CC BY
42
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 629.5.035-233.1:004.45
А. И. Миронов, Е. В. Пономарёва
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ГРЕБНЫХ ВАЛОВ СУДОВ
Отрабатывается расчетная схема для исследования поперечных колебаний гребного вала судов. Рассмотрены три варианта опирания и нагружения. Полученные решения позволяют исследовать как собственную частоту, так и форму колебаний. С целью автоматизации численных экспериментов разработаны три программы для ЭВМ, реализованные на алгоритмическом языке Maple. Проведены численные эксперименты с использованием разработанных программ для конкретных судов. Анализ результатов численных экспериментов позволил установить, что податливость подшипников гребного вала уменьшает его собственную частоту; динамические нагрузки от работающего гребного винта могут существенно изменить параметры центровки валопровода и привести к динамической неустойчивости валопровода. Полученные решения могут быть использованы для определения собственной частоты и форм колебаний конструкций, расчётные схемы которых сводятся к подобным расчетным схемам.
Ключевые слова: валопровод, поперечные колебания, собственная частота, форма колебаний, численный эксперимент.
Введение
Судовой валопровод - часть двигательно-движительной установки судна (или корабля), предназначенная для передачи крутящего момента от двигателя к гребному винту и восприятия осевого усилия, возникающего при ее работе [1].
Система валопровода любого судна является одной из основных систем, обеспечивающих его жизнедеятельность. От качества работы валопровода зависит не только ход судна, но и условия обитания на нем. Любой «отказ» в надежной и устойчивой работе валопровода может привести к серьезным последствиям вплоть до гибели судна.
Актуальность решаемой задачи
Проблема обеспечения надежности работы валопровода и дейдвудных подшипников при эксплуатации судов, особенно крупнотоннажных, является одной из наиболее важных и сложных, не имеющих до сих пор удовлетворительного решения. Практически срок эксплуатации крупных судов без ремонта стал зависеть почти исключительно от технического состояния дейдвудного узла. Именно поэтому проблеме расчетов и проектирования валопроводов посвящено большое число работ как исследовательского, так и технологического характера.
Однако проведенные мероприятия не устранили многие причины, снижающие устойчивость работы валопровода, а используемые расчетные схемы не позволяют изучить целый ряд явлений, имеющих место при работе валопровода.
Проблема состоит в том, что валопровод при движении судна подвергается воздействию многочисленных нагрузок, стационарных и переменных. Многие из нагрузок еще недостаточно изучены. Кроме того, сама конструкция валопровода является сложной.
Попытка учесть как можно точнее нагрузки, действующие на валопровод, и особенности его строения приводит к громоздким и сложным вычислениям, что затрудняет исследования.
Использование средств вычислительной техники при расчете валопровода позволяет отчасти решить стоящие при его проектировании задачи.
Однако внедрение ЭВМ в практику расчета валопровода сдерживается нехваткой или даже отсутствием соответствующих алгоритмов решения задач, возникающих в процессе эксплуатации валопровода, и программ для реализации разрабатываемых алгоритмов.
Таким образом, разработка новых и совершенствование существующих расчетных схем валопроводов судов, реализация новых алгоритмов решения возникающих в практике задач и создание компьютерных программ актуальны в настоящее время и для практики, и с точки зрения программирования.
Разработка алгоритма решаемой задачи
Выбор расчётной схемы. Одной из важнейших динамических задач для любой упругой системы, в том числе и валопровода, является исследование ее собственной частоты и форм колебаний.
Существуют различные методы расчета собственной частоты валопровода [2]. Однако во всех методах, с целью упрощения и сокращения объема вычислений, вводятся различные допущения и упрощения, что приводит к погрешности получаемых результатов. Использование ЭВМ позволяет оценить погрешность, вносимую различными допущениями, и построить более точные расчетные схемы.
Нами разработаны алгоритмы решения некоторых задач, связанных с исследованием динамического воздействия на валопровод.
