ФОРМИРОВАНИЕ ОРИЕНТИРОВОЧНОЙ ОСНОВЫ ДЕЙСТВИЙ ПРИ РЕШЕНИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПОСРЕДСТВОМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОДСТАНОВОК Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

ФОРМИРОВАНИЕ ОРИЕНТИРОВОЧНОЙ ОСНОВЫ ДЕЙСТВИЙ ПРИ РЕШЕНИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПОСРЕДСТВОМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОДСТАНОВОК

Аннотация

Актуальность статьи обусловлена тем, что феномен ориентировочной основы деятельности рассматривается как один из механизмов формирования умственных действий при решении алгебраических задач посредством тригонометрических методов. Цель статьи состоит в том, чтобы показать, что в ориентировочной основе действий обучающихся отражается программа поисковой деятельности, которая представляет собой совокупность предвидимых действий, объединенных заданием - решением алгебраических задач методом тригонометрической подстановки. Подтверждается, что в ориентировочной части действий осуществляются изменения процесса деятельности и установление взаимосвязи различных разделов математики, а именно: алгебры и тригонометрии.

Ключевые слова

ориентировочная основа деятельности (ООД), алгебраические задачи, тригонометрическая подстановка

АВТОРЫ

Шилова Зоя Вениаминовна,

кандидат педагогических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва zoya_shilova@mail.ru

Забелина Светлана Борисовна,

кандидат педагогических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва zabelina_sb@mail.ru

Введение

Концепция поэтапного формирования умственных действий П. Я. Гальперина позволяет формировать психические процессы с заданными свойствами, тем самым реализуя в том числе и экспериментально-генетический метод, введенный Л. С. Выготским. Отметим, что в основе теории поэтапного формирования умственных действий лежит психологическое учение Л. С. Выготского об интериоризации. Под инте-риоризацией понимается процесс преобразования внешней предметной деятельности во внутреннюю, психическую деятельность, формирование внутренних интеллектуальных структур психики посредством усвоения внешней социальной действительности. Из этого следует, что обучение и воспитание можно рассматривать как процесс интериоризации.

Теория П. Я. Гальперина предлагает один из путей решения этой задачи, а, именно указывает условия, обеспечивающие формирование умственных действий с заранее намеченными свойствами.

Теория формирования умственных действий разграничивает две части осваиваемого предметного умственного действия: его понимание и умение его выполнить. Первая часть играет роль ориентировки и носит название «ориентировочной», вторая - исполнительная.

Действие как предмет усвоения является структурным образованием и включает в себя следующие компоненты: предмет, продукт, цель, мотив, система операций, с помощью которых выполняется действие, а также отражение и знание обо всех перечисленных компонентах действия (ориентировочная основа действия). Ориентировочная основа действия (ООД) - главная составляющая учения П. Я. Гальперина. Под ООД понимается та система условий, система ориентиров и указаний, сведений о всех компонентах действия (предмет, продукт, средства, состав и порядок выполнения операций), на которую реально опирается человек при выполнении умственных действий.

П. Я. Гальпериным и Н. Ф. Талызиной проведена типология ООД:

1. Полнота ООД определяется наличием в ней сведений обо всех компонентах действия: предмете, продукте, средствах, составе и порядке выполнения операций (образец действия).

2. Обобщенность ООД характеризуется широтой класса объектов, к которым применимо данное действие.

3. Способ получения - ООД может даваться обучаемому в готовом виде или составляться им самостоятельно.

Данные три типа ООД теснейшим образом связаны с тремя типами обучения (учения):

1-й тип обучения характеризуется неполным составом ООД, ориентиры представлены в частном виде и выделяются самим субъектом путем слепых проб. В этом случае уяснение и дальнейшая отработка проходят с ошибками, с недостаточным пониманием содержания усваиваемого материала, и всегда применительно к конкретному материалу.

