Использование информационных технологий при реализации тригонометрического анализа равнобедренных треугольников правильной четырехугольной пирамиды Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514;004

В. В. Богун

Использование информационных технологий при реализации тригонометрического анализа равнобедренных треугольников правильной четырехугольной пирамиды

В статье представлено применение информационных технологий (графический калькулятор и персональный компьютер) для проведения тригонометрического анализа взаимосвязей между равнобедренными треугольниками, входящими в состав правильной четырехугольной пирамиды (поперечный, граневый и диагональный треугольники). Рассмотрены пропорциональные зависимости между линейными элементами данных равнобедренных треугольников, полученные на основе применения разработанного автором программного обеспечения для графического калькулятора и персонального компьютера на локальном и сетевом уровнях, а также приведено описание этого программного обеспечения.

Ключевые слова: равнобедренные треугольники правильной четырехугольной пирамиды, пропорциональные зависимости, графический калькулятор, программирование на языке Object Pascal в среде Delphi, технология интернет-программирования PHP.

V. V. Bogun

Use of Information Technologies in Implementation of the Trigonometric Analysis of Isosceles Triangles of the Correct Quadrangular Pyramid

Use of information technologies is presented in the article (the graphic calculator and a personal computer) to carry out the trigonometrical analysis of interrelations between the isosceles triangles, a part of the correct quadrangular pyramid (cross, edge and diagonal triangles). Proportional dependences between linear elements of these isosceles triangles, received on the basis of use of the software developed by the author for the graphic calculator and the personal computer at local and network levels are considered, and also the description of this software is provided.

Keywords: isosceles triangles of the correct quadrangular pyramid, proportional dependences, a graphic calculator, programming in the Object Pascal language in the environment of Delphi, technology of the Internet programming of PHP.

Введение

В предлагаемой статье проведен математический анализ равнобедренных треугольников, входящих в состав правильной четырехугольной пирамиды, и рассмотрено разработанное автором программное обеспечение для графического калькулятора [6] и персонального компьютера на локальном и сетевом уровнях для реализации данных исследований в наглядной и удобной информационной форме.

Представлены исследования изучаемых геометрических свойств равнобедренных треугольников [7] с точки зрения нахождения пропорциональных зависимостей между линейными элементами через интеграцию элементарной геометрии и тригонометрии с применением необходимых поисковых алгоритмов [1, 2].

Теоретический аспект

Для реализации тригонометрического анализа равнобедренных треугольников, входящих в правильную четырехугольную пирамиду, необходимо определиться с взаимосвязями между углами при основаниях данных треугольников.

Для правильной четырехугольной пирамиды BKLMN, изображенной на рис. 1 ниже, основными равнобедренными треугольниками являются следующие:

- Поперечный треугольник правильной четырехугольной пирамиды - равнобедренный треугольник, получаемый при рассечении правильной четырехугольной пирамиды фронтальной плоскостью, проходящей через ее вершину и середины противоположных сторон основания (треугольники AABC = ABRS, углы при основаниях ZBAC = ZBCA = ZBRS = ZBSR = а).

© Богун В. В., 2013

- Граневый треугольник правильной четырехугольной пирамиды - равнобедренный треугольник, совпадающий с гранью правильной четырехугольной пирамиды (треугольники ЛБКЬ = АБЬЫ , углы при основаниях АБКЬ = АБЬК = АБЬЫ = АБЫЬ = в).

- Диагональный треугольник правильной четырехугольной пирамиды - равнобедренный треугольник, получаемый при рассечении правильной четырехугольной пирамиды фронтальной плоскостью, проходящей через ее вершину и противоположные вершины сторон основания (треугольники ЛБКЫ = ЛБЬЫ, углы при основаниях АБКЫ = АБЫК = АБЬЫ = АБЫЬ = у).

Рис. 1. Правильная четырехугольная пирамида

В правильной четырехугольной пирамиде между углами исследуемых равнобедренных треугольников существует следующая зависимость: произведение синусов углов при основаниях поперечного и граневого треугольников равно синусу угла при основании диагонального треугольника ( sin а • sin в = sin у). Для поперечного треугольника AABC имеем соотношения:

BD

sin а = sin ZBAC = sin ZBCA =-.

