Формула для суммы трех степеней и большая теорема Ферма Текст научной статьи по специальности «Математика»

Список литературы

1. Эконометрика. Елисеева И.И. Москва. Финансы и статистика, 2003.

2. Практикум по эконометрике. Елисеева И.И. Москва. Финансы и статистика, 2003.

3. Conclusion procedure of system of normal equations by the method of least squares for simple regression and multiple regression model. Москва. Спутник+, 2017.

ФОРМУЛА ДЛЯ СУММЫ ТРЕХ СТЕПЕНЕЙ И БОЛЬШАЯ ТЕОРЕМА

ФЕРМА Пучков М.В.

Пучков Михаил Васильевич - пенсионер, г. Нарва, Эстония

Аннотация: в статье представлен вывод формулы для суммы трех степеней хР + уР — г Р. На основании данной формулы выполнено общее доказательство Большой теоремы Ферма, которое состоит из двух частей. В первой части рассматривается вариант, когда ни одно из тройки чисел х,у, г, не делится на р . Во второй части рассматривается вариант, когда одно из тройки чисел х,у, г, делится на р.

Ключевые слова: теорема Ферма, формула для суммы степеней.

Вывод формулы для суммы трех степеней

хр _|_уР _2Р;

где х,у,г\ II Iдействительные числа (иррациональные, рациональные, цельте), как положительные так и отрицательные. Показатель р простое число. Обозначим: х + у = с, г — у = а, г — х = Ь. Отсюда: х — у = а — Ь, г + у = Ь + с, г + х = а + с.

Отсюда: х =

с+(а-Ь)

У =

с-(а-Ь)

2 2 Получим следующее уравнение

z =

ХР уР _ zP =

с+(а-Ь)]р |"с-(а-Ь)]р

с+(а+Ь)

e+(q+b)jP

2 Р(хР + уР — гР) = [с + ( а — Ь) ] Р + [с — (а — Ь) ] Р — [с + (а + Ь) ] Р. Преобразуем правую часть этого уравнения:

• Раскроем квадратные скобки по формуле бинома Ньютона.

• Сократим и суммируем одинаковые члены.

• Сгруппируем члены таким образом, чтобы получить член в виде ( с — а — Ь ) Р .

• После преобразования оставшихся членов правой части уравнения, получим нижеследующую формулу

2р(хр +уР -zP) = (c-a- ЬУ -

_ 8р abc { ^сР" 3 + (Р" 1)(Р "2 ) (Р" 3 }ср-52[а 2 + Ь2] + • • •

Г ^ 1 уО 1 V3 vA L J

(p-l)(p-2)(p-3)-(p-2fc+l)cp-2fc-l 1г2/са2,С"2 + 2fc(2fc~1)(2fc~2)a2fc-4^2 + .

1X2X3X4X-X2ÎC " -------

2fc(2fc—l)(2fc —2)(2fc—3) ■

2 1X2X3 [2fc-(2m+l)+l] a2k-2m-2fo2m ____|_ 2kb2k~2]

lX2X3X4X--'X(2m+l)

- + i[(p - l)ap~3 + (p-1)(p-2)(p"3)flP-5b2 + ».

?L4r ' 1 Y9V!

+ -..

(p-l)(p-2)(p-3)(p-4)-(p-l-2h) д !X2X3X4X---X(2h+1)

p -3 - 2 ^ 2 & + • . ,+ (р_1) b p -3] },

где:

x,y,z □ действительные числа, x + у = с, z — у = a, z — х = b,

2k, 2т, 2hZчетные целые положительные числа, 0 < 2fc < р — 1

р-з,

p II простое число >2[1,с. 13]. ■

0<2 /Кр_3 , 0<2 т<

Примечание _при использовании формулы для определенного р, необходимо учитывать то, что члены (р-1)(р-2)(р-3)-(р-2Е+1) гр-2к-1 1[2ка2к~2 + 2к{~2к-1^2к-Т>а2к-АЪ2 + ...

1Х2 ХЗ Х4 X'• • X 2/с 2 1x2x3

... + 2к(2к-1)(2к-2)(2к-3) - [2/с-(2т+1)+1] а2к-2т-2Ь2т ... 2кЬ2к~2] 1Х2ХЗХ4Х---х(2т+1) ''

у которых показатель р — 2/с — 1 < 0 , не существуют, также не существуют члены

(р-1)(р-2)(р-3)(р-4)-(р-1-2>1) ^.^Н^П 1X2 ХЗ Х4Х- ■ ■ Х(2^+1) '

у которых показатель р — 3 — 2 Л. < 0 . Примеры:

2 3 ( х 3 + у3 — г3 ) = ( с — а — Ь) 3 — 2 4аЬс.

2 5(х 5 + у5 — г5 ) = ( с — а — Ь) 5 — 8 0 аЬс ( с 2 + а 2 + Ь2) .

27(х7 + у7 - г7) = (с - а - Ь)7 - 56a.bc (3с4 + 10с2а2 + +1 0 с 2 Ь2 + 3а4 + 1 0 а 2Ь 2 + 3Ь4 ) .

2и(х11 + уи _ 2п) = (с _ а _ й)и _ 88аЬс(5с8 + 60с6а2 +

+60с6Ь2 + 126с4а4 + 420с4а2Ь2 + 126 с4Ь4 + 60с2а6 + +420с2а4Ь2 + 420с2а2Ь4 + 60 с2Ь6 + 5а8 + 60а6Ь2 + +1 2 6а4Ь4 + 60 а 2Ь 6+ 5 Ь 8 ) . ■ Доказательство Большой теоремы Ферма Теорема: уравнение

хп +уп = гп

не имеет решения в целых положительных числах при п > 2 , где пII Iцелое положительное число. Доказательство: Предположим, что уравнение

хп + уп = г п,

имеет решение в целых положительных числах при п > 2 .

Для доказательства теоремы достаточно рассмотреть случай, когда х, у, г □ попарно взаимно простые числа, п = р > 2 (р 11 простое число) [2, с. 18].

