CC BY
9
усовершенствовать навыки работы с большими объемами научно-образовательной информации, развить самостоятельность в поиске, правильном отборе и продуктивном использовании учебного материала. А также предоставят возможность обучения в удобном месте и в удобное время, развития навыков самоконтроля и самообразования.
Таким образом, новая эпоха внедрения информационных технологий во все сферы жизни общества требует пересмотра некоторых подходов к организации и осуществлению образовательного процесса в высшей школе. Дистанционная форма работы в условиях получения высшего медицинского образования имеет право на существование. Безусловно, традиционный формат преподавания в СГМУ им. В. И. Разумовского является основой получения учебно-профессиональных знаний. Однако дистанционные технологии также могут сыграть не меньшую роль в оптимизации образовательного процесса, удачно вписаться в него и значительно расширить возможности преподавания различных дисциплин.
Результаты проведенного исследования позволили наметить ряд ключевых перспектив в процессе цифровизации образовательного процесса в Саратовском государственном медицинском университете им. В.И. Разумовского.
1. Развитие информационно-коммуникационной инфраструктуры в условиях ДО. Совершенствование качества обучающих электронных программ и курсов, достаточная их разработка, обучение всех участников образовательного процесса правилам подбора необходимого программного и технического обе-
Библиографический список
спечения. Предоставление возможности быстрого доступа к информационным ресурсам и библиотечным базам знаний.
2. Совершенствование самостоятельной поисковой, исследовательской деятельности, приобретение студентами навыков правильного и эффективного использования ресурсов сети Интернет, электронных библиотечно-информаци-онных баз данных.
3. Индивидуализация процесса обучения. Организация систематических обсуждений рассматриваемых проблем, возникающих затруднений в интерактивном режиме между студентами и преподавателями с использованием технологий видеоконференций. Формирование культуры коммуникации преподавателя и обучающегося в сети.
Подводя итоги вышеизложенного, можно сказать, что интегрирование дистанционного обучения с использованием интернет-технологий в образовательную среду высших учебных заведений в условиях современных реалий, связанных, в том числе, и с распространением новой коронавирусной инфекции, на наш взгляд, является чрезвычайно актуальным, востребованным и перспективным направлением совершенствования образовательного процесса. Целесообразность полного перевода процесса обучения в медицинском вузе в формат дистанционного образования не представляется возможным в силу специфики получаемых знаний по медицине, но в то же время преподавание отдельных учебных дисциплин, чтение лекций, проведение семинарских занятий может позволить достичь определенных положительных результатов.
1. Клоктунова H.A., Князев Е.Б., Кудашева З.Э., Барсукова М.И., Федюков С.В. Особенности субъективной оценки удовлетворенности качеством образования в зависимости от степен выраженности мотивов обучения. Высшее образование сегодня. 2021; № 3: 55 - 63.
2. Клоктунова H.A., Федюков С.В., Слесарев С.В., Панченко Е.И. Роль электронных и информационных ресурсов в образовательном пространстве вуза. Педагогическая информатика. 2021; № 1: 70 - 74.
3. Леванов В.М., Перевезенцев Е.А., Гаврилова А.Н. Дистанционное образование в медицинском вузе в период пандемии COVID-19: первый опыт глазами студентов. Журнал телемедицины и электронного здравоохранения. 2020; № 2: З - 9.
4. Совранская К.С., Красноплахтова Л.И. Технологии дистанционного образования. Вопросы образования и науки. 2018; № 7 (19): 194 - 195.
5. Об образовании в Российской Федерации. Федеральный закон от 29.12.2012 № 27З-ФЗ (в редакции от 08.06.2020). ГАРАНТ. Available at: https://base.garant.ru/70291362/
References
1. Kloktunova N.A., Knyazev E.B., Kudasheva Z.'E., Barsukova M.I., Fedyukov S.V. Osobennosti sub'ektivnoj ocenki udovletvorennosti kachestvom obrazovaniya v zavisimosti ot stepen vyrazhennosti motivov obucheniya. Vysshee obrazovanie segodnya. 2021; № 3: 55 - 63.
