CC BY
14
УДК 519.725
ФОРМИРОВАНИЕ ТРОИЧНЫХ ГМВ-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ С ПЕРИОДОМ N=728 В СИСТЕМАХ ПЕРЕДАЧИ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ
В.Г. Стародубцев, В.В. Ткаченко, Е.А. Малышева
Рассмотрен алгоритм формирования троичных ГМВ-последовательностей с периодом N=728, основанный на матричной форме представления базисной М-последовательности с аналогичным периодом. Проверочный полином ГМВ-последовательности является произведением неприводимых полиномов-сомножителей, на основании которых может быть синтезировано устройство формирования в виде совокупности регистров сдвига с линейными обратными связями Показано, что для каждой М-последовательности можно сформировать по три ГМВ-последовательности с различной структурной скрытностью. Получен полный перечень проверочных полиномов, позволяющий сформировать 144 ГМВ-последовательности.
Ключевые слова: псевдослучайные последовательности, конечные поля, неприводимые, примитивные и минимальные полиномы, эквивалентная линейная сложность, регистры сдвига.
Одним из направлений повышения помехозащищенности систем передачи цифровой информации, включая системы передачи измерительной информации космических средств (КСр), в условиях воздействия преднамеренных помех является применение недвоичных сигналов с расширенным спектром, формируемых на основе псевдослучайных последовательностей (ПСП) и имеющих высокую структурную скрытность [1 - 2].
В качестве последовательностей, позволяющих существенно расширить спектр сигнала, в настоящее время в основном применяются двоичные ПСП, такие, как М-последовательности (МП), последовательности Гордона-Миллса-Велча (ГМВП), последовательности Голда, Касами и др. [3 - 5]. При их использовании повышается структурная скрытность передаваемых сигналов, выступающая в качестве одного из показателей помехозащищенности при передаче измерительной информации КСр [6 - 7].
Перспективным направлением развития систем передачи цифровой информации является переход от двоичных к многопозиционным сигналам. Переход к недвоичным последовательностям позволяет затруднить определение структуры ПСП в режиме реального времени средствами радиоэлектронного противодействия [8 - 9].
В системах передачи измерительной информации КСр при выборе ПСП должны учитываться как структурная скрытность, так и их корреляционные свойства. В качестве показателя структурной скрытности используется такой параметр, как эквивалентная линейная сложность (ЭЛС), численно равная степени проверочного полинома, на основании которого формируется данная последовательность [3, 6].
Основным требованием к корреляционным свойствам ПСП является небольшой уровень значений боковых пиков периодических авто- и взаимнокорреляционных функций.
Вопросам формирования недвоичных ПСП посвящено большое количество работ как в нашей стране, так и за рубежом. В данных работах большое внимание уделяется исследованию вопросов формирования и анализа корреляционных свойств как недвоичных МП [9, 11], так и недвоичных последовательностей с более высокой структурной скрытностью [8, 10, 12].
Среди последовательностей, обладающих двухуровневой периодической автокорреляционной функцией (ПАКФ) можно выделить МП и ГМВП. При этом ГМВП имеют более высокую структурную скрытность по сравнению с МП, что определяет приоритетность их использования в системах передачи цифровой информации, к которым предъявляются повышенные требования по помехозащищенности в условиях воздействия преднамеренных помех, включая имитационные помехи.
Широкому применению недвоичных ГМВП в системах передачи данных препятствует отсутствие практически реализуемых алгоритмов формирования данных последовательностей.
Цель статьи - разработка алгоритма формирования троичных ГМВП с периодом N=728 и методики определения полного перечня проверочных полиномов.
Недвоичные ГМВП формируются над полями с двойным расширением вида GF[(рm)n], вследствие чего их период является составным числом, то есть N=ртп - 1 = N=- 1, где т, п, я - натуральные числа.
Алгоритм формирования ГМВП с периодом N=ртп-1 = ря-1 основан на использовании базисной МП с аналогичным периодом и проверочным полиномом Имп(х) степени я. Для двоичных ГМВП алгоритм формирования рассмотрен в [13-14], для троичных последовательностей с периодом N=80 - в [15].
