Исследование взаимосвязей между равнобедренными треугольниками с применением информационных технологий Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514;004

В. В. Богун

Исследование взаимосвязей между равнобедренными треугольниками с применением информационных технологий

В статье представлено исследование взаимосвязей между равнобедренными треугольниками на плоскости c использованием информационных технологий при условии равенства угла при основании одного треугольника углу между боковыми сторонами второго треугольника. Рассмотрены пропорциональные зависимости между линейными элементами равнобедренных треугольников на плоскости, полученные в результате применения разработанного автором программного обеспечения для графического калькулятора и персонального компьютера на локальном и сетевом уровнях. Приведены необходимые теоремы и проанализированы частные случаи взаимного расположения равнобедренных треугольников через призму вписанных и описанных окружностей.

Ключевые слова: равнобедренные треугольники, пропорциональные зависимости, графический калькулятор, программирование на языке Object Pascal в среде Delphi, технология интернет-программирования PHP.

V. V. Bogun

Research of Interrelations between Isosceles Triangles with Use of Information Technologies

In the article research of interrelations between isosceles triangles on the plane with use of information technologies under condition of equality of the corner on the basis of one triangle is presented to a corner between lateral faces of the second triangle. Proportional dependences between linear elements of isosceles triangles on the planes received as a result of use of the software developed by the author for the graphic calculator and the personal computer at local and network levels are considered. Necessary theorems are provided and special cases of mutual positioning of isosceles triangles through a prism of the entered and described circles are considered.

Keywords: isosceles triangles, proportional dependences, a graphic calculator, programming in the Object Pascal language in the environment of Delphi, a technology of the Internet programming of PHP.

Введение

Данная статья посвящена проведению математического анализа пар равнобедренных треугольников на плоскости, для которых выполняется условие равенства угла при основании одного треугольника углу между боковыми сторонами второго треугольника, и рассмотрению разработанного автором программного обеспечения для графического калькулятора (используется графический калькулятор CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS [6]) и персонального компьютера на локальном (применяется среда программирования Delphi и язык программирования Object Pascal) и сетевом (используются веб-сервер Apache и интернет-технологии HTML, JavaScript и PHP) уровнях для реализации подобных исследований в наглядной и удобной информационной форме.

Представлены не проводимые ранее исследования геометрических свойств равнобедренных треугольников [7] с точки зрения нахождения пропорциональных зависимостей между линейными элементами рассматриваемых равнобедренных треугольников через интеграцию элементарной геометрии и тригонометрии [2, 3].

Необходимо отметить, что только использование разработанного автором программного обеспечения для графического калькулятора и персонального компьютера на локальном и сетевом уровнях позволило реализовать нахождение пропорциональных зависимостей между линейными элементами рассматриваемых геометрических фигур благодаря созданным нами оптимизационным поисковым алгоритмам.

Теоретический аспект

Рассмотрим пропорциональные зависимости между линейными элементами двух равнобедренных треугольников на плоскости при наличии условия, что угол при основании одного треугольника равен углу

© Богун В. В., 2012

п —а 1

между боковыми сторонами второго, то есть в2 = а 1 или а 2 =-^-' с использованием тригонометрических функций от их основных углов, в качестве которых выступают углы при основаниях и между боковыми сторонами треугольников.

Для представленных на рис. 1 равнобедренных треугольников ЛА1Б1С1 и ЛА2Б2С2

(АБ1АС1 = АБ1С1А1 = О1 = АА2Б2С2 = в2 (^Б2А2С2 = ¿Б2С2А2 = О2 ) - углы при основании треугольника ЛА1Б1С1 (ЛА2Б2С2), а АА1Б1С1 = в1 = 180°- 2а1 = п — 2а1 (АА2Б2С2 = в2 = П — 2а2 = АБ1АС1 = АБ£А = О1) - угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника ЛА1БС1 (ЛА2Б2С2 )) в качестве их линейных элементов выступают следующие компоненты):

- Б^1 = (Б2В2 = Н2 ) - основная высота треугольника ЛА1БС1 (ЛА2Б2С2 ), опущенная из вершины треугольника Б1 (Б2 ), расположенной на пересечении его боковых сторон, на основание треугольника.

