CC BY
66
ФОРМИРОВАНИЕ ДВОИЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ГОРДОНА-МИЛЛСА-ВЕЛЧА
Стародубцев Виктор Геннадьевич,
к.т.н., доцент, доцент Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики, г. Санкт-Петербург, Россия, vgstarod@mail.ru
Бородько Денис Николаевич,
к.т.н., старший преподаватель Военно-космической академии имени А.Ф. Можайского, г. Санкт-Петербург, Россия, denisborodko@yandex.ru
Попов Антон Михайлович,
слушатель Военно-космической академии имени А.Ф. Можайского, г. Санкт-Петербург, Россия, antony57rus@gmail.com
АННОТАЦИЯ
Введение: широкополосные сигналы с хорошими корреляционными свойствами, формируемые на основе псевдослучайных последовательностей, используются в системах спутниковой связи, в системах навигационного обеспечения, а также в системах радиолокации. В современных телекоммуникационных системах наряду с требованиями по корреляционным свойствам к псевдослучайным последовательностям предъявляются повышенные требования по структурной скрытности. Необходимость применения последовательностей Гордона-Миллса-Велча в современных системах связи, навигации и радиолокации, к которым предъявляются жесткие требования по конфиденциальности и структурной скрытности, определяется их более высокой эквивалентной линейной сложностью по сравнению с М-последовательностями, которые также обладают одноуровневой периодической автокорреляционной функцией. Широкому применению ГМВ-последовательностей в системах передачи информации мешает отсутствие практически реализуемых алгоритмов их формирования. Цель: разработка алгоритма синтеза устройств формирования ГМВ-последовательностей на основе совокупности регистров сдвига. Решаемые задачи: разработка алгоритма формирования проверочных полиномов ГМВ-последовательностей, основанного на использовании структурных свойств конечных полей с двойным расширением и алгоритма определения начальных состояний регистров сдвига, входящих в устройство формирования, полиномы которых задаются произведением нескольких неприводимых полиномов. При проведении исследований используется математический аппарат теории сигналов и теории конечных полей. Результаты: разработан алгоритм синтеза устройств формирования ГМВ-последовательностей на основе совокупности регистров сдвига с линейными обратными связями, в состав которого входят алгоритм формирования проверочных полиномов ГМВ-последовательностей и алгоритм определения начальных состояний регистров сдвига. Получен полный перечень проверочных полиномов для двоичных ГМВ-последовательностей с периодом N = 63. Для периода N = 255 получено распределение корней полиномов-сомножителей проверочного полинома для произвольной базисной М-последовательности. Распределение корней позволяет однозначно определять начальные состояния регистров сдвига через символы базисной М-последовательности. Практическая значимость: полученные результаты позволяют применять ГМВ-последовательности вместо М-последовательностей в системах передачи информации по широкополосным радиоканалам, к которым предъявляются повышенные требования по конфиденциальности. Эквивалентная линейная сложность ГМВ-последовательностей на на 3-6 дБ превышает значения для М-последовательностей. С увеличением периода выигрыш по ЭЛС возрастает. Алгоритм может найти применение для разработки методов формирования других классов псевдослучайных последовательностей, допускающих аналитическое представление в конечных полях.
Ключевые слова: псевдослучайные последовательности; конечные поля; неприводимые и примитивные полиномы; функция корреляции; эквивалентная линейная сложность; регистры сдвига.
Для цитирования: Стародубцев В.Г., Бородько Д.Н., Попов А.М. Формирование двоичных последовательностей Гордона-Миллса-Велча // Наукоемкие технологии в космических исследованиях Земли. 2017. Т. 9. № 2. С. 24-31.
Одним из направлений развития систем передачи информации является применение широкополосных сигналов на основе псевдослучайных последовательностей (ПСП) Данные ПСП могут быть использованы как в целях обеспечения синхронизации в качестве скремблирующих последовательностей, так и в виде последовательностей, расширяющих спектр передаваемых сигналов для широко-полосныхрадиоканалов [1-3].
Широкополосные сигналы используются в системах спутниковой связи, в системах навигационного обеспечения, а также в системах радиолокации [4-6].
В качестве ПСП широко применяются М-последователь-ности (МП), последовательности Голда, малого и большого множеств Касами и др [7].