Рассмотрим уравнение (1), которое удовлетворяет этим условиям,

хр + ур _ zp = о,

(1)

где х, у, z цельте положительные числа и попарно взаимно простые числа, р простое число >2.

НОД\ I наибольший общий делитель [1, с. 9]. Начальные условия: НОД(х,у) = 1, НОД(х,г) = 1, НОД(г,у) = 1, z > х > у, x+y — z> 0 [если, х + у — z < 0, z = x+y + t, то хр+ур< (х + у+ t) Р].

Подставим х, у, z, (удовлетворяющие начальным условиям) в формулу для суммы трех степеней и получим уравнение

2р(хр + ур - ZP) = (с -а- ЬУ -_ 8р abc { ÎH^cP"3 + (р - ^ (р- 2 ) (Р -3)ср - s2 [а 2 + b 2 ] + • • •

1X2 1X2X3X4

. + (p-D(p-2)(p-3)-(p-2fc+i)cp-2fc-i Ь\2ка2к~2

1X2X3X4X-X2ÎC 2

+ 2k(2k-l)(2k-2)a2k_4b2 + _

+

... + 2к(2к-1)(2к-2)(2к-3) - [2к-{2т+1) + 1\а2к_2т_2ь2т _ 1Х2ХЗХ4Х---х(2т+1)

—I- 2кЬ2к~2] Ч— ••• + 1[(р - 1)ар_3 + (р-1)(р-2)(р-3)дР-5Ь2 +

2 1x2x3

+ (Р- 1)(Р - 2 ) (Р- 3 ) (Р-4) ■ ■ <Р - 1 - 2 ЦдР _ 3_ 2 ^Ь 2 Ю + . . .+ (р — 1) ЬР - 3 ] } (2)

где:

х,у, г □ целые положительные числа (попарно взаимно простые), х+у = с,г — у = а, г — х = Ь,

2к, 2т, 2/г! четные целые положительные числа, 0 < 2/с < р — 1 , 0 < 2/г < р — 3 , 0< 2т < р —3 р11простое число >2[1,с. 13].

Так как

хР + уР — гР = 0 ,

из уравнения (2), получаем уравнение

( с — а — Ь) р — 8раЬс { ^с? - 3 + (р- 1 (р- 2)(Р - 3 V-52 [а 2 + Ь2 ] + ■ • •

г 1 1X2 1X2X3X4 J

(р-1)(р-2)(р-3)-(р-2й+1)ср_2й-1 1[2/Сд2й-2 +

1х2хзх4х-х2(с 21-

+ 2к(2к-1)(2к-2)а2к_4ь2 + __

2к(2к-1)(2к-2)(2к-3) ■■■ [2й-(2т+1) + 1]д2й-2т-2^,2т + ... 1Х2ХЗХ4Х--'Х(2т+1)

—I- 2/сЬ2,с~2] Ч-... - + Ь[(Р - 1)ар_3 + (Р-1)(Р-2)(Р-З)ар-5Ь2 + ...

2 1x2x3

+ (Р- 1)(Р - 2 ) (Р- 3 ) (р-4) ■ ■ -(р - 1 - 2 Ю ар- 3- 2 „ Ь2 Ю + ■ . (р — 1)Ьр - 3 ] } = 0

1хгхзх4х - х(2?1+1) р J '

(3)

Выразим суммы: хР + уР , гР — уР , гР — хР , через а, Ь , с, также докажем, что а, Ь , с, попарно взаимно простые числа.

хР+уР=2Р = [С+(^Й)]Р + [

После преобразования получим

хр + ур = ^т^"1 + ^^ср"3(а - Ь)2 +

2Р~11 1X2 4 '

р(р-1)(р-2)(р-3) р-5( _ Ь)4 + ... + р(р-1)(р-2) 2( _ ь)р-3 + 1X2X3X4 4 у 1X2X3 4 '

+ р ( а —Ь) Р -получили уравнение

гР = сб,

(4)

где

С = ср-1 +^2ср"3(а - Ь)2 +

2р-11 1х2 V

р(р-1)(р-2)(р-3)ср_5(а _ ь)4 + ... + Р(Р-1)(Р-2)с2(д _ Ь)р-3 + 1X2X3X4 1X2X3

+ р ( а —Ь) Р -также

б = хР - 1 — хР -2 у + хр-3 у 2----+ х 2 уР - 3 — хуР - 2 + у Р- 1.

2р уР — ХР — |с+а+й|р |с-а+ь]р _ |"(с+й)+а]р \(с+Ь)-а~\р

После преобразования получим

2р-ур= + ьу-1 + р(р:^;2\с + Ь)р~3а2 + ■

Р(Р-1)(Р-2)(Р-3)( )4

1X2X3

-5 , Р(Р~1)

+ -

(с + Ь) 2аР " 3 +аР " !},

получили уравнение

хР = аЛ ,

где

А = + ЬУ-1 + р(р;^;2\с + Ь)р~3а2 + -

• • • + Р(Р - 1)(Р - 2 ) (р- 3 )( с + Ъ) 4аР " ^ + (с + Ь) 2аР - 3 + аР -

1X2X3X4 1X2 '

также

Л = гР- 1 + гР- 2 у + • • • + гуР- 2 + уР - 1

гР — ХР = УР = Р — |с+а-й| Р = |(£+а)+й| Р — |(с+а)-Ь| Р

После преоброзования получим

2р - хр = ^{р(с + аУ~1 + + а)Р-зЬ2 + ...

• . . + Р(Р - 1)(Р - 2 ) (Р- 3 )( с + а) 4Ьр - 5 + (с + а)2ЬР-з + ьр-1},

1X2X3X4 1X2 '

получили уравнение

уР = ЬВ, (6)

где

в = -^{Р(с + а)р-! + + а)р~3Ь2 + •

2 р-

• . . + Р(Р - 1)(Р - 2 ) (Р- 3 )(с + а) 4ЬР- 5 + ¡¡И) (с + а) 2 Ь р- 3 + ЬР - 1 } , 1хгхэх4 1хг '

также

В = г Р- 1 + г Р- 2х + • • • + гхР- 2 + хР- 1

Так как НОД(х,у) = 1, НОД(х,г) = 1, НОД(г,у) = 1, а также учитывая уравнения (4), (5), (6), можно утверждать, что НОД( а,Ь) = 1 , НОД(а,с) = 1 , НОД(с,Ь) = 1 [1, с. 16]. ■ Дальнейшее доказательство Большой теоремы Ферма состоит из двух частей.

