CC BY
41
УДК 519.725
DOI: 10.17586/0021-3454-2018-61-3-240-248
ФОРМИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ГОРДОНА — МИЛЛСА — ВЕЛЧА
С ПЕРИОДОМ N=511
В. Г. Стародубцев, В. М. Кузнецова
Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, 197198, Санкт-Петербург, Россия
E-mail: [email protected]
В соответствии с разработанным алгоритмом формирования последовательностей Гордона — Миллса — Велча (ГМВ) получены проверочные полиномы для полного перечня данных последовательностей с периодом N=511. Двоичные ГМВ-последовательности строятся на основе М-последовательностей, выступающих в качестве базисных последовательностей над конечными полями с двойным расширением вида GF[(2m)"] и могут быть представлены в виде матрицы размером [JxL]=[(2m-1)x(2m+1)]. Качественным отличием последовательностей с периодом N=511, формируемых над конечным полем GF[(23)3], является возможность их представления не в виде квазиквадратной матрицы размером [(2m-1)x(2m+1)], а в виде матрицы размером [JxL]=[7x73]. Эквивалентная линейная сложность данных последовательностей соответствует степени проверочного полинома, который может быть представлен в виде произведения трех неприводимых полиномов девятой степени. ГМВ-последовательности с периодом N=511 формируются на основе базисных М-последовательностей с аналогичным периодом. Так как в поле GF(29) существует 48 примитивных полиномов девятой степени, то полученный полный перечень также содержит 48 проверочных полиномов для ГМВ-последовательностей.
Ключевые слова: последовательности с составным периодом, конечные поля, неприводимые и примитивные полиномы, эквивалентная линейная сложность
В современных системах передачи измерительной информации космических средств широко применяются широкополосные сигналы на основе псевдослучайных последовательностей (ПСП) [1—3]. Уникальные свойства сложных сигналов обусловили их использование в системах спутниковой связи, системах навигационного обеспечения, радиолокационных системах [4—6], а также в системах связи и управления военной и специальной техникой ракетно-космической обороны.
В качестве ПСП применяются М-последовательности (МП), последовательности Гордона — Миллса — Велча (ГМВ), последовательности Голда, Касами и др. [7]. Их использование позволяет повысить как структурную скрытность передаваемых сигналов, что является важным условием при проектировании систем передачи информации с повышенными требованиями по конфиденциальности, так и достоверность полученной измерительной информации на этапе предварительной обработки. Повышение достоверности обеспечивается за счет устранения аномальных ошибок, появляющихся вследствие воздействия на передаваемый сигнал помех различного вида в канале связи.
Основной причиной применения МП c периодом N является наличие двухуровневой (N, -1/N) периодической автокорреляционной функции (ПАКФ) при достаточно простой аппаратной реализации в виде регистра сдвига с линейными обратными связями (РС ЛОС). Однако МП обладают низкой структурной скрытностью, которая численно характеризуется эквивалентной линейной сложностью (ЭЛС). ЭЛС определяется степенью проверочного полинома, задающего ПСП, и соответственно количеством символов последовательности, которые необходимо принять для определения проверочного полинома.
Решению задачи повышения ЭЛС ПСП при условии сохранения авто- и взаимно-корреляционных свойств посвящено большое количество работ [8—11]. Среди циклических последовательностей, обладающих наряду с МП двухуровневой ПАКФ, можно выделить ГМВ-последовательности (ГМВП), которые характеризуются более высокой ЭЛС и соответственно более высокой структурной скрытностью [12—15], что определяет приоритетность их применения в системах передачи информации космических средств. Широкому применению ГМВП, однако, препятствует отсутствие практически реализуемых алгоритмов их формирования, включающих определение проверочных полиномов и начальных состояний РС ЛОС, входящих в устройства генерации.
В настоящее время получены полные перечни проверочных полиномов, представляющих собой произведение нескольких неприводимых полиномов, для двоичных ГМВП с периодами N=63 [16], N=255 [17] и N=1023 [18]. Основой алгоритмов формирования этих перечней является положение о том, что корни полиномов ^сг(х) — сомножителей проверочного полинома ^ГМВ(х) — являются определенными степенями корней проверочного полинома кМП(х) базисной М-последовательности, с помощью которой формируется ГМВ-последова-тельность.