AB

Для граневого треугольника ABKL имеем соотношения:

BS

sin в = sin ZBKL = sin ZBLK =-.

BK

Для диагонального треугольника AABKM имеем соотношения:

BD

sin y = sin ZBKM = sin ZBMK =-.

BK

Поскольку AABC = ABRS , то AB = BS.

. _ BD BS BD AB BD BD

Так как Sin а • Sin в =---=---=- и Sin Y =-, то получаем искомое

AB BK AB BK BK BK

выражение: Sin а • Sin в = Sin Y.

Между тригонометрическими функциями углов при основаниях поперечного, граневого и диагонального треугольников правильной четырехугольной пирамиды BKLMN, изображенной на рис. 1, существуют следующие взаимосвязи:

- Котангенс угла при основании граневого треугольника равен косинусу угла при основании поперечного треугольника:

KS AD

- ctgB = ctgZBKL =-=-= cos ZBAC = cos а.

BS AB

- Разность квадратов тангенсов углов при основаниях граневого и поперечного треугольников равна единице:

- 1 + tg2a =-—-, cosa = ctgP = , поэтому получим, что 1 + tg2а = tg2в, или

cos2 a tgP

tg2 в- tg2a = 1.

- Тангенс угла при основании поперечного треугольника равен произведению тангенса угла при основании диагонального треугольника и квадратного корня из двух:

- tga = tgZBAC = — =t BD г-, = — •VI = 42tgZBKM =42tgY.

AD (dk/42 ) DK & 6r

- Квадрат тангенса угла при основании граневого треугольника равен сумме удвоенного квадрата тангенса угла при основании диагонального треугольника и единицы:

- tg2в = tg2ZBKL = 1 + tg2a = 1 + (42tgY)2 = 1 + 2tg2y .

В табл. 1 представлены отношения между квадратами тангенсов углов при основаниях поперечного, граневого и диагонального треугольников правильной четырехугольной пирамиды.

Таблица 1

Отношения между углами при основаниях поперечного, граневого и диагонального треугольников правильной четырехугольной пирамиды

Соотношения а в Y

а i tg2 а = tg2 в-1 22 tg а = 2tg r

в tg2 в = tg2a +1 1 tg2p = 2tg2r +1

Y 2 tg2a tgY= 2 tg2r = tglp2 -1 i

Рассмотрим пропорциональные зависимости между линейными элементами двух равнобедренных треугольников на плоскости при наличии условия, что углы при основаниях равнобедренных треугольников являются углами при основаниях основной тройки равнобедренных треугольников, образующих правильную четырехугольную пирамиду, то есть поперечного, граневого и диагонального треугольников.

Между линейными элементами двух равнобедренных треугольников, один из которых является поперечным треугольником, а второй - граневым треугольником одной правильной четырехугольной пирами-

2 2 2 2 ды, то есть выполняются равенства ОС 1 = ОС , ОС 2 = в и tg ОС 2 = tg в = tg ОС + 1 = tg ОС 1 + 1,

имеют место следующие пропорциональные зависимости, полученные в качестве результатов обработки в представленном в монографии [3] программном обеспечении для графического калькулятора и персонального компьютера на локальном и сетевом уровнях (при доказательствах используются отношения линейных элементов треугольников к основным высотам треугольников):

- Отношение основной высоты второго треугольника к боковой стороне первого треугольника равно отношению половины основания второго треугольника к половине основания первого треугольника, то есть:

и.

ъ

a-

a,

h2 h2 к, h2 h2 h2 — = — ■ ——- = i ■ sina- — = sina- —.