2. Kloktunova N.A., Fedyukov S.V., Slesarev S.V., Panchenko E.I. Rol' 'elektronnyh i informacionnyh resursov v obrazovatel'nom prostranstve vuza. Pedagogicheskaya informatika. 2021; № 1: 70 - 74.
3. Levanov V.M., Perevezencev E.A., Gavrilova A.N. Distancionnoe obrazovanie v medicinskom vuze v period pandemii COVID-19: pervyj opyt glazami studentov. Zhurnal telemediciny i 'elektronnogo zdravoohraneniya. 2020; № 2: 3 - 9.
4. Sovranskaya K.S., Krasnoplahtova L.I. Tehnologii distancionnogo obrazovaniya. Voprosy obrazovaniya inauki. 2018; № 7 (19): 194 - 195.
5. Ob obrazovanii v Rossijskoj Federacii. Federal'nyj zakon ot 29.12.2012 № 273-FZ (v redakcii ot 08.06.2020). GARANT. Available at: https://base.garant.ru/70291362/
Статья поступила в редакцию 05.07.21
УДК 372.851
Guzairov G.M., Cand. of Sciences (Physics, Mathematics), senior lecturer, Orenburg State Pedagogical University (Orenburg, Russia),
E-mail: gafur.mustafin@mail.ru
Munasypov N.A., Cand. of Sciences (Physics, Mathematics), senior lecturer, Orenburg State Pedagogical University (Orenburg, Russia),
E-mail: nail.munasypov@mail.ru
Safarova A.D., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Orenburg State Pedagogical University (Orenburg, Russia), E-mail: aliya.safarova.66@mail.ru
Cheremisina M.I., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Orenburg State Pedagogical University (Orenburg, Russia), E-mail: mar.ivan21@mail.ru
DOUBLE SUBSTITUTION IN THE PROOF AND IN SOLVING TRIGONOMETRIC INEQUALITIES. The double substitution method for solving equations, inequalities and problems with parameters is almost not presented in the educational literature, although for some types of these problems it turns out to be more convenient in comparison with other methods. This work continues a series of publications on applications of double substitution. The features and advantages of the method have been described in previous works using examples of trigonometric and irrational equations. Double substitution gives additional advantages when solving inequalities and problems with parameters, since it significantly expands the possibilities of using graphical methods. The researchers consider examples of double substitution in the proof and solution of trigonometric inequalities, and describe some types of inequalities in which double substitution is appropriate.
Key words: trigonometric inequalities, problems with parameters, methods for solving inequalities, variable change, double substitution.
Г.М. Гузаиров, канд. физ.-мат. наук, доц., Оренбургский государственный педагогический университет, г. Оренбург, E-mail: gafur.mustafin@mail.ru
Н.А. Мунасыпов, канд. физ.-мат. наук, доц., Оренбургский государственный педагогический университет, г. Оренбург,
E-mail: nail.munasypov@mail.ru
АД. Сафарова, канд. пед. наук, доц., Оренбургский государственный педагогический университет, г. Оренбург, E-mail: aliya.safarova.66@mail.ru
М.И. Черемисина, канд. пед. наук, доц., Оренбургский государственный педагогический университет, г. Оренбург, E-mail: mar.ivan21@mail.ru
ДВОЙНАЯ ПОДСТАНОВКА В ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ И ПРИ РЕШЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Метод двойной подстановки при решении уравнений, неравенств и задач с параметрами почти не представлен в учебно-методической литературе, хотя для некоторых типов указанных задач он оказывается более удобным в сравнении с другими методами. Настоящая работа продолжает серию публикаций по применениям двойной подстановки. Особенности и преимущества метода были описаны в предыдущих работах на примерах иррациональных и тригонометрических уравнений. Дополнительные преимущества двойная подстановка дает при решении неравенств и задач с параметрами, так как заметно
расширяет возможности привлечения графических методов. Здесь мы рассмотрим примеры применения двойнойподстановки при доказательствеиреше-нии тригонометрических неравенств и опишем некоторые типы неравенств, в кптве ыхеиоРаовподстано впае-лссе об разна.