Цель настоящей статьи — определение перечня проверочных полиномов двоичных ГМВП с периодом N =511.
Напомним принцип формирования двоичных ГМВП. Двоичные ГМВП формируются над полями с двойным расширением вида ОБ[(2т)п], вследствие чего их период является составным числом, т.е. N = 2тп - 1 = 2^ - 1, где т, п — натуральные числа. Символы ^ (/=0, 1,..., N-1) ГМВП с периодом N = 2тп-1 определяются выражением [7, 13]
4 = Цт1[(Цтп,т (<*''))" ], 1 < Г < 2т-1, (г, 2т-1) = 1, (1)
где 1гтп, т(-) — след элемента из поля с двойным расширением ОБ[(2т)п] в расширенном поле ОБ(2т); 1хт1(-) — след элемента из расширенного поля ОБ(2т) в простом поле ОБ(2); а е ОБ[(2т)п] — примитивный элемент поля с двойным расширением; г — число, взаимно простое с порядком мультипликативной группы расширенного поля ОБ(2т), равное 2т - 1.
ЭЛС двоичных ГМВП определяется выражением [13]
= тп%(г), (2)
где g(г) — количество единиц в двоичном представлении числа г в выражении (1).
Перечень проверочных полиномов ГМВП с периодом N =511 определяется в поле с двойным расширением ОБ[(2т)п] = ОБ[(23)3].
Количество различных ГМВП (не считая МП) определяется как произведение числа з в расширенном поле ( ем ОБ[(23)3] [13]:
ф(2т -1) _ ^ ф(2тп -1)
примитивных полиномов в расширенном поле ОБ(23) и числа примитивных полиномов в по
3 3
ле с двойным расширением ОБ[(2 ) ] [13]:
М
ГМВ
т
■ = ((ф(7)/3) - 1)(ф(511)/9) = 48, (3)
тп
где ф(а) — функция Эйлера, равная количеству чисел, взаимно простых с числом а, в ряду от 1 до (а - 1).
При п=2 М- и ГМВ-последовательности могут быть представлены в виде матрицы размером [/х£]=[(2т-1)х(2т+1)], в которой число строк /=2т-1 равно периоду более короткой МП, называемой характеристической последовательностью (ХП), а количество столбцов Ь=2т+1 равно числу различных сдвигов ХП в правиле формирования ГМВП [13].
Качественное отличие последовательностей с периодом N=511, формируемых над конечным полем ОБ[(23)3], заключается в том, что они представляются не в виде квазиквадратной матрицы, а в виде матрицы размером [/х£]=[7х73], что определяется разложением периода N=511 на множители 7 и 73.
ъмп -
(4)
В качестве базисной МП, необходимой для формирования ГМВП, берется М-последо-вательность с периодом N =511 и проверочным полиномом ИМП(х) = х9 + х4 + 1, корнями которого являются элемент а и его р-сопряженные элементы [19].
Предварительное формирование МП осуществляется для произвольного начального состояния, например 0000000001. Затем согласно методике, изложенной в работе [17], определяется начало МП в соответствии с выражением 4=1г91(а '), * = 0, 1, ..., 510, т.е. находятся символы ^0=1, ^1=0, ^2=0, ... ^5=1,..., ^510=1, необходимые для вычисления начального состояния регистров сдвига. Полученная МП с начальным состоянием 100001000 записывается в виде матрицы размером [УхЬ] = [7x73]:
1000010001100001001110010101011000011011110100110111001000101000010101101 0011111101100100100101101111110010011010100110011000000011000110010100011 0100101111111010001011000111010110010110011110001111101110100000110101101 1011101100000101101011111010101010000001010010101111001011101110000001110 0111010010011110101110101000100100001100111000010111101101100110100001110 1111000011111111100000111101111100010111001100100000100101001110110100011 1100111110011011000101010010001110001101101010111000100110001000100000000
Каждый столбец матрицы ЪМП (кроме нулевых) соответствует одному из циклических сдвигов ХП1, т.е. МП с периодом У=7 и проверочным полиномом к1(х) = х + х + 1, корнями которого в соответствии с таблицей неприводимых полиномов над полем ОБ(2 ) [19] являют-
24
ся элемент а и его р-сопряженные элементы а и а .