Реализация алгоритма формирования троичных ГМВП с периодом N = 36-1 = 728 над полем с двойным расширением GF[(33)2] включает выбор примитивного полинома Имп(х) степени я = 6, например, ^мп(х) = х6+х+2, формирование МП на основании данного проверочного полинома и ее представление в виде квазиквадратной матрицы размерности [,/хЬ] = [26x28]. Столбцами данной матрицы являются различные циклические сдвиги МП с более коротким периодом /=33 - 1=26, которая получила название характеристической последовательности (ХП). Последовательность циклических сдвигов ХП образует правило формирования (ПФ). Один столбец матрицы состоит из нулей и называется нулевой последовательностью (НП).
Для получения ГМВП необходимо в матрице вместо ХП1 поставить в соответствии с ПФ другую ХПг- (г = 2, 3, 4). Число ХП определяется числом примитивных полиномов в поле GF(рm)=GF(33). Так как в данном поле имеются четыре примитивных полинома, то можно произвести три замены ХП1 на ХП2, ХП3 и ХП4, т.е. сформировать три ГМВП с различной ЭЛС.
Элементы поля GF(33), построенного по примитивному полиному /(х)=х3+2х+1, а1=а, приведены в табл. 1. Обычно для построения конечного
поля выбирается примитивный полином с наименьшими числом и значениями коэффициентов при формальной переменной х [16]. Элементы поля в табл. 1 показаны в степенной и векторной формах, функция следа № а1 может принимать три значения элементов простого поля ОБ(3).
Таблица 1
Расширенное поле GF(33), _ f(x) = x3+2x+1, a1 = а _
Элементы поля Период tr a' Минимальные полиномы Корни
a' 2 1 0 а а1а
a0 001 1 0 Ио(х) = х + 2 a0
a1 010 26 0 М(х) = х3 +2х + 1 a1a3a9
a2 100 13 2 ^(х) = х3 + х2 + х + 2 2,6,18
a3 012 26 0 М(х) = х3 +2х + 1 3,9,1
a4 120 13 2 Й4(х) = х3 + х2 + 2 4,12,10
a5 212 26 1 Й5(х) = х3 + 2х2 + х + 1 5,15,19
a6 111 13 2 ^(х) = х3 + х2 + х + 2 6,18,2
a7 122 26 2 Й7(х) = х3 + х2 + 2х + 1 7,21,11
a8 202 13 1 Й8(х) = х3 + 2х2 + 2х + 2 8,24,20
a9 011 26 0 М(х) = х3 +2х + 1 9,1,3
a10 110 13 2 Й4(х) = х3 + х2 + 2 10,4,12
a11 112 26 2 Й7(х) = х3 + х2 + 2х + 1 11,7,21
a12 102 13 2 Й4(х) = х3 + х2 + 2 12,10,4
a13 002 2 0 ^13(х) = х + 1 13
a14 020 13 0 Й14(х) = х3 + 2х + 2 14,16,22
a15 200 26 1 Й5(х) = х3 + 2х2 + х + 1 15,19,5
a16 021 13 0 Й14(х) = х3 + 2х + 2 16,22,14
a17 210 26 1 Й17(х) = х3 + 2х2 + 1 17,25,23
a18 121 13 2 Ь2(х) = х3 + х2 + х + 2 18,22,6
a19 222 26 1 Й5(х) = х3 + 2х2 + х + 1 19,5,15
a20 211 13 1 Й8(х) = х3 + 2х2 + 2х + 2 20,8,24
a21 101 26 2 Й7(х) = х3 + х2 + 2х + 1 21,11,7
a22 022 13 0 Й14(х) = х3 + 2х + 2 22,14,16
a23 220 26 1 Й17(х) = х3 + 2х2 + 1 23,17,25
a24 221 13 1 И8(х) = х3 + 2х2 + 2х + 2 24,20,8
a25 201 26 1 Й17(х) = х3 + 2х2 + 1 25,23,17
В качестве индексов для полиномов Н(х) в поле ОБ(33), а также в поле ОБ(36) используются минимальные показатели степени среди р-сопряженных корней данных полиномов.
Для двоичных ГМВП ЭЛС определяется выражением [3, 6]
¡8 = т • п%(г), (1)
где %(г) - количество единиц в двоичном представлении числа г; г - натуральное число, взаимно простое с порядком мультипликативной группы поля ОБ(рт), равным рт - 1.
