CC BY
23
методом сплайн-коллокации, если проводить коллокацию в направлении оси
С [4].
В таблице приведены результаты расчетов максимального прогиба пластинки под действием равномерно распределенных усилий д для случаев, когда два противоположных края закреплены жестко, а два других — шар-нирно оперты (ЭД^ах) и когда весь контур свободно подкреплен (^тах). Первый случай рассчитывался как с помощью классического, так и с помощью модифицированного метода. При расчетах использовались следующие значения параметров: а = Ь = 10 м, Е = 2 • 1011 Па, Н = 0.01 м, V = 0.3, д = 1 Н.
а Wiar-мет-, м Wmax, м
п/15 2п/15 п/5 4п/15 п/3 9.709E-4 7.693E-4 5.066E-4 2.612E-4 9.258E-5 9.709E-4 7.671E-4 5.058E-4 2.594E-4 9.019E-5 2.056E-3 1.625E-3 9.048E-4 5.193E-4 1.588E-4
Сравнение значений, приведенных во втором и третьем столбцах таблицы, показывает эффективность предложенного метода решения.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Крюков Н.Н. Расчет косоугольных и трапецоидальных пластин с помощью сплайн-функций // Прикладная механика. 1997. Т. 33, № 5. C. 77-81.
2. Григоренко Я.М., Крюков Н.Н. Решение задач теории пластин и оболочек с применением сплайн-функций // Прикладная механика. 1995. Т. 31, № 6. C. 3-27.
3. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН. 1961. Т. XVI, № 3 (99). C. 171-174.
4. Сафонов Р.А. Численное решение задачи изгиба косоугольной пластины под действием поперечной нагрузки // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов, 2006. Вып. 8. С. 220-222.
УДК 539.3
О.А. Торопова
ФОРМУЛИРОВКА УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ГЛУБОКОВОДНЫХ ТРУБОПРОВОДОВ МОРСКИХ ГИДРОТЕХНИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ
Целью статьи является вывод уравнений установившегося пространственного движения глубоководного трубопровода для общего случая его продольных, крутильных и изгибных деформаций. В отличие от известных работ, например, В.А. Светлицкого [1, 2], здесь дополнительно учтены эффекты, вызванные совместным действием внутреннего и внешнего потоков
жидкости (в частности, гидростатическое обжатие стенок трубопровода) и его стационарным пространственным движением.
Введем правую инерциальную систему координат 0x^2x3, начало которой может быть зафиксировано в любой произвольной точке на дне океана на глубине H. Ось x2 направим вертикально вверх, а ось x1 - горизонтально вправо. Свяжем также с центром тяжести произвольного поперечного сечения деформированного трубопровода единичный правосторонний трехгранник {e¿}, направив единичный вектор e1 по касательной к осевой линии и зафиксировав орты e2,e3 в плоскости его поперечного сечения. За начало отсчета эйлеровой дуговой координаты (s) выберем нижний конец трубопровода.
Пусть {¿¿о} = {¿i, —i1,i3} ~ орты локальной системы координат для недеформированной осевой линии. Связь между базисными векторами ej и ij определяется с помощью ортогональной матрицы перехода K [2]: ij = = K¿j (j = 1, 2,3),
(-(sin y cos ф cos 9 + sin ф sin 9) — cos y cos 9 -(sin y sin ф cos 9 — cos ф sin 9 cos y cos ф — sin y sin ф cos у
sin y cos ф sin 9 — sin ф cos 9 sin 9 cos y sin 9 sin ф sin у + cos 9 cos ф
Будем использовать следующие допущения.
1. Трубопровод (гибкий стержень постоянного кольцевого поперечного сечения) в недеформированном состоянии имеет прямолинейную форму.
2. Материал стенок является линейно-упругим, работает в области малых деформаций (1 + s1 ~ 1, ds ~ ds0), но больших перемещений и углов поворота.
3. Движение морской воды и гидросмеси считается установившимся, причем ее скорость (vf) постоянна по сечению и длине трубопровода.
4. Векторы скорости движения плавсредства (vs) и трехмерного потока подводных течений (vc) считаются известными функциями декартовых координат: (Vs = Vs(xi,x3), Vc = (Х1,Х2,Хз)).
5. Движение трубопровода происходит без образования вихревой дорожки Кармана и не оказывает влияния на движение плавсредства.