1 часть: НОД( х,р) = 1, НОД(у,р ) = 1 , НОД( г,р ) = 1.

2 часть:

• НОД , НОД , НОД .

• НОД , НОД , НОД .

• НОД , НОД , НОД . 1 часть доказательства Большой теоремы Ферма

Пусть НОД , НОД , НОД , докажем, что при этом условии уравнение

(3), не имеет решения в целых положительных числах. Докажем, что в уравнении (5), а = ар , А = Ар .

Так как НОД(х,у) = 1, НОД{у,г) = 1, НОД(г,х) = 1, рП простое число, многочлен А всегда будет нечетным числом, докажем это утверждение:

I) хП четное число, уПнечетное число, гП Пнечетное число,

Л = гР- 1 + гР- 2 у + • • • + гуР- 2 + уР - 1.

Количество слагаемых равно р (р IIпростое число >2, следовательно, нечетное), а каждое слагаемое является нечетным числом, следовательно, А□ Пнечетное число.

II) хП Пнечетное число, уП Пчетное число, г! Пнечетное число. А\ I Iнечетное число.

III) xl Iнечетное число, у I1нечетное число, zD □ четное число. Л □ □ нечетное число. ■ Докажем, что НОД(а, Л) = 1:

I) х четное число. c + b= z + y = z — у + 2у, НОД(г,у) = 1, НОД(г — у + 2y,z — у) =2, следовательно, НОД(с + Ь,а)= 2. НОД(х,р) = 1 , следовательно, НОД(а,р) = 1. хр = аЛ , ЛI 11 1нечетное число, следовательно, а = 2ра1, НОД(а,р[с + b]p_1) = 2Р_1 , следовательно, НОД(а.А) = 1.

II) хИнечетное число. с + Ь = z + у = z — у + 2у, НОД(г,у) = 1, НОД( z — у + 2 у, z — у) = 1 , следовательно, НОД( с + Ь, а) = 1 .

НОД(х,р ) = 1, следовательно, НОД( а,р ) = 1. НОД( а,р [ с + Ь ] 0 " 1 ) = 1 , следовательно, НОД(а.А) = 1.

Мы показали, что в обоих случаях (х четное число, х нечетное число),НОД(а, А) = 1. ■ Так как х0 = аЛ , НОД(а, Л ) = 1 , следует, что а = а 0, Л = Л 0 . [2, с.19] ■ Докажем, что в уравнении (6), b = bg, В = .

Так как НОД(х,у) = 1, НОД{у,г) = 1, НОД(г,х) = 1, р простое число, многочлен В всегда будет нечетным числом, докажем это утверждение:

I) у четное число, xl Iнечетное число, zl Iнечетное число,

В = z 0_ 1 + z 0_ 2х + • • • + zx0_ 2 + х0" 1.

Количество слагаемых равно р (р IIпростое число >2, следовательно, нечетное), а каждое слагаемое является нечетным числом, следовательно, ВII нечетное число.

II) у 11нечетное число, хП □ четное число, zl Iнечетное число. В11 нечетное число.

III) yD йнечетное число, xl 1нечетное число, zD йчетное число. ВII нечетное число. ■

Докажем что НОД(Ь, В) = 1:

I) у I четное число. c + a = z + x = z — х + 2х, НОД(г, х) = 1, НОД(г — х + 2х, z — х) = 2 , следовательно, НОД .

НОД(у,р) = 1, следовательно, НОД(Ь, р) = 1.

ур = ЬВ . ВИнечетное число, следовательно, Ь= НОД(Ь,р[с + a]p_1) = 2Р_1 ,

следовательно, НОД(Ь,В) = 1.

х + 2х , НОД(г, х) = 1, НОД(г — х + 2х, z — х) = 1, следовательно, НОД(с + а, b) = 1.

НОД , следовательно, НОД . НОД

ар—1=1, следовательно, НОДА, В=1.

Мы показали что в обоих случаях (у 11 четное число, у II нечетное число), НОД{Ъ, В) = 1. ■ Так как ур = ЬВ, НОД(Ь,В) = 1, следует, что Ь = В = . [2, с. 19] ■ Докажем, что в уравнении (4), с = , G = Gg .

Так как НОД(х,у) = 1, НОД{у,г) = 1, НОД(г,х) = 1, р I простое число, многочлен G всегда будет нечетным числом, докажем это утверждение:

I) z □ четное число, х □ нечетное число, у I нечетное число,

G = х0 " 1 — х0 "2 у + х0" 3 у 2 — —+ х 2 у0 " 3 — ху0 " 2 + у0" ^

Количество слагаемых равно р (р I 1простое число > 2, следовательно, нечетное), а каждое слагаемое является нечетным числом, следовательно, G нечетное число.

II) zl II Iнечетное число, х четное число, у нечетное число. G нечетное число.

III) z нечетное число, xl 11 1нечетное число, yl 11 1четное число. G нечетное число. ■ Докажем, что НОД(с, G) = 1: I) z четное число.

а — b = х — у = х + у — 2у , НОД(у, х) = 1, НОД(х + у — 2у, х + у) = 2 следовательно, Н ОД ( а — Ь, с) =2 .

, следовательно, .

НОД(с,р[а — Ь]р_1) =

гр = ев, в□ Пнечетное число, следовательно, с = 2рс1. 2Р_1, следовательно, НОД(с, б) = 1. II) г I II I нечетное число.

, , , следовательно,

Н ОД ( а — Ь, с) = 1.

, следовательно, .

