CC BY
31
УДК 519.62
О.А. Торопова
ПОСТРОЕНИЕ ГЛАВНЫХ ЧЛЕНОВ АСИМПТОТИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ РАЙЗЕРА, ВЫПОЛНЕННОГО ИЗ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО МАТЕРИАЛА
Рассматривается актуальная задача построения расчетных математических моделей оценки статических характеристик морского глубоководного нефтеподъемника. Проводится асимптотический анализ новой математической модели, описывающей напряженно-деформированное состояние глубоководного райзера, находящегося под действием внутреннего потока гидросмеси и внешнего потока окружающей жидкости. Материал стенок трубопровода является нелинейно-упругим. Дан ряд рекомендаций для проведения численных расчетов, а также сделаны важные для практических приложений выводы.
Асимптотический анализ, асимптотическое разложение решения задачи, напряженно-деформированное состояние, глубоководный нефтеподъемник, райзер, нелинейно-упругий материал.
O.A. Toropova
CONSTRUCTION OF THE PRINCIPAL ASYMPTOTIC EXPANSION EQUATION RISER MADE OF NONLINEAR-ELASTIC MATERIAL
The article deals with the actual task of building computational mathematical models of evaluation of static characteristics of deep-sea riser. An asymptotic analysis of a new mathematical model describing the stress-strain state of deep-sea riser under the action of the internal flow of the slurry and the external flow of surrounding fluid is performed. Material of pipe walls is nonlinear elastic. A number of recommendations for numerical calculations is given, and also the important conclusions for practical appendices are drawn.
Asymptotic analysis, asymptotic expansion solution of the problem, the stress-strain state, deep-sea riser, nonlinear elastic material.
Модельные уравнения, описывающие статические характеристики глубоководного нефтеподъемника вертикальной плоскости стационарного потока подводных течений, сформулированы в [1] следующим образом:
Данные уравнения относятся к классу нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных систем, отличительной особенностью которых является наличие в них малого параметра 1 при производных по независимой координате, так как для глубоководных трубопроводов (то есть при l > 1000 м) значение 1~10~4 -10-3. При этом, в случае линейно упругого материала стенок нефтеподъемника она является квазилинейной системой (так как q(z ) = z *), а при нелинейной диаграмме деформирования материала стенок - неквазилинейной системой достаточно общего вида (1). Тем самым возникает необходимость в асимптотическом анализе сформулированных уравнений, который позволит выявить особенности поведения искомого решения.
Проведение корректного асимптотического анализа исследуемых процессов нелинейного деформирования райзеров позволяет выявить многие важные его закономерности, в частности, установить в явном виде зоны резкого изменения отдельных компонент искомого решения (краевые эффекты) и понизить размерность рассматриваемых уравнений. В настоящей статье на основе использования метода пограничных функций А.Б. Васильевой [2] построены выражения для главных членов асимптотического разложения решения краевой задачи (1) для случая линейно упругого материала стенок нефтеподъемника. Показано, что по-гранслойные функции, полученные из общей неквазилинейной системы (1) описывают поведение решения задачи в малых окрестностях граничных сечений нефтеподъемника с кусочно-непрерывной толщиной его стенки, получая тем самым асимтотическое решение задачи расчета статических характеристик нелинейно-упругого многосекционного нефтеподъемни-ка с приложенными сосредоточенными механическими нагрузками.
y' = f (x, y, z; м), Mz ' = p(x, y) q(z)+ r (x, y, z;M), Г0 (Y (0)) = 0, Г1 (Y (1)) = 0, Y = {y, z}t,
(1)
Во всех случаях возникает необходимость численного интегрирования нелинейных регулярных уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние абсолютно гибкого стержня (трубопровода с нулевой изгибной жесткостью). С этой целью можно предложить использовать метод параметризации граничных условий, предложенный в [3].
Проведем асимптотическое интегрирование уравнений линейно упругого многосекционного нефтеподъемника. В этом случае задача (1) является квазилинейной:
q(z) = z* = [к, N1'. Для построения главных членов асимптотического разложения решения будем использовать метод пограничных функций А.Б. Васильевой [2]. Установим сначала условия применимости этого метода. Для характеристического уравнения, соответствующего (1) (здесь I - единичная матрица)
_Э
дг __
где г = £($, у) - решение уравнения Р(у,у)£*+г(уу) =0, определим его корни Д2 =±(Р1(у)Р2)У2.
