CC BY
54
УДК 519.725
DOI: 10.17586/0021-3454-2017-60-4-318-330
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ГОРДОНА—МИЛЛСА—ВЕЛЧА
С ПЕРИОДОМ N=1023
В. Г. Стародубцев, А. М. Попов
Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, 197198, Санкт-Петербург, Россия
E-mail: vgstarod@mail.ru
На основе разработанного алгоритма формирования последовательностей Гордона—Миллса—Велча (ГМВП) получены проверочные полиномы для полного перечня ГМВП с периодом N=1023. Качественным отличием от последовательностей с меньшим периодом является возможность формирования нескольких ГМВП с различной эквивалентной линейной сложностью, определяемой степенью проверочного полинома АГМВ(х), для каждой базисной М-последовательности (МП) с примитивным проверочным полиномом h^x) и с аналогичным периодом, на основе которой формируются ГМВП. Данное положение является следствием того, что в конечном поле GF(25) существует шесть примитивных полиномов, а не по два, как в полях GF(23) и GF(24). Для каждой из шести МП с периодом N=31, выступающих в качестве характеристической при матричном представлении МП с периодом N=1023, можно использовать остальные пять МП для формирования различных ГМВП. Показано, что на основе каждой базисной МП с периодом N=1023 можно построить по пять ГМВП, одна из которых будет иметь проверочный полином восьмидесятой степени, две — полиномы сороковой и две — двадцатой степени.
Ключевые слова: последовательности с составным периодом, конечные поля, неприводимые и примитивные полиномы, эквивалентная линейная сложность
Псевдослучайные последовательности (ПСП) с хорошими авто- и взаимокорреляционными свойствами получили широкое распространение как в системах связи и управления [1—5], так и в системах навигации [6, 7]. К ним относятся МП, последовательности Голда, малого и большого множеств Касами, последовательности Баркера, Уолша, ГМВП [8—11].
В современных системах связи, к которым предъявляются жесткие требования по конфиденциальности, большое значение приобретает такая характеристика ПСП, как структурная скрытность, которая численно характеризуется эквивалентной линейной сложностью (ЭЛС) [12, 13].
ЭЛС псевдослучайной последовательности ПСП численно равна длине регистра сдвига с линейными обратными связями (РС ЛОС), генерирующего данную последовательность, и соответственно степени проверочного полинома, по которому строится этот регистр сдвига.
Среди перечисленных последовательностей наибольшей структурной скрытностью (при одинаковом периоде) обладают ГМВП [14—17], что особенно наглядно проявляется при увеличении периода ПСП. Значения ЭЛС (степеней проверочных полиномов) перечисленных ПСП с хорошими периодическими корреляционными свойствами приведены в табл. 1.
_Таблица 1
ЭЛС последовательностей
Период ПСП МП Голда Малого множества Касами Большого множества Касами ГМВП
31 5 10 — — —
63 6 12 9 15 12
127 7 14 — — —
255 8 16 12 20 32
511 9 18 — — 27
1023 10 20 15 25 20, 40, 80
2047 11 22 — — —
4095 12 24 18 30 192
Настоящая статья продолжает цикл публикаций, посвященных разработке алгоритмов синтеза ГМВП и анализу их структурных свойств [17—20]. В этих работах на основе представленных алгоритмов формирования последовательностей и определения начальных состояний регистров сдвига получены перечни проверочных полиномов для двоичных ГМВ-последовательностей с периодами N=63, 255 и для троичных с периодом N=80. Основой представленных алгоритмов является то, что корни полиномов кс1(х) — сомножителей проверочного полинома ^ГМВ(х) — являются степенями корней проверочного полинома ЬМП(х) базисной М-последовательности, с помощью которой формируется ГМВ-последовательность.
Целью статьи является определение перечня проверочных полиномов двоичных ГМВП с периодом N=1023 и нахождение ЭЛС этих последовательностей.
Двоичные ГМВП формируются над конечными полями с двойным расширением вида GF[(2m)n], вследствие чего их период является составным числом, т.е. N = 2mn - 1, где m и n — натуральные числа.
Символы di ГМВП с периодом N = 2m-1 определяются выражением [12, 17]:
= trm1[(trmn,m («' ))" ] , 1 * Г < 2m - 1, (r, 2m - 1) = 1, (1)
где 1хти, т(-) — след элемента из поля с двойным расширением ОБ[(2т)п] в расширенном поле ОБ(2т); 1хт1(-) — след элемента из расширенного поля ОБ(2т) в простом поле ОБ(2); а е ОБ[(2т)п] — примитивный элемент поля с двойным расширением; г — взаимно простое число с порядком мультипликативной группы расширенного поля ОБ(2т), равным 2т - 1. ЭЛС двоичных ГМВП определяется выражением [14, 15, 17]:
= тпё (г), (2)
где g(г) — число единиц в двоичном представлении г в (1).
Перечень проверочных полиномов ГМВП с периодом N=1023 определяется в поле с двойным расширением ОБ[(2т)п] = ОБ[(25)2].
Количество различных ГМВП (не считая МП) определяется как произведение числа примитивных полиномов в расширенном поле ОБ(25) и числа примитивных полиномов в по-
52
ле с двойным расширением ОБ[(2 ) ] [14]:
Мг =
^Ф(2m -1) ^Ф(2mn -1)
--1
m
mn
= ((ф(31) / 5) - 1)(ф(1023) /10) = 300, (3)
где ф(а) — функция Эйлера, равная числу чисел, взаимно простых с числом а, в ряду от 1 до (а - 1).
В качестве базисной, необходимой для формирования ГМВП, берется МП с периодом
10 3
N=1023 и проверочным полиномом ИМП(х) = х + х + 1, корнями которого являются элемент а и его р-сопряженные элементы.
