - скорости фононной релаксации; рЬ-фонон: т12еЬ - символ электрона на ловушке;

к* 2 ■ константа скорости ВЭГА.

Процессы релаксации для У2 Ь и ХУиЬ записываются аналогично.

За время жизни колебательно-возбужденные молекулы могут диссоциировать:

Х^Ь У2 >Х'+ХЬ, У,"Ь 2 >У' + УЬ

i

' "" - неравновесная диссо-

, циация,

ХУ"Ь 2 >Х' + УЬ, ХУ"Ь 2 >У' + ХЬ

Центры поверхности освобождаются за счет десорбции продуктов реакции: Х2Ь >х2 +Ь, У2Ь ^ >У2 +Ь,ХУЬ >ХУ + Ь - равновесная десорбция,

где \'з — вероятность процесса равновесной десорбции молекулы с поверхности.

Электронные процессы протекают в следующих направлениях: 1 22 1п'1 +Т|СЬ———>Т| +сЬ . И\'2 + Т2сЬ—^—>Т2 + сЬ. -электронное возбужде-

уз ние под действием света

Ъу3 + Ь0-еЬ + рЬ (переход 6)

г2

Г 1

Т|СЬ—+сЬ. Т2еЬ———>Т2 +сЬ ние ловушек (переходы 3

- термическое высвечивание л и 5);

! 2 - рекомбинация неравно-

Т| +сЬ—^н>Т|СЬ. Т2+еЬ--—>Т2сЬ. сЬ + рЬ—^Ьу весных носителей (пере-

ходы 2 и 4),

где Г4 — скорость термического высвечивания ловушек; к3 — константы скорости захвата электронов на ловушки; к3 - константа скорости рекомбинации электронно-дырочной пары.

Рис. 1- Зонная схема процессов на поверхности

Математическая модель фотостимулированных реакций Введем обозначения для концентраций реагентов: Ь -> 14; ХЬ -> ; УЬ -> ; Х^Ь -> ;

У2иЬ ; ХУиЬ ; Х2Ь ; еЬ ;

У2Ь Ку ; ХУЬ ; Х^Ч ; Х°~и2Ь К2

и2х ,

Y^y>lL У^Ь ХУ^'Ь Ы°1Ху; ХУ^Ь Ы°2Ху ;

Т^Ь т®; Т2еЬ ш|; ^ т1; Т2 т2 ; Ь0 N0.

Система кинетических дифференциальных уравнений, отвечающих разработанному стадийному механизму, имеет вид:

1. м = + +ууМу+У^^

2. ]ЧХ = ]хахм-]ха^!х-)уау2х^ + Уух'^ху

3. Му = .¡устуМ-.¡М^+ уу'^у + У2у'^ху

4. = ]ха|м!х -Цх^х -Г|^х -к|^хше2 -у|'^х

5. = ]уауМу -Гу^у -Гу^у -ку^ут? -ку^ут| -уу'^у = ) ст~у]М7 + )уст ух^ -Г^М^ -Г^М^ -к^М^ т® -к^КГ^т!

6.

7. =Г1ХК^Х +Г2ХК^Х +Г1Х1К^Х +Г1ХК^Х + Г2Х1К^Х +Г2ХК^Х -у3хК|

8. т® = Г2 ]Ч2Х + ГУ^У +Г2хуМ^ху + к1х^хт? + к|^хт| + ку^ут? + ку^ут| +

Фк^^т? +к^у^хуте2 +ЦХ]\Г21Х + Г2Х^Х +ГуМ^х +ГуМ^у + Гху^ху + + +Ф1а\те1 +Ф2а241т1 +Ф2а242 т| +Ф3ст^т^ +Ф3ст^2т| +Ф3ст^0 +