Ключевые слова: тригонометрические неравенства, задачи с параметрами, методы пеленей неравенств, замена переменной, двойная подстановка.
Двойная подстановка оожит быть применена 1 уравнениях вида F(x,y) = 0, где x = x(t) , y = y(t) - функции одной пириоинной, более сложные
(например, иррациональные или трансцендентные), чем F(x,y) (например, многочлен двух переменных небольшой степени), а также 1 соответствующих неравенствах и задачах с парам етраии , содержащих такие уравнения и идраюнстаа. Основная идея дюйаой подстановки та же, что и у обычной - заменить иррациональное или трансцендентное ураннени е или н еравенитво алгебраическин, и вернуться к иррациональным или рранцценденоныо фун кциям только на стадии решения простейших ура ннений и неравенств. Однаке в случае д^ной подста-новст маы и меем дв а паган^ния сия си: само уравнение р(х,у) = 0 и полученное из систем ы и = е(йн, y =и(н(йр) иснлй)ч ени <вм па раоетpо t. Это позиоляет ини-ида кoобинисoвацн pравнония, прэ иаодя их д более простому а идол. Приове|эь:>1 та-ковго приоен ^ния двойной ыод стаиовди в ^'l|::э(ЭcE1l^иональных pравневияx (¡ылт сас-EEMггтреннl |р работв1 [1], в TE)Иl"oноиlетрическиx рfjaeoeHBi ях - в роботе [2].
Вое преимущества двойной подстановки сохраняются в сoртветствp9щиx неравеиствах, но в неравенствах добавлязтся парам, тап ри мер, более широкие возможкости испол ьзовать ирафичес(ие lxетo(гы, к поторпо мы почти не при ба-крли в раОниах [1] и [н]. Тут нам иоид етия строить графики p1равнíиний и нерт-веиств с д вpоя иереоенннlои, но у нас сохраняется аналог о етода и нте рвалов -эконовичного способа решений неравенств - « метод областей».
1. Двойная подстаноска при доказательстве трагоиометрических
неравенств Задаоа 1. До казать неравенство
cosHsmtГ ^mO^st). (1)
Решение. ИИбозн ачио
f = cost' (2) ly = Sin t, к '
тогда х2 + у2 = 1, а неравенство (1) примет вид
cns у > sin х. (3)
Рраница области (3) в плоскости ХУ задается уравнением cosy = sinx или cos у = cos ^ или х + у = 2 + 2яп, и е Z, и об разо ва н а д вум я се о ей ства о и параллельных прямых, кота рые разрезают плоскость KY на квадраты, а область (3) закрашивает всз плоскость ЯУ"в lU)нsоддтно о порядке" по эти о квад ратам (отбор подходящих квадратов зсpщeствляется по внpтрен н и мо точ кем ) . Кв ад рат, в н уг-
Рис. 1
ренние точки которого удовлетворяют неравенствам ^ — 2jt < х + у < 2, ^ — 2n<i-y<2 и неравенству (3) изображен на рисунке слева полностью; соседние квадраты, на которых достигается (3), изображены лишь частично. Окружность i2 + у2 = 1 целиком лежит в изображенном квадрате, что можно прове-ритн по точкам окружности, лежащим н а еиссектрисах координатных ч ет верте—,
, V2 , —
па раллел ьн ых сторонам квадрата: крардинаты этих точек х = + — у = +д-ндевлетворяют неравенствам, задающ им выделенный квадрат, так нак --л <
—Vn¡< + ++ + 2=<Vn<?<V 2 2 2 2 Замечание. В [1, с.86, с.405] неравенство (1) доказано при ограничениях 0 < t < ^ьн и с итпилнсoваниеlP неравенства | sin 11 < |t|. Mt.i д оказали! н ераве н-утво без oгяaнинеисB на параметр t, хотя все избыточные сзгрзаничения ле гко снимаются с помощью формул
cos(—х) =2 eos i, sin(—х) = — sin i, cosQt + ir) = — cos i, sin(x + л) : — sin I.