В рассматриваемом здесь случае Р2 = Р2 (у) > 0, а Р1 (у) > 0, если
Det \ —[Р (s, у) z * + r (s, у)]- Я11 = 0 , (2)
Т>у5 vf 2 + a3 vc2 sin2 p. (3)
Условие (3) при 0 < s < 1, n < у <n2, где n ,n2 - границы изменения области значений функций £(s, у) по у , выполняется, если оно остается справедливым при s = 0 и у=у(о) , что всегда имеет место ввиду отличающегося на несколько порядков осевого усилия Т (о) от силы в правой части неравенства (3). Таким образом, уравнение (2) имеет действительные корни разных знаков, что позволяет применить метод А.Б. Васильевой. Можно доказать, что при определенных предположениях на правые части системы (1) решение этой задачи существует, единственно и стремится при ц = 0 к решению вырожденной задачи, описывающей статические характеристики нефтеподъемника с нулевой изгибной жесткостью и условиями сопряжения в сечениях s = s j (j = 1,..., n -1):
у0 = f0(s ^ 0 - r(s у VP1(у0); 0),
у0 (0) = {у1,0 (0) У2,0 (0), 0}t,
у0 (1) = {у1,0 (l)-T1, уз,0(1)- 1}t, (4)
у1,0 (sj - 0)+^Tj = у1,0 (sj + о), у.\0 (sj - 0)= Ую (sj + 0)(i = 2,3),
Л ={0, - r1 (S, у0 Vp1(у0)}t.
Задача (1) является сингулярно возмущенной дифференциальной системой условно устойчивого типа, то есть пограничные слои (зоны краевых эффектов) возникают в малых окрестностях граничных сечений s = 0 и s = 1 глубоководного нефтеподъемника. Кроме
того, так как, например, Я12 = ± (Р1 (у) Р2)^2 Ф Я12 = ± (Р1 (у) Р2)^ , то в местах из, s^51 -0 , s^51 +0
менения геометрических характеристик многосекционного нефтеподъемника (то есть в окрестностях сечений s = s j ) и (или) при учете сосредоточенных механических нагрузок
{8Тj, 8 N j} возникают внутренние пограничные слои, что позволяет асимптотическое разложение решения задачи (1) представить в общем случае в виде:
~ n-1 / ~ \
y = y+Y+Y+£(Y(j >+Y(j)], (5)
j=1( ]
где Y = Y0(?)+!%(у)+... - регулярный ряд; = '?0('0)+1'?1 ('0)+... и У = У0' )+1'?1 ') + ...
- пограничные ряды с коэффициентами, зависящими от '0 = у/ц и '1 = (у -1)/ц; УО)=УО)(т^ -0)+1~1 0)(т-0)+ к , У] = У00)(т] + 0)+1У1 0)(т+ 0)+ ... - внутренние
пограничные ряды с коэффициентами, зависящими от т ■ = (у - у ■)/1, } = 1,..., п -1.
После подстановки (5) в (1) и проведения необходимых преобразований для главных членов асимптотического разложения решения будем иметь ( ~у 0 = ~у 0 = ~у
= у 0
= О
І = 1,..., п -1):
у О = /о. Ро (•?> у ) 7) * + Го и, у О ) = 0
й~о / йіо = ~о (Я, ~о ) ~о * + ~о (л, ~о ),
йг 0 / йі,
= ~о (л. ~ 0 ) 7О * + ~0 (л. ~ 0 ).
(6)
й~0°) / йт} =~0(1 ^ ~0°))~0(1 )* + ~0(1 ^ ~0°^ Ті * 0),
й~ 0(1) / йт 1 = ~о(1 )(л. ~ 0(1)) 7 0(1 )* + ~0(1 )(^. ~ 0(1 ^ (т} ^ 0 і 1 = 1 ••• . п - 1
„0/1* * 1 _ х 0 /О /^0 1 'О /О Г \’ 1
Для определения погранслойных функций в окрестности л = 0 (решения типа краевого эффекта в малой окрестности нижнего граничного сечения нефтеподъемника) имеем из (6) следующие уравнения:
|й~1,0/йі0 = Р1 (у0 (0)) 72,0’ й~2,0/йі0 = Р271,0>
1 ~2,0 (0) = -72,0 (0) > ~1,0 И = ~2,0 Й = 0
откуда непосредственно получаем:
71,0 (і0 ) =—а0 72,0 (0) ЄХР(—Л) І0 ) , 72,0 (і0 ) = 72,0 (0) ЄХР (-Л0 І0 ) ’
(7)
где О) =(р1 (У) (0) УР2 )/2. Л =(Р1 (У0(о) )Р2)^2- Аналогичным образом в окрестности л=1 имеем:
[До / йі1 = Р1(У) (1)) ~2,0. ^2,0 / йі1 = Р271,0
I ~2,0 (0) = -%2,0 (1). ~1,0 И = ~2,0 Й = 0
откуда находим:
где а1
~1,0 (і1 ) = а1 ~2,0 (0) ехр(1[ і1 ) . ~2,0 (і1 )= 72,0 (0) ЄХР(Л1 І1 ) .