Ъ h2 Ъ,

h

h

a-

a,

a-

h1 h2

1

h.

h2 a, hi

tga tgß hi

hi tga

Ji+tg

a

h h,

i

tga h2

h1

1

cos2 а

sin a ■ cos a h2 cos a hi

Таким образом,

= sina

hi h

h> bi

a,

a

i

- Отношение основной высоты второго треугольника к разности между основной высотой первого треугольника и радиусом вписанной в него окружности равно отношению половины основания второго тре-

h

угольника к радиусу вписанной в первый треугольник окружности, то есть:

2

a

2

h

h

h

h

h

(h - r )i h

(h - Г )i h2 (h - Г )i h

— = i -(i + cosa)-— = (i + cosa)- —.

h

a-

a,

hi hi

h2 ri hi tgß cos a

i i + cosa h2 h

i д/i + tg2a

i

i + cosa h2

II

cosa

h

= cosa

i + cosa h2

cosa

h

= (i

hi

i + cosa h2

hi

) hz h,

cosa

+ cosa

cos2 а

Таким образом,

h

a

(h - r)

i

r

i

- Отношение основной высоты второго треугольника к радиусу описанной вокруг первого треугольника окружности равно учетверенному отношению разности между основной высотой второго треугольника и радиусом описанной вокруг него окружности к основной высоте первого треугольника и равно удвоенному отношению разности между диаметром описанной вокруг второго треугольника окружности и его основной высотой к разности между диаметром описанной вокруг первого треугольника окружности и его основной высотой, то есть:

к^ = 4 (и - я) = (о - и) я

ч

h

i

(D - h)

2

r

i

i

r

i

i

И2 И2 И, И2 7 „ 2 И2 2 И2 = —■ — ■ — = 1 ■ 28т2 а--2 = 28т2 а—2-. Я, И2 Я, И, И, И,

4 (И - Я )2 = 4 (И - Я )2 ■ И± ■ = 4 ■ 2*т2 в-1 ■ 1 ■ = И И2 И, И, 2sin2 в И,

tg2в-! 1 + tg2в И2 0 tg2в-1 И2 0 tg2а И

---^^^ = 2 ---2- = 2 ■

Ь

1 + tg2в 2tg2в И, tg2в И, " tg2а +1 И,

sin2 а 2 И2 2 И2

= 2--т— cos а ■ — = 2 sin а ■ —.

¿ш- а И, И

!

2 (Д - И)2 2 (Д - И)2 И, И2 1 И2

2 ■ -ч— = 2 ■-■ -г— ■-= 2 ■--— ■tg а ■ —

(Д - И) И2 (Д - И) И, tg2в И, tg2а И2 , ^Ип2 а 2 „ И2 о • 2 „ И2

= 2 —-—----= 2---— cos а--= 2 sin а--.

! + tg2а И1 о а И1 И,

Таким образом,

И2 , (И - Я Я)2 о (Д - И)

= 4 Л-12 = 2 ■-,-'2.

Я и1 (д - и)

ч

- Отношение половины основания второго треугольника к боковой стороне первого треугольника равно отношению разности между диаметром описанной вокруг второго треугольника окружности и его основ-

ной высотой к половине основания первого треугольника, то есть:

а2 (Д - И )2

Ъ1 а,

а2 а2 И, И2 1 И2 sinа И2 sinа И2

— = ^ ■ —1---^ =--sinа■ — = = ■ — = = ■ —

Ъ1 И2 Ъ1 И1 И1 ф + tg2а И1 ф + tg2а И1

■ И2

= sinа■ cos а ■ —.

И,

(Д -И)2 = (Д -И)2 А А = А__И± = ^а А =

а, И2 а, И, tg2в И, ! + tg2а И,

sinа 2 И2 И2

- cos а ■ — = sinа■ cos а

cos а И, И,

Таким образом,

а2 (Д - И)2

Ъ, а,

- Отношение половины основания второго треугольника к разности между основной высотой первого треугольника и радиусом вписанной в него окружности равно отношению разности между диаметром описанной вокруг второго треугольника окружности и его основной высотой к радиусу вписанной в первый

треугольник окружности, то есть:

а2 (Д - И)2

(И - г)

Г1

a2 a2 h¡ h2 1 /т ч h2

2 - 2 1 .-L =--(1 + cosa)-— =

(h - Г )1 h2 (h - Г )1 h1 tgß h1

1 (1 + cosa)- — = cosa-(1 + cosa)- —.

ф + tg2a 4 7 h1 4 ' h1

(D - h)l (D - h) 2 h1 h2 1 1 + cosa h

r1 h2 r1 h1 tg2 ß cosa h1

1 1 + cosa h2 2 1 + cosa h2 h2

= cos a----- = cos a -(1 + cos a)- —.