Предварительное формирование МП проводится для произвольного начального состояния, например, 0000000001. Затем согласно методике, изложенной в [19], определяется начало МП в соответствии с выражением йг=Хг10>1( аг), г = 0, 1, ..., 1022, т.е. находятся символы й0, й\_, й2, ..., необходимые для вычисления начального состояния регистров сдвига. Полученная МП с начальным состоянием 0000000100 записывается в виде матрицы размерности [УхЗ] = [31x33]:
^МП -
000000010000001001000100000110010 011010000100101010000111101011101 011011011000000001100000110110011 000010101101011100011011111100010 001111001111011011010000000101000 010110101010001111101111001001011 000001001100100010100011011011100 000011110001110111111100100001100 010110111010000110101011001111001 011011001000001000100100110000001 011000101001110110011100010111111 010100010111011010110000110011011 010100000111010011110100110101001 001110000011111001110011011110100 010101011011111000010011101000111 010111110110100100001000010100101 011000111001111111011000010001101 • (4)
001110010011110000110111011000110 001111011111010010010100000011010 001100101110100101101000100010110 011010010100100011000011101101111 000001011100101011100111011101110 011001110101011101111011001010001 001101100010000111001011111001010 011001100101010100111111001100011 010111100110101101001100010010111 000010111101010101011111111010000 010101001011110001010111101110101 001101110010001110001111111111000 000011100001111110111000100111110 001100111110101100101100100100100
Каждый столбец матрицы ,РМП (кроме нулевого) соответствует одному из циклических сдвигов „короткой" МП, называемой характеристической последовательностью (ХП) с периодом J=31 и проверочным полиномом И2(х) = х5 + х4 + х3 + х2 + 1, корнями которого в соответствии с таблицей неприводимых полиномов над полем ОБ(25) (табл. 2) [21] являются эле-
мент а и егор-сопряженные элементы (период корней 31).
Таблица 2
№ пп Полиномы к(х) Корни полиномов (показатели степеней)
1 Н1(х) = х5 + х2 + 1 1 2 4 8 16 а , а , а , а , а
2 к2(х) = х5 + х4 + х3 + х2 + 1 3 6 12 24 17 а , а , а , а , а
3 к3(х) = х5 + х4 + х2 + х + 1 5, 10, 20, 9, 18
4 Н4(х) = х5 + х3 + х2 + х + 1 7, 14, 28, 25, 19
5 к5(х) = х5 + х4 + х3 + х + 1 11, 22, 13, 26, 21
6 Н6(х) = х5 + х3 + 1 15, 30, 29, 27, 23
Последовательность циклических сдвигов образует правило формирования (ПФ) МП с периодом #=1023 в виде вектора из £ = 33 компонентов:
/мп = {- 0 8 3 24 13 14 6 25 10 3 2 5 2 20 14 27 11 28 2 14 16 12 12 18 1 12 19 17 27 5 9 0}, (5) где „-" обозначает нулевую последовательность (НП).
На основе полученного ПФ можно синтезировать ГМВП. С этой целью в качестве ХП необходимо выбрать другие МП с периодом J = 31. Для этого периода существует еще пять МП с проверочными полиномами И1(х), И3(х)—И6(х) из табл. 2. В качестве номера ХП будем использовать номер проверочного полинома.
Для получения других ХП необходимо выполнить децимацию символов ХП2 по индексам децимации ¡¿1 = 3, ¡¿2 = 5, ¡¿3 = 7, ¡¿4 = 11, ¡¿5 = 15. Это удобно сделать для нулевого сдвига ХП2, соответствующего первому ненулевому столбцу в матрице (3), получив при этом нулевые сдвиги ХП1, ХП3—ХП6.
з
Корнем проверочного полинома ХП2 является элемент а , тогда при индексе децимации ¡¿1 = 3 корнем проверочного полинома новой последовательности будет элемент
3 3 9 5 4 2
(а ) = а, а проверочным полиномом И3(х) = х + х + х + х + 1, соответствующий ХП3.
При индексе децимации ¡¿2 = 5 получаем ХП6 с проверочным полиномом И6(х), одним из
3 5 15
корней которого является элемент (а ) = а . При ¡¿3 = 7 получаем ХП5 с И5(х), одним из
3 7 21
корней которого является элемент (а ) = а . При ¡¿4 = 11 получаем ХП1 с И1(х), одним из корней которого является (а3)11 = а33т0|Ш = а2. При ¡¿5 = 15 получаем ХП4 с к4(х), одним из
, 3\ 15 45шо(131 14
корней которого является (а ) = а = а .
Рассмотренные индексы децимации определяют параметр г в выражении (1), тогда в соответствии с (2) можно найти ЭЛС формируемых ГМВП, с учетом того, что g(r=3) = 2, ё(г=5) = 2, g(r=7) = 3, g(r=11) = 3, ^(г=15) = 4:
¡3 = 20, /,5 = 20, \л = 40, /,11 = 40, 1Л5 = 80. (6)
Таким образом, ЭЛС синтезируемых ГМВП с периодом N=1023 зависит от индекса децимации для ХП и принимает значения 20, 40 и 80.
ГМВП представляются в виде матрицы, аналогичной (3), при подстановке сдвигов ХП1, ХП3—ХП6 в соответствии с правилом формирования (4). Ниже приведены матричные формы записи ГМВП Бг3 и Бг5 для индексов ¡¿1 = 3, ¡¿2 = 5:
г 3
000100100111111110111100100111100"
001110010010001011100000100111000
000010001000101000100111101100110
011001011100101000000000000110101
010010110000001111001000110001011
011010001101010010110011011101001
001111001011011001110100010000010
000110101111010110011011001011010
010111001110100011100000100001101
010000111000100111101111011101101
000011010001111010110011011011100
011101111011010110111100100001001
011100100010000100101000010110011
011000000101111010010100110001111
010110010111110001110100010110111
010100011111011001010011111010001
001101000011110001010011111100100
011111110011111110011011001101111
000101111110101100101000010000110
001010110101110101011100000000100
001100011010100011000111001011110
011011010100000000100111101010011
001011101100100111001000110111110
001000111101011101111011101100010
010101000110001011000111001101011
001001100100001111101111011011000
010001100001110101111011101010111
000111110110000100001111111100000
010011101001011101011100000110001
011110101010101100001111111010101
000001011001010010010100110111010
(7)
Рг5 =
001100010110001010100011001011000 011011000000100011100000100001111 011010111100100100101011011100111 010001011101011001010000010000011 011110100111010111011111011001001 011101001011010011110011011011011 000101100111110100111111111000110 000111110111110111011000000111100 010100111010101101101111101000101 011001010000100000000111011110101 001001110001111110011100110011110 011100110111010100111000100110011 001110000110001001000100110100010 001000001101111001010111001110110 010111010110101001000011101010111 000001111100000111001011111101000 001011100001111101111011001100100 001111111010001110001111001001010 000011101100000100101100000010010 011000101100100111001100100011101 000010010000000011100111111111010 010011001101011010110111101111001 001101101010001101101000110110000 010000100001011110011011101101011 010101000110101010100100010101101 010010110001011101111100010010001 000110001011110000010011111010100 011111011011010000010100100100001 010110101010101110001000010111111 001010011101111010110000110001100 000100011011110011110100000101110
(8)
Игъ(х) = х20 + х19 + х" + х"6 + хи + х11 + х9 + х7 + х3 + х + 1; кт5(х) = х20 + х18 + х17 + х13 + х6 + х5 + х3 + х + 1.