Основной причиной применения МП в системах связи, навигации и радиолокации является тот факт, что они обладают одноуровневой периодической автокорреляционной функцией (ПАКФ) при достаточно простой аппаратурной реализации в виде регистра сдвига с линейными обратными связями (РС ЛОС).
К недостаткам МП можно отнести низкую структурную скрытность, которая численно характеризуется эквивалентной линейной сложностью (ЭЛС). ЭЛС зависит от степени проверочного полинома, задающего ПСП, и численно равна количеству символов последовательности, которые необходимо принять для определения проверочного полинома, по которому строится данная последовательность.
Решению задачи повышения ЭЛС ПСП при условии сохранения авто и взаимно-корреляционных свойств посвящено большое количество работ как в нашей стране, так и за рубежом [8-11].
Среди циклических последовательностей, обладающих наряду с МП одноуровневой ПАКФ, можно выделить последовательности Гордона-Миллса-Велча (ГМВП), которые обладают более высокой ЭЛС и соответственно более высокой структурной скрытностью [12-15]. Данное свойство определяет приоритетность применения ГМВП в системах связи, навигации и радиолокации, к которым предъявляются жесткие требования по конфиденциальности.
В настоящее время широкому применению ГМВП в системах передачи информации мешает отсутствие алгоритмов формирования проверочных полиномов и алгоритмов определения начальных состояний РС ЛОС, входящих в устройства формирования ГМВП.
Целью статьи является разработка алгоритма синтеза устройств формирования ГМВП на основе совокупности РС ЛОС.
Для достижения поставленной цели в статье решаются следующие задачи.
1. Разработка алгоритма формирования проверочных полиномов ГМВП, основанного на использовании структурных свойств конечных полей с двойным расширением.
2. Разработка алгоритма определения начальных состояний РС ЛОС, входящих в устройство формирования ГМВП, проверочные полиномы которых задаются произведением нескольких неприводимых полиномов.
При решении поставленных задач используется математический аппарат теории сигналов и теории конечных полей (полей Галуа).
ГМВП формируются над конечными полями с двойным расширением вида ОЩр)"], вследствие чего период данных последовательностей является составным числом, то есть N = ршп - 1, где р-характеристика поля, ш, п — натуральные числа. В настоящее время широкое применение получили двоичные ГМВП над полями с двойным расширением вида GF[(2шУ\. Символы di данных последовательностей с периодом N = 2шп-1 формируются в соответствии с выражением [13-15]
d. = tr , [(tr (а')У], \<r<2m-l,(r,2m -1)=1
(1)
где 1г ш(-) — след элемента из поля с двойным расширением ОР[(2ш)п] в расширенном поле ОР(2ш); 1гш 1(-) — след элемента из расширенного поля ОР(2ш) в простом поле ОР(2); а е ОР[(2ш)п] — примитивный элемент поля с двойным расширением. Параметр г является числом, взаимно простым с порядком мультипликативной группы расширенного поля ОР(2ш), который равен 2ш -1.
В настоящее время общий алгоритм формирования проверочных полиномов ГМВП в известной литературе отсутствует. Для каждой конкретной последовательности проверочный полином определяется итеративным путем, например, с помощью алгоритма Берлекемпа-Месси.
Разработка предлагаемого алгоритма основана на использовании структурных свойств конечных полей с двойным расширением и проводится на примере двоичной ГМВП с составным периодом N = 63, сформированной с учетом базисной МП с аналогичным периодом и проверочным полиномом ^(х) = х®+х+1. Символы МП записываются построчно в виде матрицы размерности [/хЬ] = [7x9], в которой ненулевые столбцы соответствуют различным сдвигам «короткой» МП с периодом ■]=!, называемой характеристической последовательностью (ХП), а параметр Ь характеризует число таких сдвигов [12-13]
FMn -
0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 1 0 0 0 1 0 1
0 0 1 1 1 1 0 1 0
0 0 1 1 1 0 0 1 0
0 1 0 1 1 0 1 1 1
0 1 1 0 0 1 1 0 1
0 1 0 1 1 1 1 1 1
(2)
С использованием алгоритма формирования ГМВП, основанного на матричном представлении МП с составным периодом [13], формируется ГМВП с периодом 63, которая также представляется в виде матрицы размерности [М] = [7x9]
Fr =
0 1 0 0 0 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1 1 0 1
0 0 0 1 1 1 0 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 0 1 1 1
0 0 1 1 1 1 0 1 0
0 1 0 1 1 0 1 1 1
(3)
Алгоритм формирования ГМВП с помощью матричного представления МП основан на замене в каждом столбце матрицы ХП на другую МП с аналогичным периодом.
