CC BY
30
УДК 519.62
О.А. Торопова
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ РАЙЗЕРА, ВЫПОЛНЕННОГО ИЗ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО МАТЕРИАЛА
Получены нелинейные уравнения, описывающие напряженно-деформированное состояние глубоководного нефтеподъемника, находящегося под действием внутреннего потока гидросмеси и внешнего потока окружающей жидкости. Материал стенок трубопровода считается нелинейно-упругим, а толщина стенки - переменной вдоль образующей, либо кусочно-непрерывной (для многосекционных нефтеподъемников). Обсуждаются возможные варианты следствий из предлагаемых уравнений.
Напряженно-деформированное состояние, глубоководный
нефтеподъемник, райзер, нелинейно-упругий материал, внутренний и внешний потоки жидкости, переменная толщина стенки
O.A. Toropova
DERIVATION OF EQUATIONS STRESS-STRAIN STATE RISER MADE OF NONLINEAR-ELASTIC MATERIAL
The nonlinear equations describing the stress-strain state of deep-sea riser under the action of the internal flow of the slurry and the external flow surrounding fluid are obtained. Material of pipe walls is nonlinear elastic, and the thickness of the wall is variable along the way, or piecewise-continuous (for multisection risers). The possible consequences from the new offered equations are discussed.
Stress-strain state, deep-sea riser, nonlinear elastic material, external and internal fluid flows, variable wall thickness
Целью статьи является получение уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние глубоководного нефтеподъемника, находящегося под действием внутреннего потока гидросмеси и внешнего потока окружающей жидкости. При этом материал стенок трубопровода считается нелинейно-упругим, а толщина стенки - переменной вдоль образующей. Также предполагается представить следствия из выведенных уравнений для использования в конкретных прикладных задачах.
При выводе уравнений будем использовать следующие основные гипотезы и допущения, принимаемые в задачах механики морских трубопроводов [1, 2].
Будем считать, что материал стенок нефтеподъемника является несжимаемым, т.е. значение коэффициента Пуассона принимается равным V = 0,5 , диаграмма его деформирования описывается нелинейной зависимостью напряжений от деформаций. Далее, толщина стенки нефтеподъемника вдоль его образующей является в общем случае непрерывной функцией осевой координаты, либо кусочно-непрерывной (для многосекционного нефте-
подъемника). Введем правую декартову систему координат О х1 х2, начало которой зафиксируем на морском дне, глубиной Н от поверхности моря. Ось х2 направим вертикально вверх, ось х1 - горизонтально вправо. Свяжем с центром тяжести произвольного поперечного сечения деформированного трубопровода орты {еі}, направив вектор е1 = т по касательной к осевой линии, а е2 = п - по ее нормали (рис. 1). За начало отсчета Эйлеровой дуговой координаты (5) выберем нижнее граничное сечение, находящееся в контакте с подводным технологическим оборудованием (рис. 2). Здесь
Ь =
С08ф 81П ф
- 8ІП ф 008 ф)
г Г
= о
V- і1)
причем
йт/йя = кп, йп/йя = -кт,
где к = к (я) - кривизна деформированной осевой линии нефтеподъемника.
(1)
(2)
-\(х2)
х
2
Рис. 1 Рис. 2
Вектор распределенных нагрузок, действующих на элемент трубопровода {д) можно представить в виде:
Д = Д/ + Д™ - т8ею = д/ + Д™ - т8 С0%фТ + mg ыпфп, (3)
где Д/, д№ — векторы сил взаимодействия с внутренним и внешними потоками жидкости, т -погонная масса трубопровода в воздухе. Пусть элемент потока гидросмеси движется со скоростью V/ = V/ Т . Здесь V/ = {й0 / й )2 V/0, V/0 — скорость гидросмеси в нижнем сечении (здесь
и в дальнейшем нижним индексом ноль будем обозначать характеристики нижнего сечения трубопровода я = 0). Запишем уравнение Эйлера движения элемента потока гидросмеси [2]:
(// )=—{р/ *)— Д/ — m/gelo. (4)