(Р (Уо Ш/Р2 )/2, Л=(Р (Уо (1))Р2 )/2-
Для внутренних пограничных слоев имеем:
й ~1,о( 1) / йТ =р(уо(л1 -о)) ~>,о( 1). й 12.о( 1) / йт =рДо( 1),
210( 1) (то)=1)2,о(то)=0, (1 = 1, к, п -1),
(8)
(9)
(10)
й ~1,0(1) / йТ1 =Р1 (У0 (л1 + 0)) ~2,0(
(1)
0 4" 1 (1)
-2,0 (1)/
(11)
710'" (те) = 7 1) 2,0 (~) = 0, (1 = 1, к , п - 1).
Дополняя (10) и (11) условиями согласования переменных в сечениях (1 = 1, к, п -1), имеем:
С учетом (7)-(12) искомое асимптотическое решение, определяющее статические характеристики линейно упругого многосекционного нефтеподъемника с сосредоточенными механическими нагрузками в местах перехода секций формулируется окончательно в виде:
Таким образом, асимптотический анализ уравнений, описывающих характеристики НДС линейно упругого многосекционного нефтеподъемника при наличии, в общем случае, сосредоточенных механических нагрузок, позволяет сделать следующие основные выводы:
1. Возникают локальные зоны краевых эффектов в малых окрестностях граничных сечений ^ = 0, 5 = 1 и в малых окрестностях зон перехода геометрических характеристик глубоководного нефтеподъемника (внутренние погранслои) у проекции векторов кривизны (к = к (я)) и перерезывающего усилия N = N(5).
2. Ширина этих зон имеет порядок 0(ц 11п ц \), то есть стремится к нулю при 0 , поэтому амплитудные значения кривизны и перерезывающего усилия в упомянутых выше зонах погранслоев экспоненциально возрастают с ростом параметра I и (или) уменьшением изгибной жесткости Е010. Этим, главным образом, и объясняются причины серьезной трудности численной реализации классических схем вариационно-разностных методов и методов пристрелки для определения приближенного решения уравнений (1).
3. Применение для определения статических характеристик глубоководного нефтеподъем-ника, находящегося под совместным действием внутреннего потока гидросмеси и стационарного потока подводных течений, модели абсолютно гибкого стержня (нити), является оправданным только при определении его равновесных конфигураций (перемещений и угла поворота), но не при определении напряжений, то есть не в задачах его прочностного расчета.
Проведем асимптотическое интегрирование уравнений нелинейно упругого нефте-подъемника с непрерывным изменением вдоль образующей толщины его стенки. Проверим сначала условия применимости метода пограничных функций А.Б. Васильевой для оценки возможности асимптотического интегрирования нелинейной сингулярно возмущенной краевой задачи (1). Для характеристического уравнения, соответствующего (1):
к) = к0(^)- к0(о)ехр(-Ло Б/м)~ к0(1)ехР(Л (я-1)/м) + £(к0{ 1)(-0)ехр(Ло- (я- ^+
і=і
і=і
-ао+~о(і)(+ 0)ехр(-Л+ (я-Яі)/^)+0(и), Т(я) = Т0М+О^),^)^М+О^),
Х2 (я) = Х2,о (я)+0(4
Беї (р(х, у)д(г)+г(х,у))-Лі| = 0. где г = ^(х, у) - решение уравнения р(х у)д(^)+ г(х, у) = 0,
определим его корни Л12 (х, у, г): Л,2 = ±(Р1 (У)^(г2))^ •
Т> (a4/a2 )v/o2 +(a5/ a 2 )vc 2 sin2 рcosp. (14)
