CC BY
46
УДК 629.12.037.001.5 ББК 39.455.86-045:22.236.65
А. И. Миронов
К ИССЛЕДОВАНИЮ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ГРЕБНЫХ ВАЛОВ. ЧАСТЬ 2. ВЛИЯНИЕ УПРУГОЙ ПОДАТЛИВОСТИ ПОДШИПНИКОВ НА ПРОЦЕСС КОЛЕБАНИЙ ВАЛА
A. I. Mironov
TO THE STUDY OF TRANSVERSE-VIBRATIONS OF PROPELLER SHAFTS. PART 2. THE EFFECT OF ELASTIC YIELDING BEARING ON THE PROCESS VIBRATIONS OF SHAFT
Исследуются поперечные вынужденные колебания гребного вала. Кормовой участок гребного вала моделируется стержнем, опирающимся на упругодеформирующуюся опору. Учитывается сила инерции винта. Полученное решение позволяет исследовать как собственную частоту гребного вала, так и форму колебаний. Установлено, что податливость кормового дейдвудного подшипника существенно влияет на собственную частоту гребного вала. Особенно опасен отрыв вала от подшипника.
Ключевые слова: гребной вал, поперечные колебания, собственная частота, форма колебаний, балка, податливость опоры.
The transverse forced vibrations of the propeller shaft are studied. The stem section of the propeller shaft is modeled with a beam resting on an elastic-deformable support. Inertia of the screw is taken into account. The resulting solution allows us to investigate both the natural frequency of the propeller shaft and the waveform. It is stated that the compliance of stern-glade bearing has a significant effect on the natural frequency of the propeller shaft. The shaft separation from the bearing is especially dangerous.
Key words: propeller shaft, transverse vibrations, natural frequency, mode shape, beam, compliance of the bearing.
Актуальность решаемой задачи
Для систем, подвергающихся воздействию переменных во времени нагрузок, расчеты на колебания являются определяющими, т. к. достаточно прочные при статическом нагружении конструкции могут быть разрушены при гораздо меньших, но периодически повторяющихся нагрузках вследствие явления резонанса, при котором действующие нагрузки существенно возрастают.
К многочисленным системам, подвергающимся периодическому воздействию, относится и система валопровода судов.
Валопровод любого судна подвергается многочисленным переменным воздействиям как со стороны деформирующегося корпуса судна, так и со стороны связанных непосредственно с валопроводом механизмов и устройств.
Именно поэтому для валопровода, как и для любой динамической системы, расчеты на колебания, и в частности исследования его собственной частоты, являются определяющими.
Изучению статической прочности валопроводов посвящены многочисленные исследования. Динамическое же нагружение изучено недостаточно.
В [1] предложена методика изучения вынужденных колебаний гребного вала, результаты которой достаточно хорошо совпадают с результатами методики, принятой в настоящее время
[2]. Однако она не учитывает податливости дейдвудных подшипников, которая снижает собственную частоту.
Математическое решение задачи
Для оценки влияния податливости подшипников на колебания гребного вала рассмотрим поперечные колебания балки с консолью, опирающейся на упругую опору переменной жесткости С1 и С2 (рис.) Как показали исследования [3], изменения диаметра гребного вала по его длине мало влияют на собственную частоту вала, поэтому, с целью упростить анализ влияния упругой податливости подшипника на колебания гребного вала, принимаем его диаметр постоянным по всей длине вала.
\
F„
Расчетная схема кормового участка гребного вала: а - исходное состояние вала; б - деформированная ось вала в произвольный отрезок времени t: l, L - длины отдельных участков гребного вала; m - погонная масса вала; М - масса винта;
EI - изгибная жесткость сечения вала; F = F0 sin rot - периодическая сила, действующая на винт; FHK - сила инерции винта; уА - деформация упругой опоры; M0, Q0, R - реакции
Записываем дифференциальное уравнение поперечных колебаний вала [4, с. 294]:
0 < z < L,
d4y d2y
EI-^- + m-^т = 0. dz4 dt2
Решение уравнения (1) ищем по методу Фурье:
у = y(z) sinrot.
(і)
(2)
После подстановки (2) в (1) получаем следующее дифференциальное уравнение для форм колебаний балки:
d4 у
dz4
- а4У = 0,
(З)
где
4 тш
а =-
EI
(4)
Решение уравнения (3) находим по методу начальных параметров.
На участке 0 < 2 < I
у = Уок 1 (а 2^ к 2 (а 2) + аМшк з (а 2) + ~кгк 4 (а 2)
а3 EI
(5)
где у0, ф0, М0, Q0 - так называемые начальные параметры, т. е. соответственно прогиб и угол поворота сечения в начале координат ^ = 0) и изгибающий момент и поперечная сила в этом же
сечении; К1, К2, К3, К4 - система фундаментальных функций с единичной матрицей уравнения
(3) аргумента (az) [4, с. 294]:
K1 = "“(ch + cos),
K2 = ■2(sh + sin),
K3 = 2(ch - cos),
K4 = -2(sh - sin).