Задача 2. Найти наибольшее и на и ое н ь ше е з н ачен и я фу н кц и и
у = 2 sin2 х + 4cos2i + б sin х • cos i. (4)
Решеное. С помощью формул понижения степени и двойного аргумента из (4) найдем у = 3 - cos 2х + 3 sin21, а с по оо щ ь ю д во й н о й п од ста но в ки
р = cos 2i, Ir = sin 2i,
получим
y = 3 - u + 3r. Из (5) вытекает формула связи
u2 + г2 = 1.
(5)
(6) (7)
,и /
в L 0 ]/ V
А
Рис. 2
Из (6) получим и = 3г + 3- уи Оудегм рассмат рэивгиь и как сфункцию от v с параметром у. При всевозможных знамениях параметра у м ы имеем се мействм параллельных прям ых с общим угломым ноэффициентом 3. На ри с. 2 изображены граничные лиоии этого иемейства, каса ющиеся окружностд (7) в диаметрально противоположных точках Л и В. [рели прямая (6) попадеет в лежащую между ними полосу, выделенную цветом, то система (6)-(7) имеет решение. Подставив (6) в (7), ыолучим квадратное относительно в уравнение 1 обр -б(у - 3> + (у -в З)2 - 1 = н с дискриминантом D = 40 - р(у - и)2. Условие ка-cвиип прямой (6) и окружности (7) имеет вид 0 = 0, откудн найдем граничные веаченип параметра оУl2 = 3 + Х!о, коуореlм соответсчвуют две касательные: и = Зг + ХШ
B0лучвiннеle выше результат ы1 можво интеf)Пf)етмpовать следующим мбро-зом: с истема уравмвуий (6), (7) имеет peшeнип лто есть их графики пересекаются) при у2 < у < у! - иначе у не принадлежит множеству значений функции (непрерывной, поэтому принимающей все промежуточные знач е н и я) .
Ответ: max)) =уу = з + хХГН, miny = у2 = 3 - хХГо у
Замечание. В [3, c.87, с.Ь08] зцдача 2 реш ен а бол ее трад и ц и о н н ы: м методом с помощью формулы вспомогательного угла :
Задача 3. -оказать неравенство
(cos t)2" + ( sin t)2" X 21"11 при n e !
(8)
(9) (18)
Пешение. На этот раз сделаем двoйнpз подстановку
í> = (co s t) 2 , ру = (sin í)2,
тогда
0 < x < 1, 0<у<1 и 1 + у=1.
Пoлpченнoе из (8) неравенство
х" + у" X 21(" (11)
докажем индукци ей по п. П ри п = о нестрогое неравенство (11) врдполноно как равенство: х + у = к. Пусть иераве нство (11) выполнено при некотором натуральном п. Тогда 21
2(i"+1 ■+■ y"+1),
соединяя вечало с нонцом, получим i"+1 ■■ у"+1г X 21(("+1), что завершает доказательство; вспoлl53oваввао тут на пoсле(гнео шаге н ^равенствн i")/ ■+-
<=> дк - y)(i" - 3/") ^ 0 <=:ч (i - у)2(х"( 1 ■■ ;с"(2з' + ■
ч ск о
д последнее веlполнeно согл^ сно неравенствам рз (10) .