Для недвоичных ГМВП общее выражение для ЭЛС в известной литературе отсутствует.
Количество различных ГМВП определяется как произведение уменьшенного на единицу числа примитивных полиномов в поле GF(pm) на число примитивных полиномов в поле GF[(pm)n] [3, 13]:
Ф(Рт -1) п Ф(РтП -1)
Мг = (-
1)
(2)
т тп
где ф(а) - функция Эйлера, равная числу чисел, взаимно простых с числом а, в ряду от 1 до (а - 1).
В соответствии с (2) в поле GF[(33)2] можно сформировать 144 ГМВП с различной ЭЛС.
Алгоритм формирования над полем GF[(33)2] ГМВП с периодом N=р5-1=728 основан на использовании базисной МП с аналогичным периодом и проверочным полиномом Лмп(х)=х6+х+2 степени я=6. Одним из корней ^мп(х) является примитивный элемент а, принадлежащий расширенному полю GF(36). Проверочный полином формируемой ГМВП Нг(х) представляется в виде произведения двух и более неприводимых сомножителей, являющихся полиномами Исг(х) степени я, корни которых - степени корней полинома ^мп(х), т.е. степени примитивного элемента а. Число полиномов-сомножителей определяет ЭЛС ГМВП и для заданного периода зависит от параметра г.
Символы базисной МП с проверочным полиномом Лмп(х)=х6+х+2 и начальным состоянием 000010 формируются на основе выражения с6+г=с0+г+2с1+г (г=0, 1,..., 721) и записываются в виде матрицы размерности [/хЬ] = [26x28] (для компактности приведены первые и последние строки)
^мп
000 0 12 2 2 0 0 1 2 0 0 1 2
1 2 0 121 2 1 1 121
1 1 2 1
1 1 0 2
. (3)
После представления МП в виде матрицы каждый столбец является одним из циклических сдвигов ХП1 с периодом N=3^1=26. Тринадцатый столбец состоит из нулей, т.е. является НП. Без потери общности в качестве нулевого сдвига ХП1 выберем столбец после НП. Тогда первый столбец матрицы является восьмым сдвигом и записывается следующим образом: ХП1 = 01002220122120200111021121.
Проверочный полином для ХП1 определяется по алгоритму Берле-кемпа - Месси [3] и в соответствии с табл.1 имеет вид
йхп1(х) = Нц(х) = х3+2х2+1. (4)
Данному полиному соответствует параметр г1=1 [13]. Так как каждый столбец матрицы ^мп вида (3) (кроме нулевого) соответствует одному из циклических сдвигов ХП1, то последовательность номеров циклических сдвигов образует ПФ для МП с периодом N=728 в виде вектора из Ь = 28 компонент:
1мп = (8 21 14 5 12 1 21 6 6 10 7 5 14 - 0 16 17 19 14 13 16 16 8 16 22 8 4), (5) где «-» обозначает нулевую последовательность.
Так как в поле GF(33) /х) = х3+2х+1, а1 = а), кроме примитивного полинома И17(х) = х3+2х2+1 существуют еще три примитивных полинома, то можно сформировать три ГМВП, в которых ХП определяются полиномами И1(х) = х3+2х+1, И5(х) = х3+2х2+х+1 и И7(х) = х3+х2+2х+1 из табл. 1.
ЭЛС ГМВП будет определяться значением параметра г, который может принимать три значения, представляемые в десятичной и троичной формах г2=510=0123, г3=710=0213 и г4=1710=1223.
Для недвоичных последовательностей функция g(r) в отличие от (1) определяется арифметической суммой позиций при троичном представлении параметра г и соответственно g(r2) = g(r3) = 3, £(г4) = 5. Отметим, что для ХП1 g(r 1=1) = 1.