Условие (14) при 0 < x < 1, П1 < У - П2, П, П2 - границы изменения области значений функции <^(x, у) по у, выполняется, если оно справедливо при x = 0 и у = У(0) , что всегда имеет место, так как осевое усилие т(0) отличается на несколько порядков от силы в правой части неравенства (14). Поэтому уравнение имеет действительные корни разных знаков, что позволяет корректно использовать метод пограничных функций. Можно доказать, что при определенных ограничениях на структуру правых частей системы (1) ее решение существует, единственно и стремится при U ^ 0 к решению вырожденной задачи, описывающей статические характеристики нефтеподъемника с нулевой изгибной жесткостью (Е 010 = 0):
у0 = f0(^ Уo, - r1 U у0 Vp1 (у0(0)); 0), (15)
У ={ Уl,0, У 2,0 (0), 0} ', у0 (1) = { у1.0 (l)-T1, у 2,1 (l), 0} '•
Задача (1) является, в соответствии с классификацией А.Б. Васильевой, при условии выполнения неравенства (14) в области G , сингулярно возмущенной дифференциальной системой условно устойчивого типа, то есть зоны краевых эффектов возникают в малых окрестностях граничных сечений x = 0 и x = 1 глубоководного нефтеподъемника. Поэтому асимптотическое разложение решения задачи (1) можно представить в виде:
Y = Y + Y + Y, (16)
где Y = Y0 (x )+uY (x)+• •• - регулярный ряд с коэффициентами, зависящими от
u; Y = Y0(t0) + u'Y1 (t0)+ к, Y = Y0(t1 ) + uY (t1)+ к - пограничные ряды с коэффициентами, зависящими от 10 = x/и и t1 = (x - 1)/u. После подстановки (16) в (1) и соответствующих преоб-
разований будем иметь (~0 = ~0 = о)
У 0= Л> р0 (x. У 0 ) a 0 (z 0 )+ r0 (s. У 0 )= (17)
dl0 / dt0 = р0 (0, у0 (0))q0 (z0 + ~0 ), (18)
^dl0/ dt 1 = р1 (1, у0 (1))q0 (Z0 + 10 ). (19)
Численное интегрирование регулярных уравнений (15) на отрезке [0,1] позволяет найти значения компонент векторов у0 (0) и у0 (1), то есть построить у0 (x) и z0 (x) в области G .
Система (1) не является квазилинейной для общего случая ^(&)^ const, что требует обоснованного построения экспоненциально убывающих пограничных слоев в малых окрестностях граничных сечений x = 0 и x = 1. Для определения пограничных функций в окрестности x = 0 имеем из (18) следующие скалярные уравнения:
d l1,0 / dt0 = -Р1 (у0 (0)) l2,0 , d l2,0 / dt0 = -MZ2,0 (0) + l2,0 ) l1,0 • (20)
Начальное условие для z10 (t 0) получается после подстановки (16) в граничные условия системы (1) и имеет вид:
12,0 (0) = -Z2,0 (0) = -r (У0 (0VP1 (У0 (0))) . (21)
Кроме того, потребуем, как обычно, чтобы z0 (t0) ^ 0 при t0 ^ ^ :
~0 (-) = 0. (22) Точка покоя ~0 = 0 системы (20)-(22) является седлом (то есть условно устойчивой), так как корни соответствующего характеристического уравнения равны для рассматриваемого здесь случая ± (Р1 (у0 (0))^(г2 0 (0)))12, являясь вещественными числами разных знаков в обла-
сти в . Система (20)-(22) интегрируется в квадратурах и для устойчивой при ґ0 ^ ^ сепаратрисы седла получаем
( ~2,0 Л12
2Р1 (Уо (0)) \idfl ^ (0)+;) 8вп(г2,о). (23)
0 )
Формула (23) дает аналитическое представление одномерного многообразия П 0, обладающего тем свойством, что если ~0 (0 )є П0, то при Ґ0 > 0 ~0(0 )є П0. При этом ~0(0)
удовлетворяет неравенству II z0(t0) II< c1 exp(- c2t0), 10 > 0, c1 > 0, c2 > 0.
После подстановки (23) во второе уравнение системы (20) для определения ~2 0 имеем
следующую задачу с начальными условиями:
С
z2,0
Уі
d12,0/dt0 = ^2,0 (0) +12,0 ) 2P1 (У0 (0)) f £ d££/ (Z2,0 (0) + £) Sgn(l2,0 ) ,
t 0 ) (24)
l2,0 (0) = -Z2,0 (0) •
В практических расчетах достаточно ограничиться линейным приближением для по-гранслойных функций, то есть считать, что ^(z20 (0)+z20 )~^(z20 (0)).