Вектор распределенных нагрузок, действующих на элемент трубопровода (q), можно записать в виде q = qf + qw — mge10, где qf ,qw - векторы сил взаимодействия с внутренним и внешним потоками жидкости, m - погонная масса трубопровода в воздухе. Пусть элемент трубопровода движется с поступательной скоростью vs = vs1e1 + vs2e2 + vs3e3, а элемент потока гидросмеси - со скоростью Vf jj e1. Тогда вектор ее скорости в инерциальном пространстве 0x1x2x3 : vaf = vs + (vf — vs1)e1. Для детализации компонент qf воспользуемся динамическим уравнением движения элемента потока жидкости, совпадающего в рассматриваемый момент времени с элементом
трубопровода [2]:
((ш/V/)М = -д/дв(Р/вг) - ш/двю - д/,
где ш/ = р/Г/, Р/ = р/Г/, р/ - плотность потока гидросмеси, Р/ -давление для произвольной точки каждой линии ее тока, Г/ = 0.25п(02, (0 - внутренний диаметр трубопровода. Используя векторное равенство
д = (д, в1)в1 + в1 х (д х вг) представим д/ в виде
др (
д/ = дн/ + да/ + дт/ - + (^(ш/Уа/),в1) + ш/д(в10, в1))в1. (1)
Здесь
дн/ = -Р/- ш/дв1 х (в 10 х в1),
да/ = -в1 х (^ (ш/уа/) х в1), (2)
дт/ = 0, 5(ор/Ст/ (V/ - | V/ - У31 | в1
соответственно вектора нормальной силы гидростатического давления потока гидросмеси на стенки, нормальной силы инерции ее присоединенной массы, касательной составляющей гидродинамического сопротивления, ст/ = = ст/(Яв) - коэффициент силы трения, (Яв) - число Рейнольдса. Для внешнего потока жидкости аналогично (1), (2) имеем
дРю (
дю = дню + д
аю + дтю + дп + ("^ + ( ^ (Шю Уаю), в1) + Шю д(в10, в1))вЪ (3)
где
дв1
дню = + Шюдв1 х (в10 х в1), (дню Т1 дн/),
даю = -в1 х (( (штУаю) х в1) , дтю = 0, 5^0рюСтю(Ус1 - У31) | Ус1 - У31 | в1, (4)
дп = -0, 5рюСпА)((у52 - Ус2)в2 + (Vs3 - Ус3)вз) \JJV2-УЗ)2,
Шю рю Гю, Рю рю Гю 1
рю - плотность морской воды, = 0,25п^0, Уаю = + (ус1 - )в1, сп = сп(Яв) - коэффициент нормального гидродинамического сопротивления. Таким образом, вектор д представляется окончательно в виде
д (
д = -шдв10 +( ^ (Рю - Р/ ) + ( ((Шю Уаю-Ш/Уа/ ), в1) + (шю-Ш/)д(в10,в1))в1 +
+дн + да/ + д
аю + дт/ + д тю + д
(5)
где qh = qhf + qhw - вектор силы гидростатического обжатия стенок трубопровода.
Для трубопровода круглого поперечного сечения вектор внешнего распределенного момента (и) имеет единственную составляющую, связанную с кручением: ы = ы^. Она определяется структурой профиля подводных течений (для однослойного потока и1 =0).
Уравнения установившегося движения.
Постановка граничных условий
В осях связанной системы координат векторными уравнениями равновесия элемента трубопровода, а также физическими соотношениями являются
Q' + ж х Q + q = 0, M' + ж х M + e1 х Q + и = 0, M = Аж. (6)
Здесь
q = (t^q^)*, m = (H,Mi,M2)¿, ж = («ь«2,
А = (АИ) = {An = G/b А22 = А33 = E/2},
Te = T + Pw + Pf - эффективное осевое усилие, учитывающее гидростатическое обжатие стенок, Q1,Q2 - перерезывающие усилия, H, M1,M2 - крутящий и изгибающие моменты, ж1, ж2, ж3 - кручение и проекции радиуса-вектора кривизны, (1 + v)G/1 = E/2, E - модуль Юнга, /1,/2 - моменты инерции поперечного сечения, (•)' = d(-)/ds. Введенная переменная Te фактически определяет относительное удлинение элемента трубопровода при условии несжимаемости материала его стенок (v = 0,5). Действительно, если для приближенного отыскания радиальных и окружных напряжений воспользоваться формулами Ламе, подставить их в выражение закона Гука, то £1 = (T + Pw - Pf )/EFo = Te/EEo.
Пространственные равновесные конфигурации осевой линии определяются углами поворота = а и ее декартовыми координатами x¡ = x¿(s) [1]:
а' = L«, x' = K(1,0, 0)*, (7)
где
L = (lj ) = {l11 = — sin /13 = cos /21 = tg ^ cos /23 = tg ^ sin
/31 = cos -0/ cos /33 = sin cos /12 = /32 = 0, /22 = 1}.