2-й тип обучения характеризуется наличием всех условий, необходимых для правильного выполнения действия. Но эти условия даются субъекту 1) в готовом виде, 2) в частном виде, пригодном для ориентировки лишь в данном случае. Второй тип учения имеет место при уяснении схемы ООД второго типа и характеризуется уже более уверенным и полным пониманием содержания материала, с четким различением существенных и несущественных признаков усваиваемых понятий и состава действий в полном объеме также в ограниченной конкретной области.

3-й тип обучения - ООД имеет полный состав, ориентиры представлены в обобщенном виде, характерном для целого класса явлений. В каждом конкретном случае ООД составляется обучающимся самостоятельно с помощью общего метода, который ему дается. Третий тип учения имеет место при уяснении схемы ООД третьего типа. Для данного типа учения характерно также эффективное протекание процесса понимания содержания учебного материала, сравнительно быстрое, без ошибок и затруднений, с уяснением существенных и несущественных признаков объектов и условий действия с ними в широкой области и самостоятельным переносом знаний об объектах и действиях на все конкретные случаи в пределах данной области.

Поэтапное формирование умственных действий по этой классификации типов обучения соответствует третьему типу. Но успешность обучения такого типа обусловлена не только полной, обобщенной и самостоятельно создаваемой ориентировочной основой действия, но и отработкой действия на разных уровнях его формирования (в разных формах).

234 Modern European Researches No 3 (Т.1) / 2022 Методология и результаты исследования

В настоящей статье рассмотрим формирование ориентировочной основы действий (ООД) обучающихся по применению тригонометрии к решению алгебраических задач.

Основные положения теории поэтапного формирования умственной деятельности П. Я. Гальперина состоят:

1) в подборе материализованной модели изучаемого явления;

2) процессе ее интериоризации (освоения);

3) обобщении и углублении построенной модели.

Основным и направляющим в этой теории является учение об ориентировочной основе умственной деятельности ООД. Она может быть составлена на одно занятие и несколько.

Практика показывает, что идти к созданию ООД третьего типа надо достаточно долго и осторожно, так как чем большую область знаний охватывает ООД, тем более «размытой» является и тем большая «интуиция» должна быть у обучающегося при решении этих задач. Здесь мы рассмотрим один из возможных путей формирования ООД по применению тригонометрии к решению алгебраических задач.

Так как известно, что вся школьная тригонометрия «родилась» из одной фор-2 , 2 1

мулы x + y = 1 координатной окружности, то выделяем главную подстановку вместе с обучающимися.

Ставился вопрос, при каких тригонометрических подстановках равенства станут тождествами:

x2 + y2 = 1 ^x = cosф; y = sinф, фе(0;2л], x2 + y2 = 4 ^ x = 2 cos ф; y = 2 sin ф, фе(0;2л],

x2 + y2 = r2 ^ x = r cos ф, y = r sin ф, фе(0;2л].

Вывод: если неизвестен точный радиус координатной окружности, то вводятся подстановки x = r cosф ; y = r^sinsф .

Далее рассмотрим простую задачу.

Цель - показать эффективность тригонометрических подстановок, активизировать умственную деятельность обучающихся.

Задача. Известно, что 1 < x2 + y2 < 2. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения z = x2 + xy + y2.

Решение. Пусть x = rcosa; y = rsin a; ae(0;2^], из условия следует, что

1 1 + sin 2a 3 1

> <-< ; <

2 2 2 2

í 1 Л 1 1 , o,'», o™ i 1 í 1 Л

1 < r < 2; z = r2

1 + —sin 2a

2

v 2 J

1 +1 sin 2a

2

< 3

v 2 J

V , 1 1

Указываем частные случаи х = 3 при х = у =1, г = — при х = , у = - .

Затем организуем деятельность обучающихся по распознаванию алгебраических выражений, где есть «скрытые» тригонометрические подстановки.

Обучающимся представлялись тригонометрические выражения с требованием обозначить каждую тригонометрическую функцию буквой и записать в тетради буквенное выражение.

Цель - установить признаки, указывающие на полезность при решении алгебраической задачи подстановок х = рсоз^, у = ^т р, г = р^р и т. д.

