Формулировка уравнений равновесия для нелинейно-упругого нефтеподъемника Текст научной статьи по специальности «Физика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Дубошип Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы, М,: Наука, 1968,

2, Абалакип В.К., Аксёнов Е.П., Гребенников Е.А. и др. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике, М,: Наука, 1976,

3, Севастьянов Г. Д. О линейности кинематической задачи Дарбу для тела с неподвижной точкой // Математика, Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2005. Вып. 7. С. 195-198.

4, Ляпунов A.M. Об устойчивости движения в одном частном случае задачи о трёх телах // Собр. соч.: в 4 т. М.: Изд. АН СССР, 1954. Т.1. С. 327-401.

УДК 539.3

O.A. Торопова

ФОРМУЛИРОВКА УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО НЕФТЕПОДЪЕМНИКА

При выводе уравнений будем использовать следующие основные гипотезы и допущения, принимаемые в задачах механики морских трубопроводов [1, 2]. Будем считать, что материал стенок нефте-подъемника является несжимаемым, то есть значение коэффициента Пуассона принимается равным v = 0.5, диаграмма его деформирования описывается нелинейной зависимостью напряжений от деформаций. Далее, толщина стенки нефтеподъемника вдоль его образующей является в общем случае непрерывной функцией осевой координаты, либо кусочно-непрерывной (для многосекционного нефтеподъемника).

Введем правую декартову систему координат üx\x2, начало которой зафиксируем па морском дне, глубиной H от поверхности моря. Ось x2 направим вертикально вверх, ось x\ - горизонтально вправо. Свяжем с центром тяжести произвольного поперечного сечения деформированного трубопровода орты {ei}, направив вектор e = т по касательной к осевой липни, a e2 = n - по ее нормали. За начало отсчета эйлеровой дуговой координаты (s) выберем нижнее граничное сечение, находящееся в контакте с подводным технологическим оборудованием.

Здесь

el = Leo, L = ( C0S * SÍn * ) , e0 =(-Vj , (1)

г 0' V-sm* cos0 y-ij'

причем

dT dn 7 ^ . ч

— = kn — = -kT. (2)

ds ds

k = k(s) кривизна деформированной осевой линии нефтеподъемника.

Вектор распределенных нагрузок, действующих на элемент трубопровода (q), можно представить в виде

q = qf + qw - mge10 = qf + qw - mg cos ^т + mg sin (3)

где qf, qW - векторы сил взаимодействия с внутренним и внешними

m

элемент потока гидросмеси движется со скоростью vf = Vfт. Здесь Vf = (d0/d)2Vf0, Vf0 - скорость гидросмеси в нижнем сечении (здесь и в дальнейшем нижним индексом ноль будем обозначать характеристики нижнего сечения трубопровода s = 0).

Запишем уравнение Эйлера движения элемента потока

dt(mfvf) = -(Pfт) - qf - mfgei0. (4)

гидросмеси [3j:

Здесь mf = 0.25р/г^2, Pf = р/Ff, р/ - давление для каждой точки произвольной липни тока гидросмеси, Ff = 0.25п^2, р/ - плотность потока гидросмеси, d - внутренний диаметр нефтеподъемника. Любой вектор, в частности, с[/ можно представить по определению в виде (используя (4))

d д

qf = (qf,т)т+т (qf,т) = - dt (mf vf) - ds (pfт) - mf gei0 =

( dPf ( d

+ ~i+(mf qVf),т + mf g(ei0,Tn т-

\ ds \dt

-kPfn - mfgT(ei0T) - т ^^dt(mfVaf)Л . (5)

Для идеальной жидкости ((¡f ,т) = 0, с[/||п, поэтому ЭР^ (d \

Иь + (^(mfvf),т) + = 0, (6)

а оставшиеся в (5) компоненты вектора с[/ допускают следующую трактовку:

qf = qhf + qaf, qhf = -kPfn - mfgT(ei0T) = -(kPf - mfgsin <^)n,

Qaf = -T (mf qVaf)q) = -kmf ^ (7)