При использовании параметра г2 = 5 ХП2 будет формироваться с помощью примитивного полинома
^хп2(х) = И 17x5 шоё26 (х) = И7(х) = х3+х2+2х+1. (6)
При использовании параметра г3 = 7 ХП3 будет формироваться с помощью полинома
Ихп3(х) = И 17x7 шоё26 (х) = И5(х) = х3+2х2+х+1. (7)
При использовании параметра г4 = 17 ХП4 будет формироваться с помощью полинома
Ихп4(х) = И17х17 шоё26 (х) = И1(х) = х3+2х+1. (8)
При формировании ГМВП1 параметр г2=5. При подстановке в матрицу МП вида (3) вместо ХП1 с полиномом (4) циклических сдвигов ХП2 с полиномом (6) в соответствии с ПФ вида (5) формируется ГМВП1:
0011220001 1 1 1010201220000101 1221212112012010022211010010 002 0110110102011022211101200 122 0212001 1020221021 10212012
^г1 =
. (9)
212 2011111222012022211222120 212 001 1222102000212012020121 1201 1020022100020000002121 10 210 0201 1 12000022220101222221 Проверочный полином ГМВП1 определяется с помощью алгоритма Берлекемпа - Месси
Иг1(х) = х18+2х16+2х14+2х12+х11+2х9+2х7+х6+2х3+х2+2х+2. (10) После разложения на неприводимые полиномы шестой степени проверочный полином ГМВП1 записывается следующим образом:
Иг1(х) = Ис1(х)Ис2(х)Ис3(х) = И5(х)И19(х)И31(х) =
=(х6+2х5+х4+х3+2х2+х+2) (х6+х4+2х3+х2+х+2) (х6+х5+х4+2х2+2). (11)
Все полиномы в произведении являются примитивными. ЭЛС ГМВЩ равна степени проверочного полинома ¡3 = 18. Неприводимые полиномы 6-й степени поля ОЕ(36), построенного по примитивному полиному _/(х)=х6+х+2, а1=а, приведены в табл. 2. Элементу а1 соответствует полином И(х), представленный в виде коэффициентов в векторной форме.
Назовем последовательность минимальных показателей степени корней сомножителей полинома ^г1(х) ёЫГ (11) ГМВП1 для параметра г2=5 вектором сомножителей
Л5=(5, 19, 31), (12)
где подстрочный индекс здесь и в дальнейшем соответствует значению параметра г2=5, для которого выполнялось формирование ГМВП1.
При формировании ГМВП2 параметр г3=7. При подстановке в матрицу МП вида (3) вместо ХП1 циклических сдвигов ХП3 с полиномом (7) формируется ГМВП2:
0 0 1 2 0 2 0 0 0 1 1 2 1 0 1 1 2 0 1 2 2 0 1 0 1 2 0 1
1 2 2 1 0 1 2 2 2 1 0 1 2 0 0 1 1 1 2 0 1 2 1 1 1 0 1 2
000 2 1 0 0 1 1 0 2 2 0 0 0 1 1 2 0 0 0 1 1 0 1 2 0 2
2 1 0 2 1 0 1 2 2 1 1 2 0 0 2 2 1 1 0 1 0 2 2 2 2 0 2 2
0 0 1 1 1 2 0 1 1 1 0 1 1 0 1 2 0 2 1 2 2 1 2 0 2 1 0 0
002 0 1 1 0 1 1 2 1 0 2 0 2 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 1
1 2 1 1 1 2 2 0 0 0 1 1 1 0 2 1 0 0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0
1 2 1 0 2 2 2 1 1 0 0 0 1 0 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2
Проверочный полином ГМВП2 имеет вид
Мх) = х18+2х17+2х15+2х14+2х13+2х11+2х9+х7+х6+2х4+х3+2х2+2. (14)
После разложения на неприводимые полиномы шестой степени проверочный полином ГМВП2 записывается следующим образом (табл. 2):
Иг2(х) = кс1(хукс2(хуксз(х) = ^7(х)^п(х)^37(х) =
=(х6+х3+х2+2х+2) (х6+2х5+2х4+2х3+х2+2) (х6+х4+2х2+х+2). (15)
Полиномы ^11(х) и И37(х) являются примитивными. Период корней полинома И7(х) равен 104, т.е. на периоде ГМВП2 укладываются семь периодов ПСП с данным проверочным полиномом. ЭЛС ГМВП2 равна ЭЛС ГМВП1 ¡3 = 18. Это можно объяснить тем, что значения функций g(r) одинаковы, т.е. g(r2) = g(r3) = 3.
