CC BY
8БЕСКОНЕЧНАЯ ДЕЛИМОСТЬ НЕДЕЛИМОГО И БОЛЬШАЯ
ТЕОРЕМА ФЕРМА Пучков М.В.
Пучков Михаил Васильевич - пенсионер, г. Нарва, Эстония
Аннотация: в статье проведен анализ биноминальных коэффициентов формулы для суммы трех степеней с нечетным показателем и анализ степеней с нечетными показателями, состоящими из произведения простых чисел. При использовании одного из вариантов метода бесконечного спуска, выполнено доказательство большой теоремы Ферма. Ключевые слова: биноминальный коэффициент, теорема ферма, формула для суммы степеней.
Рассмотрим формулу для суммы трех степеней с нечетным показателем [3, с. 7]
х2£+1 + у24+1 _ 22£+1 = (х + у _ ^24+1 _
+ у)(г - у)(г - х){С2,+1(х + у)2*"2 + +С2\+1(х + у)2'-4 ±[4(г - у)2 + 4(г - х)2] + -- + С2\к+1(х + у)2'"2* 1[2к{2 - у)2к~2 +
_ )2к_4( _ у ...
1X2X3 4 '' 4 '
2к{2к-1){2к-2)-{2к-2т) , _ ук-2т-2Г2 _ хХ2т , ... 1Х2ХЗХ---Х(2ш+1) \ Уу У )
••• + 2 к(г-х)2к~2] + ••• ••• + СЦ-Цх + у)2 - 2)(г ~ у)2'-4 +
(2г-2)(2г-з)(2г-4)( _ )24_6( _ )2 ...
1X2X3 V V У
1Х2Х-"Х(2ш+1) У У) V
- + (2£ - 2)(г - х)2'"4] + С|4+1(г - у)24"2 +
+2С41+1{г-уГ~4{г-х)2 +
- + (А + ЦС2/!^ - у)2*-2-2"^ - х)2" + -
- + (1)
где:
х, у, г — действительные числа, 2 /с, 2 ш, 2 / — четные целые положительные числа, О < 2к < 2С, 0 < 2й < 2£ — 2, 0<2т<2£:-2, С = 2,3,4,5-С,
„2 _ (24+1)(2р
С2£+1--^-'
£4 _ (2г:+1)(24)(2г:—1)(24-2)
2(1+1 _ 1X2X3X4 '
£2/С _ (2£+1)(20(2£-1)(2£-2)-(2£-2Л + 2)
2(1+1 1Х2ХЗХ4Х---Х2/С '
с2£-2 _ (24+1)(2р(24-1)(24-2)--(4) 2(1+1 1Х2ХЗХ4Х---Х(2£—2) '
£2/1+2 _ (24+1)(20(24-1)(24-2)--(24~2?г) 2(1+1 1X2 ХЗХ4Х---Х (2/1+2) '
- г2
Примечание: формула строго применима для £ > 1 , при £ = 1 ,
х3 + у3 — г3 = (х + у — г)3 — 3(х + у)(г — у)(г — х).
Каждое слагаемое многочлена в фигурных скобках, является произведением биноминального коэффициента С^ 1 и многочлена.
Обозначим многочлен в фигурных скобках формулы (1) , как Д (х, у, г)
х2£+1 + у24+1 _ = (х + у _ ^24+1 _
_ + У)(2 _ У)(г ~ х)Я(х,у,г).
Пусть задана последовательность простых чисел, которая бесконечна в связи с тем, что простых чисел бесконечно много [1, с. 14],
2 < р < Р! < р2 < Рз < • • • < р < • • -рш, (2)
где: р,рх,р2,рз • • • • • -рш, простые числа, следующие друг за другом.
Для доказательства большой теоремы Ферма, достаточно рассмотреть уравнение
хр + ур - 2Р = о, (3)
где:
х,у, г — целые положительные числа, попарно взаимно простые. [1, с.18] Рассмотрим сумму трех степеней следующего вида
хР Р 1 + уР Р 1 — гР Р 1, (4)
эту сумму по формуле (1) можем представить двумя уравнениями.