Проверочные полиномы полученных ГМВП определяются с помощью итеративного алгоритма Берлекемпа—Месси
................ 73 (9)
(10)
Более компактна запись коэффициентов полиномов в двоичном или двоично-восьмеричном коде [21]:
Иг3 = 1110100011010100010112 = 72152138, (11)
Иг5 = 1011000100000011010112 = 54201538. (12)
Полиномы (9) и (10) являются произведением неприводимых над полем ОБ(2) полиномов степени 10 (табл. 3).
Таблица 3
№ Корень а" Код полинома Полином Корень сопряженного полинома Период корней Корни полинома (показатели степеней)
1 а1 2011Е 10000001001 511 1023 а1, а2, а4, а8, а16, 32, 64, 128, 256, 512
2 а3 2017В 10000001111 255 341 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 513
3 а5 2415Е 10100001101 383 1023 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 257, 514
4 7 377Ш 11111111001 127 1023 7, 14, 28, 56, 112, 224, 448, 896, 769, 515
5 9 2257В 10010101111 447 341 9, 18, 36, 72, 144, 288, 576, 129, 258, 516
6 11 2065А 10000110101 253 93 11, 22, 44, 88, 176, 352, 704, 385, 770, 517
7 13 2157Б 10001101111 191 1023 13, 26, 52, 104, 208, 416, 832, 641, 259, 518
8 15 2653В 10110101011 63 341 15, 30, 60, 120, 240, 480, 960, 897, 771, 519
9 17 3515в 11101001101 479 1023 17, 34, 68, 136, 272, 544, 65, 130, 260, 520
10 19 2773Б 10111111011 251 1023 19, 38, 76, 152, 304, 608, 193, 386, 772, 521
Продолжение таблицы 3
№ Корень г а Код полинома Полином Корень сопряженного полинома Период корней Корни полинома (показатели степеней)
11 21 3753Б 11111101011 351 341 21, 42, 84, 168, 336, 672, 321, 642, 261, 522
12 23 2033Б 10000011011 125 1023 23, 46, 92, 184, 368, 736, 449, 898, 773, 523
13 25 2443Б 10100100011 223 1023 25, 50, 100, 200, 400, 800, 577, 131, 262, 524
14 27 3573Б 11101111011 159 341 27, 54, 108, 216, 432, 864, 705, 387, 774, 525
15 29 2461Е 10100110001 95 1023 29, 58, 116, 232, 464, 928, 833, 643, 263, 526
16 31 3043Б 11000100011 31 33 31, 62, 124, 248, 496, 992, 961, 899, 775, 527
17 33 0075С 111101 495 31 33, 66, 132, 264, 528
18 35 3023Н 11000010011 247 1023 35, 70, 140, 280, 560, 97, 194, 388, 776, 529
19 37 3543Б 11101100011 379 1023 37, 74, 148, 296, 592, 161, 322, 644, 265, 530
20 39 2107В 10001000111 123 341 39, 78, 156, 312, 624, 225, 450, 900, 777, 531
21 41 2745Е 10111100101 367 1023 41, 82, 164, 328, 656, 289, 578, 133, 266, 532
22 43 2431Е 10100011001 245 1023 43, 86, 172, 344, 688, 353, 706, 389, 778, 533
23 45 3061С 11000110001 189 341 45, 90, 180, 360, 720, 417, 834, 645, 267, 534
24 47 3177Н 11001111111 61 1023 47, 94, 188, 376, 752, 481, 962, 901, 779, 535
25 49 3525в 11101010101 239 1023 49, 98, 196, 392, 784, 545, 67, 134, 268, 536
26 51 2547В 10101100111 207 341 51, 102, 204, 408, 816, 609, 195, 390, 780, 537
27 53 2617Б 10110001111 175 1023 53, 106, 212, 424, 848, 673, 323, 646, 269, 538
28 55 3453Б 11100101011 121 93 55, 110, 220, 440, 880, 737, 451, 902, 781, 539
29 57 3121С 11001010001 111 341 57, 114, 228, 456, 912, 801, 579, 135, 270, 540
30 59 347Ю 11100111001 79 1023 59, 118, 236, 472, 944, 865, 707, 391, 782, 541
31 61 3763 11111110011 47 1023 61, 122, 244, 488, 976, 929, 835, 647, 271, 542
32 63 3255 11010101101 15 341 63, 126, 252, 504, 1008, 993, 963, 903, 783, 543
33 69 2701А 10111000001 375 341 69, 138, 276, 552, 81, 162, 324, 648, 273, 546
34 71 3323Н 11011010011 119 1023 71, 142, 284, 568, 113, 226, 452, 904, 785, 547
35 73 3507Н 11101000111 439 1023 73, 146, 292, 584, 145, 290, 580, 137, 274, 548
36 75 2437В 10100011111 237 341 75, 150, 300, 600, 177, 354, 708, 393, 786, 549
37 77 2413В 10100001011 187 93 77, 154, 308, 616, 209, 418, 836, 649, 275, 550
38 79 2347 10011100111 59 1023 79, 158, 316, 632, 241, 482, 964, 905, 787, 551
39 83 3623Н 11110010011 235 1023 83, 166, 332, 664, 305, 610, 197, 394, 788, 553
40 85 2707Е 10111000111 343 1023 85, 170, 340, 680, 337, 674, 325, 650, 277, 554
41 87 2311А 10011001001 117 341 87, 174, 348, 696, 369, 738, 453, 906, 789, 555
42 89 2327Б 10011010111 221 1023 89, 178, 356, 712, 401, 802, 581, 139, 278, 556
43 91 3265в 11010110101 157 1023 91, 182, 364, 728, 433, 866, 709, 395, 790, 557
44 93 3777Б 11111111111 93 11 93, 186, 372, 744, 465, 930, 837, 651, 279, 558
45 95 2145 10001100101 29 1023 95, 190, 380, 760, 497, 994, 965, 907, 791, 559
46 99 0067 110111 231 31 99, 198, 396, 792, 561, 99, 198, 396, 792, 561
47 101 2055Е 10000101101 215 1023 101, 202, 404, 808, 593, 163, 326, 652, 281, 562
48 103 3575в 11101111101 115 1023 103, 206, 412, 824, 625, 227, 454, 908, 793, 563
49 105 3607С 11110000111 183 341 105, 210, 420, 840, 657, 291, 582, 141, 282, 564
50 107 317Ю 11001111001 167 1023 107, 214, 428, 856, 689, 355, 710, 397, 794, 565
51 109 2047Б 10000100111 151 1023 109, 218, 436, 872, 721, 419, 838, 653, 283, 566
52 111 2123 10001010011 57 341 111,222, 444, 888, 753, 483, 966, 909, 795, 567
53 115 2767 10111110111 103 1023 115, 230, 460, 920, 817, 611, 199, 398, 796, 569