+ г{т1 +Г4111! -к^п^т® -к3т2т® -к3т®]40

9. Ку = ГуК^у +ГуК^у +ГуК^у +ГУХ1У +ГуК^у -ууКу

10. ^ = Г^Н^У + г^н^у + г^м^ + г^1Ху + г2у^2Ху + -

11. mI = -kfN^m? -kfNfm? -k^N^m? -Ф^Х ~

-Фзст^т® -Г^т® +кзт1т®

12. m| = -kfNf m| -kyN^me2 -k^N^ml -®2afm| -Ф3ст;рт| -Г42т| +k^m2m^

13. =kfN^xm^ -IiiN£lX -r£N°lX

14. N^2X = k|N^xme2 -I^N"2* -r|eN^x

15. N^y =к{Щут! -ryN^y -ryN^y

16. N^y = kyNfme2 -ryN^y -ryN^y

17. N^lXy = k1xyN°xymf -T1YN^xy -T^N^

18. N^2Xy = к£уЫ°хут| -T2xyN^xy -T^N^2^

19. m®+Ш! = m1() = const; 20. m|+m2 = m2() = const 21. N + Nf +Ny +N| + Ny +N1UX +N1uy + ... + N^2Xy =N0 = const

Алгоритмическое обеспечение компьютерного моделирования

Для автоматизации процесса построения математической модели было создано программное обеспечение для компьютерного моделирования, входной информацией для которого является стадийный механизм реакций и величины характеристик компонентов, участвующих в реакциях. Для этого была проведена классификация стадий процессов и выделены следующие классы:

1. Процессы взаимодействия с газовой фазой. Это процессы взаимодействия атомов из газовой фазы с атомом на поверхности либо с элементом подсистемы поверхности. Приводят к образованию новых элементов на поверхности (Р) а также в некоторых случаях к образованию побочных продуктов, которые не лимитируют процесс в целом и не подлежат учету (J). В этот класс также входят процессы высвечивания электронов с ловушек при помощи квантов света.

Общий вид уравнений таких процессов:

Ni +NL^UP1L +P2L +... + PnL +JX +J2 +... +Jm ,

где N1 — компонент в газовой фазе. Численная характеристика компонента - поток; N2 — компонент на поверхности либо элемент подсистемы поверхности. Численная характеристика компонента - концентрация; v — вероятность протекания реакции, v = jj • ctj , где ctj -

эффективное сечение адсорбции или рекомбинации атомов; р/ . i е {l;n} — продукт реакции на поверхности. Численная характеристика компонента - концентрация; Jj. i е ¡1: m} — побочный продукт реакции, не подлежащий учету.

Фрагмент системы ДУ, описывающий эту стадию, имеет вид:

="v'NnL =-Ji-ct1-NnL ; V =v'NNb =ji^i-NNL,ie{l;n};

2. Процессы ионизации твердого тела под действием света. Эти процессы функционально похожи на процессы взаимодействия с газовой фазой и отличаются от них тем, что в роли компонента на поверхности здесь выступают все центры поверхности L0 . Вследствие способности света проникать через адсорбированный слой и в объем, центры поверхности не являются лимитирующим звеном.

Nj + L0 —Pf + P2L +... + PnL + Ji + J2 + • • •+ Jm , где L0 — символ центра поверхности. Численная характеристика L0 - концентрация N0 = const, поэтому для L0 ДУ не составляется.

Соответствующий фрагмент математической модели имеет вид: Npl =v-NN[ -N0,ie{l;n};

3. Спонтанные процессы с участием центров поверхности. Это процессы взаимодействия одного компонента на поверхности с центром L0. Поскольку количество центров по-

верхности не лимитирует реакцию, данный процесс рассматривается как спонтанный. Общий вид уравнений таких процессов:

^^^ + Р2Ь +... + Рпь + + ]2 +... + ]т ,

где — символ исходного компонента. Численная характеристика - концентрация; 11 — скорость реакции. Численное выражение величины - Г = к • ]Ч0, где к -константа скорости соответствующей реакции.

Соответствующий фрагмент математической модели:

V= _Гь' V = -к • N0 • V; V= Гь' V =к■• д е ^;

4. Спонтанные процессы без участия центров поверхности, не приводящие к образованию элементов в газовой фазе. Общий вид уравнений таких процессов:

^^^ + Р2Ь +... + Рпь + +]2 +... + ]т где Г — скорость протекания реакции. Определяется характеристиками и условиями протекания процесса.