Так как в начале координат (z = 0) расположена защемляющая опора, то
-0 = 0; ф0 = 0
и уравнение (5) принимает вид
У = -M^ K3 (a z) + -^ K4 (а z). (6)
а2 EI n ’ a3 EI 4V ’
На участке l < z < L решение дифференциального уравнения (3), удовлетворяющее граничным условиям при z = l (сечение А), имеет вид
у = K3 (az) + -^K4 (аz) + J^-KA (а(z -1)).
а2 EI a3EI a3EI
Так как опора А упругая, то
R = -C —а + ( - C1 —a ) = -(C2 + C1 )-A = C—a ,
где обозначено
С = С1 + С2.
Перемещение сечения А найдем, используя выражение (6):
Уа = УI z=I =-M^ K3 (a l) + K4 (a l).
a2 EI a3EI
В результате находим
У = MbK3 і-z) + -%b-K4 і-z) - -C3y^K4 (а(z -1)) а2 EI a3 EI a3 EI
K 3 і az ) + -&- K 4 і az )—<C- | 2 ^3
3V ’ a3EI 4V ’ a3EI I a2EI 3
2 t~* T 3
a EI
K 3(al) + -E-K 4 і al)
\
K4(a(z -1)).
/
Или, после приведения подобных членов, окончательно имеем
M
у = “^7
a2 EI
K3 і az )-K4(-( z -1))
a3 EI
+
+
Q0
a3 EI
K4 і az )-K4(a( z -1))
a3 EI
(7)
В уравнения (6) и (7) входят две постоянные интегрирования - М0, Q0. Находим их из условий на правом конце балки (2 = L):
1. Изгибающий момент Мх равен нулю, т. е.
д2 У
2 = Ь Мх = Е1-^т = 0,
х &
или
М
к (аЬ) - СКМ к2 (а(Ь -/))
а3 ЕІ
+
Qo
К2 (аЬ)-СЕ! к2(а(Ь -/))
= 0.
Введем обозначения:
в = аЬ; -1 = а/; -2 = а(Ь -/); X =
СЬ
ЕІ
Коэффициент X характеризует соотношение жесткости упругой опоры и жесткости балки при изгибе.
Тогда первое граничное условие примет вид
Мп
к (в)--зКз(ві)К2Ф2)
+
Qo
X
к2 (в )--з к,(ві)к2(в2)
= 0.
(8)
2. Поперечная сила Qy равна сумме F и силы инерции винта Fин, т. е.
2=ь а=еі ду=1+ч..
(9)
д у і 2 і 2
Чин = М—-I т =-Мш у бшшН г =-Мш
ин д£ 2 І 2=Ь У I 2 =Ь
М
0
X
Л
2Ш І К3 (в) -тз Кз(ві)К4(в2) а ЕІ і в
+
/
+
Qo
а3 ЕІ
КА (в)--зК4(ві)К4(в2)
Л'
smюt.
(10)
Используя соотношение (4), упрощаем выражение (10):
1 = -М
ин
т
а2Мп
( х ^ ( X ^
Кз(в) - -г Кз(ві)К4(в2) + аQo К4 (в)--К4(ві)К4(в2) в / V в
Бтюґ.
Вычисляем Qy при 2 = Ь (см. выражение (7)):
Qy = аМ0
К4(в) - вЗ Кз(ві) Кі(-2)
+ &
к (в)--зК4(ві)Кі(в2)
В результате граничное условие (9) принимает вид
аМ
х
к4(Р) - - ЗД) к^і (— 2 )
+ Q0
X
*1 (в )-- к4(Р1)к1(Р2)
= р- М 1 0
т
а2М
X
*з(в)-^кз(-1)к4(Р2) + аQo к4(в)--к4(-1)к4(Р2) в /V в
Переносим слагаемые с неизвестными М0, и Q0 влево и приводим подобные члены. Окончательно второе граничное условие примет вид
а
а
аМ„
1 М ( 1 ^
- -^з(Р1)^1(Р2) + — в Кз(в) --3Кз(Р!)К4(Р2)
Р mL { р )
1 М ( 1 ^
К (в )--К4(Рі)Кі(в2) + — в ЗД - - ЗД^ф,)
в3
mL
в3
+
=к.
(11)
Определив из системы уравнений (8) и (11) М0 и Q0, мы можем затем, используя выражения (6) и (7), исследовать форму колебаний гребного вала, а также изгибающие моменты и поперечные силы в его сечениях.
Однако помимо формы колебания вала и нагрузок, действующих в его сечениях, нас интересует и влияние упругой опоры на собственную частоту, т. к. вследствие снижения жесткости валопровода собственная частота системы тоже уменьшается.