_Замбчание. В [Ь, с.Ь-ьс] веровенство (8) бытл докцзано с помощью неравенства Йенсена. -еказательство по индукции можно быто провести и без двойной подстановки (9), но, кедме более компактного оформ/темпя ззоказаоeльства, двойная подстановка позволяет легче разгл ядеть в (8) факт скорее арифметической
природы, члм тригонометрической; в [4, сс.43,96], например, приводится следующее обобщение неравенства (11) для показателя п = 2:
если х1+х2 + --- + хк = 1, то х? + х? +- + xl>^ , которое непосредственного отношения к тригонометрии нл имллт.
2. Двойная подстановка при решении тригонометрических неравенств
Задача 4. Рл шнть тригоном лтри члскол неравенство первого порядка:
3 cos £ + 2 sin t > 1 . (12)
Решение. Произведем о (12) доойною п од снаноо ку (2) (х = cos t, у = sin н), тогда х2 о у2 = 1, н неравенство (12) приме), оид
3x+ Ку>1. (12)
Границ а обвнсни (12) задается урно нением 3х+Ку = 1, а сама обвнснь (на рис. 2 закрашена) яовяенся повупвоскоснью, оквючающей границу. Решио сиснему ураонений
3х+Ку = 1 и i2 +у2 = 1,
2+403
2 - 603
со s й =
2-403
2+403
Задача 6. Решинь нераоенсноо
со s (К sin t) > sin(K соst). (18)
Решение. Произоедем о (18) доойную подснанооку (2) (х = cos t, у = sin t), ногда i2 + у 2 = 1, само нераоенсноо (18) с помощью формув доойного аргуменна примен оид K(cosy)2 - 1 > К sinxcosx иви K(cosy)2 > 1 о К sinxcosx иви К (cos у) 2 > (cos х о sin х)2 иви, с помощью формулы оспомоганевьного угва,
(19)
(cosy)2 > (cos /х - -jj или |cosy | > |cos /х - -
Граница области (I9) аадается ¡/[заонепряем |cosy| = ^os/х --jp задает на плоскости доа семейксноа параллельных прямых:
цЪз7 = х -а + т , где n е 0. РО)
Рис. 2
найдем ночки мересечения окаужнояни и прямой:
^ _ /3+403 ; 2-403) и g _ (оо-обз ; 2+403^
V 13 ' -3 j V 13 ' 43 j.
Теперь найдем граничные зна+ения а и b па ра ме)l|Эia t, сооноенсноующие ночкам Ли В - концам дуги о кружносни, .в е>иа ще й в области ( 12)
_ . 2-403 , 3-403
Отсюда а = arc s оп^2;—, b = arcco s—ц- - имеем о емду осноо ные значения параменра t из про ммжунка ]-ik; л]. Далее, с ученом периодичности тригонометрических функци- о) (12), можем записань оноен (и мее м о оиду, как осегда, объединение сиенного чисва пр)о межункоо):
_ Г . 2-403 _ 3-30? „ 1 „
Ответ: larcsm—ц- о Кии; arccos—jj- + , где п Е Z. Замoкааие. Тригономно^ченкие нераоенсноа чаржого порядна мoг1o■ ре шанммя накже по формуве осподо ганелпного угва пви с помощью униое йсальнoй тригонометрической подстановки, но о смежном задачах (например, о задачах с параменром) пни меноды иногда приоодян к н^кн^'хкрьэ!м нвx2йческим ооложпе-ния1я.