Последовательность номеров циклических сдвигов образует правило формирования МП с периодом N=511 в виде вектора из Ь = 73 компонент:
/мп = {0 6 5 5 3 1 3 3 6 2 2 6 6 5 6 0 5 - 4 1 4 3 5 0 5 2 3 2 5 2 0 6 3 — 2 1 6 2 0 1 4 6 2 3 — 0 1 3 4 4 4 6 — 4 6 3 5 4 — 0 5 5 — 6 2 — 2 — 4 4 5 2}, (5)
где „—" обозначает нулевую последовательность.
На основе полученного правила можно синтезировать ГМВП. Для этого в качестве ХП2 необходимо выбрать другую МП с периодом У = 7. Для данного периода существует еще
32
только одна М-последовательность с проверочным полиномом к3,(х) = х + х + 1, корнями которого являются элементы а3, а6 и а5. (Для удобства записи здесь и далее в качестве подстрочного индекса, являющегося идентификатором полинома, используется минимальный показатель степени корней данного полинома.) Для формирования ХП2 необходимо выполнить децимацию символов ХП1 по индексу децимации = 3, соответствующему минимальному показателю степени корней полинома И3(х). Это удобно сделать для нулевого сдвига ХП1, соответствующего первому ненулевому столбцу в матрице (4), получив при этом нулевой сдвиг ХП2.
ГМВП представляется в виде матрицы, аналогичной (4), при подстановке сдвигов ХП2 в соответствии с правилом формирования (5). Ниже приведена матричная форма записи ГМВП ЪГМВ для индекса !а1 = 3, т.е. для ХП2:
1111101110011111100001111010101110000101001010101000100111001110100000010
1100010010011011001110010000001100001101111000110111101100101000100001100
1011010001100101100100111101111000011011100100110000000001001110010100011
0100111111111010000101000111010110011110101110011000100110000000110100001
1000101101100001001011010111011010010011010110101111001010101000010101101
0011111100000100101111101010100010001000110010011111001011100110000001110
0111000011111110101010101101110100010110011100000111101101100110110101111
гмв
(6)
Проверочный полином полученной ГМВП определяется с помощью итеративного алгоритма Берлекемпа — Месси:
¿гмв(х) = Х27+ х26+ х25+ х24+ х23+ х21+ х20+ х19+ х17+ х12+ х10+ х8+ х5+ х+ 1. (7)
Более компактной записью проверочного полинома является запись коэффициентов полинома в двоичном или двоично-восьмеричном коде [19]:
кГМВ =11111011101000010101001000112=17564124438. (8)
Полином (7) степени 27 является произведением трех примитивных полиномов степени 9. Данные примитивные полиномы представлены в табл. 1; всего в таблице 48 примитивных полиномов. Далее вместо термина „корень полинома с минимальным показателем степени" будем использовать термин „минимальный корень".
