CC BY
93
УДК 519.725
В. Г. Стародубцев
ПРОВЕРОЧНЫЕ ПОЛИНОМЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ГОРДОНА—МИЛЛСА—ВЕЛЧА
Представлен алгоритм синтеза проверочных полиномов последовательностей Гордона—Миллса—Велча, основанный на использовании структурных свойств конечных полей с двойным расширением.
Ключевые слова: последовательности с составным периодом, проверочные полиномы, конечные поля, неприводимые и примитивные полиномы.
Одним из перспективных направлений развития сетей мобильной связи является применение технологии многостанционного доступа с кодовым разделением каналов. Эта технология предполагает использование псевдослучайных последовательностей, обладающих требуемыми корреляционными и структурными свойствами.
В современных системах связи применяются М-последовательности (МП), последовательности Голда, малого и большого множеств Касами, последовательности Баркера, Гордона—Миллса—Велча (ГМВ) и др. [1].
Среди циклических последовательностей, обладающих одноуровневой периодической автокорреляционной функцией, можно выделить М-последовательности и ГМВ-последова-тельности (ГМВП). При этом последние обладают более высокой структурной скрытностью, которая численно характеризуется эквивалентной линейной сложностью (ЭЛС) [2—4]. Это свойство определяет преимущество применения ГМВП в системах связи, к которым предъявляются жесткие требования по конфиденциальности.
ГМВП формируются над конечными полями с двойным расширением вида GF[(pm)n], вследствие чего период данных последовательностей является составным числом, т. е. N = ртп - 1, где р — характеристика поля, т, п — натуральные числа [5]. Так как ГМВП относятся к классу циклических последовательностей, то они могут формироваться с помощью регистров сдвига с линейной обратной связью [5—7]. Для ГМВП с периодом N = ртп - 1 положение сумматоров в цепи обратной связи определяется коэффициентами проверочных полиномов вида
^гмв(х) = хк + Ик-1Хк-1 + Ик-2Хк-2 + ... + X + Й0, (1)
где к — степень проверочного полинома, численно характеризующая ЭЛС ГМВП; коэффициенты кь являются элементами поля ОГ(р).
Алгоритм синтеза проверочных полиномов ГМВП в литературе не приводится. Для каждой конкретной последовательности проверочный полином определяется итеративным путем, например, с помощью алгоритма Берлекемпа—Месси.
Целью настоящей статьи является разработка алгоритма синтеза проверочных полиномов ГМВ-последовательностей, основанного на использовании структурных свойств конечных полей с двойным расширением, а также составление исчерпывающих перечней проверочных полиномов двоичных ГМВП с периодами N = 63 и 255 и троичных — с N = 80.
Разработка алгоритма выполняется на примере двоичной ГМВП с периодом N = 63, сформированной на основе М-последовательности с проверочным полиномом ИМП(х) = х6 + х + 1. Символы М-последовательности записываются построчно в матрицы размерности [Ух5] = [7x9], ненулевые столбцы которой соответствуют различным сдвигам „короткой" (характеристической) М-последовательности с периодом J = 7. Параметр £ характеризует число сдвигов:
ЕМП -
000001000
0 1 1 0 0 0 1 0 1
0 0 11110 10
0 0 1 1 1 0 0 1 0. (2)
0 10 110 111
0 110 0 110 1
0 10 111111
С использованием алгоритма формирования ГМВП, основанного на матричном представлении М-последовательностей с составным периодом [1, 5], формируется ГМВП с N = 63, которая также представляется в виде матрицы размерности [/х^ = [7x9]:
0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 110 0 110 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0
001000000. (3)
0 11110 111 0 0 11110 10 0 10 110 111
ГМВ
С помощью алгоритма Берлекемпа [6, 7] для ГМВП вида (3) определяется проверочный полином
кГМВ(х) = X12 + х11 + х10 + х9 + х7 + х2 + 1. (4)
Этот полином является произведением неприводимых над полем 6Р(2) полиномов меньшей степени. Для их определения используется полный перечень неприводимых над ОЕ(2) полиномов степени 6 и ниже, корнями которых являются элементы расширенного поля Галуа &Р(26). Данные полиномы, их корни, а также периоды корней представлены в табл. 1. Искомые неприводимые полиномы определяются путем последовательного деления кГМВ(х) на кг(х). В результате получим, что кГМВ(х) вида (4) может быть представлен в виде произведения двух полиномов ксг(х) шестой степени (здесь сг — ¿-й сомножитель):
кшв(х) = Ис1(х)Ис2(х) = И2(х)Из(х) =
(5)
Таблица 1
= (х6 + х4 + х2 + х + 1) (х6 + х5 + х2 + х + 1)
Полиномы к,(х) Корни полиномов (показатели степени) Периоды корней е
к1(х) = х6 + х + 1 1 2 4 8 16 32 а , а , а , а , а , а 63
к2(х) = х6 + х4 + х2 + х + 1 3 6 12 24 48 33 а , а , а , а , а , а 21
к3(х) = х6 + х5 + х2 + х + 1 5 10 20 40 17 34 а , а , а , а , а , а 63
к4(х) = х6 + х5 + х3 + х2 + 1 11, 22, 44, 25, 50, 37 63
к5(х) = х6 + х5 + 1 31, 62, 61, 59, 55, 47 63
к6(х) = х6 + х5 + х4 + х2 + 1 15, 30, 60, 57, 51, 39 21
к7(х) = х6 + х5 + х4 + х + 1 23, 46, 29, 58, 53, 43 63
к8(х) = х6 + х4 + х3 + х + 1 13, 26, 52, 41, 19, 38 63
к9(х) = х6 + х3 + 1 7, 14, 28, 56, 49, 35 9
к10(х) = х3 + х + 1 9, 18, 36 7
к11(х) = х3 + х2 + 1 27, 54, 45 7
к12(х) = х2 + х + 1 21, 42 3
к13(х) = х + 1 а0 1
Для поля СТ(26) можно показать, что корни полинома кс1(х) = к2(х) являются третьими степенями корней полинома кМп(х), являющегося примитивным, а корни полинома Ис2(х) = к3(х) — пятыми.
Алгоритм синтеза полной совокупности проверочных полиномов ГМВ-последова-тельностей основан на предположении о повторяемости соотношений между корнями проверочного полинома кМп(х) исходной М-последовательности и корнями полиномов кс1(х) и кс2(х), являющихся сомножителями проверочного полинома кГМВ(х).
Известно [6], что для поля иг(26) существует шесть различных примитивных полиномов, которые могут выступать в качестве проверочных полиномов при формировании М-последовательностей. Таким образом, для шести М-последовательностей с периодом N=63 можно получить шесть ГМВП и соответственно шесть проверочных полиномов двенадцатой степени.
В качестве примера сформируем проверочный полином ГМВП, основанной на М-последовательности с кМп(х) = к7(х) = х6 + х5 + х4 + х + 1, одним из корней которого является
23
элемент а (см. табл. 1).
Полиномы-сомножители для кГМВ(х) = кс1(х) кс2(х) определяются следующим образом. Исходный полином кМп(х) имеет корень а23. Тогда одним из корней полинома кс1(х) должен быть элемент (а23)3 = а69 шой 63 = а6, что соответствует кс1(х) = к2(х) = х6 + х4 + х2 + х + 1.
Полином кс2(х) должен иметь корень (а23)5 = а115 шой 63 = а52, что соответствует Ис2(х) = И8(х) = х6 + х4 + х3 + х + 1.
Искомый проверочный полином для ГМВ-последовательности
кГМВ(х) = И2(х)И8(х) = х12 + х9 + х7 + х6 + х5 + х4 + 1. (6)
Аналогичные вычисления для остальных примитивных полиномов поля иг(26), являющихся проверочными для М-последовательностей, позволяют сформировать полную совокупность проверочных полиномов для ГМВ-последовательностей с периодом N=63 (табл. 2).
