CC BY
45ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ВЫВОД СИСТЕМЫ НОРМАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ МНОГОФАКТОРНОЙ РЕГРЕССИИ
Сергеева А.М.
Сергеева Анна Марксовна — кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики, Национальный исследовательский университет «Московский энергетический институт», г. Москва
Аннотация: регрессионный анализ - это мощный инструмент построения эконометрических моделей. В статье рассмотрен метод наименьших квадратов для случая линейной модели с несколькими факторами. Многофакторная линейная модель интересна еще и тем, что к ней приводятся некоторые нелинейные модели. Умение вывести систему нормальных уравнений для любого числа k факторов позволит исследователю чувствовать себя уверенно в построении математических регрессионных моделей, не занимаясь поиском формул в учебниках. Понимание каждой формулы системы нормальных уравнений является залогом успешного расчета параметров регрессионной модели с помощью различных компьютерных программ.
Ключевые слова: метод наименьших квадратов, многофакторная регрессия, система нормальных уравнений.
УДК 519.24
Постановка задачи:
Регрессионной таблицей 1. данных, полученных из эксперимента (исследования) задана многофакторная модель [1]
Таблица 1. Исходные данные наблюдений
Х: Х 2 Х 3 Хт У
Х11 Х 21 Х 31 Хт1 У1
Х12 Х 22 Х 32 Хт2 У 2
Х13 Х 23 Х 33 Хт3 У3
Хш Х2п Х3п Х тп Уп
гс = Во + ад + В2 х2 +... + ...втхт (1)
У\ = В0 + В1Х11 + В2Х 21 + В3 Х31 +.....В тХ т1
У 2 = В0 + В1Х 12 + В2Х22 + В3Х32 +.....ВтХт2 (2)
Уз = В0 + В1Х13 + В2Х23 + В3 Х33 +.....ВтХт3
и так далее.
То есть для каждого набора
(Х1к > Х2к > Х3к >.....> Хтк ) (3)
Выполняется Ук = Во + В1Х1^ + В2 Х2к + В3 Х3^ +.....ВтХтк (4)
Рассмотрим функцию (т+1) переменной. Переменными величинами являются параметры
В0> В1> В2.....Вт
J
B0, Bl>......> Bm
Z(Y — )2
(5)
i=1
JB0 ,B ,......,Bm = Z - B0 - B1x1i - B2x2i - B3x3i ••• - Bmxmi )
i=1
Вычислим частные производные по каждой переменной и приравняем к нулю.
J = 0,
JBi = о, j; = о
(6)
1 - второй индекс
п
А0 = Е 2(У - Во - - В2*2, - ВзХ„ - Бтхт1 )(-1) = 0,
1=1
п
^ = Е 2(У - В0 - В1Х1г В2Х2г - В3Х3г.....-ВтХт, )(-Х1, ) = 0
1=1
п
•'к = Е 2(У - Во - В1Х11 - В2Х21 - ВзХзг. - ВтХт1)(-Х21 ) = о,
1=1
п
1Вт = Е 2(У. - В0 - В1Х1. В2Х2, - В3Х3,..... ВтХт1)(-Хт, ) = 0
1=1
Сократим на множители 2 и (-1), отрицательные слагаемые перенесем в правую часть.
п _______
Е У. = пВо + В1 Е *1, + В2 Е + В3 Е Хз. + ••• + Вт Е ,
г =1
п _________
Е У'ХИ = В0 Е Хг + В1 Е (Х11 )2 + В2 Е Х2.ХИ + В3 Е Х31Х11 + ••• + Вт Е ХтгХ1г ,
(7)
i=1
n
Z ^ix2i = B0 Z X2i + B1 Z X1iX2i + B2 Z (x2i )2 + B3 Z x3ix2i + ••• + Bm Z XmiX2i > ( 8)
Zv.x = BnZx + B,Z X x . + B,Z x, x . + B,Zx-,,x . + ••• + B Z(x )2
/i mi о / , mi......1 ■ ■/■ ■ ; ■ ■ -1f mi ■ ■ ■ 2—A • ■■ ■ ■ -2f ■ m,......3 ■/■ ■ i ■ ■33i ■ ■ -mi m / iV mi/
(m+1) уравнение в системе, (m+1) - неизвестный параметр. Решить систему можно средствами линейной алгебры, с помощью программ Excel или Mathcad.