Задача 6. Решинь неоднородное нриsoнoмен р и ч еское н е ра ое н сн оо оно рого порядка, зная, чно во множестве его решены й имеются из олирооанные ночки:
a cos 11- a sin t < cos t sin t. (1 -4)
Решанне. Произведем о (14) доойную подснан опку
Ci = acost, 2 2 2
1.3/ = a sinд ногда *2+У2 = в- ( 1 5)
- ураонение окружности с ценнром о н ач ал е коорд и н ан и рад и усом |а1,а нераоeйнтоo (14) примен вид; д1 х оа2у < ху или , после группирооки,
(х-а2)(у-а2) > а-. (1(3)
Гран ица обласнн (16) задается ^мнением
(x-a2)(y-a2) = а3. (1н)
При а ф 0 .ркниени е ( 17) надаен гиперболб с асы 1мпнономи х = а2 и у = а2. Etиcсa)нриcнl углоо, oбразoоaнннlх аxнlкпнанами, -к оси симменрич ги перболы!, а ночка их пересечения - ее цепнр cимметрии. Обласнн (16) сооноенсноуюн рнyп-ронние полосни гичеобол1=г закрашенные на рисунке слеоа. Наличие изолиро-оанмых ночек о решении (16) сооноенснаует касанию окружности и гиперболы м ночке j4, симметричной началу координан О относительно ночки пвупнмчения нсимянот, оннкуда Л 3= (Ка2,Ка2). Подставив координаны нoчки Л о (15), н ггйдем я2 = Ц ; подставив пно о (17), кайдем у = ¡нец подсненив пно о ()5) получ им урон-нен не 01Кх3 - 1281 - 48х2 + 1)1-1 = 0. В склу касания окружности и гиперболы х = Ка2 = - я оляется вранным -о-нем ^|эaонения, что- пoзоoл)Еен понизать еко степень: 3Кх- о- 8х - 1 = 0: онкуд;- найдем иоординаты других ночек пересечения окружн ости и гип^-sE)Oлнl: В = T^;-—1)и - = TйKK^;йTOO0 КЗнгсююда Ответ: UnEi [arccos i-03 - ir + Kirn; arscos 1-¡0И - и о Кип] и о К irnj .
Рис.5
Область, сооноенсноующая нераоенсноу (19) на рис. 5 оыделена более темным цоеном. Тригонометрическая окружность пересекается с областью (19) по доум дугам ЛВ и CD. Координаны ночек Л и С найдем, подснаоио урао нения сооноен-снкнющей прямой семейснаа (20) о уравнение окружности : у = -х о тогда у2 =
-
гда
- 2х +Ир - ура скк м н икс окружности примет оид 3Кх2 - 8 irx - (16 - ir2) = 0. То-
*и =-, уи =-;
1 )_, /и 8_;
--032--2 -+032--2
*2 =-, у2 =-;
2 8 ' /2 8 ;
Л = (хи; уи), С = (х2; у2), и, о силу симметрии, В = (хи; -уи), D = (i2; -у2). Сделао обратную подснаноо ку, получим со оокупноснь доух дд оoi1ных нераоенсно: уи < sin t < -уи (сооноенсноует ду ге АВ), -у2 < s^n( t - ir) - у2 (сооноенсноуен ддге CD -у тун мы перешло он1 С и D о д иаменрально нвохивoпoлoжн2.м ненкам, затем поворотом на угол ir вер нуля дугу на место). В оноене выи опоем основные промежун ко, остальные рoлуч аюнся сдвигом на Kirn:
_ - . --032--2 м л/32--2--) Г ш -+032н1)2
Ответ: larcsin-; arcsin-1 и ire - arcsm-; и +
Опишем преимущества двойной подстановки о тригонометрических неравенствах, которые после разбора приведенных примеров - задач 1-6 - выглядят более очевидными. Ограничимсп нерапенснвамв оид а
F(cos t, ыш г) < 0, F(yos а ain t) 0, F(cos -, sin t) < 0, í?(cos t, sin ы) > д, где, о caмlр:х пкоснн1х cлy11в)яx, /((i, у) - мно гочлен двух перí-менннlх небольшой степени:
Есл и F(x,y) соде ржит одну из переменных (например, sinx) только в четных степенях, то можно ограничиться обычной - одинарной - подстановкой (соответственно, х = cos t). Но если обе переменные х,у присутствуют в F в нечетных степенях, то подстановка с помощью основного тригонометрического тождества заменит тригонометрическое неравенство иррациональным с комбинацией знаков ±, что скорее усложнит неравенство, чем упростит. Поэтому даже в задачах № 13 из ЕГЭ (обычно требующих решения тригонометрического уравнения с последующим отбором корней из заданного промежутка) тригонометрические уравнения первой степени (т.е. вида a ■ cos t + b ■ sin t = с) почти не встречаются, хотя в арсенале школьной тригонометрии есть два способа решения таких уравнений: с помощью формулы дополнительного угла и с помощью универсальной тригонометрической подстановки, которые, однако, могут привести к осложнениям при отборе корней. Двойная подстановка в тригонометрических уравнениях первой степени позволяет обойтись без этих технических осложнений - см. работу [2], а двойная подстановка в соответствующих тригонометрических неравенствах (см. задачу 4) приводит к дополнительным преимуществам в виде графических методов.