Затем определяется полином для ГМВП вида (3) с помощью алгоритма Берлекемпа-Месси
кг(х)=х12 + хп + х10 + х9 + х7 + х2 + 1. (4)
Данный полином является произведением неприводимых над полем полиномов меньших степеней. Для их определения используется полный перечень неприводимых над GF(2) полиномов степени 6, корнями которых являются элементы расширенного поля GF(26). Данные полиномы, их корни с минимальным показателем степени, а также периоды корней представлены в табл. 1.
Таблица 1
Неприводимые полиномы в поле GF(26)
Корни полиномов Полиномы h.{x) Период корней
а1 hp) = x6 + x+l 63
а3 hp) = x6 + x4 + x2 + x+ l 21
а5 hp) = x" + x5 + x2 + x +1 63
а11 hp) = x6 + x5+xi+x2+l 63
а31 hp) = x6 + x5 + l 63
а15 hp) = x6 + x5+x4 + x2+\ 21
а23 hp) = x6 + x5+x4 + x+ l 63
а13 hp) = x6 + x4 + x3+x+l 63
а7 hp) = x6 + x3 + 1 9
а9 hltp) = x3 + x + 1 7
а27 hll(x) = xi+x2+\ 7
а21 hn{x) = x2 + x+l 3
Искомые неприводимые полиномы определяются путём последовательного деления кт(х) на к.(х). В результате получим, что кт(х) вида (4) может быть представлен в виде произведения двух полиномов кс[х) шестой степени
= кс1(х)кс2(х) = к2(х)кз(х) = = (х6+х4+х2+х+1)(х6+х5+х2 + х+1) (5)
Для поля GF(26) можно показать, что корни полинома кс1(х) = к(х) являются 3-ми степенями корней полинома кшп(х), а корни полинома кс2(х) = къ{х) являются 5-ми степенями его корней.
Алгоритм формирования полной совокупности проверочных полиномов ГМВП основан на свойстве повторяемости соотношений между корнями проверочного полинома к^х) исходной МП и корнями полиномов кЛ(х) и кс2(х), являющихся сомножителями проверочного полинома кр) [16].
Известно [7], что в поле GF(26) существует шесть различных примитивных полиномов, которые могут выступать в качестве проверочных полиномов при формировании МП. Таким образом, для шести МП с периодом N = 63
можно получить шесть ГМВП и, соответственно, шесть проверочных полиномов двенадцатой степени.
В качестве примера сформируем проверочный полином ГМВП, основанной на МП с полиномом к (х) = кч(х) = = х6 + х5 + х4 + х + 1, одним из корней которого является элемент а23 (см. табл. 1).
Полиномы-сомножители для кг(х) = кс1(х)кс2(х) определяются следующим образом. Исходный полином кмп(х) имеет корень а23. Тогда одним из корней полинома кЛ(х) должен быть элемент (а23)3 = а69шо(Ш = а6, что соответствует полиному кс1(х) = к2(х) = х6+хА+х2+х + 1.
Заметим, что полином кс1(х) = к2(х) является сомножителем и в выражении (5) для ГМВП вида (3).
Полином кс2(х) должен иметь корень (а23)5 = а115шо(Ш = а52, что соответствует полиному кс2(х) = кр) = х6+х4+х3+х+1.
Искомый проверочный полином для ГМВП
кт(х) = к2(х)к8(х) = х12 + х9+ х1 + х6 + х5 + хА+\.
Аналогичные вычисления для остальных примитивных полиномов поля GF(26) позволяют сформировать полный перечень проверочных полиномов для ГМВП с периодом N = 63, представленный в табл. 2.
Разработанный алгоритм может быть использован для формирования совокупности проверочных полиномов ГМВП в виде произведения неприводимых полиномов для произвольного поля GF[(pm)"].