Для параметра г3=7 вектор сомножителей имеет вид
А7=(7, 11, 37). (16)
При формировании ГМВП3 параметр г4=1710=1223, g(r4) = 5. При подстановке в матрицу МП вида (3) вместо ХП1 циклических сдвигов ХП4 с полиномом (8) формируется ГМВП3:
197
0 0 1 1 2 2 0 0 0 2 1 1 1 0 0 2 1 0 1 0 2 0 2 0 2 0 0 2
1 2 0 2 2 0 2 1 1 0 0 2 0 0 1 2 2 2 0 2 0 1 2 1 2 0 1 1
0 0 2 1 2 1 0 2 2 0 1 1 2 0 1 1 2 1 2 2 1 2 1 0 1 2 0 1
1 2 2 1 0 1 2 1 1 1 2 1 2 0 1 0 1 2 2 2 1 1 0 1 0 0 1 2
2 1 2 0 2 1 1 2 2 1 2 0 2 0 2 2 0 1 2 1 1 2 2 2 2 0 2 0
2 1 1 0 2 2 1 0 0 0 2 0 1 0 1 0 2 0 1 2 2 0 0 2 0 1 2 1
2 1 2 1 1 1 1 0 0 2 0 1 2 0 1 2 0 0 2 2 1 0 2 2 2 1 2 0
0 0 2 0 0 1 0 1 1 2 0 0 2 0 2 1 2 2 2 1 1 1 1 0 1 1 0 1
Таблица 2
Неприводимые полиномы^ поля СГ(3б), /(х) = хб+х+2, а1 = а
Корень Полином Период Корень Полином Период Корень Полином Период
а", (г) х6 ...х0 корней а", (") х6 ...х° корней а", (") х6 ...х° корней
а1 1000012 728 65 1100012 56 152 1212011 91
а2 1001021 364 67 1022122 728 154 1020101 52
4 1001221 182 68 1112201 182 155 1020122 728
5 1211212 728 70 1010201 52 157 1202122 728
7 1001122 104 71 1101212 728 158 1000121 364
8 1011001 91 73 1212022 728 160 1021121 91
10 1110011 364 74 1222211 364 161 1122002 104
11 1222102 728 76 1201121 182 184 1120121 91
13 1022102 56 77 1122122 104 185 1220102 728
14 1020001 52 79 1001012 728 187 1011022 728
16 1211201 91 80 1001101 91 188 1220111 182
17 1202002 728 92 1111021 182 197 1012012 728
19 1012112 728 94 1200121 364 202 1102001 364
20 1110221 182 95 1101002 728 203 1002112 104
22 1011011 364 97 1202222 728 205 1120222 728
23 1222022 728 98 1020101 52 206 1110001 364
25 1220212 728 101 1020112 728 211 1002022 728
26 1101011 28 103 1212122 728 212 1201111 182
29 1222222 728 104 1111111 7 214 1201201 364
31 1110202 728 106 1102201 364 215 1221202 728
32 1112011 91 107 1101112 728 229 1111222 728
34 1210001 364 113 1110122 728 230 1012021 364
35 1121122 104 115 1122202 728 232 1102111 91
37 1010212 728 116 1022111 182 233 1111112 728
38 1202101 364 119 1221002 104 238 1000201 52
40 1122001 91 121 1100002 728 239 1021112 728
41 1112222 728 122 1002011 364 241 1212212 728
43 1121012 728 124 1012001 182 242 1201001 364
44 1211021 182 125 1121102 728 365 1000022 728
46 1021021 364 128 1210211 91 368 1002211 91
47 1102202 728 130 1202021 28 374 1210021 364
49 1221112 104 131 1121212 728 377 1021102 56
50 1022011 364 133 1222112 104 394 1210021 364
52 1212121 14 134 1101101 364 395 1210202 728
53 1210112 728 142 1221211 364 401 1010222 728
58 1000111 364 143 1200022 56 404 1221001 182
59 1201202 728 146 1121221 364 458 1100111 364
61 1120102 728 148 1002101 182 485 1200002 728
62 1122221 364 149 1011122 728
64 1102121 91 151 1111012 728
В результате выполнения алгоритма Берлекемпа-Месси проверочный полином ГМВПз является полиномом 54-й степени:
hr3(x)=x54+x53+x51+x50+x49+x48+x47+2x46+x45+2x43+2x40+2x39+x37+ +x36+2x35+2x33+x32+2x31+x30+x29+x21+x26+2x24+2x23+2x22+x21+