Графические методы в неравенствах с одной переменной, т.е. вида /(t) < h(t), возможны в виде построения графиков левой и правой частей неравенства, т.е. построения графиков уравнений у = /(t) и у = h(t) в плоскости ТУ, с после-
Библиографический список
дующим отбором промежутков, на которых график у = /(t) лежит ниже графика у = h(t). Но если /(t) и h(t) - тригонометрические функции, то само построение графиков может оказаться затруднительным. Двойная подстановка (2) в неравенстве, например F(cos t, sin t) < 0, требует построения графика неравенства F(x,y) < 0 в плоскости ХУ, что сводится к построению граничной линии F(x,y) = 0 этой области - алгебраической кривой, что обычно проще - и последующему отбору тех частей плоскости, разрезанной граничной линией, где достигается нужное неравенство «методом областей». «Метод областей», названный нами во введении по аналогии с методом интервалов, позволяет основные сложности в решении неравенств отнести на этап решения уравнений (неравенства чаще требуют графических иллюстраций, чем уравнения). Там, где уравнения связи, возникающие при двойных подстановках, приводят в итоге к решению уравнения с одной переменной первой или второй степени, двойная подстановка приводит к успеху. Там, где возникают уравнения более высоких степеней, следует искать способы понижения степени уравнения, как в приведенной задаче 5, или обращаться к общим методам решения таких уравнений. Общие методы решений уравнений 3-й и 4-й степеней приведены, например, в [5, с. 288 - 293]. Впрочем, возникновение уравнений высоких степеней не является спецификой именно двойной подстановки; кроме того, мы видели применения двойной подстановки в задачах, не вписанных в эту сугубо алгебраическую классификацию.
1. ГузаировГМ.Двойнаяподстановка виррациональныхуравнениях. Мирнауки, культуры, образования. 2020; № 5 (84): 195 - 199.
2. Гузаиров Г.М., Мунасыпов Н.А., Сафарова А.Д., Черемисина М.И. Двойная подстановка в тригонометрических уравнениях. Мир науки, культуры, образования. 2020; №3 (82):283 -286.
3. Лидский В.Б.,ОвсянниковЛ.В.,Тулайков А.Н.,ШабунинМ.И.,ФедосовБ.В. Задачи по элементарной математике. Москва: Наука, 1973.
4. Гомонов С.А. Замечательные неравенства: способыполученияипримеры применения. 10 - 11 кл.: учебное пособие. Москва: Дрофа, 2005.
5. ПрасоловВ.В. Задачипоалгебре, арифметикеи анализу. Москва:МЦНМО, 2007.
References
1. Guzairov G.M.Dvojnayapodstanovkavirracional'nyh uravneniyah. Mir nauki, kul'tury, obrazovaniya. 2020; № 5 (84): 195 - 199.