Таблица 1
Полином Полином Полином
й1(х)=х9+х4+1 к41 (х)=х9+х8+х6+х5+х4+х+1 к95(х)=х9+х8+х7+х5+х4+х3+1
к3(х)=х9+х6+х4+х3+1 к 43(х)=х9+х8+х7 +х6+х3 +х+1 к103(х)=х9+х7+х5+х3+х2+х+1
к5(х)=х9+х8+х5+х4+1 к45(х)=х9+х6+х5+х4+х3+х2+1 к101 (х)=х9+х7+х5+х+1
к9(х)=х9+х8+х4+х+1 к41 (х)=х9+х8+х6+х4+х3+х+1 к109(х)=х9+х8+х6+х5+х4+х3+х2+х+1
к„(х)=х9+х5+х3+х2+1 к51 (х)=х9+х8+х7+х6+х4+х2+1 к111 (х)=х9+х8+х4+х3+х2+х+1
к13(х)=х9+х6+х5+х4+х2+х+1 ^53(х)=х9+х7+х4+х2+1 кП1(х)=х9+х8+х6+х3+х2+х+1
к15(х)=х9+х8+х6+х5+1 к55(х)=х9+х7+х5+х4+х3+х2+1 к123(х)=х9+х7+х2+х+1
к17 (х)=х9+х7+х6+х4+х3+х+1 к51 (х)=х9+х7+х6+х5+х4+х2+1 к125(х)=х9+х7+х6+х4+1
к19(х)=х9+х8+х7+х2+1 к59(х)=х9+х7+х6+х3+х2+х+1 к121 (х)=х9+х6+х5+х3+1
к23(х)=х9+х8+х7+х6+х5+х3+1 к61 (х)=х9+х6+х4+х3+х2+х+1 к171 (х)=х9+х8+х7+х5+х4+х2+1
к25(х)=х9+х8+х7+х6+х5+х+1 к15(х)=х9+х8+х7+х6+х5+х4+х3+х+1 к183(х)=х9+х8+х5+х4+х3+х+1
к21 (х)=х9+х8+х7+х3+х2+х+1 k19(x)=x9+x8+x1+x6+x2+x+1 к 181 (х)=х9+х8+х7 +х6+х4+х3+1
к29(х)=х9+х8+х6+х5+х3+х+1 к83(х)=х9+х8+х4+х2+1 к191(х)=х9+х5+х4+х+1
к31(х)=х9+х4+х3+х+1 к85(х)=х9+х1+х5+х4+х2+х+1 к223(х)=х9+х8+х5+х+1
к31 (х)=х9+х6+х5+х3+х2+х+1 к81 (х)=х9+х7+х5+х2+1 к239(х)=х9+х8+х6+х5+х3+х2+1
к39(х)=х9+х8+х7+х6+х3+х2+1 к93(х)=х9+х7+х6+х5+х4+х3+1 к255(х)=х9+х5+1
Полином кГМВ(х) вида (7) может быть представлен в виде произведения трех примитивных полиномов-сомножителей кс/(х) девятой степени из табл. 1:
^гмв(х) = Ьс1(х) кс2(х) ксъ(х) = къ(х) к5(х) кп(х) = = (х9+х6+х4+х3+1) (х9+х8+х5+х4+1) (х9+х7+х6+х4+х3+х+1). (9)
Анализ полинома кГМВ(х) показывает, что корни полинома кс1(х) = к3(х) являются 3-ми степенями корней полинома кМП(х) = х9+х4+1 базисной МП, корни полинома кс2(х) = к5(х) — 5-ми степенями, а корни полинома кс3(х) = к17(х) — 17-ми степенями его корней. Все три полинома являются примитивными.
Алгоритм формирования полного перечня проверочных полиномов ГМВП основан на свойстве повторяемости соотношений между корнями проверочного полинома кМП(х) базисной МП и корнями полиномов-сомножителей Ис(х) проверочного полинома кГМВ(х) [16].
В соответствии с выражением (3) в поле ОБ(29) существует 48 различных примитивных полиномов, которые могут выступать в качестве проверочных полиномов для базисных МП. Таким образом, можно получить 48 ГМВП с проверочными полиномами 27-й степени, корни трех сомножителей которых являются 3, 5 и 17-ми степенями корней соответствующего полинома базисной МП.
Для примера сформируем проверочный полином ГМВП, основанный на базисной МП
9 7 4 2 53
с кМП(х) = к53(х) = х +х +х +х +1, минимальным корнем которого является элемент а (см. табл. 1).
Сомножители для кГМВ(х) = кс1(х) кс2(х) кс3(х) определяются следующим образом. Поли-
53
ном кМП(х) базисной МП имеет корень а . Тогда одним из корней полинома кс1(х) должен быть элемент (а53)3 = а159, что соответствует полиному кс1(х) = к125(х) = х9+х7+х6+х4+1 с мини-
125 53 5 265
мальным корнем а . Полином кс2(х) должен иметь корень (а ) =а , что соответствует
9 8 7 2 19
полиному кс2(х) = ¿19(х) = х +х +х +х +1 с минимальным корнем а . Полином Ис3(х) должен иметь корень (а53)17 = а901 шой 511 = а390, что соответствует полиному кс3(х) = Ъ27(х) = х9+х8+
7 3 2 27
+х +х +х +х+1 с минимальным корнем а . Таким образом, искомый проверочный полином для ГМВП имеет следующий вид:
^ГМв(х) = Йс1(х) Ис2(х) Исз(х) = Й125(х) М9(х) ¿27^) =
= (х9+х7+х6+х4+1) (х9+х8+х7+х2+1) (х9+х8+х7+х3+х2+х+1). (10)
Результаты вычислений сомножителей проверочных полиномов ГМВП для остальных примитивных полиномов поля ОБ(29), выступающих в качестве полиномов базисных МП,
приведены в табл. 2.