Пусть в формуле (1), , (где степень с показателем и основанием
р х) получаем уравнение
ХРР12 + уРР2! _ 2рр1 = (х + у _ 2)рр1 _
— -ттгт (х + у) (г —у) (г — х) Д х (х,у,г) . (5)
2КК1-^
Пусть в формуле (1), , получаем уравнение
хрр1 урр1 _ 2РР1 = (ХР уР — 2Р)Р1 —
-_^_(хр + ур)(гр -уР)(гР -хр)^(хр,ур,гр),
2р1~3
ХР Р 11 +ур Р 1 — гР Р 1 = — —1—хР уРгР^ (хР,уР ,гР) . (6)
2р1-3
следовательно,
Из уравнений (5) и (6) получаем нижеследующее уравнение
1 -хрур2р^(хр,ур,гр) = (х + у - г)рр1
2р1~
1 - (х + у) О —у) О —х) Д 1 (х,у,г) . (7)
2рр 1-Докажем, что
Д1(х,у,г) = р1Д11(х,у, г), для этого нужно доказать, что все биноминальные коэффициенты , делятся на
Рассмотрим последовательность биноминальных коэффициентов:
С0 2 = 1,
рр1
! =РР1
РР1 1 '
2 = УУКУУ1 - !) рр1 1x2 '
сР1 = УУКУУ1 -!)••• (уу1 - У1 + 1)
рр1 1Х2Х--ХР! '
ср1+1 = уу1(ру1 -!)••• (ру1 -у± + 1)(ру1 ~ Уг) рр1 1х2х-хр1х(р1 + 1) '
срр1-1 = РР£ РР1 1 '
С„ „2, С 7, С 2, С 2 -С 2 , С 21 , находятся в этом интервале, следовательно,
ррг ррг РР1 рр£ РР1 РР1 ' " к > «
С**1 = 1.
ррг
Из этой последовательности видно, что все биноминальные коэффициенты, попадающие
в интервал [ С^ ■ ' ' ^ , делятся на р1.
Биноминальные коэффициенты многочлена И1 (х, у, г) :
с2 2, с4 2,с2к2,сррг3,с2 РРГ' ррг РР1 рр1 ' р
делятся на , следовательно,
И (х,у,г) = р^ 11 (х, у, г). я (8)
Очевидно, что проведя аналогичное рассуждение для Р1 (хр ,ур ,гр), как и для вывода уравнения (8), получаем уравнение
^ (хр,ур,гр) = р1Р11 (хр,ур,гр). я (9)
Подставим правые части уравнений (8) и (9) в уравнение (7), получаем 1 -хрургрр1Р11(хр,ур,гр) = (х + у - г)™* -
2р 1-з 1
(х + у) (г — у) (г — х)р^ 1 1 (х,у,г). (10)
2рр 1-
Из уравнения (10) видно что х + у — г, должно, делится на р1.
Проведя аналогичные рассуждения для всех простых чисел из последовательности (2), как и для р1, подставив в выражение (4) вместо р 1,, получим бесконечное множество уравнений нижеследующего вида:
1 ■хрургрр2Р22(хр,ур,гр) = (х + у - г)рр1 -
2Р2-3
-4—(х + у)(г - у) (г - х)р2 Д22 (х, у, г).
2рр2-з
1 ■хрургрр1Ри(хр,ур,гр) = (х + у - г)рр1 -
2р$-з
(х + у)(г - у)(г - х)р1Яи(х,у,г).
■хрургрразРазаз(хр,ур,гр) = (х + у - г)рр* -
2рр{-з
1
-(х + у) (г - у)(г - х)р, Д.,., (х,у,г).
2рр 5
I
оо
Следовательно, существует бесконечное множество простых чисел, которые делят число х + у — г, значит х + у — г, бесконечно большое число,
х + у — г = рр^2р3 ■ ■ ■р1 ■ ■ -рх - оо. Возникло противоречие, так как целое положительное число является конечным числом, г > х + у — г > 0 , следовательно, большая теорема Ферма доказана, уравнение (3) не имеет решения в целых положительных числах. я
Список литературы
1. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. 176 с.
2. Постников М.М. Теорема Ферма - Введение в теорию алгебраических чисел. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978. 128 с.
3. Пучков В.В. Формула для суммы трех степеней и большая теорема Ферма // Наука и образование сегодня, 2017. № 11 (22). С. 7-19.