Выбирая в качестве основных неизвестных компоненты векторов Q,«, а,х, рассмотрим основные варианты постановки граничных условий
при использовании трубопровода как длинномерного элемента геологоразведочного (задачи стационарной буксировки) и добывающего (при неподвижном закреплении нижнего сечения с подводным технологическим оборудованием) комплексов. В первом случае нижнее сечение обычно шарнирно присоединено к буферному устройству, имеющему известный вес в жидкости Wb с проекциями гидродинамических сил сопротивления QbXi, x = 1,3. Для верхнего сечения, шарнирно соединенного с плавсредством, известны его декартовы координаты. Поэтому
KQ|s=o = (Qbxi, Wb,Qbx3)*, ж(0) = ж(1) = 0, x(l) = (0,H, 0)*. (8)
Для добычных комплексов (vs = 0) аналогично получаем
ж(0) = x(0) = 0, ж(1) = 0, x(l) = (х81,Я,х8э)*, (9)
где xs1, xs3 - заданные координаты смещения плавсредства в горизонтальной плоскости при его удерживании, например, над устьем буровой скважины.
В результате перехода к безразмерным переменным и параметрам и использования в процессе преобразований (1)-(5) геометрических соотношений v's + Ж х vs = 0, e{ — Ж х e задача (6)-(9) сформулируется окончательно следующим образом:
y' = f(s,y,z;м), mz' = F(s,y,z;м) = P(y)z* + r(y)+ Mu(z), (10)
Bo(Y (0); M) = Bi(Y (1)) = 0, Y = {y,z
Здесь
y = {Te, Ж1,^,^,^,Х1,Х2,Хз}*, Z = {Ql, Q2, Ж2, Ж3}*, Z* = (Ж3, Ж2, Q2, Ql)*,
f = {/1, . . . ,/s}*, /1 = cos cos ^ - Ш/(Vf - Vsl) (Жз1>з2 - Ж2^5з)--mw(Vc1 - Vs1)((dVc1/dX2) cos cos ^ + Ж2Vsз - Жзvs2) - Y1 (vf - VS1) |Vf - vS1|-Y2(Vc1 - VS1) | Vc1 - Vs1 | +д(ЖзQ1 - Ж2Q2),
/2 = -W1, fi = (¿Ж);, fi+з = (K(1,0,0)*)j, (i = 3,4, 5; j = 1, 2, 3), P = (pij) = {P11 = -P1, P22 = Pl, Рзз = 1, P44 = -1, Pij = 0 (i = j)},
P1 = Te - mf (Vf - Vs1)2 - mw(Vc1 - vsl)2,
r = r - sin + 7з^2 - Vc2^\/^Сз)2,
cos sin ^ + 7з^з - Vcз)\J(Vs2 - Vc2)2 + (vs3 - Vc3)2, 0, 0
U = {ЖlQ2, -ЖlQl, Ж1Жз^/(1+ V), -Ж1Ж2^/(1+ V)}*,
B0 : R12 х R1 —► R6, B1 : R12 —► R6.
Уравнения статики гибких трубопроводов или гибких стержней во внешнем потоке жидкости [1,2] непосредственно следуют из (10), если принять Шю = Уа = ш1 = ус = 71 = 0 или Ш/ = = V/ = Уа = ш1 = 0. При моделировании морской воды и гидросмеси идеальной несжимаемой жидкостью вектора д/ и дю ортогональны в1, дт/ = дтю = 0, а из (1), (3) можно в явном виде найти Р/ и Рю. В этом случае система (10) формально совпадает с уравнениями статики глубоководных трубопроводов, полученных в [3], если принять в (10) V = 0, 5.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Светлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей. М.: Машиностроение, 1972. 222 с.
2. Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов. М.: Машиностроение, 1982. 280 с.
3. Петров В.В., Кузнецов В.В., Земеров В.Н. Механика длинномерных элементов глубоководных комплексов. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1989. 188 с.
УДК 539.3
Н.С. Хлопцева
ВЕСОВАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ПОСТОЯННОЙ И ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ
Решение проблемы уменьшения массы оболочечных конструкций при сохранении их характеристик устойчивости требует применения оболочек с толщиной, переменной вдоль образующей либо в окружном направлении. Если конструкции с дискретно изменяющейся толщиной широко применяются уже не одну сотню лет [1-4], то оболочки со стенками, толщина которых меняется непрерывно, долгое время оставались без внимания. Возможно, именно конструкции, изготовленные по этому принципу, позволят уменьшить массу (а соответственно и стоимость) изделий самых различных отраслей промышленности.
Сравним характеристики «классических» тонкостенных оболочек с постоянной и меняющейся толщиной.
Рассмотрим осесимметричную форму потери устойчивости тонкостенной круговой цилиндрической оболочки при равномерном осевом сжатии. В этом случае ось оболочки остается прямолинейной, а поверхность её при потере устойчивости получает осесимметричные радиальные перемещения ,ш(х), зависящие только от координаты х. При потере устойчивости оболочки с переменной вдоль её образующей толщиной 5(х), напряжения сжатия в различных поперечных сечениях оказываются различными при постоянной величине критического погонного усилия N = а(х)5(х). Задача потери устойчивости здесь сводится к определению Ж*.