1 + tg 2a cosa h1 cosa h1 h

Таким образом,

a2 (d - h )2

/1 r1

(к - г )

Между линейными элементами двух равнобедренных треугольников, один из которых является поперечным треугольником, а второй - диагональным треугольником одной правильной четырехугольной пи-

tga tga1

рамиды, то есть выполняются равенства а1 = а , а2 = У и tga2 = tgY = —= —^— > имеет место следующая пропорциональная зависимость, полученная в качестве результатов обработки в представленном в монографии [3] программном обеспечении для графического калькулятора и персонального компьютера на локальном и сетевом уровнях (при доказательствах используются отношения линейных элементов треугольников к основным высотам треугольников):

- Отношение основной высоты второго треугольника к основной высоте первого треугольника равно половине отношения разности между диаметром описанной вокруг второго треугольника окружности и его основной высотой к разности между диаметром описанной вокруг первого треугольника окружности и его

- - к2 (- к к)2

основной высотой, то есть: _

h1 2- (D - h) ' (D - h) (D - h) h h2 tg2a h2 tg2a h2 h

2- (D - h) 2h2 (D - h) h1 2tg2у h1 tg2a h1 h h2 (D - h)

1

Таким образом, 2 ~ 2

к1 2- ( - к) '

Между линейными элементами двух равнобедренных треугольников, один из которых является гране-вым треугольником, а второй - диагональным треугольником одной правильной четырехугольной пирами-

Л 2 2 tg2p-1 tg2a1 -1

ды, та есть в^л™™ ргшешгаа ^ =Р, ^ =у и tg = Ш Г ==,

имеет место следующая пропорциональная зависимость, полученная в качестве результатов обработки в представленном в монографии [3] программном обеспечении для графического калькулятора и персонального компьютера на локальном и сетевом уровнях (при доказательствах используются отношения линейных элементов треугольников к основным высотам треугольников):

- Отношение основной высоты второго треугольника к разности между основной высотой первого треугольника и радиусом описанной вокруг первого треугольника окружности равно отношению диаметра описанной вокруг второго треугольника окружности к радиусу описанной вокруг первого треугольника окружности и равно отношению разности между диаметром описанной вокруг второго треугольника окруж-

ности и его основной высотой к разности между диаметром описаннои вокруг первого треугольника ок-

h

ружности и его основной высотой, то есть:

2

d2 (d - h)

2

(h - R ) Ri (D - h )/

h

h

h

(h - R) h2 (h - R) h D

h2 _ i 2sin2 в h

2

D2 h1 h2

Rj h2 Ri hi

1 + tg2e 2

2 _ 2sin2 в h 1 2sin2 в-1 h1 2sin2 в-1 h1

-2sin2 в • ^ _ l+^Y. 2sm2 в • ^ _

81П у

h

1

tg2Y

h

1

2 tg2в-1

2 2 2 sin в c°s в

.w в• ^ _1+g в

h

h

, .2sin2 в • —

к 1 h1

2sin2 в h2

2 2 sin в "2 2 sin в h2

c°s2 в 1 - 2c°s2 в h1 1 - 2c°s2 в h1 2sin2 в-1 h1

(D - h) (D - h) hj

h2

1

2 tg2в h

tg Y h

2

(D - h )1 h2 (D - h )1 h1 _ 2sin2 в c°s2 в h2 _ 2sin2 в h c°s2 в 2sin2 в-1 h1

Таким образом,

h2 _ hi tg2в-1 h

1

2sin2 в-1 h1

h

D2 (D - h )2

(h - R) R1 (D - h)/

Описание программного обеспечения

Рассмотрим разработанное автором программное обеспечение для проведения тригонометрического анализа двух равнобедренных треугольников на плоскости, входящих в состав правильной четырехугольной пирамиды, представленное на графическом калькуляторе [3, 4, 5] и персональном компьютере на локальном и сетевом уровнях в виде программ под общим названием "РУЯАЫ 2".