Таблица 2
кгмк(х) Полиномы-сомножители ГМВП ЬЛ(х) Мх) Полиномы для исходных М-последовательностей
кГМВ1(х) к2(х) к3(х) = х12 + х11 + х10 + х9 + х7 + х2 +1 к1(х) = х6 + х + 1
кГМВ2(х) к6(х)к4(х) = х12 + х8 + х7 + х6 + х5 + х3 + 1 к3(х) = х6 + х5 + х2 + х + 1
кГМВ3(х) к2(х)к5(х) = х12 + х11 + х10 + х9 + х8 + х6 + х5 + х4 + х2 + х + 1 к4(х) = х6 + х5 + х3 + х2 + 1
кГМВ4(х) к6(х)к7(х) = х12 + х10 + х5 + х3 + х2 + х + 1 к5(х) = х6 + х5 + 1
кГМВ5(х) к2(х)к8(х) = х12 + х9 + х7 + х6 + х5 + х4 + 1 к7(х) = х6 + х5 + х4 + х + 1
кГМВ6(х) к6(х)к1(х) = х12 + х11 + х10 + х8 + х7 + х6 + х4 + х3 + х2 + х+1 к8(х) = х6 + х4 + х3 + х + 1
Представленный алгоритм может быть использован для формирования совокупности проверочных полиномов ГМВП в виде произведения неприводимых полиномов для произвольного поля ОГ[(рт)п]. Для полей с характеристикой р = 2 число сомножителей в кГМВ(х) может быть равно двум и более. Для полей ср > 2 число сомножителей больше двух.
Применимость представленного алгоритма для определения полной совокупности проверочных полиномов двоичных ГМВ-последовательностей с периодом N=255 проиллюстрируем на примере ГМВП, сформированной на основе М-последовательности с проверочным
8432
полиномом кМп(х) = х + х + х + х + 1. Этот полином является примитивным, т.е. его корни
^еуо8\ 2 4 8 16 32 64 128
суть примитивные элементы поля иг (2 ): а, а , а , а , а , а , а , а .
Символы М-последовательности записываются построчно в виде матрицы размерности = [15x17], ненулевые столбцы которой соответствуют различным сдвигам „короткой" М-последовательности с периодом J = 15. В соответствии с алгоритмом, представленным в работе [5], ГМВП с периодом N = 255 также представляется в виде матрицы размерности = [15x17]:
Я
ГМВ
00001001110110011
00001010100001110
10011100100110010
11011111101110100
11010110011000111
11011100111001001
01000000011111011
10011111110001111
01001001101001000
10010101010000001
11010101001111010
01001010111110101
00000011010111101
10010110000111100
01000011001000110. (7)
С помощью алгоритма Берлекемпа [6, 7] для ГМВ-последовательности вида (7) определяется проверочный полином
^ГМВ(Х) = X32 + х31 + х30 + х29 + х25 + х22 + х21 + х20 + х18 + х17 + х15 +
+ х14 + х13 + х12 + х6 + х4 + х2 + х + 1, (8)
являющийся произведением неприводимых над полем &Р(2) полиномов степени 8 и менее (табл. 3).
В результате разложения на множители полином ^ГМВ(х) вида (8) может быть представлен произведением четырех полиномов восьмой степени:
^гмв(Х) = Ас1(х) ¿с2(х) Ьс3(х) Ъс4(х) = ^(х) Аб(х) ^(х) ^15(х) =
= (х° + х6 + х5 + х3 + 1)(х8 + х7 + х6 + х5 + х2 + х + 1)х х(х8 + х5 + х3 + х + 1)(х8 + х6 + х4 + х3 + х2 + х + 1).
(9)
Таблица 3
№ прямого/ сопряженного полинома Полиномы к(х) Корни полиномов (показатели степени) Периоды корней
1/20 к1(х) = х8 + х4 + х3 + х2 + 1 1 2 4 8 16 32 64 128 а , а , а , а , а , а , а , а 255
2/21 И2(х) = х8 + х6 + х5 + х4 + х2 + х + 1 3 6 12 24 48 96 192 129 а , а , а , а ,а ,а ,а ,а 85
3/22 к3(х) = х8 + х7 + х6 + х5 + х4 + х + 1 5 10 20 40 80 160 65 130 а , а , а ,а ,а ,а ,а ,а 51
4/23 й4(х) = х8 + х6 + х5 + х3 + 1 7,14,28,56,112,224,193,131 255
5/24 к5(х) = х8 + х7 + х5 + х4 + х3 + х2 + 1 9,18,36,72,144,33,66,132 85
6/25 Н6(х) = х8 + х7 + х6 + х5 + х2 + х + 1 11,22,44,88,176,97,194,133 255