Ьр—1=1, следовательно, НОДс, /7=1

Мы показали, что в обоих случаях (г четное число, г нечетное число), НОД(с, б) = 1 . ■ Так как гР = с б, НОД (с, б) = 1 , следует, что с = сР, б = бР. [2, с. 19] ■ Так как

2 (х + у — г) = с — а — Ь,

подставим в уравнение (3), получим уравнение

2 Р(х + у —г) р— 8раЬс { ^сР - 3+ (Р- ° (Р- 2)(Р - 3 )сР-52 [а 2 + Ь2]

4 ' ' Г К 1 VI 1 \у О \у О \у /I ->

1X2 1X2X3X4

(р-1)(р-2)(р-3)-(р-2й+1)ср_2й-1 1| 1Х2ХЗХ4Х-Х2(с 2

+ 2/с(2/с —1)(2/с—2)^2/с—4 ¿2 + .

[2/са2

. + 2к{2к-1){2к-2){2к-3) - [2й-(2т+1)+1]а2й-2т-2^,2т + .. 1Х2ХЗХ4Х--'Х(2т+1)

- + 1[(Р - 1)ар_3 + (р-1)(р-2)(р-3)ар-5Ь2

+ •••

+

• + 2кЬ2к~2] + •

+ •••

_ + (Р- 1)(Р - 2 ) (Р- 3 ) (Р-4) • ■ -(Р - 1 - 2 Ю аР- 3- 2 Л Ь2 н + • _ (р — 1)ЬР- 3 ] } = 0

1Х2ХЗХ4Х-Х(2Л+1) и 11

(7)

Так как ранее доказано:

х + у = с = Сд , г = с0С0 , а = ар , Ъ = ЬР, [смотри страницы 9 121 получим

х+у — г = сР — с0б0 , подставим в уравнение (7) и получим уравнение

2р(сР-с0С0)Р -ВраХсГ^с^"35 +

(р~1)(р~2)(р —3)---(р—2/С+1) ^р(р-2к-1) 1 Г^.дРС2^2) + 1Х2ХЗХ4Х-Х2(с 0 2 0

2к(2к-1)(2к-2) ар(2к-4)ь2р _

1x2x3 ^ ^

2к(2к-1)(2к-2)(2к-3) ■■■ [2Е-(2т+1)+1] ар(2к-2т-2)^2тр +

1Х2ХЗХ4Х---Х(2т+1) 0 0

- + 2кЬр0(2к~2)] + - + -2[(р - 1 К(р"3) +

(р-1)(р-2)(р-3) ар(р-5)ь2р _

1x2x3 ^ ^

(р —1)(р —2)(р —3)(р—4)---[р—1—2?1] р{р-3-2Н),2Нр _

1х2хЗх4х---х(2Ь+1)

- + (р —1) ЬР (Р - 3 ) ] } =0.

(8)

Преобразуем уравнение (8), целью является выделение главного и свободного членов уравнения (из трех переменных за переменную принимаем ).

В результате преобразования уравнения (8) получаем уравнение

( 2 Р - 1 — 1) с0Р (Р - ц + 2 Р - 1с(Р - 1 )б0[ — с(Р- 1 ) (Р -2 ) с(Р- ^ (Р - 3 ) б0 —

(Р-1ХР-2) _(Р-1)(Р-4)Г2 ■

--Сп

1x2x3

... + (р-1)(р~2)-(р-2г+1) с(р-1)(р-2г-1)с2г-1____+ СР"2п |

1х2х3х ••• 2Г ® ^ О J

_(Р1»СР(Р-3), Р ьру _(р-1)(р-2)(р-3) ср(р-5), р ьру _... 1X2 0 ^ 0 0' 1X2X3X4 0 ^ 0 0'

____(р-1)(р-2)(р-3)-(р~2к+1) ср(р-2к-1)/-др +ЬРЛ2к____

1Х2ХЗХ4Х-Х2к 0 \ о о)

• • -Ч^Г1 Р( + Р "3 - ( + Р " 1 = 0 , (9)

где

С.I = ^{с^"15 + ^ср^(ар -Ь?)2 +

f КГ \ f -J\f —у Н -> I I I-V \ - i i f \f -У Vi- ~ J -t-V I

1X2X3X4

+p ( ар-Ьр) р " 4

_p(p-l)(p-2)(p-3) CP(P-5V p _ ьрл4 . P(EZ1)(EZ2) 2p, p _

1X9X3X4 0 V O OJ 1У9У-3 O \ O

Так как ранее доказано:

с = Сд , х = а0А0 , z — у = а = cig ,b = [смотри страницы 9 1211] получим,

х + у — z = х — (z — у) = а о Л 0—а р, это выражение подставим в уравнение (7), получим уравнение

2v(a0A0 -ар)Р -8рарЬ0ЧР{ ^ср(р"3) +

(p-l)(p-2)(p-3)-(p-2fc+l) cp(p-2fc-l) 1 го/саР(2к~2) + 1X2X3X4X-X2ÍC 0 2 0

| 2fc(2fc —l)(2fc—2) ap(2fc-4)ü2p + _

1X2X3

2fc(2fc—l)(2fc—2)(2fc —3) ■■■ [2fc-(2m+l) + l] ap(2k-2m-2) ^2mp + lX2X3X4X---X(2m+l) 0 0

■■■ + 2kbp0(2k~2)} + ... + i{(p - l)ap(p"3) +

(p-l)(p-2)(p-3) aP(P~5)b2p _ 1x2x3 ® ®

(p-l)(p-2)(p-3)(p-4)-[p-l-2fe] ap(p-3-2h)^2hp _

1X2X3X4X---X(2ÍI+1) 0 0

• • -+(p —1) Ь0р (р"3)}} =0. (10)

Преобразуем уравнение (10), целью является выделение главного и свободного членов уравнения (из трех переменных а о, Ьо, со, за переменную принимаем а о).