Продолжение таблицы 3
№ Корень г а Код полинома Полином Корень сопряженного полинома Период корней Корни полинома (показатели степеней)
54 117 2231 10010011001 87 341 117, 234, 468, 936, 849, 675, 327, 654, 285, 570
55 119 3133 11001011011 71 1023 119, 238, 476, 952, 881, 739, 455, 910, 797, 571
56 121 3247 11010100111 55 93 121, 242, 484, 968, 913, 803, 583, 143, 286, 572
57 123 3421 11100010001 39 341 123, 246, 492, 984, 945, 867, 711, 399, 798, 573
58 125 3301 11011000001 23 1023 125, 250, 500, 1000, 977, 931, 839, 655,287,574
59 127 2377 10011111111 7 1023 127, 254, 508, 1016, 1009, 995, 967,911,799,575
60 147 2355А 10011101101 219 341 147, 294, 588, 153, 306, 612, 201, 402, 804, 585
61 149 3025в 11000010101 347 1023 149, 298, 596, 169, 338, 676, 329, 658, 293, 586
62 151 3441 11100100001 109 1023 151, 302, 604, 185, 370, 740, 457, 914, 805, 587
63 155 2251А 10010101001 155 33 155, 310, 620, 217, 434, 868, 713, 403, 806, 589
64 157 2553 10101101011 91 1023 157, 314, 628, 233, 466, 932, 841, 659, 295, 590
65 159 3367 11011110111 27 341 159, 318, 636, 249, 498, 996, 969, 915, 807, 591
66 165 0051 101001 363 31 165, 330, 660, 297, 594
67 167 2363 10011110011 107 1023 167, 334, 668, 313, 626, 229, 458, 916, 809, 595
68 171 3315С 11011001101 213 341 171, 342, 684, 345, 690, 357, 714, 405, 810, 597
69 173 3337Н 11011011111 181 1023 173, 346, 692, 361, 722, 421, 842, 661, 299, 598
70 175 3615 11110001101 53 1023 175, 350, 700, 377, 754, 485, 970, 917, 811, 599
71 179 321Ю 11010001001 205 1023 179, 358, 716, 409, 818, 613, 203, 406, 812, 601
72 181 3733 11111011011 173 1023 181, 362, 724, 425, 850, 677, 331, 662, 301, 602
73 183 3417 11100001111 105 341 183, 366, 732, 441, 882, 741, 459, 918, 813, 603
74 187 3205 11010000101 77 93 187, 374, 748, 473, 946, 869, 715, 407, 814, 605
75 189 2143 10001100011 45 341 189, 378, 756, 489, 978, 933, 843, 663, 303, 606
76 191 3661 11110110001 13 1023 191, 382, 764, 505, 1010, 997, 971,919,815,607
77 205 2213 10010001011 179 1023 205, 410, 820, 617, 211, 422, 844, 665, 307, 614
78 207 3465 11100110101 51 341 207, 414, 828, 633, 243, 486, 972, 921, 819, 615
79 213 2633 10110011011 171 341 213, 426, 852, 681, 339, 678, 333, 666, 309, 618
80 215 2641 10110100001 101 1023 215, 430, 860, 697, 371, 742, 461, 922, 821, 619
81 219 2671 10110111001 147 341 219, 438, 876, 729, 435, 870, 717, 411, 822, 621
82 221 3531 11101011001 89 1023 221, 442, 884, 745, 467, 934, 845, 667, 311, 622
83 223 3045 11000100101 25 1023 223, 446, 892, 761, 499, 998, 973, 923, 823, 623
84 231 73 111011 99 31 231, 462, 924, 825, 627
85 235 3117 11001001111 83 1023 235, 470, 940, 857, 691, 359, 718, 413, 826, 629
86 237 3705 11111000101 75 341 237, 474, 948, 873, 723, 423, 846, 669, 315, 630
87 239 2527 10101010111 49 1023 239, 478, 956, 889, 755, 487, 974, 925, 827, 631
88 245 2305 10011000101 43 1023 245, 490, 980, 937, 851, 679, 335, 670, 317, 634
89 247 3103 11001000011 35 1023 247, 494, 988, 953, 883, 743, 463, 926, 829, 635
90 251 3375 11011111101 19 1023 251, 502, 1004, 985, 947, 871, 719, 415,830,637
91 253 2541 10101100001 11 93 253, 506, 1012, 1001, 979, 935,847,671,319,638
92 255 3601 11110000001 3 341 255,510,1020,1017,1011, 999, 975,927,831,639
93 341 0007 111 341 3 341, 682
94 343 3435 11100011101 85 1023 343, 686, 349, 698, 373, 746, 469, 938, 853, 683
95 347 2503 10101000011 149 1023 347, 694, 365, 730, 437, 874, 725, 427, 854, 685
96 351 3277 11010111111 21 341 351, 702, 381, 762, 501, 1002, 981, 939,855,687
Продолжение таблицы 3
№ Корень г а Код полинома Полином Корень сопряженного полинома Период корней Корни полинома (показатели степеней)
97 363 45 100101 165 31 363, 726, 429, 858, 693, 726, 429, 858, 693
98 367 2475 10100111101 41 1023 367, 734, 445, 890, 757, 491, 982, 941, 859, 695
99 375 2035 10000011101 69 341 375, 750, 477, 954, 885, 747, 471, 942, 861, 699
100 379 3067 11000110111 37 1023 379, 758, 493, 986, 949, 875, 727, 431, 862, 701
101 383 2605 10110000101 5 1023 383, 766, 509, 1018,1013,1003,983,943,863,703
102 439 3427 11100010111 73 1023 439, 878, 733, 443, 886, 749, 475, 950, 877, 731
103 447 3651 11110101001 9 341 447, 894, 765, 507, 1014,1005,987,951,879,735
104 479 2627 10110010111 17 1023 479, 958, 893, 763, 503, 1006,989,955,887,751
105 495 57 101111 33 31 495, 990, 957, 891, 759
106 511 2201 10010000001 1 1023 511,1022,1021,1019,1015,1007,991,959,895,767
Полиномы ^гз(х) и Ит5(х) вида (9), (10) представляются произведением двух полиномов-сомножителей Исг(х) десятой степени (см. табл. 3):
Иг3(х) =Ас1(х) Ис2(х) =й2(х) И9(х) = (х10+х3+х2+х+1) (х10+х9+х8+х6+х3+х2+1), (13)
Иг5(х) =Ас1(х) Ис2(х) =А3(х) й5(х) = (х10+х8+х3+х2+1) (х10+х7+х5+х3+х2+х+1). (14)
Проанализируем полином йг3(х). Для поля ОБ(210) корни полинома к2(х) являются 3-ми
10 3
степенями корней полинома ^мп(х) = х +х +1 базисной МП, а корни И3(х) — 17-ми степенями его корней.