Все суммы легко находятся из регрессионной таблицы, например,
Е Х1; - это сумма по 1 столбцу регрессионной таблицы.
г=1
п
Е, Х3гХ2г = (Х3, Х2 ) скалярное произведение векторов.
i=1
о
i=1
i=1
Список литературы
1. Эконометрика. Елисеева И.И. Москва. Финансы и статистика, 2003.
2. Практикум по эконометрике. Елисеева И.И. Москва. Финансы и статистика, 2003.
3. Conclusion procedure of system of normal equations by the method of least squares for simple regression and multiple regression model. Москва. Спутник+, 2017.
ФОРМУЛА ДЛЯ СУММЫ ТРЕХ СТЕПЕНЕЙ И БОЛЬШАЯ ТЕОРЕМА
ФЕРМА Пучков М.В.
Пучков Михаил Васильевич - пенсионер, г. Нарва, Эстония
Аннотация: в статье представлен вывод формулы для суммы трех степеней хР + уР — г Р. На основании данной формулы выполнено общее доказательство Большой теоремы Ферма, которое состоит из двух частей. В первой части рассматривается вариант, когда ни одно из тройки чисел х,у, г, не делится на р . Во второй части рассматривается вариант, когда одно из тройки чисел х,у, г, делится на р.
Ключевые слова: теорема Ферма, формула для суммы степеней.
Вывод формулы для суммы трех степеней
хр _|_уР _2Р;
где х,у,г\ II I действительные числа (иррациональные, рациональные, цельте), как положительные так и отрицательные. Показатель р простое число. Обозначим: х + у = с, г — у = а, г — х = Ь. Отсюда: х — у = а — Ь, г + у = Ь + с, г + х = а + с.
Отсюда: х =
с+(а-Ь)
У =
с-(а-Ь)
2 2 Получим следующее уравнение
z =
ХР уР _ zP =
с+(а-Ь)]р |"с-(а-Ь)]р
с+(а+Ь)
e+(q+b)jP
2 Р(хР + уР — гР) = [с + ( а — Ь) ] Р + [с — (а — Ь) ] Р — [с + (а + Ь) ] Р. Преобразуем правую часть этого уравнения:
• Раскроем квадратные скобки по формуле бинома Ньютона.
• Сократим и суммируем одинаковые члены.
• Сгруппируем члены таким образом, чтобы получить член в виде ( с — а — Ь ) Р .
• После преобразования оставшихся членов правой части уравнения, получим нижеследующую формулу
2р(хр +уР - zp) = (с - а - ЬУ -
_ 8р abc { ^сР" 3 + (Р" 1)(Р "2 ) (Р" 3 }ср-52[а 2 + Ь2] + • • •
Г ^ 1 уО 1 V3 vA L J
(p-l)(p-2)(p-3)-(p-2fc+l)cp-2fc-l 1г2/са2,С"2 + 2fc(2fc~1)(2fc~2)a2fc-4^2 + .
1X2X3X4X-X2ÎC " -------
2fc(2fc—l)(2fc —2)(2fc—3) ■
2 1X2X3 [2fc-(2m+l)+l] a2k-2m-2fo2m ____|_ 2kb2k~2]
lX2X3X4X--'X(2m+l)
- + i[(p - l)ap~3 + (p-1)(p-2)(p"3)flP-5b2 + ».
?L4r ' 1 Y9V!
+ -..
(p-l)(p-2)(p-3)(p-4)-(p-l-2h) д !X2X3X4X---X(2h+1)
p -3 - 2 ^ 2 & + • . ,+ (р_1) b p -3] },
где:
x,y,z □ действительные числа, x+y = c, z — y = a, z — x = b,
2k, 2m, 2hZчетные целые положительные числа, 0 < 2k < p — 1
р-з,
pl II простое число >2[l,c. 13]. ■
0<2 /Кр_3 , 0<2 m<