Преподаватель демонстрирует обучающиеся записывают

4cos3 a-3cosa ^ 4a3 -3a

tga + tg/ a + b

--=> -

1 - tga • tg/ 1 - ab

1 1 1 + tg2 a 1 + a2

2tg 2a

1 - tg2 a 1 - a2

sin a• cos / + cosa- sin / ^ ab + cd

Затем обучающимся предлагались четыре задачи, создающие ориентировку в подстановках.

Решить системы:

а) Среди всех решений системы (а, Ь, с, d) найти такие, при которых Ь + d наименьшее,

а)

a2 + b2 = 9 c2 + d2 = 16 , b) ad + bc > 12

2 x + x2 y = y 2 y + y2 z = z , 2 z + z2 x = x

с)

x

y y3

x

+ xy = 40

+ xy = 10

d) a, b, c - положительные числа, причём a2 = b2 + c2 - 2bccosa, доказать тож-

111 2

дество-- +--- +--- +—, -= 1.

1 + a2 1 + b2 1 + c2 Л/(1 + a 2)(1 + b 2)(1 + c2)

Ход обсуждения. Задачи подобраны так, что решить их быстро обучающимся обычно не удаётся, но в процессе решения у них возникают алгебраические выражения, указывающие на возможность полезных тригонометрических подстановок, а именно:

\а = 3 sin a Гx = р cos ф

а) 1 , . , b) x = tgy с) \

[b = 3cosa [ y = psin ф

d) a = tga, b = tg/, c = tgy, a + ( + y = 180°, a, в, y - острые. Затем переходим непосредственно к решению систем (последовательность их решения и степень самостоятельности обучающихся преподаватель определяет, используя индивидуальный и дифференцированный подход).

с)

x

y y3

x

+ xy = 40

+ xy = 10

o

3 3

p cos ф psin ф

33

p sin ф

+ pcosфsin ф = 40

o

+ pcosфsin ф = 10

p2 ctgф = 40 p2 tgф = 10

=> =>

ctg 2ф = 4 ^ ctgф = +2 1

pcosф

Но p2^ф = 40 > 0 , поэтому

ctgф = 2 , откуда

1 2

= 1 + ctg2ф = 5 ^sin ф = ±^=; cosф = + —^ и 2p2 = 40 ^ p = 2-,f5 sin ф V5 л/5

<

<

<

<

Ответ:

x = 2л/5

y = 2 a/5

+

+

2

s/5

±4

±2

tg 2a =

б) Здесь обучающиеся должны увидеть формулу:

2tga

1 - tg2 а'

где tga Ф ±1, так как возможна потеря корней, то проверим: если х = ±1, то ± 2 + у = у, что невозможно, то есть х Ф ±1. Аналогично, у, г Ф ±1.

Поэтому система б) преобразуется к виду

y =

z =

x

2 x 1 - x2

2 y 1 - y2

2 z

í-7

, а после подстановки

x = tga - к виду

x = tga

y = tg2a + о ПК _

^ tg8a = tga о a = — (ке Z).

z = tg 4a 7

х = tg 8а

Проверка показывает, что все найденные значения а подходят и дают восемь решений: (0, 0, 0),

Л ~ А 5лл

7

7

7

и все их циклические переста-

J

п 2п 4л tg —, tg —, tg — v 7 6 7 6 7 j v новки.

а) Имеем: sin a cos ¡5 + cos a sin ¡5 = sin(a + ¡) > 1 о , sin(a + ¡) > 1 о п

a + ¡ = — + 2лп; (n е Z ), откуда

c = 4 sin

^ л л

- a + 2лп

v 2 j

с

л b

= 4cosa = 4 —;

3

в = 4 cos

л

a + 2пп

v 2 j

= 4 sin a = 4 •

a 3

Поэтому b + d = 3 cos a + 4 sin a = 5 sin ф > -5 . Осталось подобрать значения a, b, c, d, при которых b + d = 3cosa + 4sina = 5sinф = -5:

5

v

<

v

<

<

b + d = -5

9

b2 + — d2 = 9 16

c

d

4b

У

3d

У

о

d = -b = -c = -a

16 5 9 5 12 У 12 5

Ответ:

12 9 12 16"

5 5 5

5

d) a = tga, b = tgfi, c = tgy, где а, в, у - острые, a + fi + y = 180°. Доказываемое тождество примет вид: cos2 a + cos2 fi + cos2 y + 2cosacosficosy = 1, cos 2a cos2fi

+

+ cos у = -2 cos a- cos (- cosy ,

так

как

22

cos(a + fi) • cos(a-fi) + cos2(a + fi) = -2 cos a- cos fi- cosy y = 180 ° - (a + fi),

cos(a + fi)[cos(a - fi) + cos(a + fi)] = -2 cosy • cos a • cos fi что и требовалось доказать.

Приведём несколько задач для самостоятельной работы: 1. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения

3xy - 4x2

2 . 2 X + y

2. Решить уравнение л/1 - х2 = 4х3 - 3х.

3. Сколько корней х е [0; 1] имеет уравнение 8х(1 - 2х2)(8х4 - 8х2 +1) = 1.

1 (х + у) • (1 - ху) 1

4. Доказать, что при любых х, у - ^-;-— ^ .

Д , р , У 2 (1 + х2) • (1 + у2) 2

5. Найдите наибольшее значение выражения:

xy + У1 - y2 + W1 - x2 - л/(1 - x2)(1 - y2).

Таким образом, выделим программу поисковой деятельности. 1. В алгебраической задаче надо увидеть или выделить математические выражения, напоминающие части тригонометрических тождеств:

ab + cd о sin «sin ( + cosacos(, p(a2 + b2) ^ psin2 a + pcos2 a,

b(1 - a2) = 2a ^

2tga 1 - tg2 a '

4a3 - 3a ^ 4 cos3 x - 3 cos x = cos 3x и т. д.

Ввести соответствующие тригонометрические подстановки с ограничениями на а, такими, что вводимая функция принимает свои значения только один раз.

2. Если тригонометрические подстановки имеют свои новые ограничения, то их нужно проверить, подставив в данную задачу.

3. Все полученные корни отбираются из выбранного промежутка для угла а.

Заключение

Первоначальная схема образования умственных действий превратилась в развитую теорию происхождения конкретных психических процессов и явлений.

Использование метода формирования умственных действий позволяет «выравнивать» успеваемость, добиться устойчиво успешного решения разными обучающимися определенного класса задач, в том числе алгебраических задач.

Значение теории П. Я. Гальперина состоит в том, что она указывает преподавателю, как надо строить обучение, чтобы эффективно формировать знания и действия с помощью главного дидактического средства - ориентировочной основы.

ССЫЛКИ НА ИСТОЧНИКИ

1. Гальперин П.Я., Кабыльницкая С.Л. Экспериментальное формирование внимания. — Москва, 1974.

2. Ильясов И.И. Структура процесса учения - Москва : Издательство Московского государственного университета, 1986.

3. Талызина Н.Ф. Педагогическая психология. - Москва : Издательский центр «Академия», 1998.

Zoia V.Shilova,

Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow, Russia zoya shilova@mail.ru Svetlana B. Zabelina,

Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow, Russia zabelina sb@mail.ru

Formation of an indicative basis for actions in solving algebraic problems by means of trigonometric substitutions

Abstract. The relevance of the article is due to the fact that the phenomenon of the indicative basis of activity is considered as one of the mechanisms for the formation of mental actions in solving algebraic problems by means of trigonometric methods. The purpose of the article is to show that the indicative basis of the students' actions reflects the program of search activity, which is a set of predictable actions combined by the task - solving algebraic problems by the method of trigonometric substitution. It is confirmed that in the indicative part of the actions, changes are made in the process of activity and the establishment of the relationship of various sections of mathematics, namely algebra and trigonometry. Keywords: indicative basis of activity (OOD), algebraic problems, trigonometric substitution.