Получить уравнение для исследования зависимости собственной частоты вала от жесткости упругой опоры С мы можем, приравняв к нулю определитель системы уравнений (8) и (11) А. В результате находим:
А =
1
Кі(в) - - Кз(ві)К2(в2)
1
Кі (р )--к4(Рі)Кі(Р2) +
М
1
+—Р К4(Р) К4(Рі)К4(Р2)
mL \ р ^
К (Р)--К4(Рі)К2(Р2)
1
М
К4 (Р) - - Кз (Рі)Кі (Р2) + — Р Кз (Р) - - Кз (Рі )К4 (Р2)
р3 mL ^ рз
= 0.
(і2)
При заданных параметрах валопровода из выражения (12) вычисляем коэффициент в, а затем из выражения (4) находим круговую частоту:
»=' г ы-
L ) V т
(із)
Из формулы (13) следует, что частоты свободных колебаний при изменении параметров системы, и в частности при уменьшении жесткости подшипника, относятся как параметры р2.
X
X
Численный пример решения задачи
Для оценки влияния жесткости подшипника, например, на собственную частоту гребного вала рассмотрим пример.
Параметры кормового участка рассматриваемого гребного вала (рис.):
L = 6,11 м; I = 4,385 м; вес винта Fв = 73,85 кН; погонный вес вала q = 11,85 кН/м;
Е1 = 3,678 ■ 105 кНм2; М = 73,85 =1,022; Р1 = Р4385 = 0,7177р; Р2 = р-Р1 = р-0,7177р = 0,2823р.
тЬ 11,85-6,11 6,11
Вычисления выполнены с использованием уравнения (12) методом последовательных приближений. Результаты представлены в таблице.
Зависимость параметра р от жесткости подшипника
С, кН/м 0 103 104 105 106 107 да
X 0 0,6202 6,202 62,02 620,2 6202 да
Р і,24з і,265 і,4і9 і,958 2,424 2,5і7 2,528
Заключение
Анализ полученных результатов показывает следующее.
Собственная частота колебаний гребного вала существенно зависит от жесткости дейд-вудного подшипника. Незначительное снижение жесткости приводит к заметному снижению
8і
собственной частоты. Если в случае рассматриваемого валопровода снижение собственной частоты по сравнению с абсолютно жестким подшипником составило при С = 107 кН/м 0,868 %, то при С = 106 кН/м - уже 8,06 %. А так как абсолютно жестких тел не существует, то реальная собственная частота гребного вала всегда будет, во-первых, ниже теоретической, а во-вторых, будет зависеть от материала вкладышей подшипников.
Особенно опасен отрыв вала от подшипника, т. к. его собственная частота в этом случае сильно уменьшается. В приведенном примере - в 4,14 раза.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Миронов А. И. К исследованию поперечных колебаний гребных валов. Часть 1 / А. И. Миронов // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Морская техника и технология. 2013. № 2. C. 125-130.
2. Валопроводы судовые. Правила и нормы проектирования. РД 5.4307-79. Л.: Изд-во судостроит. пром-ти, 1979. 80 с.
3. Миронов А. И. Исследование собственных частот гребного вала / А. И. Миронов, Л. М. Денисова // Проблемы динамики и прочности исполнительных механизмов и машин: материалы науч. конф.; под ред. акад. К. С. Колесникова. Астрахань: Изд-во АГТУ, 2002. С. 266-268.
4. Прочность, устойчивость, колебания: справочник: в 3 т.; под общ. ред. И. А. Биргера, Я. Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. Т. 3. 568 с.
REFERENCES
1. Mironov A. I. K issledovaniiu poperechnykh kolebanii grebnykh valov. Chast' 1 [To the study of transverse vibrations of propeller shafts. Part 1]. Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo univer-siteta, 2013, no. 2, pp. 125-130.
2. Valoprovody sudovye. Pravila i normy proektirovaniia. RD 5.4307-79 [Marine shaft lines. Regulations and standards of designing]. Leningrad, Izdatel'stvo sudostroitel'noi promyshlennosti, 1979. 80 p.
3. Mironov A. I., Denisova L. M. Issledovanie sobstvennykh chastot grebnogo vala [Study of natural frequency of propeller shaft]. Problemy dinamiki iprochnosti ispolnitel'nykh mekhanizmov i mashin. Materialy nauch-noi konferentsii. Pod redaktsiei akademika K. S. Kolesnikova. Astrakhan, Izd-vo AGTU, 2002, pp. 266-268.
4. Prochnost', ustoichivost’, kolebaniia [Restraint, stability, vibrations]. Spravochnik: v 3 t. Pod obshchei redaktsiei I. A. Birgera, Ia. G. Panovko. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1968. Vol. 3. 568 p.
Статья поступила в редакцию 17.10.2013
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Миронов Альфред Иванович - Астраханский государственный технический университет; канд. техн. наук, доцент; доцент кафедры «Теоретическая и прикладная механика»; [email protected].
Mironov Alfred Ivanovich — Astrakhan State Technical University; Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor; Assistant Professor of the Department 'Theoretical and Applied Mechanics"; [email protected].