Алгоритм формирования полного перечня проверочных полиномов ГМВП основан на свойстве повторяемости соотношений между корнями проверочного полинома ^МП(х) базисной МП и корнями полиномов-сомножителей йсг(х) проверочного полинома кг(х) [18].
В соответствии с (3) в поле ОБ(210) существует шестьдесят различных примитивных полиномов, которые могут выступать в качестве проверочных для базисных МП. Таким образом, для г^х = 3 можно получить шестьдесят ГМВП с проверочными полиномами двадцатой степени, корни двух сомножителей которых являются 3-ми и 17-ми степенями корней полинома базисной МП.
В качестве примера сформируем проверочный полином ГМВП, основанной на МП с
10 9 7 3
ЬМП(х) = И71(х) = х +х +х +х +1, корнем которого (с минимальной степенью) является элемент
179
а (см. табл. 3).
Полиномы-сомножители для Иг(х) = кс1(х) Ис2(х) определяются следующим образом. Ис-
179
ходный полином ИМП(х) имеет корень а . Тогда одним из корней Ис1(х) должен быть элемент
179 3 537 10 8 6 5 2
(а ) = а , что соответствует полиному Ис1(х) = И26(х) = х +х +х +х +х +х+1 с минимальным
51
корнем а .
Полином Ис2(х) должен иметь корень (а179)17 = а3043 шой 1023 = а997, что соответствует полиному кс2(х) = к76(х) = х10+х9+х8+х7+х5+х4+1 с корнем а191. Искомый проверочный полином для ГМВП
Мх) = И26(х)И76(х) = (х10+х8+х6+х5+х2+х+1)(х10+х9+х8+х7+х5+х4+1). (15)
При анализе полинома Иг5(х) необходимо учитывать, что корни Лс1(х)=Л3(х) являются
10 3
5-ми степенями корней ИМП(х) = х +х +1 базисной МП, а корни Ис2(х) =И5(х) — 9-ми степенями его корней. Таким образом, при индексе децимации ХП ¡¿2 = 5 также можно сформировать 60 ГМВП с ЭЛС /,=20.
Результаты вычислений для остальных примитивных полиномов поля ОБ(210) при индексах децимации ¡¿1 = 3 и !а2 = 5 представлены в табл. 4.
Для получения ГМВП с ЭЛС ¡¡¡-=40 необходимо выполнить децимацию ХП по индексам ¡¿3 = 7 и ¡¿4 = 11. Не приводя матричную форму записи ГМВП, представим только полученные проверочные полиномы 40-й степени в компактной записи (по убыванию степени):
лг7=110011011101001011100111010000110011101012=315645635031658, (16) лг11=101110110110010111011110001111010001100112=315645635031658. (17) Полиномы ^г7(х), Аг11(х) вида (16), (17) представляются произведением четырех полиномов-сомножителей ¿сг(х) десятой степени (см. табл. 3)
кг7(х) = Ис1(х).Ис4(х) = И4(х)И10(х)И13(х) И33(х) = (х10+х9+х8+х7+х6+х5+х4 +х3+1)х
х(х10+х8+х7+х6+х5+х4+х3+х+1)(х10+х8+х5+х+1)(х10+х8+х7+х6+1), (18)
кг11(х) = Ис1(х).Ис4(х) = И6(х)И7(х)И11(х) И35(х) = (х10+х5+х4+х2+1)х х(х10+х6+х5+х3+х2+х+1)(х10+х9+х8+х7+х6+х5+х3+х+1)(х10+х9+х8+х6+х2+х+1). (19) Анализ полинома Иг7(х) показал, что корни Ис1(х) = И4(х), Ис2(х) = А10(х), Ис3(х) = И13(х) и Ис4(х) = И33(х) являются соответственно 7, 19, 25 и 69-ми степенями корней полинома
10 3
ИМП(х) = х +х +1 базисной МП.
Для полинома Аг11(х) корни полиномов-сомножителей кс1(х) = И6(х), Ис2(х) = И7(х), кс3(х) = Ап(х), Ис4(х) = И35(х) являются соответственно 11, 13, 21 и 73-ми степенями корней по-
10 3
линома ИМП(х) = х +х +1 базисной МП.
Всего можно получить 120 ГМВП с периодом #=1023 и проверочными полиномами 40-й степени. Результаты вычислений для остальных полиномов поля ОБ(210) при ¡¿3 = 7 и ¡¿4 = 11 приведены в табл. 4.