С целью отработки расчетной схемы для исследования динамического воздействия на вало-провод рассмотрим возможные ее варианты, отличающиеся нагружением и характером опирания.
Из теории колебаний известно, что в сложных механических системах может «резонировать» любая ее часть, собственная частота колебаний которой совпадает с частотой возмущающей нагрузки. Именно поэтому при исследовании колебаний таких систем можно независимо рассматривать любую ее часть, заменяя влияние отброшенных элементов упругими связями [3].
В валопроводе крупнотоннажных судов наименьшую собственную частоту имеет кормовой участок гребного вала [4, 5], поэтому именно эта часть гребного вала интересует нас в первую очередь.
В качестве расчетной схемы кормового участка гребного вала примем однопролетную балку постоянного сечения с консолью, нагруженную собственным весом q, весом гребного винта F и нагрузкой, изменяющейся с лопастной частотой ю (рис. 1).
Рис. 1. Расчетные схемы кормового участка гребного вала: а - опоры защемляющая и шарнирная; б - опоры защемляющая и упругая; в - обе опоры шарнирные: I, L - длины отдельных участков гребного вала; q - погонный вес; т - погонная масса вала; М - масса винта; Е1 - изгибная жесткость сечения вала; Fasm юt и М^т юt - периодические нагрузки, действующие на вал; ю - круговая частота изменения нагрузок; с - жесткость упругой опоры; Ы0, Q0, R - реакции связей
С целью оценки влияния опирания балки на ее собственную частоту в настоящей работе рассмотрены три варианта граничных условий: а - защемляющая и шарнирная опоры; б - защемляющая и упругая опоры; в - обе опоры шарнирные.
Известно, что колебания системы с постоянными параметрами происходят относительно ее статического равновесия, поэтому при исследовании ее колебаний обычно статическая деформация системы под действием постоянных нагрузок не рассматривается, т. к. она не влияет на процесс колебаний.
Математическое описание алгоритма решения задачи. Дифференциальное уравнение поперечных колебаний стержня имеет вид [6]:
- 0 < г < Ь:
Eidzy+тдА=0. (і)
dz dt
Решение уравнения (1) ищем по методу Фурье:
у = у ( г) sinюt, (2)
где у (г) - уравнение формы изгиба балки в процессе колебаний.
После подстановки выражения (2) в (1) получаем следующее дифференциальное уравнение для форм колебаний балки:
—4^ -а4 у = 0, (3)
Сг4^ У ’
где
4 т®2
a4 =------------------------------------------------. (4)
EI
Решение уравнения (З) находим по методу начальных параметров Коши:
- на участке 0 < z < l:
У ( z ) = У0 K! ( -z ) + — K2 ( -z ) + MI ^ ( -z ) +“Qh K4 ( -z );
a a EI a EI
- на участке l < z < L :
У(z) = У0K! (-z) + ~K2 (-z) + (-z) + “EK4 (-z) + -r7K4 (a(z -1)) ,
—o a ei a EI a ei
где y0, ф0, M0, Q0 - так называемые начальные параметры, т. е. соответственно прогиб, угол поворота сечения в начале координат (z = 0) и изгибающий момент и поперечная сила в этом же сечении; Kj, K2, K^ K4 - система фундаментальных функций с единичной матрицей уравнения
(З) аргументов (-z) и (a(z -1)):
Kj = і (ch + cos); ^ = 2 (ch - cos);
K2 = 2(sh + sin) ; K4 = 2(sh - sin) .
