CC BY
12
О.А. Торопова
УДК 539.3
УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕИНО-УПРУГОГО НЕФТЕПОДЪЕМННКА С ПЕРЕМЕННОЙ ВДОЛЬ ОБРАЗУЮЩЕЙ ТОЛЩИНОЙ СТЕНКИ
В [1] получены нелинейные уравнения, описывающие напряженно деформированное состояние глубоководного нефтеподъемника, находящегося под действием внутреннего потока гидросмеси и внешнего потока окружающей жидкости. При этом материал стенок трубопровода считался нелинейно-упругим, а толщина стенки - переменной вдоль образующей.
В настоящей статье обсуждаются возможные варианты следствий из предлагаемых в ней новых уравнений. Выбираем в качестве независимой переменной вертикальную координату х2 = х и введем для (12), (13) следующие безразмерные переменные и параметры:
х0 = х/Н, Т0 = Т/иоН, N = Ж/^оЯ, к0 = кН/, Ф0 = ФН, П° = и/Н, V0 = Vc/Vо (г>0 = 1м/с), ^ = Vfо/Vо, м = (Ео/о/иоН3)1/2, ©1 = ©1(х)£/А0, ©2 = ©2(х) = ¿/¿0, с = А/¿0 > 1, 71 = 1/(1 - с-2),
72 = 1/(с2- 1), 73 = 1/(1 + с-2), 74 = 1/(1 + с2), 75 = 71(1 -р-/р), Ъ = 72(1 -р^р*),
77 = (рfV2/ргдН)72 , 78 = (р-v2/рígH)7Ь 79 = (2сгар-v2/gрíffДо)71, 710 = 2р4дН2/ЕоАо,
«1 = 71©2 - 72©2, «2 = 1/(71 ©2 - 72©2)(73©1 - 74©2), «з = 75©2 - 7е©2,
«4 = 77«2/©2, «5 = 78©2«2, «6 = 79©1, а^ = 2а0 Н/Ео Ао,
р0 = (2/Ао)р (©2/с < р0 < ©1), аг0 = а" + а0, а? = 71оТ%1, Ф(к0) = (5Ф0/5к0)-1.
(1)
Здесь и0 = 0.25пр^(Ао - ¿0)д _ погонный вес трубопровода в нижнем граничном сечении (©j(0) = 1, ] = 1,2) Vf0 - скорость по-
хо = 0
и (13)] и проведения необходимых преобразований (опуская здесь и в дальнейшем верхний индекс ноль в обозначениях безразмерных величин), рассматриваемая задача сформулируется окончательно в виде:
/у' = /(х,у,г;м), = р(х,У)Ф) + r(x,y,z,м), (2)
\ Го(У(0)) = 0, Гх(У(1)) = 0, У = {у, г}*, (2)
где у = {Т, ^>,и} ({...}*- операция транспонирования), г = {Ж, К}*,
/ = {ах + ¡й2кЖ/ сое й2к/ сое - tg= {Ру-} : Рц = -Р1,
P22 = -1, P12 = P21 = 0, Pi = (a2T - a4V2f0 - abvl sin2 ф)/ cos ф,
q(z) = {к, Ф(k)N}t,r = {r1,r2}t, r1 = -a3 tgф + a6vc|vccos ф|,
Г2 = -м(6Ф/6^)(о^/дх)(Ф(к)/cos ф);
Го : |R5 ^ |R2, Г1 : |R5 ^ |R3, () = d()/dx.
Из системы (2) можно получить ряд нижеприведенных следствий. Уравнения нелинейно-упругого пефтеподъемпика с постоянной толщиной стенки имеют вид
в1(ж) = 02(x) = 1, Vf0 = Vf = const,
ai(x) = const (i = 1,..., 6), J(x) = 1.
Пусть, например, диаграмма деформирования материала стенок нефтеподъемника аппроксимируется полиномом третьего порядка аъ = = E0e — E1e3. После подстановки зависимости в выражение [1, (11)] для изгибающего момента и проведения необходимых преобразований, определяем
ф(к) = к - к3/3к2, (3)
где к* = 2/3((3E0/E1)(H/D))1/2 - наименьшее значение к = к(ж), для которого dФ/dk = 0. Получаем искомое выражение для функции Ф(к), входящей в (2), в виде
Ф(к) = 1/(1 - (к/к*)2), к < к*. (4)
Аналогичным образом можно получить значения функции Ф(к) для любого другого аналитического типа зависимости аъ = аъ(е).
Считая известными параметры D0,d0,cn, pt, pf, pw, T1, H, профиль скорости подводных течений vc = vc(x), 0 < x < 1, вид диаграммы деформирования, например, в форме кубической параболы (3) с известными значениями параметров E0,Ei5 основной задачей является определение из решения (2) характеристик НДС нефтеподъемника, исходя из условия сохранения его прочности:
а* < ая, (5)
где ая - известное расчетное сопротивление материала стенок нефтеподъемника, а* = maxа-i. С этой целью для любого фиксирован-
х,р
аг = x) = kp - (к3/3kJ)p3 + 710T(x), pi < p < 1, pi = do/Do (6) и найти a* = max a(p; x).
p,x
Получим также уравнения линейно-упругого нефтеподъемника с переменной толщиной стенки:
Ф(к) = к, Ф(к) = 1, q(z) = z* = {k, N}t.
Уравнения линейно-упругого нефтеподъемника с постоянной толщиной стенки сформулируем следующим образом [2, 3]:
Ф(к) = к, Ф(к) = 1, q(z) = z* = {к, N}t, 0i(x) = 02(x) = 1,
vf0 = Vf = const, aj(x) ^nst, (i = 1,..., 6), J(x) = 1.
Отличительной особенностью системы (2) является наличие малого параметра ß при старшей производной от зависимой переменной, так как для глубоководных трубопроводов (то есть при H > 1000м) значение ß ~ 10-4 ^ 10-3. Таким образом, сформулированные в этой статье модельные уравнения, описывающие статические характеристики глубоководного нефтеподъемника в вертикальной плоскости стационарного потока подводных течений, относятся к классу нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных систем. Тем самым возникает необходимость в асимптотическом анализе сформулированных выше уравнений, который позволит выявить особенности поведения искомого решения.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Торопова O.A. Формулировка уравнений равновесия для нелинейно-упругого нефтеподъемника // Математика. Механика: еб. науч. тр. Саратов, 2010. Вып. 12. С. 189-192.
2. Торопова O.A. Метод параметризации граничных условий в нелинейных краевых задачах прикладной механики/ / Математические методы в технике и технологиях ММТТ-20: сб. тр. XX Междунар, конф. Ярославль, 2007.
3. Торопова O.A. Применение метода пограничных функций в задачах расчета статических характеристик глубоководных нефтеподъемников//Актуальные проблемы теории управления и прикладного системного анализа: материалы Всерос. науч. конф. Саратов, 2006.