- АС1 = 2а1 (АС1 = 2а1) и А^1 = С01 = а1 (А2В2 = С2В2 = а2) - основание и половина основания треугольника ЛА1БС1 (ЛА2Б2С2 ).

- А1Б = С1Б = Ъг (А2Б = С2Б = Ь2 ) - боковые стороны треугольника ЛА1Б1С1 (ЛА2Б2С2 ).

- вр, = К1О1 = ад = ад = Г1 {в2о2 = К2О2 = ь2о2 = ¥2о2 = Г2) и од = а, ((2^2 = ^2 ) - радиусы и диаметр вписанной в треугольник ЛА1Б1С1 (ЛА2Б2С2 ) окружности.

- Б1О1 = (к — Г) (Б2О2 = (к — Г)2 ) и Б1Г1 = (к — а )1 (Б2Г2 = (к — а)2 ) - разность между

основной высотой и радиусом, а также диаметром вписанной в треугольник ЛА1Б1С1 (ЛА2Б2С2 ) окружности.

- Ар1 = БР1 = Ср1 = Ер1 = К (А2О2 = Б2О2 = С2О2 = Е2О2 = Я2) и Б.Е, = В,

(Б2Е2 = В2 ) - радиусы и диаметр описанной вокруг треугольника ЛА1БР1 (ЛА2Б2С2 ) окружности.

- ВО 1 = (к — К) (В2О2 = (к — К) ) - разность между основной высотой и радиусом описанной вокруг треугольника ЛА1БР1 (ЛА2Б2С2 ) окружности.

- ВЕ1 = (В — к) (В2Е2 = (В — к к)2 ) - разность между диаметром описанной вокруг треугольника ЛА1БР1 (ЛА2Б2С2 ) окружности и основной высотой треугольника.

Между линейными элементами данных равнобедренных треугольников имеют место следующие пропорциональные зависимости, полученные в качестве результатов обработки в созданном автором программном обеспечении для графического калькулятора и персонального компьютера на локальном и сетевом уровнях (при доказательствах используются отношения линейных элементов треугольников к основным высотам треугольников):

- Отношение основной высоты второго треугольника к основной высоте первого треугольника равно отношению радиуса описанной вокруг второго треугольника окружности к разности между основной высотой первого треугольника и радиусом вписанной в него окружности и равно отношению разности между основной высотой второго треугольника и радиусом описанной вокруг него окружности к радиусу вписанной в первый треугольник окружности, а также равно отношению разности между диаметром описанной вокруг второго треугольника окружности и его основной высотой к разности между основной высотой первого треугольника и диаметром вписанной в него окружности, то есть:

^ = Кг (к — К) =(В—кк

к1 (к — г)1 г1 (к — а )1

R2 R2 h h2 1 + cosa1 h2 1 + cosa1 h2

(h - r)1 h2 (h - r)1 h 1 - cos2a2 h1 1 - cos(n-a1) h1 _ 1 + cosa1 h2 _ h2 1 + cosa1 h1 h

(h - R) _(h - R) hj h2 cos 2a2 1 + cosa1 h2

r1 h2 r1 h1 cos 2a2 - 1 cosa1 h1

cos

(n-a1) 1 + cosa1 h2 _ - cosa1 1 + cosa1 h2 _ h2

cos(n-a1)-1 cosa1 h1 - cosa1 -1 cosa1 h1 h

(D - h) _(D - h) 2 h1 h2 _ 1 + cos 2a2 1 - cosa1 h2 _

(h - d) h2 (h - d) h 1 - cos2a2 1 + cosa1 h1 _ 1 + cos(7T-a1) 1 - cosa1 h2 _ 1 - cosa1 1 - cosa1 h2 _ h

2

) 1 — cosa 1— cVSLlj 1— CVdlAj П2 П2

1 — cos(n — a1) 1 + cosa1 hL 1 + cosa1 1 + cosa1 hL hL

Таким образом,

h2 = R2 =(h — R) = (D — h)

hL (h — r ) r1 (h — d ) '

- Отношение основной высоты второго треугольника к половине основания первого треугольника равно отношению половины основания второго треугольника к радиусу вписанной в первый треугольник окруж-

ности, то есть:

¡h _ ^ а1 r1

- Отношение основной высоты второго треугольника к боковой стороне первого треугольника равно отношению половины основания второго треугольника к разности между основной высотой первого тре-

к2 _ а2

угольника и радиусом вписанной в него окружности, то есть: _ / \ .