_Таблица 2
№ п/п Корни ^мп(х) базовой МП Корни сомножителей Ьгмв(Х)=Нл(Х) Нс2(х) Нс3(х) № п/п Корни ^мп(х) базовой МП Корни сомножителей Ьгмв(Х)=Ьл(Х) Нс2(х) Ис3(х)
НЛ: а3 Нсъ а5 Ьс3: а17 НЛ: а3 Нсъ а5 кс3: а17
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 а1 а3 а5 а17 25 а59 а43 а79 а123
2 а3 а9 а15 а51 26 а61 а183 а51 а15
3 5 15 25 85 27 75 23 239 191
4 9 27 45 83 28 79 187 47 13
5 11 17 55 187 29 83 95 127 23
6 13 39 9 183 30 85 255 117 125
7 15 45 75 255 31 87 11 123 79
8 17 51 85 25 32 93 47 61 3
9 19 57 95 29 33 95 59 223 41
10 23 41 103 31 34 103 107 1 109
11 25 75 125 117 35 107 13 3 61
12 27 37 29 95 36 109 61 17 5
13 29 87 41 223 37 111 109 11 43
14 31 93 109 1 38 117 191 37 57
15 37 111 87 59 39 123 55 13 47
16 39 117 27 19 40 125 239 57 37
17 41 123 107 93 41 127 223 31 103
18 43 5 187 55 42 171 1 43 11
19 45 29 23 127 43 183 19 83 45
20 47 53 183 9 44 187 25 53 39
21 51 83 255 75 45 191 31 111 171
22 53 125 19 27 46 223 79 93 107
23 55 85 39 53 47 239 103 171 111
24 а57 а171 а59 а87 48 а255 а127 а191 а239
В табл. 2 использованы следующие обозначения: в графах 2 и 7 — корни (показатели степени корней) примитивных полиномов кМП(х) базисных МП; в графах 3—5 и 8—10 — корни (показатели степени корней) полиномов-сомножителей Ис(х) для ГМВП.
Например, требуется определить проверочный полином ГМВП для базисной МП с по-
127 127
линомом, одним из корней которого является элемент а . Корню а базисной МП соответствуют полиномы ¿сг(х) с корнями а223, а31 и а103. Тогда проверочный полином ГМВП имеет вид
^ГМВ(х) = Йс1(х) Ис2(х) Ис3(х) = ¿223(х) ¿31^) ¿103^) =
= (х9+х8+х5+х+1) (х9+х4+х3+х+1) (х9+х7+х5+х3+х2+х+1). (11)
Таким образом можно сформировать любой из 48 проверочных полиномов ГМВП. Структура проверочного полинома ГМВП ¿ГМВ(х), представляющего собой для конечного
33
поля ОБ[(2 ) ] произведение трех примитивных полиномов Асг(х) степени 5= тп =9, определяет возможность построения устройства формирования в виде совокупности трех РС ЛОС. Число ячеек, являющихся триггерами Тг-, в каждом РС ЛОС равно 5=9, т.е. степени полиномов Асг(х),
а сумматоры по mod 2 расставляются в соответствии с коэффициентами этих полиномов. Выходные сигналы РС ЛОС поступают на общий сумматор по mod 2, являющийся выходом устройства.
Структурная схема устройства формирования ГМВП с проверочным полиномом вида (10) приведена на рисунке. Самой трудной прцедурой при генерации ГМВП является определение начальных состояний регистров сдвига. Сложность этой процедуры можно показать путем сравнения ее с аналогичной процедурой при формировании последовательностей Гол-да. При их генерации с помощью двух РС ЛОС в одном из регистров устанавливается произвольное ненулевое состояние, а во втором последовательно используются всевозможные начальные состояния. При формировании ГМВП такой подход не представляется возможным.