+2x20+x17+x16+2x15+x12+x11+2x10+2x9+x6+2x5+x4+x3+2x+2. (18) Проверочный полином hr3(x) раскладывается на девять неприводимых полиномов шестой степени:
hr3(x) = hd(x) • hс2(x) • hсз(x) • hс4(x) • ^5(x) • hс6(x) • hd(x) • hс8(x) • hс9(x) = = hd(x) • hс2(x) • ^3(x) • hс4(x) • hс5(x) • hс6(x) • hd(x) • ^8(x) • hс9(x) =
= hn(x) • h23(x) • h25(x) • h43(x) • h49(x) • h95(x) • h101(x) • h103(x) • h121(x) =
= (x6+2x5+2x3+2) • (x6+2x5+2x4+2x3+2x+2) • (x6+2x5+2x4+2x2+x+2) х х (x6+x5+2x4+x3+x+2) • (x6+2x5+2x4+x3+x2+x+2) • (x6+x5+x3+2) х
х (x6+2x4+x2+x+2) • (x6+2x5+x4+2x3+x2+2x+2) • (x6+x5+2). (19)
Все полиномы, кроме сомножителя hс5(x) = h49(x), являются примитивными. Период корней полинома h49(x) равен 104, т.е. на периоде ГМВП3 укладываются семь периодов ПСП. ЭЛС ГМВП3 ls = 54 и в три раза превышает ЭЛС ГМВП1 и ГМВП2.
Для параметра r4=11 вектор сомножителей имеет вид
Ац=(11, 23, 25, 43, 49, 95, 101, 103, 121). (20)
При формировании ГМВП векторы сомножителей вида (12), (16), (20) соответствуют базисной МП с полиномом hmn(x) = h1(x) степени s=6.
В качестве примера на рисунке показано устройство формирования ГМВП1 с проверочным полиномом вида (11), сформированной на основе базисной МП с hwn(x) = h1(x) = x6+x+2, параметром r2 = 5 и ЭЛС ls = 18. Устройство состоит из трех регистров сдвига, сумматоры по mod 3 в цепи обратной связи и умножители расставлены в соответствии с коэффициентами полиномов h5(x), • h19(x) и • h31(x).
с Нмп(х) = hi(x) = x6+x+2, параметром Г2 = 5 и ЭЛС ls = 18
199
Методика определения полной совокупности из 144 проверочных полиномов ГМВП заключается в следующем.
1. В качестве полинома базисной МП из табл. 2 выбирается проверочный полином hMn(x) = hi(x) , соответствующий одному из 48 примитивных полиномов поля GF(36).
2. Выбирается значение параметра r, определяющее ЭЛС формируемой ГМВП: а) r2 = 5, ЭЛС ls = 18; б) гз = 7, ЭЛС ls = 18; в) Г4 = 17, ЭЛС ls = 54.
3. Компоненты векторов сомножителей А1 вида (12), (16), (20) умножаются на индекс i проверочного полинома базисной МП. Вычисления проводятся по mod 728. Так как компоненты векторов являются показателями степени корней неприводимых полиномов, то при проведении вычислений определяются показатели степени р-сопряженных элементов для каждого корня и среди них выбирается наименьший.
3. В соответствии с полученными векторами сомножителей Аi синтезируются устройства формирования ГМВП с требуемой ЭЛС.
В качестве примера реализации методики определим проверочный полином ГМВП1 с ЭЛС ls = 18 и r=5, если в качестве базисной используется МП с проверочным полиномом h^(x) = h47(x) = x6+x5+2x3+2x2+2 (табл. 2).
Умножение по mod 728 компонент вектора сомножителей А5=(5,19,31) на индекс i=47 приводит к вектору А5,1=(235,165,1), который после вычисления показателей степени р-сопряженных элементов и выбора минимальных показателей преобразуется в финальный вектор А5,2=(107,29,1).