Ь1 У1 - Г )1

- Отношение половины основания второго треугольника к основной высоте первого треугольника равно отношению радиуса описанной вокруг второго треугольника окружности к боковой стороне первого треугольника и равно отношению разности между основной высотой второго треугольника и радиусом описанной вокруг него окружности к половине основания первого треугольника, то есть:

а2 _ К _У - К )2

к1 Ь1 а1

- Отношение половины основания второго треугольника к половине основания первого треугольника равно отношению разности между основной высотой второго треугольника и радиусом описанной вокруг него окружности к разности между диаметром описанной вокруг первого треугольника окружности и его основной высотой и равно отношению разности между диаметром описанной вокруг второго треугольника окружности и его основной высотой к радиусу вписанной в первый треугольник окружности, то есть:

а2 _(h - R) _(D - h )2

(Р - *)

- Отношение половины основания второго треугольника к боковой стороне первого треугольника равно

а1 \D - h)1 r1

отношению радиуса описанной вокруг второго треугольника окружности к диаметру описанной вокруг первого треугольника окружности и равно отношению разности между диаметром описанной вокруг второго треугольника окружности и его основной высотой к разности между основной высотой первого тре-

а2 = Я2 = (В — к к)2

угольника и радиусом вписанной в него окружности, то есть:

Ъ1 В;

Ъ В, (к — Г)

Рис. 1. Равнобедренные треугольники на плоскости с обозначениями линейных элементов

На основании полученных пропорциональных зависимостей между линейными элементами исследуемых пар равнобедренных треугольников можно сформулировать следующие теоремы, суть которых состоит в раскрытии интересных фактов о геометрических особенностях визуального построения данных треугольников при условии совпадения их определенных линейных элементов, в том числе с точки зрения взаимосвязи между вписанными и описанными окружностями двух равнобедренных треугольников.

Теорема 1: Если для двух равнобедренных треугольников угол при основании одного треугольника равен углу между боковыми сторонами второго треугольника и они построены на общей основной высоте, то центр вписанной в первый треугольник окружности совпадает с центром описанной вокруг второго треугольника окружности.

Согласно данной теореме для используемой пары треугольников при наличии совпадения основной высоты (Б1В1 = к1) треугольника ЛА1БС1 с основной высотой (Б2В2 = к2) треугольника ЛА2Б2С2, то есть равенства величин линейных элементов Б1В1 = Б2В2 (к1 = к2 ) и совпадения точек Б1 = Б2 и В1 = В2, получаем совпадение центра вписанной в треугольник ЛА1Б1С1 окружности (Оц) с центром описанной вокруг треугольника ЛА2Б2С2 окружности (О22 ), то есть равенство

О11 = О22 (рис. 2).

Рис. 2. Геометрическая интерпретация теоремы 1

Теорема 2: Если для двух равнобедренных треугольников угол при основании одного треугольника равен углу между боковыми сторонами второго треугольника и половина основания первого треугольника совпадает с основной высотой второго треугольника, то радиус вписанной в первый треугольник окружности совпадает с половиной основания второго треугольника, описанная вокруг первого треугольника окружность проходит через вершину второго треугольника, расположенную между его боковыми сторонами, равно как описанная вокруг второго треугольника окружность проходит через центр вписанной в первый треугольник окружности.

Согласно данной теореме для рассматриваемой пары треугольников при наличии совпадения половины основания (С = О}) треугольника ААВС} с основной высотой (В202 = Н2) треугольника АА2В2С2, то есть равенства величин линейных элементов С^} = В202 (О} = И2) и совпадении точек С} = В2 и = э2, получаем совпадение радиуса вписанной в треугольник АА1В1С1 окружности (ОцО} = К} ) с половиной основания (Л202 = О2) треугольника АА2В2С2, вершины при основании ( С1 ) треугольника АА1В1С1 с вершиной, являющейся пересечением боковых сторон (В2), для треугольника АА2В2С2, то есть равенство С} = В2 , а также совпадение вершины при основании (Л2) треугольника АЛ2В2С2 с центром вписанной в треугольник АА1В1С1 окружности ( Оп), то есть равенство А2 = Оп (рис. 3).