190

гДе Qkf ~ вектор нормальной силы гидродинамического давления на стенки нефтеподъемника, qaf - вектор нормальной силы инерции присоединенной массы гидросмеси. Аналогичным образом определяются нормальные компоненты соответствующих составляющих вектора распределенной нагрузки со стороны внешнего потока подводных течений!

qw = qkw + (law + ^ (8)

где qn = 0.5cnpwDvc2\vc2\n - вектор силы нормального гидродинамического сопротивления, cn - коэффициент нормального гидродинамического сопротивления, pw - плотность потока морской воды, D - внешний диаметр нефтеподъемника. Получаем окончательно следующее представление вектора распределенных нагрузок, действующих на элемент нефтеподъемника [1]:

q = qf + QW — mge10 = —mg cos ^r + (mg sin + ((mf — mw )g sin ^>)n—

-(mf vf + mw vh)kn + 0.5cnpw Dvc2\vc2\n. (9)

Здесь mw = pwFw, Fw = 0.25nDf, vd = —vcsin <p, vcf = —vccos <p, vc = vc(x2) - профиль скорости подводных течений.

В осях связанной системы координат скалярными уравнениями равновесия элемента нелинейно-упругого трубопровода, а также дополнительными геометрическими и физическими соотношениями являются:

ds — kN + ((, q) = 0,

f + kT + (q,n) = 0, (10)

I = k dXS2 = cos^ -M = —N, M = w(J,k).

Здесь T, N - продольное и перерезывающее усилия, M - изгибающий момент, являющийся нелинейным функционалом переменных k = k(s) и J = J(x) = I/Io (I = n(D4 — d4)/64, 1o = n(D0 — d4)/64 - моменты инерции произвольного и нижнего сечений):

/. 0.5D

M = 2п аър2dp = Ео1оФ( J, k) (11)

J0.5-

(аъ = ^ъ(^ъ) ~ нелинейная диаграмма деформирования, еъ = kp, 0.5d < < р < 0.5D ). По механическому смыслу задачи он должен обладать следующими свойствами:

1)Ф=№ 0) = 0;

2) Ф(^ -k) = —Ф( J, k);

3) дФ/lk > 0 в области G = {(s,k) : 0 < s < l, 0 < |k(s)| <

< k*}, k* = min |k| : Ц = 0.

S

После подстановки (11) в (10), учитывая (9), получаем следующую скалярную систему относительно компонент вектора основных неизвестных У = {Т, N х2, к} :

ds = w cos ^ + kN,

ddS = -we sin ^ - kT + kmf v2 + kmwv;? sin2 ^ + 0.5cnpwD cos ^vc|vc cos ,

dp = k ds = k,

Ifsr = cos ^

e /0 f = -N^(k) - j J адад,

(12)

где we = meg, me = m + mf - mw, ^(k) = (дФ/dk) 1 в области G.

Граничные условия (соответствующие шарнирному закреплению верхнего сечения s = l нефтеподъемнпка с плавсредством и нижнего s=0

системы (12) можно сформулировать в виде

x2(0) = k(0) = 0, Ж2(/) = H, k(l) = 0, T(l) = Ti, (13)

(Ti - коэффициент тягового усилия па плавсредстве).

Таким образом, в данной статье получены нелинейные уравнения, описывающие напряженно-деформированное состояние глубоководного нефтеподъемника, находящегося под действием внутреннего потока гидросмеси и внешнего потока окружающей жидкости. При этом материал стенок трубопровода считается нелинейно-упругим, а толщина стенки - переменной вдоль образующей. Задавая конкретные конструкционные особенности нефтеподъемника, можно определить формулировки различных конкретных прикладных задач.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Торопова O.A. Формулировка уравнений установившегося пространственного движения глубоководных трубопроводов морских гидротехнических комплексов / / Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып. 9. С. 140-145.

2. Петров В.В., Кузнецов В.В., Земеров В.Н. Механика длинномерных элементов глубоководных комплексов. Саратов: Изд.-во Сарат. ун-та, 1989. 188 с.

3. Светлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей. М,: Машиностроение, 1987. 222 с.