Решение рассматриваемых задач
Постоянные интегрирования y0, ф0, M0, Q0 и неизвестную реакцию R находим из граничных условий (рис. і):
- схема а:
- схема б:
z = 0, у = 0, ф = 0, z = I, У = 0,
z = А мизг = 0 Q = -Кин- К •sin ^;
z = 0, у = 0, ф = 0, z = I, R = -су,
z = L, Мизг = 0 Q = -Кин - Ка • ^ПМ^
- схема в:
z = °, у = 0, Мизг = 0 z = /, У = 0,
z = 1 Мизг = Ма • ^ПМ^ 0 = -Кин;
В результате, после соответствующих преобразований (см. [7-9]), находим:
- схема а:
У0 = 0 Ф0 = 0 М0Кз (р,) + 0 К4 (Р, ) = 0,
а
а
R
М0К, (р) + ^К2 (р) + -К2 (р2) = 0, аа
А,М 0 + ВО + C1R = - Ка,
(5)
где
- схема б:
А, = К (р) + а2 МКз (р), т
В, = К, (р) + а ~~ К4 (р), т
С, = К, (Р2) + а ~~~ К4 (Р2), т
Р = аі; Р, = а/; Р2 / - (а II
У0 = Ф о = 0,
о К (Р)- зЕР* К (Р2 ) а ЕІ +о а К (р)- Е* К (Рз) а ЕІ
А2М0 + В2°0 Ка ,
= 0
где
А2 = а
С
М
К4 (в) —^7Кз (Р,)К, (Р2) + а—I Кз (р) - — Кз (р,)К4 (Р2)
а3 ЕІ
С
т
С
М
В2 = К,(Р)-^-К4(р,)К,(Р2) + а I К4(р)- — К4(р,)К4(Р2)|;
аз ЕІ
т
аз ЕІ
С
аЕІ
(6)
- схема в:
где
Уо = ° Мо = °
К (р,) Фо + К4 (р, )-Яот = о,
Е1а
Е1К (р) Фо + К2 (Р) ^ + К2 (Р2) - = Ма, (7)
а а
Е1а2 А3фо + В^о + С3 — = о;
А3 = К3 (р) + а~~~К2 (Р), т
В3 = К, (р) + а ~М К4 (р), т
С3 = К, (Р2) + а—К4 (Р2); т
Так как прогибы сечений у, углы поворота сечений ф , изгибающие моменты Мизг и поперечные силы Q в сечениях стержней связаны известными соотношениями:
Оу 2 у „ 3 у
ф“. М изг = Е1 ~т2 ’ Q = Е^-ГТ ,
аг аг аг
то после определения постоянных интегрирования уо,фо,Мо,Q0 и реакции — можно исследовать форму колебаний стержня и усилия в сечениях в процессе колебания стержня.
Условия для вычисления собственных частот колебаний получим, приравняв к нулю определители А систем уравнений (5)-(7), т. е. условие для определения собственных частот колебаний имеет вид
А = о. (8)
При заданных параметрах системы из условия (8) определяем коэффициент Р , а затем собственную частоту по формуле (см. выражение (4)):
Ч № (9)
^ Ь у V т
Алгоритм программы для ЭВМ для исследования поперечных колебаний стержня
Численные эксперименты по исследованию поперечных колебаний гребного вала судов связаны с весьма громоздкими вычислениями. С целью автоматизации расчетов были разработаны программы для ЭВМ, которые объединены в программный комплекс для расчета поперечных колебаний гребных валов судов «Валопровод 13» [Ю]. Комплекс программ состоит из трех
программ, каждая из которых производит вычисления по одной из расчетных схем, изображен-
ных на рис. 1.
В каждой программе рассматриваются два варианта задачи:
1) задана периодически изменяющаяся нагрузка; нужно исследовать форму колебания и динамическое нагружение стрежня;
2) заданы параметры стержня; нужно вычислить собственную частоту.
Типовой вариант блок-схемы программ для ЭВМ представлен на рис. 2.
Рис. 2. Блок-схема программы для ЭВМ для исследования поперечных колебаний гребного вала
Все программы, входящие в пакет «Валопровод 13», реализованы в системе компьютерной математики Мар1е [11]. Выбор системы Мар1е обусловлен широкими возможностями этой программы по решению математически сложных задач, а также нашими личными предпочтениями. Система Мар1е быстро и эффективно выполняет символьные и численные вычисления (например, дифференцирование функций, численное и аналитическое интегрирование, вычисление пределов функций), а также решение систем линейных, нелинейных, дифференциальных уравнений, решение трансцендентных уравнений и множество других операций. При этом не только заметно сокращается рутинная часть вычислений, но и, благодаря развитым графическим возможностям системы, предоставляется возможность получить наглядный иллюстративный материал к условию и решению задачи, оформленный в виде рисунков, графиков, диаграмм, 2D- и 3D-анимированных моделей.