Рис. 3. Геометрическая интерпретация теоремы 2

Теорема 3: Если для двух равнобедренных треугольников угол при основании одного треугольника равен углу между боковыми сторонами второго треугольника и основная высота первого треугольника совпадает с половиной основания второго треугольника, то вершина при основании и боковая сторона первого треугольника совпадают, соответственно, с центром и радиусом описанной вокруг второго треугольника окружности, половина основания первого треугольника совпадает с отрезком, отражающим разность между основной высотой и радиусом описанной окружности второго треугольника, при этом описанная вокруг первого треугольника окружность проходит через центр описанной окружности и вершину при основании второго треугольника.

Согласно данной теореме для рассматриваемой пары треугольников при наличии совпадения основной высоты (В101 = И1) треугольника ЛА1В1С1 с половиной основания (С202 = а2) треугольника

ЛА2В2С2, то есть равенства величин линейных элементов В^1 = С202 (И = а2) и совпадения точек

В1 = С2 и В1 = Б2, совпадение боковой стороны (А1В1 = Ь1) треугольника ЛА1В1С1 с радиусом

описанной вокруг треугольника ЛА2В2С2 окружности (О22С2 = К2), то есть равенство

АВ} = О22С2, совпадение половины основания (А= О}) треугольника ААВС} с отрезком, отражающим разность между основной высотой и радиусом описанной окружности (02022 =(( — К)) треугольника АА2В2С2, то есть равенство АО} = О2022 , а также совпадение вершины при основании (А}) первого треугольника АA1B1C1 с центром описанной вокруг треугольника АА2В2С2 окружности (О22), то есть равенство А} = О22 (рис. 4).

Рис. 4. Геометрическая интерпретация теоремы 3

Теорема 4: Если два равнобедренных треугольника построены на общем основании и угол при основании одного треугольника равен углу между боковыми сторонами второго треугольника, то описанная вокруг первого треугольника окружность проходит через центр описанной вокруг второго треугольника окружности, которая, в свою очередь, проходит через центр вписанной в первый треугольник окружности.

Согласно данной теореме для рассматриваемой пары треугольников при наличии совпадения половины основания (АО} = = О} ) треугольника АЛ1B1C1 с половиной основания

(А202 = С202 = а2) треугольника АА2В2С2, то есть равенства величин линейных элементов АО} = = А202 = С202 (О} = О2) и совпадения точек А} = А2, С} = С2 и О} = 02, по-

лучаем совпадение точки пересечения описанной окружности с основной высотой (Е}) треугольника

ЛА1В1С1 с центром описанной вокруг треугольника ЛА2В2С2 окружности (О22), то есть равенство Е1 = О22, а также точки пересечения описанной окружности с основной высотой (Е2) треугольника ЛА2В2С2 с центром вписанной в треугольник ЛА1В1С1 окружности (Оп), то есть равенство Е2 = Ои (рис. 5).

Рис. 5. Геометрическая интерпретация теоремы 4

Описание программного обеспечения

Рассмотрим разработанное автором программное обеспечение для проведения математического анализа двух равнобедренных треугольников на плоскости, для которых выполняется условие равенства углов при основании первого треугольника углу между боковыми сторонами второго треугольника, представленное на графическом калькуляторе [4, 5] и персональном компьютере на локальном [1] и сетевом уровнях в виде программ под общим названием программы "TRIAN 2".

Для начала работы с программой на графическом калькуляторе необходимо запустить программу с наименованием "TRIAN2". В рамках программы в диалоговом окне меню (рис. 6A) осуществляется выбор наименования угла (угол при основании первого равнобедренного треугольника (угол между боковыми сторонами второго треугольника), угол между боковыми сторонами первого равнобедренного треугольника или угол при основании второго равнобедренного треугольника). После непосредственного ввода значения угла (рис. 6B) осуществляется вывод в виде матрицы «A» значений углов при основаниях и между боковы-

ми сторонами исследуемых равнобедренных треугольников в градусах и радианах, а также тригонометрических функций для данных углов (рис. 6С).