7/26 к7(х) = х8 + х5 + х3 + х + 1 13,26,52,104,208,161,67,134 255
8/8 Н8(х) = х8 + х7 + х6 + х4 + х2 + х + 1 15,30,60,120,240,225,195,135 17
9/27 Н9(х) = х4 + х + 1 17,34,68,136 15
10/28 Мо(х) = х8 + х6 + х5 + х2 + 1 19,38,76,152,49,98,196,137 255
11/29 Н11(х) = х8 + х7 + х3 + х + 1 21,42,84,168,81,162,69,138 85
12/30 к12(х) = х8 + х6 + х5 + х + 1 23,46,92,184,113,226,197,139 255
13/31 Мз(х) = х8 + х4 + х3 + х + 1 25,50,100,200,145,35,70,140 51
14/32 Н14(х) = х8 + х5 + х4 + х3 + х2 + х + 1 27,54,108,216,177,99,198,141 85
15/33 й15(х) = х8 + х6 + х4 + х3 + х2 + х + 1 37,74,148,41,82,164,73,146 255
16/34 И16(х) = х8 + х7 + х6 + х + 1 43,86,172,89,178,101,202,149 255
17/17 М7(х) = х8 + х5 + х4 + х3 + 1 45,90,180,105,210,165,75,150 17
Продолжение таблицы 3
№ прямого/ сопряженного полинома Полиномы к(х) Корни полиномов (показатели степени) Периоды корней
18/18 к18(х) = х4 + х3 + х2 + х + 1 51,102,204,153 5
19/19 к19(х) = х2 + х + 1 85,170 3
20/1 к20(х) = х8 + х6 + х5 + х4 + 1 127,254,253,251,247,239,223,191 255
21/2 к21(х) = х8 + х7 + х6 + х4 + х3 + х2 + 1 63,126,252,249,243,231,207,159 85
22/3 к22(х) = х8 + х7 + х4 + х3 + х2 + х + 1 95,190,125,250,245,235,215,175 51
23/4 к23(х) = х8 + х5 + х3 + х2 + 1 31,62,124,248,241,227,199,143 255
24/5 к24(х) = х8 + х6 + х5 + х4 + х3 + х + 1 111,222,189,123,246,237,219,183 85
25/6 к25(х) = х8 + х7 + х6 + х3 + х2 + х + 1 61,122,244,233,211,167,79,158 255
26/7 к26(х) = х8 + х7 + х5 + х3 + 1 47,94,188,121,242,229,203,151 255
27/9 к27(х) = х4 + х3 + 1 119,238,221,187 15
28/10 к28(х) = х8 + х6 + х3 + х2 + 1 59,118,236,217,179,103,206,157 255
29/11 к29(х) = х8 + х7 + х5 + х + 1 87,174,93,186,117,234,213,171 85
30/12 к30(х) = х8 + х7 + х3 + х2 + 1 29,58,116,232,209,163,71,142 255
31/13 к31(х) = х8 + х7 + х5 + х4 + 1 55,110,220,185,115,230,205,155 51
32/14 к32(х) = х8 + х7 + х6 + х5 + х4 + х3 + 1 39,78,156,57,114,228,201,147 85
33/15 к33(х) = х8 + х7 + х6 + х5 + х4 + х2 + 1 91,182,109,218,181,107,214,173 255
34/16 к34(х) = х8 + х7 + х2 + х + 1 53,106,212,169,83,166,77,154 255
35/35 к35(х) = х + 1 а0 1
Корнями с наименьшими показателями степени полиномов-сомножителей являются эле-
8 7 11 13 37
менты поля иг(2 ): для к4(х) - элемент а , для к6(х) — элемент а , к7(х) — а , к15(х) — а .
Таким образом, корни полиномов-сомножителей проверочного полинома ГМВ-последовательности являются соответственно 7-й, 11-й, 13-й и 37-й степенью корней проверочного полинома исходной М-последовательности.
Для поля иг(28) существует шестнадцать различных примитивных полиномов (см. табл. 3). С помощью разработанного алгоритма синтеза можно сформировать полную совокупность из шестнадцати проверочных полиномов для ГМВ-последовательностей с N=255. Проведем вычисления, используя данные табл. 3.
Полином кГМВ1(х) = к4(х)к6(х)к7(х)к15(х) определяется в соответствии с (9). Полином кГМВ2(х) определяется через кМП(х) = к4(х), имеющий корень а . Тогда одним из корней полинома кс1(х)
7*7 49
должен быть элемент а = а , что соответствует к10(х). Полином кс2(х) должен иметь корень
711 77 7*13 91
а = а , что соответствует к34(х), полином кс3(х) должен иметь корень а = а , что соответствует к33(х), полином кс4(х) должен иметь корень а7'37шой255 = а4, что соответствует к1(х).