Рассмотрим краткое описание, фрагменты листингов и примеры решения типовой программы.
Краткое описание программы (схема б). Рассматривается кормовой участок гребного вала, содержащий консоль гребного вала, винт и дейдвудный пролет (см. рис. 1, б).
По заданным параметрам стержня, к которым относятся: Ь - общая длина вала, м; I - длина участка вала, м; g - ускорение свободного падения, м/с2; Е1 - изгибная жесткость сечения вала, кН • м2; F - вес винта, кН; q - погонный вес вала, кН/м - определяется важнейшая динамическая характеристика - собственная частота поперечных колебаний.
Решение задачи сводится к трансцендентному алгебраическому уравнению:
1 о7
А =
K (в)-- K3 (Р! ) K2 (Р2 ) M '
К (Р) -- ^K4 (в!) К (Р2)+Р— К (Р) - -к4 (Р,) к4 (Р2)
Р
mL
Р
//
K2 (Р)--K4 (Р,) K2 (Р2)
M
K4 (Р) - ^Кз (Р1) К (Р2) + Р — К (Р) - -K3 (Р,)K4 (Р2)
Р
mL
Р
(10)
//
Для определения корней уравнения (1о) использовано приближенное численное решение при помощи Мар1е-команды fsolve. Поскольку уравнение (1о) является трансцендентным уравнением, то команда fsolve, по умолчанию, выводит только один корень. При решении трансцендентных уравнений желательно указывать предполагаемое положение корней. С этой целью путем построения графика функции А = f (в), для которой разыскивается решение, определен нужный диапазон (или начальная точка). Для определения всех корней уравнения (1о) предварительно получено графическое решение - построен график функции А = f (в), в котором абсциссы точек пересечения графика с осью Ох являются искомыми корнями.
Таким образом, разработанная программа позволяет определить корни трансцендентного уравнения вида А = / (в) и затем по уравнению (9) вычислить собственную частоту поперечных колебаний гребных валов судов.
Влияние расчетной схемы на величину собственной частоты поперечных колебаний рассмотрим на примере гребного вала с параметрами [1, с. 69]: F = 73,85 кН; q = 11,о5 кН/м; Ь = 6,11 м; I = 4,385 м; Е1 = 8,об4-Ю5 кН • м2. Жесткость упругой опоры принимаем в пределах (1 ^ 2) -1о6 кН/м2 [12].
Пример работы программы для определения собственной частоты поперечных колебаний (расчет произведён для схемы б)
1. Очищаем внутреннюю память Maple, подключаем пакеты plots, plottools, linalg:
restart; with(plots) : with(plottools) : with(linalg):
# Одновременная очистка всех переменных
# подключение специальных библиотек подпрограмм:
plots - библиотека, позволяющая строить двухмерные графики
plottools - библиотека для построения графических примитивов
linalg - библиотека линейной алгебры
X
X
X
X
2. Вводим числовые исходные данные:
L: = _ l: = _ g:= _ EI: =_ F: = _
q:= _
# общая длина вала, м
# длина участка вала, м
# ускорение свободного падения, м/с2
# изгибная жесткость сечения вала, кН-м2
# вес винта, кН
# погонный вес вала, кН/м
3. Производим вычисления:
M := F/g; # масса винта, кг
m := q/g; # погонная масса вала, кг/м
alpha := betta/L; # коэффициенты
bettal := bet-
ta*l/L;
betta2 := bet-ta*(L-l)/L; lambda:=C*LA3/EI;
4. Записываем систему фундаментальных функций:
К1Ь := (созЬ(Ье,Ь±а)+соз(Ье'Ь±а))/2; # система фундаментальных функций
К1Ь2 := (cosh(betta2)+cos(betta2))/2;
К2Ь := (sinh(betta)+sin(betta))/2;
К2Ь2 := (sinh(betta2)+sin(betta2))/2;
КЗЬ := (cosh(betta)-cos(betta))/2;
КЗЬ1 := (cosh(betta1)-cos(betta1))/2;
К4Ь := (sinh(betta)-sin(betta))/2;
К4Ь1 := (sinh(betta1)-sin(betta1))/2;
К4Ь2 := (sinh(betta2)-sin(betta2))/2;
5. Записываем определитель системы уравнений - трансцендентное уравнение вида А = f (в):
DD := proc (betta) options operator, arrow; (Klb-
lambda*K3b1*K2b2/bettaA3)*(K1b-lambda*K4b1*K1b2/bettaA3+M*betta*(K4b-lambda*K4b1*K4b2/bettaA3)/(m*L))-(K2b-lambda*K4b1*K2b2/bettaA3)*(K4b-lambda*K3b1*K1b2/bettaA3+M*betta*(K3b-lambda*K3b1*K4b2/bettaA3)/(m*L)) end proc;
DD : = ^
(
( -
КДв)^ Kз(вl)K2(в2)
вз
л( - M ( - ЛЛ
ЗД- K4(вl)Kl(в2) + в~ ЗД)-K4(вl)K4(в2) вз mL і вз
у
-
(
-
M
-
К2(в)- К.ФіК^) к4(в)-з Кз(Рі)Кі(Р2) + в— Кз^-Кзф^ф.)
в уі в mL і в
у
6. Путем численного решения уравнения А = f (в) находим его корни (значения коэффициента в при А = 0 в диапазоне значений от а до Ь):
£зо^е(0Б(Ье^а), Ье^а =а .. Ь);
betta :=
7. Удостоверяемся, что найденное значение в является корнем уравнения А = f (в) (при
подстановке найденного значения в должно выполняться условие А = 0):
evalf(Delta) ;
0.
8. Для найденного значения в определяем собственную частоту поперечных колебаний гребных валов судов, 1/с:
omega:=(betta/L)A2*sqrt(EI/m); evalf(omega).
Результаты вычислений (для схем а, б и в) приведены в таблице.
Результаты вычислений собственной частоты
(рис. 1) Параметры а б е
с = 1-106кН/м с = 2 • 106кН/м
в 2,49 2,29 2,38 2,35
ю, 1/с 140 118 128 126
Разработанные нами компьютерные программы могут быть использованы для определения собственной частоты и форм колебаний конструкций, расчётные схемы которых сводятся к подобным расчетным схемам.
Заключение
Таким образом, нами предлагается алгоритм исследования собственной частоты и форм поперечных колебаний гребного вала валопроводов судов. Рассмотрены три варианта расчётных схем.
С целью автоматизации расчетов при исследовании поперечных колебаний валопроводов судов разработаны алгоритмы решения задач на ЭВМ, которые реализованы в виде программ для ЭВМ на алгоритмическом языке Мар1е. Проведены численные эксперименты с использованием разработанных программ для конкретных судов.
Анализ результатов численных экспериментов позволил установить следующее:
- податливость подшипников гребного вала уменьшает его собственную частоту до 15^20 % по сравнению с частотой, рассчитанной без учета податливости подшипников;
- динамические нагрузки, например от работающего гребного винта, могут существенно изменить параметры центровки валопровода, рассчитанные только статическим нагружением, что может привести к динамической неустойчивости валопровода;
- полученные результаты соответствуют жесткости опирания балки: наибольшую жесткость имеет схема а - собственная частота поперечных колебаний наибольшая; чем больше жесткость упругой опоры, тем выше собственная частота - схема б.