Из (23)-(24) получаем:
~1,0 (t0 ) = Z2,0 (0) (Р1 (у0 (0))/^ (Z2,0 (°)) )Х exp (-Лч ) ,
~2,0 (t0 ) = Z2,0 (0) eXP (-А>^ ) , Л) = (Р1 (у0 (0)) ^ (Z2,0 (0)) )К •
Аналогичным образом в окрестности x = 1 имеем из (19) следующие скалярные уравнения:
d Z1,0 / dt1 =-Р1 (у 0 (1)) Z2,0 , d 12,0 / dt1 = -^(z2,0 (1)+ Z2,0 )z1,0 ,
(26)
(25)
!2,0 (0) = -Z2,0 (l) = -Г1 (У0 (l)/P1 (У 0 (l))) , !0 M = 0,
откуда находим
2P
Z2,0 і ,
1 (y0 (l)) \%d4/MZ2,0 (l) + ^ sgn(^2,0 )-
(27)
Формула (27) дает аналитическое представление одномерного многообразия ^, аналогичного П0, то есть \\ ~^1) \\< с1 ехр(с2?1), г1 < 0, с1 > 0, с2 > 0.
Для определения ~2 0 (г1) имеем следующую задачу Коши:
( ?2,0 Л112
А 52,0/ А =-^2,0 (1)+ ~2,0 ) 2р1(у0 (1)) \ZdZl ^(22,0 (1)+^) «8п(^2,0 ) >
(28)
!2,0 (t1 ) = -Zz,0(l) = -r(Уо (l)/P1 (Уо(l))) ■
Искомое асимптотическое представление решения задачи (1), учитывая формулы (16) и линейное приближение формул (28)
11.0 (t1 )= Z2,0 (1)(Р1 (У0 (1)V^(Z2,0 (1)))>^ eXP(М ) >
12.0 (t1 )=- Z 2,0 (1) eXP (М ) > Л1 =(Р1 ( У 0 (1))^(Z 2,0 (1)F-
можно записать окончательно в виде:
Z1,0
о
о
т(х)=Т (х)+оМ), и (х)=и (х)+о(м),
<у{х) = %(х) + °{м), (30)
Мх) = -к0(0)(р1(у(0))/^(0)))/2ехр(-Л)х1 м) + к0(1&(у(1)У^(^0(1)))/2ехр(Л(1 -х)/м) + ОМ),
к(х) = к0(х) - к0 (0)ехр(- Л ^ М) - к0 (1)ехр(Л(1 - х)/ М) + °Ы •
Здесь р1(у0ООЬк(')-а40200 -а5О’К2(0)/со8р000. Л = (Р1 (У0(')М*2,0(')))К, (г = 0,1), а регулярными уравнениями относительно у0 (х ) является система (15).
Асимптотический анализ задачи (1) позволяет сделать следующие, важные для практических приложений, выводы:
1. Так же, как и в случае линейно упругого материала стенок нефтеподъемника здесь возникают локальные зоны краевых эффектов (пограничные слои) у проекций векторов кривизны и перерезывающего усилия в малых окрестностях пограничных сечений. Их амплитудные значения необходимо обязательно учитывать в задачах прочностного расчета глубоководного нефтеподъемника с учетом эффектов его взаимодействия с внутренним и внешним потоком окружающей жидкости.
2. В пределах точности представления искомого решения главными членами асимптотического разложения физические характеристики материала стенок нефтеподъемника не оказывают влияния на его равновесные конфигурации в вертикальной плоскости стационарного потока подводных течений (из-за идентичности регулярных, вырожденных уравнений (4) и (15).
3. Следствием предыдущего вывода является то, что если выражения для погранслой-ных функций (25) и (29) заменить на их аналоги, соответственно, (7) и (9), то полученные в результате формулы (13) являются асимптотическим разложением решения задачи расчета статических характеристик нелинейно упругого многосекционного нефтеподъемника с сосредоточенными механическими нагрузками.
ЛИТЕРАТУРА
1. Торопова О.А. Формулировка уравнений равновесия для нелинейно-упругого нефтеподъемника / О. А. Торопова // Математика. Механика. Вып.12 : сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 2010. С.180-183.
2. Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно-возмущенных уравнений / В.Ф. Бутузов, А.Б. Васильева. М.: Наука, 1973. 272 с.
3. Торопова О.А. Метод параметризации граничных условий в нелинейных краевых задачах прикладной механики / Торопова О. А. // Математические методы в технике и технологиях ММТТ-20: сб. тр. Междунар. научн. конф. Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2007. С.124-127.
Торопова Ольга Анатольевна -
кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры «Информационные системы» Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю.А.
Статья поступила в редакцию 7.08.11, принята к опубликованию 8.11.11