Для начала работы с программой на графическом калькуляторе необходимо запустить программу с наименованием "РУЕАМ 2", в рамках которой в диалоговом окне меню (рис. 2А) выбирается наименование исходного угла равнобедренного треугольника (угол при основании поперечного, граневого или диагонального треугольника). После непосредственного ввода значения угла (рис. 2В) осуществляется выбор для каждого из двух исследуемых треугольников угла при основании (рис. 2С и 2Б), то есть одного их трех треугольников, образующих пирамиду, вывод в виде матрицы "А" значений углов при основаниях треугольников, входящих в пирамиду, в градусах и радианах, а также тригонометрических функций для данных углов (рис. 2Е).

После вывода данного информационного окна реализуется последовательный выбор совпадающих линейных элементов первого и второго равнобедренного треугольников соответственно (рис. 2Б и 20), а затем по выбору наименования операции (расчет и вывод значений отношений, целочисленных отношений или пропорциональных зависимостей между линейными элементами равнобедренных треугольников), что отражено на рис. 2Н, осуществляется вывод необходимых диалоговых окон результатов вычислений в виде соответствующих матриц "В", "Е"и "¥" (рис. 21, 21 и 2К).

На следующем шаге осуществляется выбор наименования линейного элемента равнобедренных треугольников (рис. 2Ь), ввод значения данного элемента (рис. 2М) и вывод в виде матрицы "^"значений линейных элементов равнобедренных треугольников (рис. 2Ы). Затем реализуется выбор характерной точки равнобедренных треугольников (рис. 20), ввод значений ее координат (рис. 2Р) и последующий вывод в

2

виде матрицы "Н" значений координат характерных точек (рис. 6Q) и вывод в виде матрицы " значений координат совпадающих характерных точек равнобедренных треугольников (рис. 6Я).

На последнем этапе работы программы осуществляется настройка параметров вывода рассматриваемых равнобедренных треугольников с точки зрения отображения вписанных и описанных окружностей (рис. 68, 6Т) с последующей визуализацией равнобедренных треугольников (рис. 6Ц).

ISELECT ENTER ANGLE R = TRANSUERSE В = UERGE С = DIAGONAL OR PREUIOUS

SELECT ANGLE TR 1

A = TRANSUERSE В = UERGE С = DIAGONAL OR PREUIOUS 2

<1> <2> <3> (4>

ISELECT ANGLE TR 2 A = TRANSUERSE <1> В = UERGE <2>

С = DIAGONAL <3> OR PREUIOUS (4>1 3

B

C

D

SELECT LIN ELEM TR

Н<П AC2) ВСЗ) Rl(4 H-RK5J H-D1(6) R2(7) H-R2(8)

OR PREUIOUS il0> S

SELECT LIN ELEM TR :

Hi 15 А(2> Bi3i RK4 H-R1C5) H-DK6) R2(7> H-R2i8> D2-H(9)

OR PREUIOUS <10>' 1

ISELECT CALCUL IN TR! RATIONS LIN ELS (l) INT RATIONS LIN (2> PROPORTIONS LIN (3>

OR NEXT OR PREUIOUS 1

(4> <5)1

G

H

K

ISELECT LINEAR ELEM H А В RU H-RU H-DU RO H-RO DO-H TR1(1-9) TR2(10-18)

OR PREUIOUS

a?)?

L

M

N

INUMBER OF POim-

INPUT UALUE COORD X' 58

INPUT UALUE COORD V 67

SELECT DRAW OPT TR 1 TRIAN ONLV il) TRIAN I NSC CIR (2) TRIAN DESC CIR <3) TRIAN ALL CIR (4) PREU <5) QUIT (6)? 3

SELECT DRAW OPT TR 2 TRIAN ONLV il) TRIAN INSC CIR <2> TRIAN DESC CIR <3> TRIAN ALL CIR

PREU

3

________ (4)

(5) QUIT (6)?

T

U

F

I

J

P

S

Рис. 2. Скриншоты из программы "РУНАМ 2"

Программы для персонального компьютера на локальном и сетевом уровнях под общим названием "РУЯЛМ 2" состоят из двух компонентов: формы для указания параметров значений исходных данных и

формируемой на основе расчетов статической интернет-страницы для вывода и визуализации результатов вычислений.