Разработанные компьютерные программы могут быть использованы для определения собственной частоты и форм колебаний конструкций, расчётные схемы которых сводятся к подобным расчетным схемам.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Подсевалов Б. В. Словарь стандартизованной терминологии в судостроении / Б. В. Подсевалов, А. П. Фомин. Л.: Судостроение, 1990. 240 с.
2. Комаров В. В. Валопроводы рыбопромысловых судов. Ч. 1. Конструкция, эксплуатация и общие вопросы проектирования / В. В. Комаров, А. С. Курылёв. Астрахань: Изд-во АГТУ, 1997. 166 с.
3. Дондошанский В. К. Расчет колебаний упругих систем на ЭВМ / В. К. Дондошанский. М.: Машиностроение, 1965. 368 с.
4. Николаев В. А. Конструирование и расчет судовых валопроводов / В. А. Николаев. Л.: Гос. союз. изд-во судостроит. пром-ти, 1958. 358 с.
5. Денисова Л. М. Сравнительный анализ собственных частот различных участков гребного вала судов / Л. М. Денисова, А. И. Миронов // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Морская техника и технология. 2011. № 2. С. 28-31.
6. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний / Я. Г. Пановко. М.: Наука, 1971. 239 с.
7. Миронов А. И. К исследованию поперечных колебаний гребных валов. Часть 1 / А. И. Миронов // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Морская техника и технология. 2013. № 2. С. 125-130.
8. Миронов А. И. К исследованию поперечных колебаний гребных валов. Часть 2. Влияние упругой податливости подшипников на процесс колебаний вала / А. И. Миронов // Вестн. Астрахан. гос. техн. унта. Сер.: Морская техника и технология. 2014. № 1. С. 77-82.
9. Миронов А. И. Влияние колебаний вала на параметры «центровки» валопровода / А. И. Миронов, Е. В. Пономарёва // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Морская техника и технология. 2014. № 2. С. 86-94.
10. Миронов А. И. Программный комплекс для расчета поперечных колебаний гребных валов судов. Свид-во об офиц. регистрации 2014611733 / Миронов А. И., Пономарёва Е. В.; заявка № 2013660700; за-регистр. в реестре программ для ЭВМ 10.02.2014.
11. Матросов А. В. Мар1е 6. Решение задач высшей математики и механики / А. В. Матросов. СПб.: БХВ-Петербург, 2001. 528 с.
12. Денисова Л. М. Исследование поперечных колебаний гребных валов / Л. М. Денисова, А. И. Миронов // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Морская техника и технология. 2005. № 2 (25). С. 98-103.
Статья поступила в редакцию 26.03.2014, в окончательном варианте - 1.07.2014
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Миронов Альфред Иванович - Россия, 414056, Астрахань; Астраханский государственный технический университет; канд. техн. наук, доцент; доцент кафедры «Механика и инженерная графика»; [email protected].
Пономарёва Елена Владимировна - Россия, 414056, Астрахань; Астраханский государственный технический университет; канд. физ.-мат. наук, доцент; доцент кафедры «Механика и инженерная графика»; [email protected].
A. I. Mironov, E. V. Ponomareva
MATHEMATICAL AND SOFTWARE MAINTENANCE FOR EXAMINATION OF THE TRANSVERSE VIBRATIONS OF THE MARINE PROPELLER SHAFTS
Abstract. The design scheme for the study of transverse vibrations of the marine propeller shafts is being tested. Three variants of bearing and loading are considered. The obtained results allow us to investigate both the natural frequency and type of vibrations. In order to automate the numerical experiments, three computer programs implemented in the algorithmic language Maple are developed. The numerical experiments using the developed programs for specific vessels are made. The analysis of the results of the numerical experiments helped determine that the propeller shaft bearings compliance reduces its natural frequency; dynamic loads of the running propeller can significantly change the shafting alignment and lead to dynamic instability shafting. The obtained solutions can be used independently to determine the natural frequency and type of vibrations of the structures, the designed schemes of which are similar to those considered in this paper.
Key words: shafting, transverse vibrations, natural frequency, type of vibrations, numerical experiment.