Здесь т/ = 0,25 Р/пй2, Р/ = Р/ Г/, р/ — давление для каждой точки произвольной линии тока гидросмеси; Г/ = 0,25пй2, Р/ — плотность потока гидросмеси; й - внутренний диаметр нефтеподъемника. Любой вектор, в частности, Д/ — можно представить по определению в виде, используя (4):
^ Э+ (1й(т/*/);Т) + т/ 8 (г10 ’ї) ї - кр/п - т/ 8 ї (г1° ї)-Т ( (т/^а/^)
(5)
Для идеальной жидкости ((qf , t )= 0 , qf II n, поэтому
dPf .( d
ds +l T (mfvf), T | + mf 8 (eio, t) = 0, (6)
а оставшиеся в (5) компоненты вектора qf допускают следующую трактовку: qf = qhf + qaf , qhf =-kPfn - mf 8 T(ei0 T )=-(kPf - mf8 sin <p)n,
t (d ( t )t] 2r (7)
qaf = -T ^d7 (mf Vaf )T J =-kmfvf n ,
где qhf - вектор нормальной силы гидродинамического давления на стенки нефтеподъемни-ка; qaf - вектор нормальной силы инерции присоединенной массы гидросмеси. Аналогичным образом определяются нормальные компоненты соответствующих составляющих вектора распределенной нагрузки со стороны внешнего потока подводных течений:
qw = qhw + qaw + qn , (8)
где qn = 0.5 cn pw Dvc2 I vc2 IП - вектор силы нормального гидродинамического сопротивления, cn - коэффициент нормального гидродинамического сопротивления, pw - плотность потока морской воды, D - внешний диаметр нефтеподъемника. Получаем окончательно следующее представление вектора распределенных нагрузок, действующих на элемент нефтеподъемника [2]:
q = qf + qw -mgew = -mgcospf + (mgsinp)П + ((mf -mw)gsinp)П-
I 2 2\ (9)
(mfvf + mw vci ) kn + °.5 cn PwDvc2 1 Vc2 1 n.
Здесь mw = pwFw , Fw = 0.25nD2, vc1 = -vc sin p , vc2 = -vc cos p, vc = vc (x2) - профиль скорости подводных течений.
Сформулируем уравнения равновесия, геометрические и физические соотношения для нелинейно-упругого нефтеподъемника, а также граничные условия.
В осях связанной системы координат скалярными уравнениями равновесия элемента нелинейно упругого трубопровода, а также дополнительными геометрическими и физическими соотношениями являются:
— - kN + (q, t ) = 0;
ds
— + kT + (q, n ) = 0; (10) ds
dp = k , = cosp, — = - N , M = E010 Ф(j, k).
ds ds ds
Здесь T, N - продольное и перерезывающее усилия, М - изгибающий момент, являющийся
нелинейным функционалом переменных k = k(s) и J = J(x) = I /I0; I = n(D4 - d4 )/64,
10 = n(D04 - d04)/ 64 - моменты инерции произвольного и нижнего сечений:
0.5D
M=2п J оь р2 dp = E010 €{j, k), (11)
0.5d
где аь = аь (еь) - нелинейная диаграмма деформирования, £ь = kp , 0,5d < р < 0,5D . По механическому смыслу задачи он должен обладать следующими свойствами:
1. Ф = (J ,0) = 0.
2. Ф(J ,-k ) = -Ф(J, k).
3. дФ/dk > 0 в областиG = {(s,k):0< s <l, 0 <Ik(s)I<k*}, k* = mini k I: дФ/dk = 0.
После подстановки (11) в (10), учитывая (9), получаем следующую скалярную систему относительно компонент вектора основных неизвестных У = {Т,N,ф,х2,к }:
dT / ds = м еовф+kN;
2 2 2
dN/ds = ~м?е віпф-кТ + кш/у/ + кшКус віп ф+ 0.5спРКДео%фус Іус еовфІ; dф/ds = к; dx2/ ds = еовф;
(12)
Е010 дк =-Nу(к)-дФ1
00 & к дї дs
4{к )Е010,
где we = , ше = ш + Ш/ - т№ ^(к) = (дФ/дк) 1 в области О .
Граничные условия (соответствующие шарнирному закреплению верхнего сечения я = I нефтеподъемника с плавсредством и нижнего сечения 5 = 0 с подводным технологическим оборудованием) для системы (12) можно сформулировать в виде:
х2(0) = к(0) = 0, х2(I) = Н , к(I) = 0, Т(I) = Т1, (13)
где Т - коэффициент тягового усилия на плавсредстве.
Задание конкретных конструкционных особенностей нефтеподъемника определяет рассмотренные далее формулировки основных прикладных задач.
Сформулируем уравнения нелинейно упругого нефтеподъемника с переменной вдоль образующей толщиной стенки. Выбираем в качестве независимой переменной вертикальную координату х2 = х и введем для (12)-(13) следующие безразмерные переменные и параметры: х0 = х/Н, Т0 = Т/м>0 Н, N0 = Ы/^Ы0Н , к0 = кН ], Ф0 = ФН, и0 = и/Н ,
V0 = ^/^0 =1 м/с)> V/00 = V/0Іv0, А = (е0 ь/^0Н3)К>
ус!
01 =01 (х)ДД0, 02 =02(х) = d|d0, с = Д0^0 > 1, -2\ і) _1/Л , „-2\ , „2^
К = V(1 - с"2), Г2 = V (с2 - Д Гэ= Й + с"2 ), Г4 = V(1 + с2 ^ Ї5 =Ї1 (1 -Р„ІРг) ,
їв =Ї2 (1 - РЇІР, і її = (РЇV 7 Р,8 Н )Уі, Ї8 = (Р^ 7 Р, 8Н )у^
?9 = (2сиРи>^ /&РгП Д0 )у_, Гю = 2 Р^ Н /Е0 Д0, а1 = ?101 — ^20 2 ,
(14)
йп
1 (^1012 - Ї2022 )(Гз012 + Ї4022 I
а5 = 7^1^ ав =Y901, ^( )0 = 2а()Н/Е0 ^, Р° =(2/°0 )Р (0 7с ^Р° ^01 ),
аз
0 Д0
22 У5 01 -Ув0 2 , а4
Уї а2 /0 2
000 а = а + а
, а,0 =уюТ 7^1, ч(к0 )=(дФ 0/дк0)-1 .
Здесь ^0 = 0.25пр( (э02 - й02 )# - погонный вес трубопровода в нижнем граничном сечении (© ] (0) = 1, ] = 1,2), У/0 - скорость потока гидросмеси при х0 = 0. После подстановки (14) в
(12), (13) и проведения необходимых преобразований (опуская здесь и в дальнейшем верхний индекс ноль в обозначениях безразмерных величин, рассматриваемая задача сформулируется окончательно в виде:
| У ' = /(^ Ь , ^ ' = p(x, у )# (г)+ г(х, ^, г;^},
| Г0 (Y(0)) = 0, Г1 ^(1)) = 0, Y = {y, г},
где у = { Т,ф,и ,{к } - операция
(15)
транспонирования,
Р21 = 0,
Р1 = (а2Т -
-а4у/0 -а5ус вій ф)!оощ
Р = {Р }: Р11 =-^1, Р22 =-1, Р12
/ ={а1 +^а2к^еовф, а2к/совф, -і%ф}, г2 =-^.(ЭФ/д1 )(д1 Эх)(^(к^еовф);
= {N,к }‘, • = { rl, Г2 },
г =-а^ф+а6ус Іусеовфі, Г0:ІЯ ^ІЯ ,Г1:ІЯ ^ІЯ ,() = d(Vdx.
2
Из системы (15) можно получить ряд нижеприведенных следствий:
1. Уравнения нелинейно-упругого нефтеподъемника с постоянной толщиной стенки:
01 (x) = 02(x) = 1, vf0 = vf = const, a{(x) = const, i = 1,...,6, J(x) = 1.
Пусть, например, диаграмма деформирования материала стенок нефтеподъемника аппроксимируется полиномом третьего порядка Jb = Е0е — Е1е3. После подстановки зависимости Jb = Jb (е) в выражение (11) для изгибающего момента и проведения необходимых преобразований, определяем:
Ф(к ) = к — к 3/3к*\ (16)
где к* =(2/3)((3Е0/E1 )(H/D))1/2 - наименьшее значение к = к(х), для которого йФ/dk = 0. Получаем искомое выражение для функции ^(к), входящей в (15), в виде:
Ч(к) = 1 (1 — (к/к.)2), к < к*. (17)
Аналогичным образом можно получить значения функции ^(к) для любого другого аналитического типа зависимости <Jb = Jb (е). Считая известными параметры D0, d0, cn, pt, Pf, pw, T1, H , профиль скорости подводных течений vc = vc (x), 0 < x < 1, вид диаграммы деформирования, например, в форме кубической параболы (16) с известными значениями параметров Е0, Е1, основной задачей является определение из решения (15) характеристик НДС нефтеподъемника, исходя из условия сохранения его прочности:
J* <JR , (18)
где JR - известное расчетное сопротивление материала стенок нефтеподъемника, J* = maxJ . С
x,p
этой целью для любого фиксированного сечения x необходимо определить значения:
Ji =Ji (P; x) = кр — (к 3/3к*2 )p3 + rwT (x),
P1 <P< 1, P = d„/D0
и найти j* = max j(p; x).
P,x
2. Уравнения линейно-упругого нефтеподъемника с переменной толщиной стенки [1]: Ф(к ) = к, ^(к ) = 1, q(z ) = z* ={ к, N} .
3. Уравнения линейно упругого нефтеподъемника с постоянной толщиной стенки [3], [1]:
Ф(к) = к, ^(к) = 1, q(z) = z* = { к, N}, 01 (x) = 02 (x) = 1,
vfо = vf = const, at(x) = const, i = 1,...,6, J(x) = 1.