Для получения ГМВП с ЭЛС 4=80 необходимо выполнить децимацию ХП по индексу ¡¿5 = 15. Не приводя матричную форму записи ГМВП, представим компактную запись проверочного полинома 80-й степени:
¿г15=111001111111110100101111000000100001111000000000010001100010000
1100101001110110012=7177645700417000214206247318. (20)
Полином ^г15(х) вида (20) представляется произведением восьми полиномов-сомножителей Ис(х) десятой степени (см. табл. 3):
Йг15(х) = Йс1(х)...Ас8(х) = ^8(х)М2(х)М4(х) Мз(х) Из7(х)И4ц(х)И42(х) ¿60^) = = (х10+х8+х7+х5+х3+х+1)(х10+х4+х3+х+ 1)(х10+х9+х8+х6+х5+х4+х3+х+1)х х(х10+х8+х5+х4+1)(х10+х8+х3+х+1)(х10+х8+х7+х6+х2+х+1)х
х (х10+х7+х6+х4+х2+х+1)(х10+х7+х6+х5+х3+х2+1). (21)
Анализ Аг15(х) показал, что корни полиномов Ас1(х) = й8(х), Ис2(х) = А12(х), Ис3(х) = А14(х), Ис4(х) = й15(х), Ис5(х) = й37(х), Ис6(х) = ¿40(х), Ис7(х) = И42(х) и Ис8(х) = И60(х) являются соответст-
10 3
венно 15, 23, 27, 29, 77, 85, 89 и 147-ми степенями корней полинома ИМП(х) = х +х +1 базисной МП.
Всего можно получить 60 ГМВП с периодом N=1023 и проверочными полиномами 80-й степени. Результаты вычислений для остальных полиномов поля &Р(210) при индексе децимации ¡¿5 = 15 приведены в табл. 4.
_Таблица 4
№ Корни ^мп(Х) ¡¿1=3, ¡=20 ¡¿2=5, ¡=20 ¡¿3=7, ¡.=40 ¡¿4=11, ¡.=40 ¡¿5=15, ¡.=80
ЬсЪ а3 ЬсЪ а17 ЬсЪ а5 ЬсЪ а9 а7 ЬсЪ а19 ЬсЪ- а25 Ис4\ а69 ¿сЬ а11 ЬсЪ а13 ¿сз: а21 Ис4: а73 ¿сь а15 ¿с2: а23 ¿сз: а27 Ис4: а29 ¿сз: а77 ¿се: а85 ¿с7: а89 ¿св: а147
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
1 а1 а3 а17 а1 а9 а7 а19 а25 а69 а11 а13 а21 а73 а15 а23 а27 а29 а77 а85 а89 а147
2 а5 а15 а85 а25 а45 а35 а95 125 171 55 17 105 347 75 115 57 73 11 181 367 447
3 а7 21 119 35 63 49 41 175 111 77 91 147 511 105 37 189 179 55 167 223 3
4 13 39 221 17 117 91 247 85 15 121 149 69 379 51 173 351 175 253 41 49 111
5 17 51 41 85 147 119 53 181 75 187 221 171 109 255 59 183 379 121 205 245 87
6 19 57 53 95 171 41 173 439 9 77 247 123 91 117 347 3 79 55 37 167 375
Продолжение таблицы 4
№ Корни Лмп(Х) ¿¿1=3, 1=20 ¿¿2=5, 4=20 ¿¿3=7, 4=40 ¿¿4=11, 4=40 ¿¿5=15, 4=80
а3 ЬсЪ а17 ЬсЪ а5 ЬсЪ а9 а7 ЬсЪ а19 ЬсЪ: а25 кС4: а69 ЛсЬ а11 ЬсЪ а13 ЬсЪ: а21 а73 ¿сЬ а15 ЬсЪ а23 ЬсЪ: а27 Ис4: а29 ¿сз: а77 а85 а89 а147
7 23 69 59 115 207 37 347 127 105 253 173 111 41 171 35 219 221 187 157 1 39
8 25 75 181 125 39 175 439 103 351 77 85 27 89 375 127 117 347 55 79 179 189
9 29 87 379 73 21 179 79 347 189 253 175 51 71 219 221 63 157 187 109 47 171
10 35 105 167 175 237 245 205 379 87 11 119 447 383 27 151 123 511 77 61 23 15
11 37 111 235 151 213 13 383 239 447 187 47 39 125 87 245 255 25 121 19 7 69
12 41 123 215 205 87 125 47 1 63 55 43 375 251 207 383 21 83 11 13 73 57
13 43 9 439 215 27 181 115 13 207 187 95 63 35 45 479 69 7 121 149 379 183
14 47 105 127 235 237 149 479 19 87 11 115 447 181 27 29 123 85 77 247 91 15
15 49 147 29 245 183 343 125 101 39 55 251 3 127 447 13 75 115 11 73 53 21
16 53 159 47 37 375 215 511 151 147 121 107 45 25 111 49 51 5 253 235 103 237
17 59 75 383 157 39 235 49 71 351 77 511 27 215 375 167 117 43 55 223 17 189
18 61 183 7 83 75 347 17 251 117 253 103 9 173 159 95 39 343 187 35 157 63
19 71 213 23 107 255 95 101 47 159 55 223 117 17 21 83 447 13 11 115 181 207
20 73 219 109 347 105 511 91 89 123 121 379 255 107 9 41 237 71 253 49 235 351
21 79 237 5 91 123 83 239 119 21 187 1 159 101 69 107 87 245 121 25 479 45
22 83 159 35 251 375 89 85 29 147 121 7 45 59 111 439 51 173 253 175 71 237
23 85 255 205 181 447 167 37 79 375 253 41 351 49 63 157 159 109 187 1 101 219
24 89 45 245 367 57 223 167 179 3 253 49 237 235 39 1 171 47 187 101 95 159
25 91 69 25 119 207 251 43 167 105 253 5 111 191 171 47 219 101 187 125 343 39
26 95 117 37 439 351 205 59 149 45 11 53 207 119 147 89 15 91 77 151 61 213
27 101 189 347 191 111 59 7 479 255 11 73 75 53 123 85 213 247 77 89 151 27
28 103 213 91 7 255 109 221 35 159 55 79 117 179 21 53 447 367 11 119 383 207
29 107 21 115 47 63 439 191 235 111 77 23 147 85 105 251 189 17 55 127 79 3
30 109 117 251 49 351 479 25 245 45 11 83 207 115 147 215 15 23 77 29 247 213
31 115 171 157 127 3 151 89 247 27 121 59 87 205 351 175 9 41 253 71 5 51
32 119 171 125 167 3 29 215 61 27 121 25 87 479 351 235 9 191 253 103 173 51
33 125 375 79 103 51 379 149 7 183 11 181 57 367 213 247 147 89 77 91 511 123