Для ввода и выбора значений исходных данных в рамках программ выступают необходимые компоненты визуальных графических форм (рис. 3 и рис. 4 для локального и сетевого уровней соответственно), которые позволяют настроить необходимые параметры решаемой задачи.

Si Геометрические свойства двух равнобедренных треугольников правильной четырехугольной пирамиды

П X

Сведения о программе

© + Все права защищены. 2012. Богун Виталий Викторович. Подделка преследуется по закону! Сайт: www.boqun.yaroslavl.ru E-mail: [email protected]

Исходные данные для расчетов Параметры вывода результатов расчетов

Указание наименования файла

Параметры углового элемента

Выбор системы мер Выбор угла Значение угла Выбор угла для тр-ка 1 Выбор угла для тр-ка 1 Deg - Градусы

Gamma - Угол при основании диагоналы- v

62

Beta - Угол при основании граневого тре v

Gamma - Угол при основании диагоналы- v

Параметры линейных элементов Выбор совпадающих элементов Элемент треугольника 1

(h-R)l - Разность между основной высот v

Элемент треугольника 2 Выбор элемента Значение элемента

h2 - Основная высота тр-ка 2

rl - Радиус вписанной окружности тр-ка v

57

Параметры характерной точки Выбор точки

D1 - Середина основания тр-ка 1

Значение абсциссы X

58

Значение ординаты Y 57

C:\Delphi PRGEO\PYRAM 2\l.html

Выбор сохраняемых компонентов 0 Исходные данные 0 Тригонометрические функции углов 0 Отношения между линейными элементами 0 Целочисленные отношения между линейными элементами 0 Пропорциональные зависимости между линейными элементами 0 Размеры линейных элементов 0 Координаты характерных точек 0 Координаты совпадающих характерных точек 0 Формирование изображения треугольников

Визуальные компоненты изображения_

Коэффициент масштабирования: 1

0 Вписанная окружность треугольника 1 0 Описанная окружность треугольника 1 0 Вписаннная окружность треугольника 2 0 Описаннная окружность треугольника 2 0 Обозначения характерных точек 0 Обозначения углов 0 Размерные стрелки 0 Обозначения линейных элементов 0 Вывод исходного кода изображения

Реализовать расчеты

Формирование изображения по исходному коду

Рис. 3. Форма указания исходных данных и параметров визуализации для программы "РУЯ4М 2"

(локальный уровень)

Для вывода и визуализации результатов вычислений в рамках рассматриваемых программ выступают идентичные для локального и сетевого уровней статические интернет-страницы, которые отображают следующие заранее выбранные компоненты расчетов для рассматриваемых равнобедренных треугольников:

1. Значения исходных данных для равнобедренных треугольников.

2. Значения тригонометрических функций углов.

3. Отношения между линейными элементами.

4. Целочисленные отношения между линейными элементами.

5. Пропорциональные зависимости между линейными элементами (рис. 5).

6. Значения размеров линейных элементов.

7. Значения координат характерных точек.

8. Значения координат совпадающих характерных точек (рис. 6).

9. Визуальный вывод равнобедренных треугольников с отображением визуальных компонентов (рис. 7).

10. Исходный код изображения равнобедренных треугольников для локального и сетевого уровней, который позволяет осуществлять последующую полноценную обработку графического изображения равнобедренных треугольников.

Рис. 4. Скриншот диалогового окна указания значений параметров исходных данных для программы "РУЯАМ 2"

(сетевой уровень)

Рис. 5. Вывод пропорциональных зависимостей и значений между линейными элементами равнобедренных

треугольников

Значения координат совпадающих характерных точек двух равнобедренных треугольников правильной четырехугольной пирамиды с углами при основаниях Alplia 1 [Beta (Bt)] = 70.611820870201° и Alplia 2 [Beta (Bt)] = 62е

Треугольник 1 Треугольник 2

№ Наименование точки Обозначение Значение X Значение Y Наименование точки Обозначение Значение X Значение Y

1 Середина основания треугольника Di 58.0000 67.0000 Середина основания треугольника 58 0000 67.0000

2 Центр описанной окружности треугольника °21 58.0000 161.0072 Вершина между боковыми сторонами треугольника В2 58 0000 161.0072

Рис. 6. Вывод значений координат совпадающих характерных точек равнобедренных треугольников

Визуальный вывод двух равнобедренных треугольников правильной четырехугольной пирамиды с углами при основаниях А1р1ъа 1 [Ве*а (В^] = '0.6118208 "0201° и А1р1ъа 2 [В<?1а (В^] = 62°

Дополнительные визуальные компоненты

1 Вписанная окружность треугольника 1.