5. Спонтанные процессы без участия центров поверхности, приводящие к образованию элементов в газовой фазе. Общий вид уравнений таких процессов:

^^^ +Р1Ь +Р2Ь +... + Рпь + + ]2 +... + ]т , где у' — вероятность протекания спонтанного процесса. Величина характеризует вещества, участвующие в реакции. Соответствующий фрагмент математической модели:

6. Уравнения взаимодействия на поверхности, не приводящие к образованию элементов в газовой фазе. Общий вид уравнений таких процессов:

Nь + Nь Рь + рь + + Рь + } 1 + }2 + + }т а

где , N 2 — символы компонентов на поверхности; к - константа скорости протекания реакции, которая зависит только от характера процесса.

Соответствующий фрагмент системы ДУ:

7. Уравнения взаимодействия на поверхности, приводящие к образованию элементов в газовой фазе. Общий вид уравнений таких процессов:

Соответствующий фрагмент математической модели:

Математическое обеспечение компьютерного моделирования

Рассматриваемая система уравнений решается методами Рунге-Кутта и Эйлера. Однако эти методы дают ошибочный результат в случае отрицательной обратной связи с большим коэффициентом передачи. Чтобы исключить это, делается малым шаг интегрирования, что очень увеличивает время счета. Для исключения подобных ситуаций разработана модификация метода Эйлера, суть которой в следующем. Уравнения, входящие в описанную выше модель, имеют вид:

N = а^ +а2 +...- Ь^ - Ь2М -... - ЬкМ, или N = А - В • N

Значение величины В может быть большим - от 1013 и выше. Решение системы методами Рунге-Кутта и Эйлера в этом случае требует установки шага интегрирования не более В"1.

Если пренебречь изменением величин всех переменных кроме N за время шага интегрирования, аналитическое решение приведенного ДУ имеет вид:

М = А/В + Се"В1,

удовлетворяя начальным условиям N|t t = N;

N = А/В + eBtl (N; - A/B)e"Bt

Таким образом, для вычисления значения N1+i можно воспользоваться следующим выражением:

М1+1=м(11+1) = А/В-(1-е"вА1)

При больших значениях величины В, намного превышающих 1/д t, е~Вл1 « 0, что приводит к известному выражению Ni+1 = А/В, используемому в методе квазистационарных состояний и дающему точность порядка 10~б - 10~8.

При численном счете часто возникает эффект накопления ошибки. Для их исключения в систему были введены уравнения баланса, основанные на законе сохранения материи. Они использовались для корректировки значений производных на каждом шаге.

Используемые уравнения баланса количества вещества имеют вид:

N1 + N2 + ... + Nm = const, или Nj + N2 +... + Nm = 0 , где Ni, N2, ..., Nm - концентрации каких-либо компонентов системы;

Пусть в результате погрешности при численных вычислениях указанная сумма отклонилась от нуля на некоторую величину е :

Nj +N2 + ... + Nm = е; е^О .

I I m I I

Скорректировав каждую концентрацию на средневзвешенную величину -sNj /JjNj >

j=i

можно избежать накопления ошибки и связанных с этим погрешностей. Таким образом, каждая величина концентрации, входящая в уравнение баланса, корректируется на каждом шаге интегрирования следующим образом:

I I I m I I I

N -sNj/YN +N: ;i = l;m

1корр I I Jl 1некорр

Моделирование процессов люминесценции с участием О и 02

Моделирование осуществлялась с использованием экспериментальных данных, полученных в [13]. Физическая модель рассмотренных здесь процессов описывется приведенным выше стадийным механизмом, в котором введены следующие обозначения: X = о; х2 = о .: Y, Y2, XY отсутствуют. Приведенные кинетики (рис. 2/1/) могут, с точки зрения выбранной модели, быть описаны следующим образом:

1) Затухание люминисценции в начале процесса является результатом блокировки поверхности адсорбированными молекулами, что соответствует системе дифференциальных уравнений

3N х х v' v 6N9 X X х' X XX

— = -j 2N + vf N2 ; —A = f2aX2N-vfN2x; ^ = ЧалГ2стХ2N

at at

с начальными условиями N | ^ = N0 = 1015: Nf

= 0.

t=o

имеющеи аналитическое решение

f. iX2aX2 Nxm_ N0(l-v3x') ft , jX2aX2

N(t) =-^^

jX2aX2 +

1 J CT

1 + --г

; n2 (t) = ■

J CT +V3

2) Рост интенсивности люминисценции связан с рекомбинационными процессами на поверхности. Линейный характер роста указывает на медленное нарастание концентрации адсорбированных атомов О. Квантовый выход в рекомбинационных процессах выше квантового выхода в адсорбционных процессах. Численное моделирование показывает, что для обеспечения показанного характера интенсивности люминисценции, соотношение квантовых выходов

должно лежать в пределах 7 • 102 < 4 ,ц"/ < 3 • 104 .

/ Чал

3) Замедление роста интенсивности люминисценции и дальнейший ее спад свидетель-

ствует о блокировке поверхности продуктами реакции (О2).

э_12_15__21 ^МИН

|ррл

9 10 11 12 13

210 Мин

Рис. 2- Кинетика ГХЛ0 при напуске 0+02 (2x10"2 торр) на СаО:Вк Т=400К, экспериментальные данные [13].

\ сек

Рис. 3- Зависимость интенсивности ГХЛо (начальная стадия). Расчет.

Моделирование селективных гетерогенных реакций с учетом ВЭГА

Проведено компьютерное моделирование для следующих различных случаев, показывающее, что явление ВЭГА может быть использовано для управления селективностью реакций.

1. Реализуется только фононный канал аккомодации

1.а Скорость фононной релаксации для всех и-возбужденных веществ одинакова (Г^Ю10 см"2с"1).

Результат — соотношение скоростей образования конечных продуктов Х2 и У2 в два раза меньше скорости образования конечного продукта ХУ (поскольку стадий, в которых образовывается продукт ХУ в два раза больше).

1.6 Скорости фононной релаксации веществ различны - в соответствии с исходными предпосылками Еи >Еи >Еи

ЯГЛ 2 .......1.......:.......I.......•.......I.......:.......-1.......¡....... Ь——р* . 4

,035Е1О-

ДМЕ10- .......:.......:.......:....... •.......:......:.......:......].......:...... 2

.442Е10-

311 ЕЮ ......1.......:......].......:......1.............I.......:.......:..............].......[......].......[......:.......[......:.......["

.180Е10-

.......^.......'...... _/ .......!..............!..............|.......

; у; 1 ;„ ■ ' : " " : : | Щ

.......; ; г.......;.......;.......:.......г......:.......г......:.......г.....; 2

В.554Е09- ....................\--Jt -р^г- - --]-------;.......:.......:.......:.....—:.......¡-......1.......\......1-------......¡-......г-

5.24ЭЕ09- ............-/-"—\......

3 332Е09- ......]...1х.......¿С..!.......:

....../ 4. 711.....1.......:

2,621 ЕОЭ-

1,311Е09 - ¿,5ее

1 1 Ы,1од 1 1 1 1

В М2

- // __х--

1 1 1 1 1 1 ф,1°

50 ВО /0

Рис. 5- Соотношение логарифмов концентраций веществ ХУ, Х2 и У2 и их зависимость от логарифма освещенности образца (по оси X)

ху =

Рис. 4- Соотношение концентраций основного (ХУ) и побочного (Х2) продуктов реакции при отсутствии электронного канала аккомодации энергии колебательного возбуждения молекулы.