Т
Т7
-©-«-Sh----
Т6 -I* Т5 —Т4 -I» Т3 —*■
Т2
Ti
То
11 L 1 1 1 L 1 i 1 k i L J
а250=0 а91=0 ¿443 1 ¿284=0 ¿125=0 ¿477 1 ¿318=0 ¿159=0 1
Т8 -U-г -U Тб —
Т5
Т.
Т
—*■ т2 -U- т1 -»-
То
и7б=1 1^322=01^57=0 1^303=lUi8=1 1^284=01^19=1 ^265=1 ^
Т8
- --- Т7 -1 — Тб —--
5=1 I ¿0=1
Т5
Т4
Тз
ч+н—ем—ЙН—
ТТТгтГ гп
—Т2 — -1 Т1 — »- Т0 -
Выход
1й?54=1 i^175=1 i ¿296=0 ¿417=1 i ¿27=1 ¿148=0 i ¿269=1 1й?390=1-а
_;9=1 I ¿390=1 I ¿0=1
В работе [17] предложен алгоритм, в соответствии с которым начальные состояния регистров сдвига ЛОС, входящих в устройство формирования ГМВП, определяются соотношением степеней корней полиномов Лсг(х) и полинома базисной МП, на основе которой формируется ГМВП. На практике значения начальных символов для каждого регистра вычисляются путем децимации символов базисной МП по индексу децимации, зависящему от соотношения степеней корней полиномов ^МП(х) и Исг(х).
В рамках алгоритма вычисления начальных состояний необходимо определить начало базисной МП в соответствии с выражением (1) при г=1, а затем провести децимацию символов данной МП по индексам децимации, равным наименьшим показателям степеней корней полиномов Исг(х), т.е. /¿1=3, /¿2=5, /¿3=17.
Одним из способов определения начала МП, т. е. символов ¿о, ¿1, ¿2 и т.д., является способ, основанный на использовании свойства примитивных полиномов, в соответствии с которым для конечных полей характеристики р=2 значение функции следа й^да1 равно значению коэффициента при (—1)-й степени переменной х полинома ^МП(х), а значение функции следа 1г,да-1 — значению коэффициента при 1-й степени переменной х.
Для полинома ИМП(х) = х9+х4+1 функции следа 1г9,1а1 = 0, 1х9да-1 = 0. Тогда символу ¿1 МП в матрице (4) соответствует позиция, для которой сумма 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 и 256-го символов (каждая позиция по очереди считается первой) равна нулю. Такая позиция единственная, и ей соответствует первый символ (начиная с нулевого) в первой строке матрицы (4). Для дальнейшего анализа МП записывается, начиная с символов ¿0=1, ¿1=0, ¿2=0, ¿3=0 и т.д. Тогда в устройстве формирования ГМВП начальные состояния ячеек первого регистра будут равны значениям символов ¿0, ¿3, ¿6, ¿9, ¿12, ¿15, ¿18, ¿21, ¿24, второго регистра — ¿0, ¿5, ¿10, ¿15, ¿20, ¿25, ¿30, ¿35, ¿40, третьего регистра — ¿0, ¿17, ¿34, ¿51, ¿68, ¿85, ¿102, ¿119, ¿136 базисной МП.
9 7 4 2
Если в качестве базисной взять МП с hM^x)=h53(x)=x +x +x +x +1, то начальные символы „с" новой базисной МП могут быть получены путем децимации символов исходной МП с ^мп(х)=^1(х)=Х9+Х4+1: со=^о, с1=^5з, с2=й?10б, сз=^159, с4=^212 и т.д.
Особенность рассматриваемого алгоритма заключается в том, что для вычисления значений начальных состояний ячеек регистров сдвига не требуется формирование новой базисной МП. Номера символов для начальных состояний регистров определяются путем двойной децимации символов исходной базисной МП с Имп(х) = x9+x4+1. Новые индексы децимации определяются умножением индексов /¿1=3, /й=5 и /й=17 на показатель степени корня полинома новой базисной МП ^мп(х)= h53(x), равный 53: /d4=53/d1 mod 511=159, /d5=53/d2 mod 511= =265, /d6=53/d3 mod 511=390.