Остальные полиномы вычисляются аналогичным образом. Искомые проверочные полиномы тридцать второй степени для шестнадцати ГМВП приведены в табл. 4, также приведены проверочные полиномы для исходных М-последовательностей.
Таблица4
кГМВ1(х) Полиномы-сомножители ГМВП кс1(х) кс2(х) кс3(х) кс4(х) Проверочные полиномы для исходных М-последовательностей
кГМВ1(х) к4(х) к6(х) к7(х) к15(х) кх(х) = х8 + х4 + х3 + х2 + 1
кГМВ2(х) кю(х) к34(х) к33(х) кх(х) к4(х) = х8 + х6 + х5 + х3 + 1
кГМВ3(х) к34(х) к26(х) к23(х) кю(х) к6(х) = х8 + х7 + х6 + х5 + х2 + х + 1
кГМВ4(х) к33(х) к23(х) к34(х) к^(х) к7(х) = х8 + х5 + х3 + х + 1
кГМВ5(х) к6(х) к30(х) к20(х) к4(х) к10(х) = х8 + х6 + х5 + х2 + 1
кГМВ6(х) к7(х) к20(х) к6(х) к^х) к12(х) = х8 + х6 + х5 + х + 1
кГМВ7(х) к:(х) кю(х) к^(х) к26(х) к15(х) = х8 + х6 + х4 + х3 + х2 + х + 1
кГМВ8(х) к12(х) к33(х) кю(х) к25(х) к16(х) = х8 + х7 + х6 + х + 1
кГМВ9(х) к2э(х) к25(х) к26(х) к33(х) к20(х) = х8 + х6 + х5 + х4 + 1
кГМВ10(х) к28(х) Мх) к15(х) к20(х) к23(х) = х8 + х5 + х3 + х2 + 1
кГМВ11(х) Мх) к7(х) к4(х) к28(х) к25(х) = х8 + х7 + х6 + х3 + х2 + х + 1
Продолжение таблицы 4
кГМВ1(х) Полиномы-сомножители ГМВП Лс1(х) кс2(х) ксз(х) Нс4(х) Проверочные полиномы для исходных М-последовательностей
кГМВ12(х) Й15(х) Й4(х) Мб(х) Нзоо(х) к26(х) = х8 + х7 + х5 + х3 + 1
кГМВ13(х) к25(х) Ии(х) Й1(х) ¿2з(х) к28(х) = х8 + х6 + х3 + х2 + 1
кГМВ14(х) к2б(х) М(х) Н25(х) Нз4(х) к30(х) = х8 + х7 + х3 + х2 + 1
кГМВ15(х) ^20(х) ^28(х) Изо(х) И7(х) к33(х) = х8 + х7 + х6 + х5 + х4 + х2 + 1
кГМВ16(х) Изо(х) Й15(х) ^28(х) Йб(х) к34(х) = х8 + х7 + х2 + х + 1
Разработанный алгоритм может быть использован для определения совокупности проверочных полиномов не только двоичных, но и „р"-ичных ГМВ-последовательностей. Для троичных последовательностей с периодом N=80 вычисления проведем на примере ГМВП, сформированной на основе М-последовательности с полиномом кМП(х) = х4 + 2х3 + 2, корни
/ту-т4\ 3 9 27
которого - суть примитивные элементы поля иг (3 ): а, а , а , а . Троичная ГМВП с N=80 представляется в виде матрицы
ГМВ
0 0 0 2 1 2 1 2 0 2
2 1 1 2 2 2 0 1 0 2
1 2 2 0 2 0 1 1 0 0
1 2 2 2 0 2 2 0 0 2
0 0 0 1 2 1 2 1 0 1
1 2 2 1 1 1 0 2 0 1
2 1 1 0 1 0 2 2 0 0
2 1 1 1 0 1 1 0 0 1
(10)
Проверочный полином определяется по алгоритму Берлекемпа
кшв(х) = х12 + х11 + х8 + 2х7 + 2х6 + х4 + 2х2 + х + 2.
(11)
Полином (11) является произведением неприводимых над полем иг(3) полиномов степени 4 и менее (табл. 5).