После вывода данного информационного окна реализуется последовательный выбор совпадающих линейных элементов первого и второго равнобедренного треугольников соответственно (рис. 6Б и 6Е), а затем по выбору наименования операции (расчет и вывод значений отношений, целочисленных отношений или пропорциональных зависимостей между линейными элементами равнобедренных треугольников), что отражено на рис. 6Б, осуществляется вывод необходимых диалоговых окон результатов вычислений в виде соответствующих матриц «О», «Е» и «¥» (рис. 60, 6Н и 61).

На следующем этапе осуществляется выбор наименования линейного элемента равнобедренных треугольников (рис. 61), ввод значения данного элемента (рис. 6К) и вывод в виде матрицы «О» значений линейных элементов равнобедренных треугольников (рис. 6Ь). Затем реализуется выбор характерной точки равнобедренных треугольников (рис. 6М), ввод значений координат данной точки (рис. 6К) и последующий вывод в виде матрицы «Н» значений координат характерных точек (рис. 60) и вывод в виде матрицы «3» значений координат совпадающих характерных точек равнобедренных треугольников (рис. 6Р).

На последнем этапе работы программы осуществляется настройка параметров вывода рассматриваемых равнобедренных треугольников с точки зрения отображения вписанных и описанных окружностей (рис. 60, 6Я) с последующей визуализацией равнобедренных треугольников (рис. 68).

A

B

C

ISELECT LIN ELEM TR 1

Hil> Ei3> RU(4)

H-RU(5) H-DU(6) R0(7) H-RO(S) DO-HO!)

OR PREUIOUS <10)? 1

ISELECT LIN ELEM TR 2

B<3> RUi4>

-R0iS>

D0-H<9> OR PREUIOUS

<10)?

ISELECT CflLCUL IN TR5

RATIONS LIN ELS INT RATIONS LIN

<1> <.2>

PROPORTIONS LIN

OR NEXT OR PREUIOUS 1

<4>

D

E

G

H

ISELECT LINEAR ELEM H Й В RU H-RU H-DU RO H-RÜ DO-H TRI(1-9) TR2C10-1S)

ÜR PREUIOUS

С19)?

K

L

INUMBER OF POINT-

INPUT UflLUE COORD X' 26

INPUT UflLUE COORD V 36

BiHitkl ЕЕ ЕЕ Ei ЕЕ

EE 1ЕЭ.ЕЭ -ЕЕ.ЧЕ

EE.чза ЕЕ ЕЕ IES.

EE ЕЕ ЕЕ

I D*1i 31

-4.

-П.5Э

4397927!

N

O

P

F

I

J

SELECT DRAW OPT TR 1

TRIRH ONLV TRIRH INSC CIR TRIRH DESC CIR TRIRH RLL CIR FREU (5) QUIT 3

Cl) C2) C3) C4) С6)?

SELECT DRfiW ОРТ TR 2

TRIRH OHLV TRIRH IHS CIR TRIRH OUT CIR TRIRH RLL CIR PREU C5> QUIT 4

СП C2) C3) C4) С6)?

Q

R

S

Рис. 6. Скриншоты из программы "TRIAN 2"

Программы для персонального компьютера на локальном и сетевом уровнях под общим названием "TRIAN 2" состоят из двух компонентов: формы для указания параметров значений исходных данных и формируемой на основе расчетов статической интернет-страницы для вывода и визуализации результатов вычислений.

Для ввода и выбора значений исходных данных в рамках программ выступают необходимые компоненты визуальных графических форм (рис. 7 и рис. 8 для локального и сетевого уровней соответственно), которые позволяют настроить необходимые параметры решаемой задачи.

Геометрические свойства двух равнобедренных треугольников с равными углами Alpha 1 = Beta 2

Сведения о программе © + (й). Все права защищены. 2012. Богун Виталий Викторович. Сайт: www.booun.varoslavl.ru E-mail: vvvitaltaimail.ru

Исходные данные для расчетов Параметры углового элемента Выбор системы мер

Подделка преследуется по закону!