Структура проверочного полинома ГМВП кг(х), представляющего собой для конечных полей GF\{pm)'i\ произведение двух или более неприводимых полиномов кс.(х) степени = тп, определяет возможность построения устройства формирования в виде совокупности нескольких РС ЛОС.
Устройство формирования представляет собой два или более РС ЛОС, число ячеек Я в каждом из которых равно 5, т. е. степени полиномов ка(х), а сумматоры по тоё_р расставляются в соответствии с коэффициентами этих полиномов. Выходные сигналы РС ЛОС поступают на общий сумматор по тоё_р, являющийся выходом устройства.
Таблица 2
Полиномы ГМВП с периодом N =63
hp) Полиномы-сомножители ГМВП hcl{x) hc2{x) Полиномы базисных МП
hrp) hp)hp) = x'2 + x" + xK + x> + x1 + x2+\ hp)
KP) hp)hp) = xn + x2+x1 + x" + x, + xi+l hp)
hrp) h2(x)h5(x) =x'2 + x" + xM + x9 + xii + x6 + + x5 + x4 + x2 + x + 1 hp)
hjx) hp)hp) = xn + xm + x5 + xi + x2 + x +1 hp)
hrp) h2(x)h8(x) = x12 + xs+x7 + x6 + x5 + x4+l hp)
hJx) hp)hp) =xl2+xll + xl'>+xi + x1 + x6 + + x4 + x3+x2 + x +1 hp)
Основным препятствием для широкого применения устройств формирования ГМВП на основе регистров сдвига является отсутствие в литературе алгоритмов определения их начальных состояний.
Поэтому второй задачей, решаемой в данной статье, является разработка алгоритма определения начальных состояний при построении устройств формирования ГМВП на основе совокупности РС ЛОС.
Разработанный алгоритм основан на использовании следующего структурного свойства проверочных полиномов: корни полиномов ка(х) — сомножителей полинома к (х) — являются фиксированными степенями корней полинома ^(х) базисной МП, на основе которой формируется ГМВП [17].
В рамках алгоритма необходимо определить начало базисной МП в соответствии с (1) при г = 1, а затем провести децимацию символов данной МП по индексам децимации, равным наименьшим показателям степени корней полиномов ка(х).
Одним из способов определения начала МП, то есть символов ( ¿х, (и т. д., является использование свойства примитивных полиномов, согласно которому для конечных полей характеристики р = 2 значение функции следа 1а1 равно значению коэффициента при (5" - 1)-й степени переменной х полинома к (х), а значение функции следа 1а"1 — значению коэффициента при первой степени переменной х.
Для полинома кып(х) =х6+х +1 функции следа 1г61 а1 = О, 1г61а-1 = 1. Тогда символу ( МП в (2) соответствует позиция, для которой сумма 1, 2, 4, 8, 16 и 32-го символов (каждая позиция по очереди считается первой) равна нулю. Такая позиция единственная, и ей соответствует первый символ в первой строке матрицы (2). Для дальнейшего анализа МП записывается, начиная с символов (= 0, ( = 0, ( = О, (=Оитд. (см. табл. 3).
Таблица 3
МП с кшп(х) =х6 + х + 1 и периодом N =63
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8
d. 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
i 9 10 11 12 13 14 15 16 17
d. 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1
i 18 19 20 21 22 23 24 25 26
d. i 0 0 1 1 1 1 0 1 0
i 27 28 29 30 31 32 33 34 35
d. 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0
i 36 37 38 39 40 41 42 43 44
d. 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1
i 45 46 47 48 49 50 51 52 53
d. 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1
i 54 55 56 57 58 59 60 61 62
d. 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1
Затем формируется ПСП с проверочным полиномом кс1(х) = х6+ х4+ х2+ х + 1, корни которого являются третьими степенями корней полинома кмп(х) и имеют период е = 21. Полином кс1(х) является неприводимым, но не
примитивным. Соответственно период псевдослучайной последовательности N= 21, и она представляет собой последовательность функций следа для элементов а0, а3, а6, а9,..., а54, а57, а60, т.е. набор символов исходной МП ( ( (, (..., ¿ъе ¿Ъ1, ¿ж Процесс формирования этой последовательности можно интерпретировать как децимацию базисной МП по индексу децимации 7Л= 3. При этом начала обеих последовательностей связаны между собой.