Скорость фононной релаксации веществ: Х2: Г* = 107 см"2с_1; У2: Гху = 106; ХУ: Г,'

3*106. Включены только механизмы равновесной десорбции и равновесной диссоциации (равные скорости для всех веществ у3=1010 см"2с"1)

Результат - соотношение конечных продуктов примерно соответствует соотношению скоростей фононной релаксации продукта (рис. 4);

2. Помимо фононного существует электронный канал (учет явления ВЭГА) Скорости фононной релаксации всех веществ одинаковы (как в случае 1.а), плотность потока квантов варьировалась от 1014 до 1017 см"2. Зависимость концентрации продуктов реак-

ции от освещенности на 19-й секунде эксперимента представлена на рис. 5. Точка «О» на графике соответствует случаю фононной релаксации, когда освещенность и концентрация заселенных электронных ловушек, равны нулю.

Здесь видно, что с увеличением освещенности растет не только выход конечного продукта, но и увеличивается соотношение выхода основного и побочных продуктов реакции. Таким образом, управляя освещенностью, можно контролировать селективность химических реакций на поверхности широкозонных твердых тел с мелкими электронными ловушками.

Выводы

В работе представлен анализ процессов на поверхности твердого тела с учетом открытого недавно явления высокоэффективной электронной гетерогенной аккомодации. Показано, что в ряде случаев вклад электронного канала в скорость реакции может быть соразмерен вкладу равновесного канала. Путем математического моделирования найдено, что электронный канал может быть использован для управления скоростью и селективностью гетерогенных химических реакций.

Перечень ссылок

1. Волъкенштейн Ф.Ф. Электронные процессы на поверхности полупроводников при хемо-сорбции, М: Наука, 1987;

2. Соколов В.А., Горбанъ А.Н. Люминесценция и адсорбция. - М.: Наука, 1969;

3. Волькенштейн Ф.Ф., Горбань А.Н., Соколов В.А. Радикалорекомбинационная люминесценция полупроводников. - М.: Наука, 1976;

4. Воткенштейн Ф.Ф. Физико-химия поверхности полупроводников,- М.: Наука, 1973;

5. Измайлов Ш.Л., Харламов В.Ф. Очистка и распыление поверхности оксида кальция атомарным кислородом //Хим. физика - 1985,- №1;

6. Горбанъ А.П., Пинчук В.П., Корнич В.Г. Эмиссия электронов с поверхности фосфора при ра-дикалорекомбинационной люминесценции //Изв. АН СССР, Сер. физич,- 1975,- Т. 38, №6;

7. Zhdanov V.P., Zamaraev K.I. Catal. Rev. Sei. Eng. 1982. v.24;

8. Горбачев А.Ф., Стыров В.В., Толмачев В.Д., Тюрин Ю.И. Электронная аккомодация при адсорбции атомов водорода на ювенильной поверхности монокристалла сульфида цинка //ЖЭТФ,- 1986,-Т. 91, В. 1(7);

9. Жданов В.П. Элементарные физико-химические процессы на поверхности,- Новосибирск: Наука, 1988;

10. Т.Е. Orlovski, D.A. Mantell, J. Appl. Phys., Nov. 1988;

11. M. Ohishi, H. Saito, H. Okano, K. Omori. J. Crystal Growth, vol. 95;

12. Гранкин В.П. Неравновесные процессы и люминесценция твердых тел при электронной аккомодации энергии взаимодействия атомных частиц низкотемпературной плазмы с поверхностью. Дис... д-ра физ.-мат. наук,- Мариуполь, 1996

13. Шигалугов С.Х. Люминесценция поверхности твердых тел, возбуждаемая в гетерогенных реакциях с участием кислородных и кислородсодержащих частиц. Дис... канд. физ-мат. наук, Норильск, 1987.

Гранкин Виктор Павлович. Д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой информатики ПГТУ. окончил Томский государственный университет в 1975 г. Основные направления научных исследований - физика твердого тела, физика и химия плазмы.

Тузенко Демид Владимирович. Аспирант кафедры информатики ПГТУ, окончил ПГТУ в 1998 г. Основные направления научных исследований - физика твердого тела.

Статья поступила 26.03.2001.