2. Описанная окружность треугольника 1.

3. Вписанная окружность треугольника 2.

4. Описанная окружность треугольника 2.

5. Обозначения характерных точек.

6. Обозначения углов.

7. Размерные стрелки.

8. Обозначения линейных элементов.

9. Вывод исходного кода изображения.

Bl

Рис. 7. Визуальный вывод равнобедренных треугольников Библиографический список

1. Богун, В. В. Геометрические свойства равнобедренных треугольников [Текст] / В. В. Богун // Ярославский педагогический вестник. - 2002. - № 2. - С. 119-124.

2. Богун, В. В. Геометрия древнего Египта [Текст] / В. В. Богун. - М. : Компания Спутник+, 2003. - 203 с.

3. Богун, В. В. Организация учебного процесса по математике с применением графического калькулятора [Текст] / В. В. Богун. - LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, Germany, 2012. - 380 с.

4. Богун, В. В. Применение различных средств информатизации для исследования правильных четырехугольных пирамид [Текст] / В. В. Богун // Вестник Костромского государственного университета им. Н. А. Некрасова. 2012. -№ 1. - С. 106-110.

5. Богун, В. В., Смирнов, Е. И. Лабораторный практикум с графическим калькулятором [Текст] : учеб. пособие / В. В. Богун, Е. И. Смирнов. - Ярославль : Изд-во «Канцлер», 2010. - 272 с.

6. Дьяконов, В. П. Современные зарубежные микрокалькуляторы [Текст] / В. П. Дьяконов. - М. : СОЛОН-Р, 2002. -400 с.

7. Кожухов, И. Б., Прокофьев, А. А. Справочник по математике [Текст] / И. Б. Кожухов, А. А. Прокофьев. - М. : «Лист», 1999. - 640 с.

Bibliograficheskiy spisok

1. Bogun, V. V. Geometricheskiye svoystva ravnobedrenny'h treugol'nikov [Tekst] / V. V. Bogun // Yaroslavskiy pedagogicheskiy vestnik. - 2002. - № 2. - S. 119-124.

2. Bogun, V. V. Geometriya drevnego Yegipta [Tekst] / V. V. Bogun. - M. : Kompaniya Sputnik+, 2003. - 203 s.

3. Bogun, V. V. Organizatsiya uchebnogo protsessa po matematike s primeneniyem graficheskogo kal'kulyatora [Tekst] / V. V. Bogun. - LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, Germany, 2012. - 380 s.

4. Bogun, V. V. Primeneniye razlichny'h sredstv informatizatsii dlya issledovaniya pravil'ny'h chetyrekhugol'ny'h piramid [Tekst] / V. V. Bogun // Vestnik Kostromskogo gosudarstvennogo universiteta im. N. A. Nekrasova. 2012. - № 1. - S. 106-110.

5. Bogun, V. V., Smirnov, Ye. I. Laboratorny'y praktikum s graficheskim kal'kulyatorom [Tekst] : ucheb. posobiye / V. V. Bogun, Ye. I. Smirnov. - Yaroslavl' : Izd-vo «Kantsler», 2010. - 272 s.

6. D'yakonov, V. P. Sovremenny'ye zarubezhny'ye mikrokal'kulyatory' [Tekst] / V. P. D'yakonov. - M. : SOLON-R, 2002. - 400 s.

7. Kozhuhov, I. B., Prokofyev, A. A. Spravochnik po matematike [Tekst] / I. B. Kozhukhov, A. A. Prokofyev. - M. : «List», 1999. - 640 s.