Так же формируется МП с проверочным полиномом кс2(х) = х6 + х^ + х2 + х + 1, корни которого являются пятыми степенями корней полинома кшп(х) и имеют период е = 63. Полином кс2(х) является примитивным, поэтому период данной МП N = 63. Она представляет собой последовательность функций следа для элементов а0, а5, а10, а15,..., а48, а53, а58. Процесс формирования этой последовательности также можно интерпретировать как децимацию базисной МП, но по индексу децимации 7^=5.
Начальные состояния регистров сдвига, построенных в соответствии с коэффициентами неприводимых полиномов, являющихся сомножителями проверочного полинома ГМВП, определяются начальными сегментами длиной 5 формируемых последовательностей [17].
На практике начальные состояния регистров сдвига определяются децимацией символов базисной МП по соответствующему индексу децимации, начиная с символа Для двоичных ГМВП с периодом 63 ¡Л= 3,7^=5.
Начальное состояние РС ЛОС с полиномом кс1(х) определяется символами ( ( ( ( ( ( а с полиномом к .(х) — символами (, (, „, „ (.„, базисной МП.
с2ч у О' 5' 10' 15' 20' 25
Алгоритм синтеза устройств формирования ГМВП на основе совокупности РС ЛОС представляется как совокупность двух разработанных алгоритмов.
1. Задание проверочного полинома базисной МП с периодом N = ргшп -1.
2. Формирование МП и определение начала последовательности, то есть символов ( ( ( и т.д.
3. Формирование ГМВП из базисной МП путем замены ХП при ее матричном представлении.
4. Определение проверочного полинома ГМВП кг(х)
5. Определение полиномов-сомножителей к (х) для проверочного полинома ГМВП кг(х) и построение соответствующих регистров сдвига с обратными связями. Показатели степени корней полиномов-сомножителей соответствуют индексам децимации.
4. Определение начальных состояний регистров сдвига из символов базисной МП в соответствии с полученными индексами децимации.
5. Формирование последовательностей с проверочными полиномами-сомножителями к (х) для полученных начальных состояний.
6. Формирование искомой ГМВ-последовательности путем посимвольного сложения последовательностей на выходах регистров сдвига.
Для рассмотренной базисной МП с полиномом кмп(х) = х6 + х + 1 и периодом N =63 устройство формирования ГМВП показано на рис. 1.
Рис. 1. Устройство формирования ГМВП на основе полинома базисной МП h (x)=x6 + x +1
МП4 '
Рис. 2. Устройство формирования ГМВП на основе полинома базисной МП h (x) = x6 + x5 + x4 + x +1
МП4 '
На выходе верхнего регистра формируется МП с полиномом hc2(x) = x6+ x5 + x2+ x + 1, начальные состояния выбираются из табл. 3: d0 =0, ¿ъ = d = d = d2Q = d25 = 1.
На выходе нижнего регистра формируется последовательность с проверочным полиномом h (x) =x6+x4+x2+x +1, начальные состояния также выбираются из табл. 3: d = d = d = d = d = 0, d = 1. Период данной последовательности N = 21, поэтому на одном периоде МП с верхнего регистра укладывается три периода ПСП с нижнего регистра.
Сумматоры по модулю 2 в цепи обратной связи регистров сдвига расставляются в соответствии с коэффициентами проверочных полиномов hc2(x) и hcl(x).
Первая ГМВП с периодом N =63 формируется на выходе общего сумматора по модулю 2.
Для базисной МП с проверочным полиномом hMn(x) = = h7(x) = x6+ x5 + x4 + x + 1 и периодом N =63 устройство формирования ГМВП показано на рис. 2.
Структура нижнего регистра осталась без изменений. Значения начальных состояний также остались прежними, хотя номера символов базисной МП изменились. На выходе регистра формируется ПСП с периодом N = 21.
На выходе верхнего регистра формируется МП с полиномом hc2(x) = h(x) = x6 + x4 + x3 + x + 1.