Начальные состояния регистров сдвига выбираются из матрицы (4):
— для первого регистра с индексом децимации /d4=159: d0, d159, d318, d477, d125, d284, d443,
d9b d250;
— для второго регистра с индексом децимации /d5=265: d0, d265, d19, d284, d38, d303, d57,
d322, d76;
— для третьего регистра с индексом децимации /d6=390: d0, d390, d269, d148, d27, d417, d296,
d175, d54.
Полученные значения символов начальных состояний приведены на рисунке.
Вычисление номеров символов выполняется по mod 511. Новая ГМВП с периодом #=511 формируется на выходе общего сумматора по модулю 2.
Таким образом, получен полный перечень проверочных полиномов для двоичных ГМВП с периодом #=511.
Для произвольного примитивного полинома, выбранного для базисной МП, начальные состояния определяются путем двойной индексации символов базисной МП с учетом показателей степени как корней ее полинома, так и полиномов-сомножителей. При этом не требуется вычисление непосредственно проверочного полинома для ГМВП.
Используя полученные результаты, можно применять ГМВП в системах передачи измерительной информации космических средств по широкополосным радиоканалам, к которым предъявляются повышенные требования по конфиденциальности и структурной скрытности. Показателем структурной скрытности является ЭЛС, значения которой для ГМВП на 3—6 дБ превышают значения для МП.
Полученные полиномы могут быть использованы как при разработке устройств формирования, основанных на РС ЛОС, так и при реализации программных методов формирования ГМВ-последовательностей. Также полученные результаты могут найти применение при разработке методов формирования других классов псевдослучайных последовательностей, допускающих аналитическое представление в конечных полях.
список литературы
1. Ипатов В. П. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов. Принципы и приложения: Пер. с англ. М.: Техносфера, 2007. 488 с.
2. Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. М.: Техносфера, 2005. 592 с.
3. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение: Пер. с англ. М.: Вильямс, 2003. 1104 с.
4. CDMA: прошлое, настоящее, будущее / Под ред. Л. Е. Варакина и Ю. С. Шинакова. М.: МАС, 2003. 608 с.
5. Ershen Wang, Shufang Zhang, Qing Hu. GPS correlator research and FPGA implementation // J. of System Simulation. 2008. Vol. 20. Р. 3582—3585.
6. Golomb S. W., Gong G. Signal Design for Good Correlation for Wireless Communication, Criptography and Radar. Cambridge University Press, 2005. 438 p.
7. Ипатов В. П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. М.: Радио и связь, 1992. 152 с.
8. Прозоров Д. Е., Смирнов А. В., Баланов М. Ю. Алгоритм быстрой кодовой синхронизации шумоподобных сигналов, построенных на последовательностях повышенной структурной сложности // Вестн. РГРТУ (Рязань). Сер. Радиотехника, радиолокация и системы связи. 2015. № 1 (вып. 51). С. 3—9.
9. Golomb S. W. Two-valued sequences with perfect periodic autocorrelation // IEEE Transact. on Aerospace and Electronic Systems. 1992. Vol. 28, № 2. P. 383—386.
10. Lie-Liang Yang, Hanzo L. Acquisition of m-sequences using recursive soft sequential estimation // Wireless Communications and Networking. 2003. Vol. 1. P. 683—687.
11. Cho Chang-Min, Kim Ji-Youp, No Jong-Seon. New p-ary sequence families of period (pAn-1)/2 with good correlation property using two decimated m-sequences // IEICE Transact. on Communications. 2015. Vol. E98, N 7. Р. 1268—1275.
12. Юдачев С. С., Калмыков В. В. Ансамбли последовательностей GMW для систем с кодовым разделением каналов // Наука и образование: науч. изд. МГТУ им. Н. Э. Баумана. 2012. № 1. [Электронный ресурс]: <http:// elibrary.ru/item.asp?id=17650851> (дата обращения 13.11.2017).