В результате преобразования уравнения (10) получаем уравнение

(р-1)(р-2) д(р-1)(р-4)л2 + 1x2x3 ^ ^ (р-1)(р-2)-(р-2г+1) а(р-1)(р-2г-1)л2г-1____+ ЛР_21 -

1Х2ХЗХ ••• 2r ^ ^ о J

_&Zl2aP(p-3)(cP _ _(Р-1)(Р-2)(Р-3) ДР(Р-5)(СР _ Ьру _ ...

1X2 0 v 0 1X2X3X4 0 v 0

____(р-1)(р-2)(р-3)-(р-2к+1) ар(р-2к-1Ур _ЬРЛ2к____

1X2X3X4X-X2ÍC 0 \ о oJ

• • -^T^af^ — ЬРГ3 — (с? — Ь^Г1 = 0, (11)

где

{pifo + КГ1 + + ЬРГ V + -

■■■ + Р^ЗхГ3) + bPoU(P~5) + ^ + ЬРо?«Ро(Р~3) + +ар(р"1)}.

Так как ранее доказано:

с = Сд, у = Ь0В0 , а = ар , z — х = b = bg, [смотри страницы 9D12D получим,

, это выражение подставим в уравнение (7), получим

уравнение

2 р( Ь „Д, — Ь0р) р — 8р a рЬрср{ ^ср (р"3) +

(Р-1)(Р-2)(Р-3) Р(Р-5) 2Р Ь2Р] ...

1X2X3X4 0 L 0 0 J

13

(Р-1)(Р-2)(Р-З)-(Р-2Е+1) ср(р-2й-1)1 г2/:ар(2'с~2) + 1Х2ХЗХ4Х-Х2(с 0 2 0

2к(2к-1)(2к-2) ар(2к-Ь)ь2р _

1X2X3 0 0

2к(2к-1)(2к-2)(2к-3) ■■■ [2/с-(2т+1) + 1] ар(2к-2т-2) ^2тр + 1Х2ХЗХ4Х---Х(2т+1) 0 0

■■■ + 2кЬр(2к~2)] + - + ±[(р - 1)ар(р"3) +(р-1)(р-2)(р"3) а^(р-5)Ь02р +

о 1 2 у 0 1X2X3 0 0

(р-1)(р-2)(р-3)(р-4)-[р-1-2>1] ар(р-3-21г)^21гр ____

1Х2ХЗХ4Х---Х(2Л+1) 0 0

• • •+ (р —1) ЬР (Р-3)] } =0. (12)

Преобразуем уравнение (12), целью является выделение главного и свободного членов уравнения (из трех переменных за переменную принимаем ).

В результате преобразования уравнения (12) получаем уравнение

¿(2 Р- 1 — 1) Ь0Р (Р - Ц + 2 Р - 1 Ь(Р - °В0[—Ь (р- 0 (Р-2) Ь (р- 0 (Р - 3) В0 —

_ (р-1)(р-2) й(р-1)(р-4)д2 + ...

1x2x3 ^ ^

... + (р-1)(р-2)-(р-2г+1) й(р-1)(р-2г-1)в2г-1____+ п _

1Х2ХЗХ ••• 2г ^ ^ ^

_(Р1»ЬР(Р-3), Р _ ару _(р-1)(р-2)(р-3) р(р-5), р _ р)4 _ ___ 1X2 0 ^ 0 0' 1X2X3X4 0 ^ 0 0'

____(р-1)(р-2)(р-3)-(р-2к+1) йр(р-2к-1Ур _ арл2к____

1Х2ХЗХ4Х-Х2(с 0 \ о о)

• • ' — ^^ТргР-2 Ь2Р(сР — аР)Р-3 — (сР — аР)Р-1 = 0, (13)

где

в,I = ^Т {р(сРо + ар)р_1 + (ср0 + а>Г3Ъ? + ...

• • • + Р(Р-^Г-3) ( сР + аР) 4 5!(Р - 5 ) + ^ ( сР + аР) 2 ЬР (Р - 3 ) +

+ Ь0Р (Р - 1)р .

Из трех уравнений: (9), (11), (13), можно выбрать для дальнейшего доказательства одно, для определенности выбираем уравнение (11).

Рассмотрим это уравнение, как уравнение с одной переменной 1а0, (где а0, пробегает все значения, удовлетворяющие начальным условиям, относительно фиксированных с0 , Ь0): 1. Свободный член уравнения (11)

чр-1

является степенью с четным показателем.

2. Главный член уравнения (11)

2 р - ^ 1 ) а Р (Р - 1 ),

и все члены уравнения являются степенью с четным показателем.

3. Многочлен

{р(сРо + ЬРГ1 + (с; + Ьр)Р~3а2р + ... - + Р(Р"1х?х"з«Г' № + Ь0Р)4аР(Р"5) + ^ (с? + Ьр)2ар0^ + +аР(р-1)},

при , , остается одним и тем же числом, как при положительных, так и

отрицательных ,

следовательно и второй член уравнения (11)

2Р

Ап

а.

(р-1)(р-2) | (Р"1) д(Р-1)(Р~3)^ _

(р-1)(р-2) (р—1)(р—4) .2

• +

1X2X3 (р-1)(р-

■ а

А1+~

2)-(Р~2Г+1) а(р-1)(р-2г-1)л2г-1____+ ЛР"

при с0 > О, Ь0 > О , остается одним и тем же числом, как при положительных, так и отрицательных а 0.

4. Ранее доказано а0, Ь0, с0, попарно взаимно простые числа. Многочлен А0 , всегда дает число, которое попарно взаимно просто с числом из тройки а0,Ь0,с0 . [смотри страницы 9П10]

Вывод: если существует тройка чисел а 0 > О , Ь0 > О , с0 > О , удовлетворяющая уравнению (11), то существует тройка чисел а0 = — а0 , Ь0 > О , с0 > О , удовлетворяющая уравнению (11), следовательно, тройка чисел а0 = — а0 , Ь0 > О , с0 > О , должна удовлетворять уравнению (10), следовательно, тройка чисел, а = — а , Ь > О , с>О , должна удовлетворять уравнению (7), следовательно, тройка чисел а = — а , Ь > О , с>О , должна удовлетворять уравнению (3).