Параметры вывода результатов расчетов Указание наименования файла

Deg - Градусы

Выбор угла Значение угла

Alpha 1 = Beta 2 - Угол при основании треуг v

70

Параиетры линейных элементов

Выбор элемента Значение элемента

Ы - Боковая сторона тр-ка 1

89

Параиетры характерной точки Выбор точки

D1 - Середина основания тр-ка 1

Значение абсциссы X Значение ординаты Y

26

86

¡ Реализовать расчеты

Выбор совпадающих элементов

Элемент треугольника 1 hl - Основная высота тр-ка 1 v

Элемент треугольника 2 а2 - Половина основания тр-ка 2 v

C:\Delphi PRGEO\TRIAN 2\l.html

Выбор сохраняемых коипонентов 0 Исходные данные 0 Тригоноиетрические функции углов 0 Отношения иежду линейныии элеиентаии 0 Целочисленные отношения иежду линейныии элеиентаии 0 Пропорциональные зависимости между линейными элементами 0 Разиеры линейных элементов 0 Координаты характерных точек 0 Координаты совпадающих характерных точек 0 Формирование изображения треугольников Визуальные компоненты изображения Коэффициент иасштабирования: 1

Вписанная окружность треугольника 1 Описанная окружность треугольника 1 Вписаннная окружность треугольника 2 Описаннная окружность треугольника 2 Обозначения характерных точек Обозначения углов Разиерные стрелки Обозначения линейных элеиентов Вывод исходного кода изображения

% Формирование изображения по исходному коду

Рис. 7. Форма указания исходных данных и параметров визуализации для программы "TRIAN 2"

(локальный уровень)

Для вывода и визуализации результатов вычислений в рамках рассматриваемых программ выступают идентичные для локального и сетевого уровней статические интернет-страницы, которые отображают следующие заранее выбранные компоненты расчетов для рассматриваемых равнобедренных треугольников:

1. Значения исходных данных для равнобедренных треугольников.

2. Значения тригонометрических функций углов.

3. Отношения между линейными элементами.

4. Целочисленные отношения между линейными элементами.

5. Пропорциональные зависимости между линейными элементами (рис. 9).

6. Значения размеров линейных элементов.

7. Значения координат характерных точек.

8. Значения координат совпадающих характерных точек (рис. 10).

9. Визуальный вывод равнобедренного треугольника с отображением дополнительных визуальных компонентов (рис. 11).

10. Исходный код изображения равнобедренного треугольника для локального и сетевого уровней, который позволяет осуществлять последующую полноценную обработку графического изображения равнобедренных треугольников.

* |ё] ИЫ:| 1оса1Ио5|: тадЫ%202/т1АМ_2.рИр Избранное ^ Геометрические свойства двух равнобедренных т

Указание значений исходных данных

JJ

)(х) \Р Search Results | [Р~р|

Параметры углового элемента

Выбор системы мер Deg- Градусы v

Выбор угла Alpha 1 = Beta 2 - Угол при основании треугольника 1 = Угол между боковыми сторонами треугольника 2 v

Значение угла 70

Параметры линейных элементов

Выбор совпадающих элементов Элемент треугольника 1

М - Основная высота тр-ка 1 V

Элемент треугольника 2

а2 - Половина основания тр-ка 2 V

Выбор элемента Ы - Боковая сторона тр-ка 1

Значение элемента 89

Параметры характерной точки

Выбор характерной точки □1 - Середина основания тр-ка 1

Значение абсциссы X 26

Значение ординаты У 86

Параметры вывода результатов расчетов

Отображаемые компоненты 0 Исходные данные 0 Тригонометрические функции углов 0 Отношения между линейными элементами 0 Целочисленные отношения между линейными элементами 0 Пропорциональные зависимости между линейными элементами 0 Размеры линейных элементов 0 Координаты характерных точек 0 Координаты совпадающих характерных точек 0 Формирование изображения треугольников

Коэффициент масштабирования: 1 0 Вписанная окружность треугольника 1 0 Описанная окружность треугольника 1 0 Вписанная окружность треугольника 2 0 Описанная окружность треугольника 2 0 Обозначения характерных точек 0 Обозначения утлов 0 Размерные стрелки 0 Обозначения линейных элементов 0 Выв од исходного кода изображения

Реализовать расчеты Отказ от расчетов

—

Рис. 8. Скриншот диалогового окна указания значений параметров исходных данных для программы "TRIAN 2"

(сетевой уровень)

Пропорциональные зависимости между линейными элементами двух равно бедренных треугольников