Таблица 5
№ прямого/ сопряженного полинома Полиномы к(х) Корни полиномов (показатели степени) Периоды корней
1/5 к1(х) = х4 + 2х3 + 2 1 3 9 27 а , а , а , а 80
2/6 к2(х) = х4 + х3 + х2 + 2х + 2 7 21 63 29 а , а , а , а 80
3/7 к3(х) = х4 + 2х3 + 2х2 + х + 2 11 33 19 57 а , а , а , а 80
4/8 к4(х) = х4 + 2х + 2 13, 39, 37, 31 80
5/1 к5(х) = х4 + х + 2 53, 79, 77, 71 80
6/2 к6(х) = х4 + х3 + 2х2 + 2х + 2 17, 51, 73, 59 80
7/3 к7(х) = х4 + 2х3 + х2 + х + 2 23, 69, 47, 61 80
8/4 к8(х) = х4 + х3 + 2 41, 43, 49, 67 80
9/10 к9(х) = х4 + 2х2 + 2 5, 15, 45, 55 16
10/9 к10(х) = х4 + х2 + 2 25, 75, 65, 35 16
11/12 ки(х) = х4 + 2х3 + х2 + 1 2, 6, 18, 54 40
12/11 к12(х) = х4 + х2 + 2х + 1 26, 78, 74, 62 40
13/14 к13(х) = х4 + х3 + х2 + 1 14, 42, 46, 58 40
14/13 к14(х) = х4 + х2 + х + 1 22, 66, 38, 34 40
15/16 к15(х) = х4 + х3 + 2х + 1 4, 12, 36, 28 20
16/15 к16(х) = х4 + 2х3 + х + 1 44, 52, 68, 76 20
17/17 к17(х) = х4 + 2х3 + х2 + 2х + 1 8, 24, 72, 56 10
18/19 к18(х) = х2 + 2х + 2 10, 30 8
Продолжение таблицы 5
№ прямого/ сопряженного полинома Полиномы к(х) Корни полиномов (показатели степени) Периоды корней
19/18 к19(х) = х2 + х + 2 50, 70 8
20/20 к20(х) = х4 + х3 + х2 + х + 1 16, 48, 64, 32 5
21/21 к21 (х) = х2 + 1 а20, а60 4
22/23 И22(х) = х + 1 а40 = 2 2
23/22 к23(х) = х + 2 а80 = а0 = 1 1
В результате разложения на множители полином кГМВ(х) вида (11) может быть представлен в виде
кгМв(х) = кс1(х) кС2(х) ксз(х) = Й2(х) Ы(х) к{х) =
= (х4 + х3 + х2 + 2х + 2)(х4 + 2х + 2)(х4 + 2х2 + 2). (12)
Корнями с наименьшими показателями степени полиномов-сомножителей являются элементы поля &Р(34): для к2(х) — элемент а7, к4(х) — а13, И9(х) — а5.
Таким образом, корни полиномов-сомножителей проверочного полинома ГМВП являются соответственно 7-й, 13-й и 5-й степенью корней проверочного полинома исходной М-последовательности.
Определим проверочный полином кГМВ(х) для троичной ГМВП, формируемой на основе МП с полиномом кМП(х) = к8(х) = х4 + х3 + 2, одним из корней которого является элемент а41.
Полиномы-сомножители для кГМВ(х) = кс1(х) кс2(х) кс3(х) определяются следующим образом. Исходный полином кМП(х) имеет корень а41. Одним из корней полинома кс1(х) должен быть элемент а41'7 = а287шой80 = а47, что соответствует к7(х) = х4 + 2х3 + х2 + х + 2. Полином кс2(х) должен иметь корень а41'13 = а533шой80 = а53, что соответствует к5(х) = х4 + х + 2.
Полином кс3(х) должен иметь корень а41'5 = а205шой80 = а45, что соответствует Й9(х) = х4 + 2х2 + 2.
Полином кГМВ(х), являющийся произведением трех полиномов, имеет следующий вид: кгМВ (х) = Йс1(х) кс2(х) кс3(х) = к7(х) к5(х) Й9(х) =
= х12 + 2х11 + х8 + х7 + 2х6 + х4 + 2х2 + 2х + 2. (13)
Выбрав в табл. 5 в качестве проверочных для исходных М-последовательностей восемь примитивных полиномов в поле &Р(34), можно сформировать восемь проверочных полиномов для ГМВ-последовательностей. Результаты вычислений представлены в табл. 6.