Подставим тройку чисел а = — а , Ь > О , с>О , в уравнение (3) и получим неравенство. Возникло противоречие. Уравнение (3) не имеет решения в целых положительных числах, когда: Н ОД ( х,р ) = 1,

Н ОД (у,р ) = 1 , Н ОД (г,р ) = 1 . ■

2 часть доказательства Большой теоремы Ферма

Пусть Н ОД (х, р ) = р , Н ОД (у, р ) = 1, Н ОД (г, р ) = 1 , докажем, что при этом условии, уравнение (3) не имеет решения в целых положительных числах.

Докажем что: а = р р- 1ар, А = рАр, Ь = Ьр, В = Вр, с = ср , б = бр.

Ранее было доказано что многочлен А в уравнении (5), всегда нечетное число и Н ОД ( с + Ь , а ) = 1 или НОД(с + Ь, а) = 2 . [Смотри 1 часть доказательства Большой теоремы Ферма, страницы

Так как Н ОД ( х, р ) = р , следовательно, Н ОД ( а, р ) = р . Получаем А = рА 1 , где Н ОД ( р , А 1 ) = 1 .

Так как , , , следует, , , ,

р рар Ар , х = ра^-А,.

Примечание: если , то в этом случае , этот случай рассмотрен ранее в 1

части доказательства Большой теоремы Ферма.

Так как ур = ЬВ , Н ОД ( Ь, В ) = 1 [смотри 1 часть доказательства Большой теоремы Ферма, страницы 10 и 11], следует, Ь = Ьр, В = Вр, у = Ь^В,.

Так как гр = с б , Н ОД ( с, б ) = 1 [смотри 1 часть доказательства Большой теоремы Ферма, страницы 11 и 12], следует, с = ср, б = бр, г = с, б, . ■

Из трех возможных уравнений выберем одно, для этого подставим новые значения: х + у = с = ср, г = с, б,, а = р р - 1ар, Ь = Ьр, в уравнение (7), получим уравнение

2р(с,р —с, б,) р — 8рРаЖ{ +

+ (р-1)(р-2)(р-3) р(р-5) 2{( р-1аР)2 + Ь2Р} ...

1X2X3X4 * х> х '

1Х2ХЗХ4Х-Х2(с * V" ^

+ 2^-№2) ( р-1 Р)^Ь2р+...

1X2X3 х) х

2к(2к-1)(2к-2)(2к-3) ■■■ [2Е-(2т+1) + 1] / ^р^2к-2т-2 ^2тр +

1Х2ХЗХ4Х-Х(2т+1) *

••• + 2кЬ?2к~*} + ... + 1{(р - 1) (р^а?)""3 +

+ (р-1)(р-2)(р-3) ( р-1аР)Р"5, |Ь2р + 1x2x3 ^ '

(р-1)(р-2)(р-3)(р-4)-[р-1-2Ь] (г)р-1аРЛР~3~2Н Ь2НР + ••• 1Х2ХЗХ4Х-Х(2Л+1) *

• • -+(р — 1) Ьр (р-3)}} = О. (14)

Преобразуем уравнение (14), для этого достаточно новые значения: ср , б, , Ьр, р р - X, подставить в уравнение (9), вместо: ср , б0, Ьр, ар, получим уравнение

2 р - 1 — 1) ср (р - Ц + 2 р - ^ - ^ — с(р - 0 (р- 2 ) +(р-1) с(р- 0 (р - 3)б, —

(р-1)(р-2) с(р-1)(р-4)С2 +

1x2x3 ^

(р-1)(р-2)-(р-2г+1) (р-1)(р-2г-1)Г2г-1 , • 1--С ^ иг — • • • т

_ (£^1) СР(Р-Э), р-1Р ЬРЛ2 _(р-1)(р-2)(р-3) р(р-5)(- 1др «4 _ ...

1X2 * \г х х) 1X2X3X4 * \г х х)

____(р-1)(р-2)(р-3)-(р~2к+1) ср(р-2к-1У у-1аР | ____

1х2хЗх4х---х2/с ^ ^ ^

• • —^Вг2 С02Р+ - + = 0 , (15)

где

+ р(р-1)(р-2)(р-3) р(р-5)( 1др _ р)4 ... 1X2X3X4 * \г х х)

• • • + £1Е^22 с2 р(Р р " X -Ю р -з + Р (Р р " X -Ю р " 1}.

Рассмотрим уравнение (15), как уравнение с одной переменной с,,(где с, пробегает все значения, удовлетворяющие начальным условиям, относительно фиксированных а, , Ь, ):

1. Свободный член уравнения (15)

,

является степенью с четным показателем.

2. Главный член уравнения (15)

2 р - ) ср (р- 1 2,

и все члены уравнения являются степенью с четным показателем.

3. Многочлен

гр — ¡г

р(р-1) , Р(Р~1) -Р(Р-З)

+

2Р"1 ' 1X2

р(р-1)(р~2)(р-3) ср(р-5)

1X2X3X4 ;

| р(р-1)(р~2) с

(Р

Р"1,

(рР"1^

+ •

1X2X3

2р(Рр-Чр-ЮР +р(рр-Чр-Ю

р-1,

при а, > 0, Ь, > 0 остается одним и тем же числом как при положительных так и отрицательных с,,

следовательно и второй член уравнения (15)

2 р- 1с(р - 1) с г -с (р- О (р-2) | (р- 12 с (р - О (р- з ) с -

х х х 1x2 х

(р-1)(р-2) с(р-1)(р-4)С2 +

1x2x3 ^

, (р-1)(р-2)-(р~2г+1) „(р-1)(р-2г-1)^2г-1 ,

1Х2ХЗХ ■■■ 2г х л х

при , , остается одним и тем же числом как при положительных так и

отрицательных .

4.Числа ах, Ь,, сх, попарно взаимно простые числа. Многочлен С, , всегда дает число, которое попарно взаимно просто с числом из тройки .