с равными углами Alpha 1 = Beta 2 = 70°

№ Выражение Числовые эквиваленты

1 lWli! = R2'(li-r)i 1.4281 = 1.4281

2 liVlij = (li-RJ^/i'i 1.4281 = 1.4281

3 li2'lij = (D-hyfli-d)! 1.4281 = 1.4281

4 lij.'aj = iHi'i 3.9238 = 3.9238

5 liVhj = a2/(li-r)i 1.3420 = 1.3420

6 a2/hj = RVl'i 1.0000 = 1.0000

7 aj'lii = (li-R)2;iij 1.0000 = 1.0000

8 a2/aj = (liR)2/(Dh)1 2.7475 = 2.7475

9 a2''a j = (D-h^/i'i 2.7475 = 2.7475

10 a2/bi = Rj.'Di 0.9397 = 0.9397

И я2/Ьг = (D-h)2(lir)1 0.9397 = 0.9397

12 R2/bj = (li-RjVrii 1.0000 = 1.0000

13 R2/0IT)I = ai-R)24 1.4281 = 1.4281

14 R2/(li-r)i - (D-h)2/ai-d)i 1.4281 = 1.4281

15 R2''Ri = 2(D-h)2'(li-r)i 1.8794 = 2*0.9397

16 ai-R)2'ii = (D-h)2;ai-.:l)i 1.4281 = 1.4281

17 (1I-R)2/(D-1I)! - (D-liyi! 2.7475 = 2.7475

Рис. 9. Вывод пропорциональных зависимостей и значений между линейными элементами равнобедренных треугольников

Значения координат совпадающих характерных точек двух равнобедренных треугольников с равными углами Alpha 1 = Beta 2 = "0o

№ Треугольник 1 Треугольник 2

Наименование точки Обозначение Значение X Значение Y Наименование точки Обозначение Значение X Значение Y

1 Вершина левая при основании треугольника А1 -4.4398 86.0000 Центр описанной окружности треугольника °22 -4.4398 86.0000

2 Вершина между боковыми сторонами треугольника В1 26.0000 169.6326 Вершина правая при основании треугольника 26.0000 169.6326

3 Середина основания треугольника D1 26.0000 86.0000 Середина основания треугольника Г>2 26.0000 86.0000

Рис. 10. Вывод значений координат совпадающих характерных точек равнобедренных треугольников

Визуальный вывод двух равнобедренных треугольников с равными углами А1рЬа 1 = Ве1а 2 = "0° Дополнительные визуальные компоненты

1. Вписанная окружность треугольника 1.

2. Описанная окружность треугольника 1.

3. Вписанная окружность треугольника 2.

4. Описанная окружность треугольника 2.

5. Обозначения характерных точек

6. Обозначения углов.

7. Размерные стрелки.

8. Обозначения линейных элементов.

9. Вывод исходного кода изображения.

D2

h2 (D-h)2

(h-r)2 гг

Рис. 11. Визуальный вывод равнобедренных треугольников Библиографический список

1. Богун, В. В. Геометрические свойства равнобедренного треугольника [Текст] / В. В. Богун. - Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ, № 2012615962.

2. Богун, В. В. Геометрические свойства равнобедренных треугольников [Текст] / В. В. Богун // Ярославский педагогический вестник. - 2002. - № 2. - С. 119-124.

3. Богун, В. В. Геометрия древнего Египта [Текст] / В. В. Богун. - М. : Компания Спутник+, 2003. - 203 с.

4. Богун, В. В. Организация учебного процесса по математике с применением графического калькулятора [Текст] / В. В. Богун. - LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, Germany, 2012. - 380 с.

5. Богун, В. В., Смирнов, Е. И. Лабораторный практикум с графическим калькулятором [Текст] : учеб. пособие / В. В. Богун, Е. И. Смирнов. - Ярославль : Изд-во «Канцлер», 2010. - 272 с.

6. Дьяконов, В. П. Современные зарубежные микрокалькуляторы [Текст] / В. П. Дьяконов. - М. : СОЛОН-Р, 2002. -400 с.

7. Кожухов, И. Б., Прокофьев, А. А. Справочник по математике [Текст] / И. Б. Кожухов, А. А. Прокофьев. - М. : «Лист», 1999. - 640 с.