34 127 351 71 247 15 239 367 53 57 187 157 219 1 183 379 45 205 121 107 25 255
35 149 447 239 221 159 5 71 41 51 77 151 15 61 189 179 375 167 55 43 251 105
36 151 87 19 239 21 17 223 43 189 253 235 51 103 219 101 63 125 187 95 35 171
37 157 375 223 71 51 19 245 107 183 11 383 57 13 213 61 147 215 77 23 85 123
38 167 351 103 61 15 73 13 83 57 187 125 219 343 183 19 45 479 121 7 59 255
39 173 15 511 59 45 47 109 157 171 55 179 105 43 75 119 57 239 11 383 13 447
40 175 27 61 379 69 101 1 109 219 55 167 189 223 57 239 207 383 11 83 115 75
41 179 51 191 511 147 115 83 383 75 187 101 171 95 255 25 183 19 121 479 149 87
42 181 63 1 79 189 61 151 91 213 121 205 183 245 237 71 111 49 253 5 191 9
43 191 123 89 479 87 157 35 343 63 55 347 375 37 207 181 21 53 11 367 239 57
44 205 207 13 1 219 103 235 5 237 77 215 213 29 3 223 105 251 55 17 347 117
45 215 45 149 13 57 79 127 17 3 253 439 237 175 39 343 171 35 187 221 109 159
46 221 189 43 41 111 25 107 205 255 11 239 75 83 123 511 213 61 77 215 29 27
47 223 237 173 23 123 53 73 115 21 187 343 159 221 69 7 87 149 121 59 205 45
48 235 27 247 19 69 221 343 95 219 55 127 189 79 57 73 207 181 11 53 119 75
49 239 219 95 43 105 85 23 215 123 121 19 255 7 9 191 237 103 253 439 175 351
50 245 447 73 101 159 173 103 191 51 77 29 15 247 189 17 375 127 55 347 37 105
51 247 183 107 53 75 43 179 37 117 253 71 9 5 159 109 39 1 187 47 125 63
52 251 111 175 29 213 367 181 73 447 187 35 39 157 87 149 255 59 121 379 107 69
53 343 3 179 173 9 107 379 59 69 11 367 21 239 15 91 27 151 77 511 215 147
54 347 9 49 89 27 383 119 367 207 187 109 63 47 45 205 69 107 121 245 19 183
55 367 39 101 179 117 23 61 511 15 121 245 69 19 51 5 351 235 253 191 439 111
56 379 57 83 109 171 191 5 49 9 77 61 123 23 117 43 3 223 55 251 127 375
57 383 63 343 223 189 247 29 23 213 121 479 183 149 237 103 111 439 253 173 41 9
Продолжение таблицы 4
№ Корни hмп(x) ¿¿1=3, ls=20 ¿d2=5, ls=20 id3=7, ls=40 id4=11, ls=40 ¿¿5=15, ls=80
hob а3 hC2: а17 hC\: а5 hC2: а9 hc\: а7 hC2: а19 has: а25 hC4: а69 hC\: а11 hC2: а13 h,3: а21 hC4: а73 hC\: а15 hC2: а23 h,3: а27 hC4: а29 hes: а77 ^6: а85 h^: а89 h^: а147
58 439 147 151 149 183 1 157 221 39 55 37 3 167 447 367 75 119 11 239 83 21
59 479 207 367 343 219 71 175 173 237 77 89 213 151 3 79 105 37 55 179 43 117
60 511 255 479 383 447 127 251 223 375 253 191 351 439 63 125 159 95 187 343 221 219
В табл. 4 использованы следующие обозначения: во втором столбце — корни (далее показатели степени корней) примитивных полиномов h^(x) базовых МП, в которых осуществляется децимация ХП по индексам id1—id5. В столбцах приведены корни (показатели степени корней) полиномов-сомножителей hci(x) для каждого типа ГМВП, характеризующегося индексом децимации ХП и значением ЭЛС.
Например, требуется определить проверочный полином ГМВП с ЭЛС 4=40 при индексе децимации id4=ll, если в качестве базисной используется МП с полиномом, одним из корней
235
которого является элемент а .
235
В табл. 4 базисная МП с а соответствует строке 48, в столбцах ll—14 которой для id4=11 приведены корни полиномов-сомножителей с наименьшими показателями степеней:
55 127 189 79
а , а , а , а . Данным корням в табл. 3 соответствуют полиномы в двоичной записи h28=11101101011, h59=10011111111, h75=10001100011, h38=10011100111. Тогда проверочный полином ГМВП равен
10 9 8 5 3
Иг11(х) = кс1(х)...кс4(х) = h28(x)h59(x)h75(x) h38(x) = (x +x +x +x +x +x+1)x x(x10+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1)(x10+x6+x5+x+1)-(x10+x7+x6+x5+x2+x+1). (22)
В табл. 5 представлены данные, необходимые для формирования 60 ГМВП с заданной структурной скрытностью.
_Таблица 5
Индекс idi децимации ХП ЭЛС ГМВП ls Число сомножителей hGi(x) Показатели степени корней ha(x)
3 20 2 3, 17
5 20 2 5, 9
7 40 4 7, 19, 25, 69
11 40 4 11, 13, 21, 73
15 80 8 15, 23, 27, 29, 77, 85, 89, 147
Таким образом, в статье получен полный перечень проверочных полиномов ГМВП с периодом N=1023, состоящий из 120 ГМВП с ЭЛС 4=20, 120 с 4=40 и 60 с 4=80.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. ВаракинЛ. Е. Системы связи с шумоподобными сигналами. М.: Радио и связь, 1985. 384 с.
2. Ипатов В. П. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов. Принципы и приложения. М.: Техносфера, 2007. 488 с.