Особенность алгоритма определения начальных состояний регистров сдвига заключается в том, что для получения значений начальных состояний не требуется формирование новой базисной МП. Номера символов для начальных состояний регистров определяются путем двойной децимации символов базисной МП из табл. 3. Новые индексы децимации определяются умножением индексов I = 3 и Id2= 5 на показатель степени корня полинома новой базисной МП hiJx) = x6+x5+x4+x+l, равный 23: Id}= 23!Л mod 63 = 6,
I= 234 mod 63 = 52.
d\ dl
Для нижнего регистра начальные состояния выбираются из табл. 3 с индексом децимации А = 6: d = d' = dо= d„= d.. = 0,
d3 U 6 12 lo 24
d30=l.
Для верхнего регистра начальные состояния также выбираются из табл. 3, но с индексом децимации Id = 52:
d0= d52= d = 0, d30= 1 d19= d8= 0. В^гчисление номеров символов выполняется по mod 63.
Новая ГМВП с периодом N =63 формируется на выходе общего сумматора по модулю 2.
В соответствии с разработанным алгоритмом получено распределение корней полиномов-сомножителей для ГМВП с периодом N = 255 относительно произвольной базисной МП с тем же периодом. Они являются соответственно 7-й, 11-й, 13-й и 37-й степенями корней полинома базисной МП. При этом степень полинома ГМВП равна 32, то есть ЭЛС ГМВП на 6 дб превышает ЭЛС МП.
Таким образом, в статье разработан алгоритм синтеза устройств формирования ГМВП на основе совокупности PC ЛОС, в состав которого входят алгоритм формирования проверочных полиномов ГМВП и алгоритм определения начальных состояний регистров сдвига.
Для произвольного примитивного полинома, выбранного для базисной МП, начальные состояния определяются путем двойной индексации символов базисной МП с учетом показателей степени как корней ее полинома, так и полиномов-сомножителей. При этом не требуется вычисление непосредственно проверочного полинома для ГМВП.
Полученные результаты позволяют применять ГМВП вместо МП в системах передачи информации по широкополосным радиоканалам, к которым предъявляются повышенные требования по конфиденциальности, включая требования по повышению их структурной скрытности.
В качестве показателя структурной скрытности выступает ЭЛС, значения которой для ГМВП на 3-6 дБ превышают значения для МП с аналогичными периодами. С увеличением периода выигрыш по ЭЛС возрастает.
Получен полный перечень проверочных полиномов для двоичных ГМВП с периодом N =63. Для периода N = 255 получено распределение корней полиномов-сомножителей для hjx), однозначно определяющее начальные состояния регистров сдвига через символы базисной МП.
Данные полиномы могут быть использованы при разработке как программных методов формирования ГМВ-
последовательностей, так и устройств формирования, основанных на регистрах сдвига с линейными обратными связями.
Также представленный алгоритм может найти применение для разработки методов формирования других классов псевдослучайных последовательностей, допускающих аналитическое представление в конечных полях.
Литература
1. Ипатов В. П. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов. Принципы и приложения: пер. с англ. / под ред. В. П. Ипатова. М.: Техносфера. 2007. 488 с.
2. ВишневскийВ.М., ЛяховА.И., ПортнойС.Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. М.: Техносфера, 2005. 592 с.
3. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение: пер. с англ. Изд. 2-е, испр. М.: Вильяме, 2003. 1104 с.
4. CDMA: прошлое, настоящее, будущее / под ред. Л.Е. Варакина и Ю. С. Шинакова. M.: MAC, 2003. 608 с.
5. Ershen Wang, Shufang Zhang, Qing Hu. GPS Correlator Research and FPGA Implementation // Journal of System Simulation. 2008. Vol. 20. Pp. 3582-3585.
6. Golomb S. W., Gong G.Signal Design for Good Correlation for Wireless Communication, Criptography and Radar. Cambridge University Press. 2005. 438 p.
7. Ипатов В. И. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. М.: Радио и связь, 1992. 152 с.
8. Прозоров Д.Е., Смирнов A.B., БалановМ.Ю. Алгоритм быстрой кодовой синхронизации шумоподобных сигналов, построенных на последовательностях повышенной структурной сложности // Вестник РГРТУ 2015. № 1 (51). С. 3-9.
9. Golomb S. W. Two-valued sequences with perfect periodic autocorrelation II IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 1992. Vol. 28. No. 2. Pp. 383-386.