Вывод: если существует тройка чисел а, > 0 , Ь, > 0 , с, > 0 , удовлетворяющая уравнению (15), то существует тройка чисел с, = - с, , Ь, > 0 , а, > 0 , удовлетворяющая уравнению (15), следовательно, тройка чисел , , , должна удовлетворять уравнению (14),

следовательно, тройка чисел с = - с, Ь > 0 , а > 0, должна удовлетворять уравнению (7), следовательно, тройка чисел с = - с, Ь > 0 , а > 0 , должна удовлетворять уравнению (3).

Подставим тройку чисел с = - с, Ь > 0 , а > 0 ,в уравнение (3) и получим неравенство. Возникло противоречие, уравнение (3), не имеет решения в целых положительных числах, когда: Н ОД ( х,р ) = Р ,

Н ОД (у,р ) = 1 , Н ОД (г,р ) = 1. ■

Пусть Н ОД (у, р ) = р , Н ОД (х, р ) = 1 , Н ОД (г, р ) = 1 , докажем, что при этом условии, уравнение (3) не имеет решения в целых положительных числах.

Докажем что: Ь = р у- В = р , а = ау, Л = Лу , с = су, б = бу.

Ранее было доказано что многочлен В в уравнении (6), всегда нечетное число и Н ОД ( с + а, Ь ) = 1 или Н ОД ( с + а, Ь) = 2 . [Смотри 1 часть доказательства Большой теоремы Ферма, страницы 10 и 11] Так как Н ОД (у,р ) = р , следовательно, Н ОД ( Ь,р ) = р. Получаем В = р В1 , где Н ОД (р ,В1) = 1 . Так как , , , следует, , , ,

р рЬрВу, у = рЬуВу .

Примечание: если , то в этом случае , этот случай рассмотрен ранее в 1

части доказательства Большой теоремы Ферма.

Так как , [смотри 1 часть доказательства Большой теоремы Ферма,

страницы 9 и 10], следует, а = ар , Л = Лу, х = ауЛу.

Так как гу = с б , Н ОД ( с, б ) = 1 [смотри 1 часть доказательства Большой теоремы Ферма, страницы 11 и 12], следует, с = су , б = бу, г = су бу . ■

Из трех возможных уравнений выберем одно, для этого подставим новые значения: х + у = с = су , г = су бу , Ь = р у - 1Ьу , а = ау , в уравнение (7), получим уравнение

2У(суу -су бу) у -8рУЬууаусуу{ ^суу(у"3) +

ГУЯ 1X2 у (р-1Хр-2Хр-3) РСР-5) 2{(у-1ЬР)2 + а2Р} + ... 1X2X3X4 У IV у у у _)

(р —1)(р —2)(р —3)---(р—2?с+1) ср(р-2к-1) 1 <2к(уУ-1ЬР)2к~2 +

1Х2ХЗХ4Х-Х2(с у 2^ V У'

2к(2к — 1)(2к—2) , 1ЬРук~* 2р

1X2X3 V У/ У

2к(2к-1)(2к-2)(2к-3) ■■■ [2/с-(2т+1) + 1] / р_1^рч2(с-2т-2 ^2тр +

1Х2ХЗХ4Х-Х(2т+1) V УУ У

- + 2/шу(2*"2)} + ---+ - хХр^ЬУГ3 +

(р-1)(р-2)(р-3) , Р-1ЬР)Р-5д2Р + ... 1X2X3 V У' У

(р-1)(р-2)(р-3)(р-4)-[р-1-2Ь] / -^рчр-З-гЬ д2]1р _ 1Х2ХЗХ4Х-Х(2?1+1) V УУ у

• • -+(р-1) ау (у - 3)}} = 0. (16)

Преобразуем уравнение (16), для этого достаточно новые значения: , , , подставить в уравнение (9), вместо: , , , , получим уравнение

р

2 у - 1 - 1) су (у - + 2 у - ^ - 1 )бу[ - 4Р - (у- 2 ) +(у-1) с(у- (у - 3)бу -

(р-1)(р-2) „(р-1)(р-4)^2 ,

--С,, и,,

1х2хз У У

... + (р-1)(р~2)-(р-2г+1) с(р-1)(р-2г-1)с2г-1____+ дР~2п |

1Х2ХЗХ ■■■ 2г у У У 1

____(р-1)(р-2)(р-3)-(р~2к+1) ср(р-2к-1Ур И-1йРЛ2^____

1Х2ХЗХ4Х -Х2(с у \ у У у)

• • - с2Р( ау + р у - X) у -3 - ( ау + р у - %)р- 1 = 0 , (17)

где

СУ = ^{сУ^"15 + +

+р(р;1х^зхГ3)су(р"5)к-рр-1Ьур)4+---

• • с2Р( а? -р у - X) Р -3 + р ( ау -р - X) Р - \

Рассмотрим уравнение (17), как уравнение с одной переменной су, (где су пробегает все значения, удовлетворяющие начальным условиям, относительно фиксированных ау, Ьу). Применив те же рассуждения как и к уравнению (15), приходим к выводу.

Вывод: если существует тройка чисел ау > 0 , Ьу > 0 , су > 0 , удовлетворяющая уравнению (17), то существует тройка чисел су = — су , Ьу > 0 , ау > 0 , удовлетворяющая уравнению (17), следовательно, тройка чисел су = — су , Ьу > 0 , ау > 0 , должна удовлетворять уравнению (16), следовательно, тройка чисел , , , должна удовлетворять уравнению (7),

следовательно, тройка чисел с = — с , Ь > 0 , а>0 , должна удовлетворять уравнению (3).

Подставим тройку чисел с = — с , Ь > 0 , а>0, в уравнение (3) и получим неравенство. Возникло противоречие, уравнение (3), не имеет решения в целых положительных числах, когда: Н ОД (у,р ) = р ,

Н ОД ( х,р ) = 1, Н ОД ( г,р ) = 1. ■

Пусть Н ОД (г,р ) = р , Н ОД (х,р ) = 1, Н ОД (у,р ) = 1 , докажем, что при этом условии, уравнение (3) не имеет решения в целых положительных числах.