13. Стародубцев В. Г. Алгоритм формирования последовательностей Гордона — Миллса — Велча // Изв. вузов. Приборостроение. 2012. Т. 55, № 7. С. 5—9.
14. No Jong-Seon. Generalization of GMW sequences and No sequences // IEEE Transact. on Information Theory. 1996. Vol. 42, N 1. Р. 260—262.
15. Chung H., No J. S. Linear span of extended sequences and cascaded GMW sequences // IEEE Transact. on Information Theory. 1999. Vol. 45, N 6. P. 2060—2065.
16. Стародубцев В. Г. Проверочные полиномы последовательностей Гордона — Миллса — Велча // Изв. вузов. Приборостроение. 2013. Т. 56, № 12. С. 7—14.
17. Стародубцев В. Г. Формирование последовательностей Гордона — Миллса — Велча на основе регистров сдвига // Изв. вузов. Приборостроение. 2015. Т. 58, № 6. С. 451—457.
18. Стародубцев В. Г., Попов А. М. Последовательности Гордона — Миллса — Велча с периодом N=1023 // Изв. вузов. Приборостроение. 2017. Т. 60, № 4. С. 318—330.
19. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 1976. 594 с.
Сведения об авторах
Виктор Геннадьевич Стародубцев — канд. техн. наук, доцент; ВКА им. А. Ф. Можайского, кафедра технологий и средств автоматизации обработки и анализа информации космических средств; Университет ИТМО, кафедра беспроводных телекоммуникаций; E-mail: [email protected] Валерия Михайловна Кузнецова — ВКА им. А. Ф. Можайского, кафедра технологий и средств автоматизации обработки и анализа информации космических средств; слушатель; E-mail: [email protected]
Поступила в редакцию 08.12.17 г.
Ссылка для цитирования: Стародубцев В. Г., Кузнецова В. М. Формирование последовательностей Гордона — Миллса — Велча с периодом N=511 // Изв. вузов. Приборостроение. 2018. Т. 61, № 3. С. 240—248.
FORMATION SEQUENCES OF GORDON — MILLS — WELCH WITH PERIOD N = 511
V. G. Starodubtsev, V. М. Kuznetsova
A. F. Mozhaisky Military Space Academy, 197198, St. Petersburg, Russia E-mail: [email protected]
Based on developed algorithm for generating Gordon — Mills — Welch sequences, a full list of testing polynomials for GMW-sequences with the period N = 511 is obtained. Binary GMW-sequences are formed on the basis of base M-sequence over finite fields with double expansion GF[(2m)n] and can be represented as a matrix of dimension [JxL]=[(2m-1)x(2m+1)]. A qualitative specifics of sequences with the period N = 511 consists in the fact that they are formed over a finite field Gf[(23)3] and are presented in the form of a matrix of dimension [JxL]=[7x73], but not in the form of quasi-quadratic matrix of dimension [(2m-1)x(2m+1)]. Equivalent linear complexity of these sequences corresponds to the degree of the testing polynomial which can be represented as a product of three irreducible polynomials of the ninth degree. GMW-sequences with period N = 511 are formed using M-sequences of the same period. There are 48 primitive polynomials of the ninth degree in the field GF(29), the full list also contains 48 test polynomials for GMW-sequences.
Keywords: sequences of composite period, finite fields, indivisible and primitive polynomials, equivalent linear complexity
Data on authors
Victor G. Starodubtsev — PhD, Associate Professor; A. F. Mozhaisky Military Space Academy,
Department of Technologies and Means for Automation of Processing and Analysis of Space Systems Information; ITMO University, Department of Wireless Telecommunications; E-mail: [email protected] Valeriya М. Kuznetsova — A. F. Mozhaisky Military Space Academy, Department of Technologies
and Means for Automation of Processing and Analysis of Space Systems Information; Student; E-mail: [email protected]
For citation: Starodubtsev V. G., Kuznetsova V. М. Formation of Gordon — Mills — Welch sequences with period N = 511. Journal of Instrument Engineering. 2018. Vol. 61, N 3. P. 240—248 (in Russian).
DOI: 10.17586/0021-3454-2018-61-3-240-248