10. Lie-Liang Yang, Hanzo L. Acquisition of m-sequences using recursive soft sequential estimation II Wireless Communications andNetworking. 2003. Vol. 1. Pp. 683-687.
11. Cho Chang-Min, Kim Ji-Youp, No Jong-Seon. New p-ary sequence families of period (pAn-l)/2 with good correlation property using two decimated m-sequences II IEICE Transactions on Communications. 2015. Vol. E98. No. 7. Pp. 1268-1275.
12. Юдачев С. С., КалмыковВ. ЯАнсамбли последовательностей GMW для систем с кодовым разделением каналов II Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2012. № 1. URL: http:// elibrary.ru/item. asp?id=17650851 (датаобращения 13.01.2017).
13. Стародубцев В.Г. Алгоритм формирования последовательностей Гордона-Миллса-Велча II Изв. вузов. Приборостроение. 2012. Т. 55. №7. С. 5-9.
14. No Jong-Seon. Generalization of GMW sequences and No sequences II IEEE Transactions on Information Theory. 1996. Vol. 42. No. 1. Pp. 260-262.
15. ChungH., No J. S. Tinear span of extended sequences and cascaded GMW sequences II IEEE Transactions on Information Theory. 1999. Vol. 45. No. 6. Pp. 2060-2065.
16. Стародубцев В. Г. Проверочные полиномы последовательностей Гордона-Миллса-Велча II Изв. вузов. Приборостроение. 2013. Т. 56. № 12. С. 7-14.
17. СтародубцевВ.Г. Формирование последовательностей Гордона-Миллса-Велча на основе регистров сдвига II Изв. вузов. Приборостроение. 2015. Т. 58. №6. С. 451-457.
FORMING OF A BINARY GORDON-MILLS-WELCH SEQUENCES
Viktor G. Starodubtsev,
Saint Petersburg, Russia, vgstarod@mail.ru
Denis N. Borodko,
Saint Petersburg, Russia, denisborodko@yandex.ru Anton M. Popov,
Saint Petersburg, Russia, antony57rus@gmail.com
ABSTRACT
Introduction: broadband signals with good correlation properties, formed on the basis of pseudo-random sequences, used in satellite communications systems, navigation support systems, and in radar systems. In modern telecommunication systems the requirements for the correlation properties and increased demands on structural secrecy imposed on the pseudo-random sequence. The need for Gordon-Mills-Welch sequences in modern communication systems, navigation and radar, which are subject to strict requirements for privacy and structural secrecy, defined by their higher equivalent linear complexity in comparison with the M-sequences, which also have a single-level periodic autocorrelation function. Virtually no ongoing formation GMW sequences algorithms prevents their wide use in data transmission systems. Objective: to develop a synthesis algorithm of devices forming GMW-sequences on the basis of shift registers. Tasks: to develop the algorithm of formation of testing polynomials of GMW-sequences based on the use of the structural properties of finite fields with a double extension, and the algorithm for determining the initial states of the shift registers with linear feedback, included in the device forming GMW-sequences, which testing polynomials are the product of several indivisible polynomials. In conducting research using mathematical apparatus of signal theory and the theory of finite fields. Results: a synthesis algorithm of devices forming GMW-sequences on the basis of shift registers is developed. It includes the algorithm of formation of testing polynomials of GMW-sequences and algorithm for determining the initial states of shift registers. Complete list of test polynomials for binary GMW-sequences of period N = 63 is obtained. For period N=255 the distribution of roots of polynomials-factors of test polynomial for an arbitrary base M-sequence is obtained. The distribution of the roots allows to uniquely determine the initial state of the shift registers through the symbols of the basic M-sequence. Practical relevance: the obtained results allow the use of GMW-sequences instead of M-sequences in the transmission systems for wideband radio channels, which are increased requirements on confidentiality. Equivalent linear complexity of GMW-sequences for 3-6 dB higher than the values for M-sequences. With increasing period the win for ELS increases. The algorithm can be used to develop methods for the formation of other classes of pseudorandom sequences, allowing for analytical representation in finite fields.
Keywords: pseudorandom sequences; finite fields; indivisible and primitive polynomials; correlation function; equivalent linear complexity; shift registers.