Докажем что: с = р р" 1ср , в = р , а = ар , А = Ар , Ь = Ьр, В = Вр .

Ранее было доказано что многочлен б в уравнении (4), всегда нечетное число и Н ОД ( а — Ь, с ) = 1 или Н ОД ( а — Ь, с) = 2 . [Смотри 1 часть доказательства Большой теоремы Ферма, страницы 11 и 12] Так как Н ОД ( г, р ) = р, следовательно, Н ОД ( с, р ) = р. Получаем б = р б 1 , где Н ОД ( р , б 1 ) = 1. Так как , , , следует, , , ,

= р , г = р с2 .

Примечание: если , то в этом случае , этот случай рассмотрен ранее в 1 части

доказательства Большой теоремы Ферма.

Так как хр = аА, Н ОД ( а, А ) = 1 [смотри 1 часть доказательства Большой теоремы Ферма, страницы 9 и 10], следует, а = ар , А = Ар , х = а2А2 .

Так как ур = ЬВ, Н ОД ( Ь,В) = 1 [смотри 1 часть доказательства Большой теоремы Ферма, страницы 10 и 11], следует, , , .

Из трех возможных уравнений выберем одно, для этого подставим новые значения: г — у = а = , , , , в уравнение (7), получим уравнение

2*{а2А2-ар2)Р ПП8:Рар2Ьр2р^ср2 (р^ср)Р~3 + (Р-1ХР-2ХР-3) Г р-1сРу~5 2[а? + Ъ?]+-

1 У9У-ЯУ-4 2 У 12 2 -1

1X2X3X4

(р-1)(р-2)(р-3)...(р-2,+1) „-М-! 1 (2,_2)

1Х2ХЗХ4Х-Х2(с 2) 21 2

2к(2к-1)(2к-2) ар(2к-4)ь2р _

1x2x3 ^ ^

2к(2к-1)(2к-2)(2к-3)- [2к-(2т+1) + 1] ар(2к-2т-2)^2тр +

1Х2ХЗХ4Х---Х(2т+1) 2 2

- + 2кЬр(-2к~2^] +... + \ [(р - 1)ар(г,"3) +

(р-1)(р-2)(р-3) аР(Р~5)ь2р _ 1x2x3 ^ ^

(р-1)(р-2)(р-3)(р-4)-[р-1-2>1] ар{р-3-2Н)ь2Нр _

1Х2ХЗХ4Х---Х(2Л+1) 2 2

• • •+ (р —1) Ьр (р"3)] } =0. (18)

Преобразуем уравнение (18), для этого достаточно новые значения: ар,А2,Ьр,^ "с2, подставить в уравнение (11), вместо: ар, А 0, Ьр, ср, получим уравнение

±(2^ - 1)ар(р"1) +2Р-1а^-1)Л,[= а^"1^"2) а^~1)(Р~3)А2 -

р 4 у 2 г г 1х2 г 2

(р-1)(р-2) а(р-1)(р-4)л2 _ 1x2x3 ^ ^

(р-1)(р-2)-(р~2г+1) д(р-1)(р-2г-1)^2г-1____+ дР~2, _

1 X 2 X 3 X • ■ ■ 2 г 2 2 2 ]

_(р-1)(р-2)(р-3) р(р-5)(- , р _ р)4 _ ___ 1X2X3X4 2 \г г г;

____(р-1)(р-2)(р-3)-(р~2к+1) др(р-2к-1)/ у-1сР ЬРЛ2к____

1Х2ХЗХ4Х-Х2(с 2 2 2>

• • - ^ а2 Р(р р - - ЬГ) Р -3 - (р у - ЧР - Ьу)у - 1 =0 , (19)

где

^ = ^ {р{рр~1сг + яг1 + '-Ч^г1 + я Г3«? + ••

- + р(р-1)(р-2)(р-3) (р^ср + Ьр)\р2^ +

1X2X3X4 V 2 2] 2

+ £^2 (рР-1сР + Ьр)2ар(р~3) + а^"4}

Рассмотрим уравнение (19), как уравнение с одной переменной ,

(где а2 пробегает все значения, удовлетворяющие начальным условиям, относительно фиксированных с2 , Ь2 ). Применив те же рассуждения как и к уравнению (15), приходим к выводу.

Вывод: если существует тройка чисел а2 > 0 , Ь2 > 0 , с2 > 0 , удовлетворяющая уравнению (19), то существует тройка чисел , , , удовлетворяющая уравнению (19),

следовательно, тройка чисел а2 = - а2 , Ь2 > 0 , с2 > 0 , должна удовлетворять уравнению (18), следовательно, тройка чисел , , , должна удовлетворять уравнению (7),

следовательно, тройка чисел , , , должна удовлетворять уравнению (3).

Подставим тройку чисел , , , в уравнение (3) и получим неравенство.

Возникло противоречие, уравнение (3), не имеет решения в целых положительных числах, когда: Н ОД ( г,р ) = р, Н ОД (х, р ) = 1 , Н ОД (у,р ) = 1. ■

В двух частях доказательства Большой теоремы Ферма рассмотрены все возможные варианты:

• Н ОД ( х, р ) = 1, Н ОД (у, р ) = 1, Н ОД ( г,р ) = 1.

• Н ОД ( х, р ) = р , Н ОД (у, р ) = 1, Н ОД (г,р ) = 1.

• Н ОД (у, р ) = р , Н ОД ( х, р ) = 1, Н ОД (г,р ) = 1.

• Н ОД ( г,р ) = р, Н ОД (х, р ) = 1 , Н ОД (у,р ) = 1.

При которых уравнение (3), не имеет решения в целых положительных числах, следовательно уравнение (1), не имеет решения в целых положительных числах. Большая теорема Ферма доказана.

Список литературы

1. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. 176 с.

2. Постников М.М. ТЕОРЕМА ФЕРМА. Введение в теорию алгебраических чисел. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978. 128 с.