2. Guzairov G.M., Munasypov N.A., Safarova A.D., Cheremisina M.I. Dvojnaya podstanovka v trigonometricheskih uravneniyah. Mir nauki, kul'tury, obrazovaniya. 2020; № 3 (82): 283 -286.
3. Lidskij V.B., OvsyannikovL.V., Tulajkov A.N., ShabuninM.I.,Fedosov B.V. Zadachipo 'elementarnojmatematike. Moskva: Nauka, 1973.
4. GomonovS.A. Zamechatel'nye neravenstva: sposobypolucheniyaiprimeryprimeneniya. 10 - 11 kl.: uchebnoe posobie. Moskva: Drofa, 2005.
5. Prasolov V.V. Zadachipoalgebre, arifmetikeianalizu. Moskva:MCNMO, 2007.
Статья поступила в редакцию 29.06.21
УДК 378
Batchaeva P.A.-Yu, Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Department of Mathematics and Methods of Teaching, Karachay-Cherkess State University
n.a. U.D. Aliyev (Karachaevsk, Russia), E-mail: pavlina-64@mail.ru
Shidakova K.I., postgraduate (44.06.01. Education and pedagogical sciences), Karachay-Cherkess State University n.a. U.D. Aliyev (Karachaevsk, Russia),
E-mail: karina_sh92@mail.ru
IDENTIFICATION OF CRITERIA FOR DETERMINING THE LEVEL OF QUALITY OF EDUCATION OF SCHOOL STUDENTS IN THE IMPLEMENTATION OF THE DEVELOPED METHODOLOGICAL SYSTEM USING INFORMATION TECHNOLOGIES. The article deals with issues related to the identification of criteria by which it is possible to determine the level of quality of education of school students. To improve the knowledge, skills and experience of independent activity of school students, it is now possible to successfully apply information technologies. The level of quality of education depends on many factors, including the leading role is determined by: mathematical literacy, mental activity of a school student, his intellectual abilities. Education is considered in close connection with such concepts as intelligence and thinking. Taking into account all the features of these concepts, the researchers have identified nine criteria, the number of which can determine the level of education of a school student: low, medium or high. The authors conclude that the identified criteria will help to determine the level of quality of students' education at the beginning and end of the experiment in the pilot and experimental work.
Key words: criteria, level of quality of education, intelligence, thinking, research skills and abilities, experience of independent activities, education.
П.А.-Ю. Батчаева, канд. пед. наук, доц., Карачаево-Черкесский государственный университет имени У.Д. Алиева, г. Карачаееск,
E-mail: pavlina-64@mail.ru
К.И. Шидакова, аспирант, Карачаево-Черкесский государственный университет имени У.Д. Алиева, г. Карачаееск,
E-mail: karina_sh92@mail.ru
ВЫЯВЛЕНИЕ КРИТЕРИЕВ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УРОВНЯ КАЧЕСТВА ОБРАЗОВАННОСТИ УЧАЩИХСЯ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ РАЗРАБОТАННОЙ МЕТОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
В статье рассматриваются вопросы, связанные с выявлением критериев, по которым можно определить уровень качества образованности учащихся школы. Для совершенствования знаний, умений и опыта самостоятельной деятельности учеников в настоящее время можно успешно применять информационные технологии. Уровень качества образования зависит от многих факторов, в числе которых ведущую роль определяют математическая грамотность, умственную активность ученика, его интеллектуальные способности. Образованность рассматривается в тесной связи с такими понятиями, как интеллектуальность и мышление. Учитывая все особенности этих понятий, нами выявлено девять критериев, по числу которых можно определить уровень образованности ученика: низкий, средний или высокий. Авторы делают вывод о том, что выявленные критерии помогут при проведении опытно-экспериментальной работы определить уровень качества образованности учащихся на начало и конец эксперимента.
Ключевые слова: критерии, уровень качества образования, интеллект, мышление, исследовательские умения и навыки, опыт самостоятельной деятельности, образованность.