References
1. Ipatov V. P. Spread Spectrum and CDMA: Principles and Applications. New York, John Wiley and Sons Ltd. 2005. 398 p.
2. Vishnevskij V. M., Lyahov A. I., Portnoj S. L., SHahnovich I. V. Shirokopolosnye bespro-vodnye seti peredachi informacii [Broadband wireless data transmission network]. Moscow, Tekhnosfera, 2005. 592 p. (In Russian)
3. Sklar B. Digital Communications: Fundamentals and Applications. 2 edition. Prentice Hall, 2001. 1079 p.
4. Varakin L. E., Shinakov Yu.S. (Eds). CDMA: proshloe, nastoyashchee, budushchee [CDMA: Past, Present, Future]. Moscow, MAS, 2003. 608 p. (In Russian)
5. Ershen Wang, Shufang Zhang, Qing Hu, GPS Correlator Research and FPGA Implementation. Journal of System Simulation. 2008. Vol. 20. Pp. 3582-3585.
6. Golomb S. W., Gong G. Signal Design for Good Correlation for Wireless Communication, Criptog-raphy and Radar. Cambridge University Press. 2005. 438 p.
7. Ipatov V. P. Periodicheskie diskretnye signaly s optimal'nymi korrelyacionnymi svojstvami [Periodic discrete signals with optimum correlation properties]. Moscow, Radio i Svyas', 1992. 152 p. (In Russian)
8. Prozorov D. E., Smirnov A. V., Balanov M. Yu. Algorithm fast code synchronization noiselike signals, constructed on an elevated structural complexity sequences. Vestnik Ryazan-skogo gosudarstvennogo radiotekhnicheskogo universiteta [Vestnik of Ryazan State Radio Engineering University]. 2015. Vol. 51. No. 1. Pp. 3-9. (In Russian)
9. Golomb S. W. Two-valued sequences with perfect periodic autocorrelation. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 1992. Vol. 28. No. 2. Pp. 383-386.
10. Lie-Liang Yang, Hanzo L. Acquisition of m-sequences using recursive soft sequential estimation. Wireless Communications and Networking. 2003. Vol. 1. Pp. 683-687.
11. Cho Chang-Min, Kim Ji-Youp, No Jong-Seon. New p-ary sequence families of period (pAn-1)/2 with good correlation property using two decimated m-sequences. IEICE Transactions on Communications. 2015. Vol. E98. No. 7. Pp. 1268-1275.
12. Yudachev S. S., Kalmykov V. V. Ensemble GMW sequences for systems with CDMA. Nauka iobra-zovanie: nauchnoe izdanie MGTU im.N.E.Baumana [Science and Education: Scientific Publication of BMSTU]. 2012. No. 1. URL: http:// elibrary.ru/item.asp?id=17650851 (date of access 13.01.2017). (In Russian)
13. Starodubtsev V. G. The algorithm of formation of Gordon-Mills-Welch sequences. Izvestiya vys-shikh uchebnykh zavedeniy. Priborostroenie [Journal of Instrument Engineering]. 2012. Vol. 55. No. 7. Pp. 5-9. (In Russian)
14. No Jong-Seon. Generalization of GMW sequences and No sequences. IEEE Transactions on Information Theory. 1996. Vol. 42. No. 1. Pp. 260-262.
15. Chung H., No J. S. Linear span of extended sequences and cascaded GMW sequences. IEEE Transactions on Information Theory. 1999. Vol. 45. No. 6. Pp. 2060-2065.
16. Starodubtsev V. G. Testing polynomials of Gordon-Mills-Welch sequences. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Priborostroenie [Journal of Instrument Engineering]. 2013. Vol. 56. No 12. Pp. 7-14. (In Russian)
17. Starodubtsev V. G. Forming of Gordon-Mills-Welch sequences on the basis of the shift registers. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Priborostroenie [Journal of Instrument Engineering]. 2015. Vol. 58. No. 6. Pp. 451-457. (In Russian)
Information about authors:
Starodubtsev V. G., PhD, Docent, assistant professor of the Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics; Borodko D. N., PhD, chief lecturer of the Military Space Academy; Popov A. M., student of the Military Space Academy.
For citation: Starodubtsev V.G., Borodko D. N., Popov A. M. Forming of a binary Gordon-Mills-Welch sequences. H&ES Research. 2017. Vol. 9. No. 2. Pp. 24-31. (In Russian)