REFERENCES
1. Podsevalov B. V., Fomin A. P. Slovar’ standartizovannoi terminologii v sudostroenii [Dictionary of standardized terminology in shipbuilding]. Leningrad, Sudostroenie, 1990. 240 p.
2. Komarov V. V., Kurylev A. S. Valoprovody rybopromyslovykh sudov. Chast’ 1. Konstruktsiia, eksplua-tatsiia i obshchie voprosy proektirovaniia [Shafting of fishing vessels. Part 1. Structure, exploitation and general questions of designing]. Astrakhan, Izd-vo AGTU, 1997. 166 p.
3. Dondoshanskii V. K. Raschet kolebanii uprugikh sistem na EVM [Calculation of vibrations of tough systems with ECM]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1965. 368 p.
4. Nikolaev V. A. Konstruirovanie i raschet sudovykh valoprovodov [Designing and calculation of vessel shafting]. Leningrad, Gosudarstvennoe soiuznoe izdatel'stvo sudostroitel'noi promyshlennosti, 1958. 358 p.
5. Denisova L. M., Mironov A. I. Sravnitel'nyi analiz sobstvennykh chastot razlichnykh uchastkov greb-
nogo vala sudov [Comparative analysis of the natural frequencies of different parts of marine propeller shafts]. Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriia: Morskaia tekhnika
i tekhnologiia, 2011, no. 2, pp. 28-31.
6. Panovko Ia. G. Vvedenie v teoriiu mekhanicheskikh kolebanii [Introduction to the theory of mechanical vibrations]. Moscow, Nauka Publ., 1971. 239 p.
7. Mironov A. I. K issledovaniiu poperechnykh kolebanii grebnykh valov. Chast' 1 [To the study of the transverse vibrations of the propeller shafts. Part 1]. Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriia: Morskaia tekhnika i tekhnologiia, 2013, no. 2, pp. 125-130.
8. Mironov A. I. podatlivosti podshipnikov na protsess kolebanii vala K issledovaniiu poperechnykh kolebanii grebnykh valov. Chast' 2. Vliianie uprugoi [To the study of the transverse vibrations of the propeller shafts. Part 2. Influence of tough compliance of the bearings on the process of the shaft vibrations]. Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriia: Morskaia tekhnika i tekhnologiia, 2014, no. 1, pp. 77-82.
9. Mironov A. I., Ponomareva E. V. Vliianie kolebanii vala na parametry «tsentrovki» valoprovoda [Influence of the shaft vibrations on the parameters of "centering" of the shafting]. Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriia: Morskaia tekhnika i tekhnologiia, 2014, no. 2, pp. 8б-94.
10. Matrosov A. V. Maple б. Reshenie zadach vysshei matematiki i mekhaniki [Maple б. Solution of the tasks of higher mathematics and mechanics]. Saint-Petersburg, BKhV-Peterburg, 2001. 528 p.
11. Mironov A. I., Ponomareva E. V. Programmnyi kompleks dlia rascheta poperechnykh kolebanii grebnykh valov sudov [Program complex for calculation of transverse vibrations of the vessel propeller shafts]. Svide-tel'stvo ob ofitsial'noi registratsii 2014б 11733. Zaiavka № 2013бб0700; Zaregistrirovano v reestre programm dlia EVM 10.02.2014.
12. Denisova L. M., Mironov A. I. Issledovanie poperechnykh kolebanii grebnykh valov [Study of transverse vibrations of the propeller shafts]. Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriia: Morskaia tekhnika i tekhnologiia, 2005, no. 2, pp. 98-103.
The article submitted to the editors 2б.03.2014, in the final version - 1.07.2014
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Mironov Alfred Ivanovich - Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan State Technical University; Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor; Assistant Professor of the Department "Mechanics and Engineering Graphics"; [email protected].
Ponomareva Elena Vladimirovna - Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan State Technical University; Candidate of Physics and Mathematics, Assistant Professor; Assistant Professor of the Department "Mechanics and Engineering Graphics"; [email protected].