Проверочный полином ГМВП1 имеет вид
hr1(x) = hd(x) • ^2(x) • ^3(x) = h107(x) • h29(x) • h1(x) =
=(x6+x5+x3+x2+x+2) (x6+2x5+2x4+2x3+2x2+2x+2) (x6+x+2).
Аналогичным образом определяются проверочные полиномы ГМВП2 и ГМВП3. Результаты вычислений для нескольких примитивных полиномов h^(x) с корнями ai приведены в табл. 3.
Таблица 3
Векторы сомножителей ГМВП для различных базисных МП
Корни a Вектор А5, Вектор А7, Вектор А17,
hмп(x) Г2=5, ls=18 Г3=7, /.=18 Г4=17, ls=54
a1 5,19,31 7,11,37 17,23,23,43,49,95,101,103,121
a5 25,95,155 35,29,185 37,115,125,215,7,401,59,73,229
11 29,185,157, 77,121,23 187,31,97,395,161,197,149,5,67
- - -
47 107,29,1 49,95,121 71,67,149,239,11997,41,395,197
- - -
401 61,113,29 77,43,103 67,5,187,41,161,239,71,149,395
485 241,215,401 161,239,395 79,107,53,157,133,211,185,131,365
Таким образом, в статье разработаны алгоритм формирования троичных ГМВП с периодом N=728 и методика определения полного перечня проверочных полиномов.
Максимальная структурная скрытность троичных ГМВП с периодом N=728 в девять раз превышает скрытность МП, что определяет приоритетность их использования в помехозащищенных системах передачи информации, включая системы передачи измерительной информации космических средств, в условиях радиоэлектронного противодействия.
Также полученные результаты могут быть использованы при построении недвоичных ПСП и систем ПСП, допускающих аналитическое представление в конечных полях.
Список литературы
1. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. 2-е изд., испр. / пер. с англ. М.: Вильямс, 2003. 1104 с.
2. Ипатов В.П. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов. Принципы и приложения / пер. с англ.; под ред. В.П. Ипатова. М.: Техносфера, 2007. 488 с.
3. Golomb S.W., Gong G. Signal Design for Good Correlation for Wireless Communication, Cryptography and Radar. Cambridge: University Press, 2005. 438 p.
4. CDMA: прошлое, настоящее, будущее / под ред. Л.Е. Варакина и Ю.С. Шинакова. М.: МАС, 2003. 608 с.
5. Ипатов В.П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. М.: Радио и связь, 1992. 152 с.
6. Chung H.B., No J.S. Linear span of extended sequences and cascaded GMW sequences // IEEE Transactions on Information Theory. 1999. Vol. 45. No. 6. P. 2060-2065.
7. No Jong-Seon. Generalization of GMW sequences and No sequences // IEEE Transactions on Information Theory. 1996. Vol. 42. No. 1. P. 260-262.
8. Tsankov T., Trifonov T., Staneva L. An algorithm for synthesis of phase manipulated signals with high structural complexity // Journal Scientific & Applied Research. 2013. Vol. 4. P. 80 - 87.
9. Параллельный линейный генератор многозначных псевдослучайных последовательностей с контролем ошибок функционирования / Д.В. Самойленко, М.А. Еремеев, О.А. Финько, С.А. Диченко // Труды СПИИРАН, 2018. Вып. 4(59). С. 31 - 61.
10. Lee Wijik, Kim Ji-Youp, No J.S. New families of p-ary sequence of period (p|n-1)/2 with low maximum correlation magnitude // IEICE Transactions on Communications. 2014. Vol. E97-B. No. 1. P. 2311-2315.
11. Владимиров С.С., Когновицкий О.С. Широкополосные сигналы данных с расширением спектра прямой троичной М-последовательностью и их характеристика // Труды учебных заведений связи. 2017. Т. 3. №3. С. 28 - 36.
12. Xia Y., Chen S. A new family of p-ary sequences with low correlation constructed from decimated sequences // IEEE Transactions on Information Theory. 2012. Vol. 58. No. 9. P. 6037 - 6046.
13. Стародубцев В.Г., Бородько Д.Н., Мышко В.В. Алгоритм формирования ГМВ-последовательностей с периодом N=4095 в системах передачи телеметрической информации // Авиакосмическое приборостроение. 2018. №5. С. 3 - 15.
