CC BY
17
УДК 631.331
КОЛЕБАНИЕ ЭЛАСТИЧНОЙ ТРУБКИ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ С ВНУТРЕННИМ ПОТОКОМ ВОЗДУХА
ELASTIC TUBE VIBRATION IN INTERACTION WITH INTERNAL AIR FLOW
Е. П. Алексеев E. P. Alekseev
ФГБОУВПО «Чувашская государственная сельскохозяйственная академия»,
г. Чебоксары
Аннотация. Исследованы поперечные колебания эластичной трубки-рассевателя при взаимодействии с внутренним воздушным потоком для равномерного распределения высеваемых семян зерновых культур в подлаповом пространстве культиваторного сошника.
Abstract. The transverse vibrations of elastic tube-diffuser in interaction with internal air flow for even dissemination of grain seeds in the shovel have been studied.
Ключевые слова: поперечные колебания, разбросной посев, воздушный поток, эластичная трубка.
Keywords: transverse vibrations, broadcast seeding, air flow, elastic tube.
Актуальность исследуемой проблемы. Движение воздушного потока внутри эластичной трубки цилиндрической формы [1] приводит к потере устойчивости системы и пространственным колебаниям. Колебание эластичной трубки может быть вызвано потоком воздуха, имеющим переменные составляющие скорости и давления, что при определенных сочетаниях параметров приводит к возникновению параметрических колебаний. Оно также происходит за счет скорости воздушного потока, приводящего к появлению дополнительных распределенных (касательных) сил, которые нагружают трубку. Такие колебания в ряде конструкций вызывают нежелательный эффект, так как приводят к их разрушению. Проведенные исследования показали, что процесс колебания при взаимодействии воздушного потока с эластичной трубкой при определенных условиях можно использовать для достижения равномерности распределения семян по площади поля при разбросном способе посева зерновых культур.
Материал и методика исследований. В работах [2], [3] рассмотрены колебания трубопроводов и шлангов при взаимодействии с потоком воздуха, а также стержней и оболочек под действием сжимающей силы.
Результаты исследований и их обсуждение. При распределении семян в подлапо-вом пространстве при помощи эластичной трубки с воздушным потоком необходимо сделать следующие допущения:
1. Поперечные нормальные сечения эластичной трубки, плоские до деформации, остаются нормальными и плоскими после деформации, то есть сдвиги не учитываются (растяжение одной из стенок не учитывается).
2. Размеры поперечного сечения считаются малыми по сравнению с длиной и радиусом кривизны оси эластичной трубки.
3. Осевая линия эластичной трубки считается нерастяжимой.
4. Справедлив принцип Сен-Венана, утверждающий, что различные, но статистически эквивалентные локальные нагрузки вызывают в эластичной трубке одно и то же напряженное состояние.
Рассмотрим поперечные колебания вертикально подвешенной эластичной трубки, один конец которой имеет жесткое закрепление, а второй находится в свободном состоянии (рис. 1). В ненагруженном состоянии осевая линия трубки имеет прямолинейное положение и совпадает с осью у прямолинейной системы координат. Концам трубки соответствуют координаты у=0 и у=!.
Рис. 1. Схема действия сил
Для решения подобной задачи обычно объединяют в [2], [3] уравнение Бернулли для условно несжимаемого воздушного потока и уравнение колебаний эластичной трубки, которые для рассматриваемого случая имеют вид
д^х д^х / 1 \ д^х (1)
{т1 + т2)-^^ + 2т1 • V — + (с + р^ + --т2-72)—=°,
где т1 - усредненная масса воздуха и семян, приходящая на единицу длины трубки і, кг/м; т2 - масса трубки, приходящая на единицу длины, кг/м; р - давление, Па; V - скорость, м/с; £ - время, с; Г - площадь поперечного сечения полости трубки, м2; Q - поперечная сила, Н.
у ^ X ~ Ґ
Введя безразмерные переменные У = -,х = -,і = -, представим уравнение (1)
в виде
х(у, і) = еаіХ(у), (2)
где А- частота колебаний, рад/с; Х(у) - функция, характеризующая форму собственных
колебаний; г - период колебаний, с.
Подставив уравнение (2) в (1), получим
д2Х дХ
тггт + я • + ЬХ = 0,
дуг ду
(З)
где
2
т-.
а = ■
mi + т2
V •Х
Q+p^F +:
m.
■ V2
■; b = ■
Я2
Q + P^F +;
m.
V2
т1+т2 ^ р тх + т2
Решение уравнения (3) приведем к решению квадратного уравнения:
к2 + а • ік + Ь = 0,
где і - мнимое число.
Корни уравнения (4) запишем
(4)
к12 = Ї
Общим решением уравнения (1) является функция
Х(у) = С1сИ(к1у) + + С3 cos(^2У) + СА sin(k2y),
(5)
где С1,С2,С3,С4 - постоянные коэффициенты, характеризующие условия закрепления концов трубки.
Из уравнения (5) с учетом граничных условий на свободном конце (Х)у=0 = 0; =0 и на защемленном конце (“7) = 0; = 0 получим
^У'у=о систему уравнений:
у=1
у=1
Сі + с3 = О к^С2 + к2СА = О
C1ch(k1) ■ kl + C2sh(k1) ■ kl — C3cos(k2) ■ k2 — C4 sin(k2) • ^2 = О C1sh(k1) ■ kf + C2ch(k1) ■ kf + C3cos(k2) ■ k\ — C4 sin(k2) ■ k2 = О.
(6)
Система (6) имеет ненулевые решения при условии, что определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы, равен нулю:
1 О
О кг О О О О
1 О
О к2
-kl • ch(k1) — к% • cos(к2) —к2к1 • sh(k1) — к% • sin(^2)
-kl • sh(k1) + к% • sin (к{) —к2к^ • ch(k1) — к\ • cos (к2)
= О.
Развернув определитель и приравняв а = 0, Ь = к2 = к2, определитель переходит к уравнению свободных колебаний:
cosh(^i) • cos(к2) = —1. Из формулы (7) следует, что
Л • ^а2 + 4 • b = 2пп.
После постановки вместо а и Ь значений из уравнения (3) можно определить частоту колебания А эластичной трубки под действием воздушного потока.
На рис. 2 представлен график изменения частоты колебания эластичной трубки от давления воздушного потока. Результаты получены при численном решении в среде Маріє с основными параметрами: тг = 0,02 — ;т2 = 0,11 — ; / = 0.07 м; И = 0.0085 м;
V = 5 м/с;р = 1,2 • 105 Па, а также экспериментальным путем с помощью скоростной видеосъемки.
Рис. 2. График зависимости частоты колебания от давления воздуха
Из графика видно, что экспериментальные данные частот колебаний близки к расчетным показателям, что говорит о верности вычислений.
Резюме. На основании теоретических предпосылок колебания эластичной трубки-рассевателя под воздействием воздушного потока, а также лабораторных исследований можно выбрать устойчивые поперечные колебания эластичной трубки для равномерного распределения высеваемых семян.
ЛИТЕРАТУРА
1. Алексеев, Е. П. Повышение качества подпочвенного разбросного посева / Е. П. Алексеев, С. А. Васильев, В. И. Максимов // Механизация и электрификация сельского хозяйства. - 2011. - № 12. - С. 8-9.
2. Биргер, И. А. Прочность, устойчивость, колебания : справочник : в 3 т. Т. 3 / И. А. Биргер, Я. Г. Па-новко. - М. : Машиностроение, 1968. - 567 с.
3. Светлицкий, В. А. Механика трубопроводов и шлангов / В. А. Светлицкий. - М. : Машиностроение, 1982. - 280 с.