Таблица 6
кГМВ1(х) Полиномы-сомножители ГМВП ЬЛ(х) Нс2(х) Лсэ(х) Проверочные полиномы для исходной МП
кГМВ1(х) к2(х) к4(х) к9(х) к1(х) = х4 + 2х3 + 2
кГМВ2(х) ^(х) к3 (х) кю(х) к2(х) = х4 + х3 + х2 + 2х + 2
кГМВ3(х) к5(х) к2 (х) к9(х) к3(х) = х4 + 2х3 + 2х2 + х + 2
кГМВ4(х) к3(х) к1(х) кю(х) к4(х) = х4 + 2х + 2
кГМВ5(х) к6(х) к8(х) кю(х) к5(х) = х4 + х + 2
кГМВ6(х) к4(х) к7(х) к9(х) к6(х) = х4 + х3 + 2х2 + 2х + 2
кГМВ7(х) к1(х) к6(х) кю(х) к7(х) = х4 + 2х3 + х2 + х + 2
кГМВ8(х) к7(х) к5(х) к9(х) к8(х) = х4 + х3 + 2
Таким образом, в статье разработан алгоритм формирования проверочных полиномов как двоичных, так и недвоичных ГМВ-последовательностей. Представлены полные совокупности проверочных полиномов для двоичных ГМВ-последовательностей с периодами N=63 и 255 и для троичных ГМВП с N=80.
14
А. А. Виноградова, А. О. Казначеева, В. М. Мусалимов
Данные проверочные полиномы могут быть использованы при разработке устройств формирования ГМВП, основанных на регистрах сдвига с линейными обратными связями.
Также представленный алгоритм может найти применение при разработке методов формирования псевдослучайных последовательностей, допускающих аналитическое представление в конечных полях.
список литературы
1. Юдачев С. С., Калмыков В. В. Ансамбли последовательностей GMW для систем с кодовым разделением каналов // „Наука и образование: электронное научно-техническое издание". 2012. № 1. <http://technomag.edu.ru/1ssue/264798.html>.
2. Варакин Л. Е. Системы связи с шумоподобными сигналами. М.: Радио и связь, 1985. 384 с.
3. Ипатов В. П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. М.: Радио и связь, 1992. 152 с.
4. СвердликМ. Б. Оптимальные дискретные сигналы. М.: Сов. радио, 1975. 200 с.
5. Стародубцев В. Г. Алгоритм формирования последовательностей Гордона-Миллса-Велча // Изв. вузов. Приборостроение. 2012. Т. 55, № 7. С. 5—9.
6. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки / Под ред. Р. Л. Добрушина и С. И. Самойленко. М.: Мир, 1976. 596 с.
7. Стародубцев В. Г., Павлов О. А. Помехоустойчивые коды в телекоммуникационных и информационных системах. Вып. 1. Конечные поля Галуа: элементы теории и практики: Учеб. пособие. СПб: ВКА им. А. Ф. Можайского, 2003. 252 с.
Сведения об авторе
Виктор Геннадьевич Стародубцев — канд. техн. наук, доцент; ООО „Мультисервисные сети и Телекому-
никации", Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра беспроводных телекоммуникаций; Е-та11: vgstarod@mail.ru
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
беспроводных телекоммуникаций НИУ ИТМО 20.12.12 г.
УДК 620.178
А. А. Виноградова, А. О. Казначеева, В. М. Мусалимов ФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ТОМОГРАММ ГОЛОВНОГО МОЗГА
Исследованы возможности применения фрактального анализа для оценки структуры объектов. Представлены результаты расчета показателя Херста для магнитно-резонансных томограмм головного мозга, вычислены параметры распределений, выполнена оценка вероятности попадания в доверительные интервалы. Проведено стохастическое моделирование для нормального и равномерного законов распределения, проанализированы особенности показателя Херста и возможность использования его в качестве диагностического показателя.
Ключевые слова: показатель Херста, фрактальный анализ, томография, распределение, моделирование.
Введение. Качество получаемых в клинической практике магнитно-резонансных томограмм и оценка диагностических признаков выполняются визуально на основе экспертной оценки. Субъективность восприятия изображений и сложность анализируемых структур