3. Alasmary W., Zhuang W. Mobility impact in IEEE 802.11p infrastructureless vehicular networks // Ad Hoc Netw. 2010. DOI:10.1016/j.adhoc.2010.06.006.
4. Калмыков В. В., Федоров И. Б., Юдачев С. С. Системы сотовой и спутниковой связи. М.: Рудомино, 2010. 280 с.
5. CDMA: прошлое, настоящее, будущее / Под ред. Л. Е. Варакина и Ю. С. Шинакова. М.: МАС, 2003. 608 с.
6. Levanon N., Mozeson E. Radar signals. Chichester: John Wiley& Sons, 2005. 411p.
7. Прозоров Д. Е. Быстрый поиск дальномерных кодов, сформированных на М-последовательностях //
Электросвязь. 2008. № 8. С. 48—51.
8. Ипатов В. П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. М.: Радио и связь, 1992. 152 с.
9. Golomb S. W. Two-valued sequences with perfect periodic autocorrelation // IEEE Transact. on Aerospace and Electronic Systems. 1992. Vol. 28, N 2. March. P. 383—386.
10. Golomb S. W., Gong G. Signal Design for Good Correlation for Wireless Communication, Criptography and Radar. Cambridge University Press, 2005. 438 p.
11. Lie-Liang Yang, Hanzo L. Acquisition of m-sequences using recursive soft sequential estimation // Wireless Communications and Networking. 2003. Vol. 1. P. 683—687.
12. Стельмашенко Б. Г., Тараненко П. Г. Нелинейные псевдослучайные последовательности в широкополосных системах передачи информации // Зарубежная радиоэлектроника. 1988. № 9. С. 76—82.
13. Прозоров Д. Е., Смирнов А. В., Баланов М. Ю. Алгоритм быстрой кодовой синхронизации шумоподобных сигналов, построенных на последовательностях повышенной структурной сложности // Вестн. РГРТУ (Рязань). Сер. Радиотехника, радиолокация и системы связи. 2015. № 1(51). С. 3—9.
14. Кренгель Е. И. О числе псевдослучайных последовательностей Гордона, Милза, Велча // Техника средств связи. Сер. ТРС. 1979. Вып. 3. С. 17—30.
15. Мешковский К. А., Кренгель Е. И. Генерация псевдослучайных последовательностей Гордона, Милза, Велча // Радиотехника. 1998. № 5. С. 25—28.
16. Юдачев С. С., Калмыков В. В. Ансамбли последовательностей GMW для систем с кодовым разделением каналов // Наука и образование: электронное научно-техническое издание. 2012. № 1.
17. Стародубцев В. Г. Алгоритм формирования последовательностей Гордона—Миллса—Велча // Изв. вузов. Приборостроение. 2012. Т. 55, № 7. С. 5—9.
18. Стародубцев В. Г. Проверочные полиномы последовательностей Гордона—Миллса—Велча // Изв. вузов. Приборостроение. 2013. Т. 56, № 12. С. 7—14.
19. Стародубцев В. Г. Формирование последовательностей Гордона—Миллса—Велча на основе регистров сдвига // Изв. вузов. Приборостроение. 2015. Т. 58, № 6. С. 451—457.
20. Стародубцев В. Г., Чернявских А. Е. Формирование троичных последовательностей Гордона—Миллса— Велча на основе регистров сдвига // Изв. вузов. Приборостроение. 2016. Т. 59, № 3. С. 202—210.
21. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 1976. 594 с.
Сведения об авторах
Виктор Геннадьевич Стародубцев — канд. техн. наук, доцент; ВКА им. А. Ф. Можайского, кафедра технологий и средств комплексной обработки и передачи информации в АСУ; Университет ИТМО, кафедрой беспроводных телекоммуникаций; E-mail: vgstarod@mail.ru
Антон Михайлович Попов — ВКА им. А. Ф. Можайского, кафедра технологий и средств комплекс-
ной обработки и передачи информации в АСУ; слушатель; E-mail: antony57rus@gmail.com
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
беспроводных телекоммуникаций НИУ ИТМО 14.10.16 г.
Ссылка для цитирования: Стародубцев В. Г., Попов А. М. Последовательности Гордона—Миллса—Велча с
периодом N=1023 // Изв. вузов. Приборостроение. 2017. Т. 60, № 4. С. 318—330.
GORDON—MILLS—WELCH SEQUENCES OF PERIOD N = 1023 V. G. Starodubtsev, А. М. Popov
A. F. Mozhaisky Military State Academy, 197198, St. Petersburg, Russia E-mail: vgstarod@mail.ru
А full list of testing polynomials for Gordon—Mills—Welch sequences of period N = 1023 are derived on the basis of a developed algorithm of forming data sequences. The principle dissimilarity from
sequences with a smaller period is the possibility to create several GMW-sequences with different equivalent linear complexity (ELC) determined as the degree of testing polynomial ^gmw(x) for each basic M-sequence (MS) with the primitive testing polynomial hMs(x). This is a consequence of existence of six primitive polynomials in the finite field of Gf(25), in contrast to the fields of GF(23) and GF(24) with two primitive polynomials in each. For each of the six MS of period N=31 acting as a characteristic sequence for MS matrix representation of period N=1023, it is possible to use the other five different MS to form five different GMW-sequences. It is shown that on the base of every MS with the period N=1023 it is possible to build five GMW-sequences. One of the GMW-sequences has a testing polynomial of the eightieth degree, two sequences — polynomials of fortieth degree, and two sequences — polynomials of the twentieth degree.
Keywords: sequence of composite period, finite fields, indivisible and primitive polynomials, equivalent linear complexity
Data on authors
PhD, Associate Professor; A. F. Mozhaisky Military State Academy, Department of Technologies and Means of Complex Processing and Transmission of Information in ACS; ITMO University, Department of Wireless Telecommunications; E-mail: vgstarod@mail.ru A. F. Mozhaisky Military State Academy, Department of Technologies and Means of Complex Processing and Transmission of Information in ACS; Student; E-mail: antony57rus@gmail.com
For citation: Starodubtsev V. G, Popov A. M. Gordon—Mills—Welch sequences of period N = 1023 // Journal of Instrument Engineering. 2017. Vol. 60, N 4. P. 318—330 (in Russian).
DOI: 10.17586/0021-3454-2017-60-4-318-330
Victor G. Starodubtsev
Anton M. Popov