Определим уравнения нелинейно-упругого нефтеподъемника с кусочно-непрерывной толщиной стенки (многосекционного трубопровода). Здесь в качестве независимой координаты целесообразно использовать Эйлерову дуговую координату s, как и в основной системе (12)-(13). Пусть n - число секций, l1,., ln - их длины (l = l1 +... + ln), D1,k, Dn - внешние
диаметры нефтеподъемника, (d = const, vf = const), b = b- = DjD1, sj—1 < s < Sj
(j = 1,..., n : s0 = 0, sn = l), (k)1 - параметры нижней секции нефтеподъемника: w1 = m1 g,
I1 =^(d14 — d4 У 64 и так далее. Введем для рассматриваемой задачи следующие безразмерные переменные и параметры:
s0 = s/l, s,0 = sjl (i = 1,..., n — 1), T0 =T/w l, N0 =N/^w11, к0 = Ы,
x2/1, Ф0 =Ф l, v( )0 = v()j v (v = 1 м/c), b = DD1, Y1 = 1/ (1 — (d/D1 )2), (20)
Y2 =Y1 (d/D1 )2, Y3 = Y1 (1 — PwlPt ), Y4 =Y2 (1 — Pf/Pt ), Y5 = Y2 Ptv V Ptgl,
Y = Y (Pwv V Ptgl ^ Y7 = 2 CnPwD v V ж g Pt (d12 — d 2), Y8 = V(1 + (d/D1)2),
Y9 =Y8 (d/D )2, M = Kl7 W13 f, a = Y1 b2 — Y2, a2 = Y3 b2 — Y4, a3 = Гб b2,
a4 = Y7 b, a5 = VY2 — Y2 )(Y8 b2 + Y9), ^(к0 )=(дФ7дк0 )—1.
Будем считать, что в местах перехода секций st приложена в общем случае система сосредоточенных механических нагрузок (ет,, SN1), ... , (JTrM, JN n—,), возникающих обычно за счет действия насосов и другого технологического оборудования нефтеподъемника. После подстановки (20) в (12)-(13) и проведения необходимых преобразований, рассматриваемую задачу можно сформулировать окончательно в виде:
Г у' = f (s> У> z ;мХ Mz r = p(s, у )q(z) + Г(s, у), \ ' (21) [Г0 =(Y(0)) = 0, Г1 =(Y(1)) = 0, Y = {у, z}t, ()= d O/ds,
где у = {T,p,x2}t, z = {N,к}t, f = {a1cosp+икN,к, cosp}, Р = {р^}: P11 =—P1, P22 =—P2,
p12 =p21 = 0, P1 = T—Ys vf2 — a3 vc "sin2 ^ p2 = ^, q(z ) = {к, Мк )N}, r = {r1,0}t,
r1 = —a2sinp+ a4 vc cospivC cospi, Г0: IR5 ^IR2, Г1: IR5 R3
Из системы (21) можно получить как следствие уравнение линейно упругого нефте-подъемника с кусочно-непрерывной толщиной стенки:
Ф(к ) = к,. ¥(к ) = 1, q(z )= z * ={к, N }t. (22)
Отличительной особенностью систем (15) и (21) является наличие в них малого параметра M при производных по зависимой координате, так как для глубоководных трубопроводов (т.е. при l > 1000 м) значение /и ~ 10—4 10—3.
Таким образом, сформулированные в этой статье модельные уравнения, описывающие статические характеристики глубоководного нефтеподъемника в вертикальной плоскости стационарного потока подводных течений, относятся к классу нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных систем. При этом, в случае линейно-упругого материала стенок нефтеподъем-ника, система является квазилинейной (т.к. q(z) = z * ), а при нелинейной диаграмме деформирования материала стенок - неквазилинейной системой достаточно общего вида (15) или (21). Поэтому возникает необходимость в асимптотическом анализе сформулированных выше уравнений, который позволит выявить особенности поведения искомого решения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Торопова О. А. Формулировка уравнений установившегося пространственного движения глубоководных трубопроводов морских гидротехнических комплексов // Математика. Механика: сб. науч. работ. Вып. 9. Саратов: Изд-во СГУ, 2007. С.140-145.
2. Петров В.В., Кузнецов В.В., Земеров В.Н. Механика длинномерных элементов глубоководных комплексов. Саратов: Изд-во СГУ, 1989. 188 с.
Торопова Ольга Анатольевна -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Информационные системы» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Статья поступила в редакцию 20.02.12, принята к опубликованию 12.03.12