14. Стародубцев В.Г., Мышко В.В., Ткаченко В.В. Аппаратная и программная реализация алгоритма формирования последовательностей Гордона - Миллса - Велча // Наукоемкие технологии в космических исследованиях Земли. 2018. Т. 10. №3. С. 13-20.
15. Стародубцев В.Г., Чернявских А.Е. Формирование троичных последовательностей Гордона - Миллса - Велча на основе регистров сдвига // Известия вузов. Приборостроение. 2016. Т. 59. №3. С. 201 - 210.
16. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки / пер. с англ.; под ред. Р.Л. Добрушина и С.И. Самойленко. М.: Мир, 1976. 594 с.
Стародубцев Виктор Геннадьевич, канд. техн. наук, доцент, старший преподаватель, vgstarod@,mail. ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф. Можайского,
Ткаченко Владимир Викторович, канд. техн. наук, старший преподаватель, vik_hohol@,mail. ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф. Можайского,
Малышева Елизавета Алексеевна, слушатель, m_ea98@mail.ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф. Можайского
FORMATION OF TERNARY GMW SEQUENCES WITH A PERIOD OF N = 728 IN TRANSFER SYSTEMS OF MEASURING INFORMATION
V.G. Starodubtsev, V.V. Tkachenko, E.A. Malysheva
An algorithm for the formation of ternary GMW sequences with a period of N = 728, based on the matrix form of representation of the basic M-sequence with a similar period, is considered. The check polynomial of a GMW sequence is the product of irreducible polynomials that multiply the formation device as a set of shift registers with linear feedback. It is shown that for each M-sequence three GMW sequences with different structural secrecy can be formed. A complete list of check polynomials was obtained, allowing to form 144 GMW sequences.
Key words: pseudorandom sequences, finite fields, indivisible, primitive and minimal polynomials, equivalent linear complexity, shift registers.
Starodubtsev Victor Gennadievich, candidate of technical sciences, docent, senior lecturer, vgstarod@,mail.ru, Russia, St. Petersburg, Military Space Academy named after A.F. Mozhaysky,
Tkachenko Vladimir Viktorovich, senior lecturer, vik hoholamail. ru, Russia, St. Petersburg, Military Space Academy named after A.F. Mozhaysky,
Malysheva Elizaveta Alekseevna, student, m_ea98@mail. ru, Russia, St. Petersburg, Military Space Academy named after A.F. Mozhaysky
УДК 004.045; 004.942
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПУТИ
ОБХОДА ОПОРНЫХ ТОЧЕК ПРИ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ЗОНДИРОВАНИИ ВОДНОЙ СРЕДЫ
Е.О. Савкова, В. А. Светличная, О.В. Ченгарь, Е.Н. Мащенко
Описаны особенности организации процесса мониторинга водной среды. Рассмотрена задача поиска оптимального пути исследовательского судна при горизонтальном зондировании для определения основных гидрофизических параметров водной среды. Предложен алгоритм определения массива опорных точек, определяющих локальные экстремумы функции изменения измеряемого параметра. Выполнен сравнительный анализ алгоритмов поиска оптимального маршрута: генетического алгоритма, метода ветвей и границ и муравьиного алгоритма на разных наборах опорных точек и выявлены особенности работы этих алгоритмов.
Ключевые слова: мониторинг водной среды, гидрофизический эксперимент, буксируемые зондирующие системы, локальные экстремумы, оптимальный маршрут, эвристические методы, объектная модель.
Охрана морской среды предполагает, прежде всего, оценку современного состояния параметров водной среды морей и океанов. Этот процесс требует выполнения целого ряда комплексных мероприятий, к которым следует отнести:
- проведение систематических наблюдений;
- изучение путей и параметров распространения и естественной утилизации загрязняющих веществ;
- составление прогноза динамики параметров морских вод на ближайшую и дальнюю перспективу.
Особым образом здесь выделяется мониторинг водной среды.
Традиционное понимание мониторинга морских акваторий, в том числе и экологического, в первую очередь характеризуется сроками и периодичностью проведения практических наблюдений за различными параметрами состояния водной толщи и поверхности моря, выполняемых непосредственно на море [1].
Внедрение системы мониторинга в практику морской деятельности позволяет:
