CC BY
39
воззрений, противоречивости, внутренних состояний творчества, истории создания феномена, исследование исполнительских традиций) приобретает черты целенаправленного целостного процесса. Он может стать увлекательным, предметно-познавательным, получая продолжение в виде нахождения конкретных исполнительских стимулов, смыслов, приемов, штрихов, действий-движений. Моделирующий этап освоения музыкального произведения, призванный сформировать исполнительскую концепцию (модель), получает методологическую платформу, «пропитывается» мировоззрением композитора и одновременно эвристическим «порывом» исполнителя. Репетиционный и предконцертный этапы не только постепенно «одевают» концертную одежду на исполнителя. Они позволяют под разным углом зрения внимательно «посмотреть» на художественный образ, подобрать выразительную звуковую палитру, темп и порядок ее движения в лабиринтах звукообразований, найти необходимые способы звукоизвлечения, звуковедения, увидеть «невидимое», «прочитать между строк», «почувствовать» дыхание эпохи создания сочинения. Все перечисленные «операции» становятся возможными и продуктивными, так как в данных психолого-педагогических условиях происходит мобилизация всего организма исполнителя-инструменталиста (его физиологической, психологической, гносеологической, аксиологической, эвристической, коммуникативной и социально-культурной подсистем), активизация мотивационной сферы в целом. В чем же состоит такая целостность мотивацион-ного и мобилизационного начала? Все перечисленные выше подсистемы глубоко между собой детерминированы, одна «вытекает» из другой, образуя единую, гармоничную, сбалансированную эмоционально-чувственную и логико-смысловую канву Подобная целостно-мозаичная организация являет собой мощную систему под названием «творческий потенциал». В свою очередь, творческий потенциал исполнителя-инструменталиста - это соединение «кругозора», его сознания в целом с безграничными просторами бессознательного. В предлагаемой педагогической парадигме благодатную почву для рассмотрения приобретает следующие векторы:
• сознание исполнителя, соединяющееся с сознанием педагога и общественным сознанием;
• бессознательное инструменталиста, которое делится на подсознание и сверхсознание, взаимодействующее с бессознательным педагога, зрителя, общества в целом.
Библиографический список
Собственно концертный, итогово-аналитический и планово-перспективный этапы освоения музыкального произведения на базе «раскрывающегося» творческого потенциала исполнителя могут являть собой «творческую Мекку», «приношение» композитору, поклонение его гению. Вместе с тем - олицетворять эвристическую глубину, поиск оригинального, инновационного, позволяющего глазами современника взглянуть на каноническое, «незыблемое». Речь идет, с одной стороны, о приближении исполнителя к стилистической чистоте, пониманию музыкального языка, «почерка» композитора, с другой - о развитии исполнительских традиций, поиске своего творческого лица. При этом близкая, средняя и далекая перспективы в формировании и освоении музыкального репертуара приобретают свою неотъемлемую значимость.
Таким образом, становится очевидным, что применение педагогической парадигмы, определяющей систему освоения музыкального произведения в пространстве является перспективным направлением в поиске ресурсов современной педагогики музыкального творчества, педагогики музыкально-инструментального исполнительства. Изучение пространственных и «подпро-странственных» коридоров» сочинения на уровне нотного текста, «подтекста», «надтекста», «контекста» позволяет сфокусировать, активизировать резервы исполнителя, динамично повести его по пути целостного развития духовно-творческого потенциала.
На основе изложенного выше можно заключить:
• герменевтический подход, применяемый в музыкально-образовательной среде, продолжает быть в достаточной степени актуальным и открывает определенные перспективы в искусстве интерпретации музыкального произведения инструменталистами;
• сложившаяся проблемная ситуация в инструментально-исполнительских классах сегодня требует серьезного подхода к обеспечению качества художественно-педагогического процесса;
• предлагаемая педагогическая парадигма, определяющая систему освоения музыкального произведения в пространстве «Ж», может представлять интерес для теории и методики инструментального исполнительства, питать соответствующую исследовательскую платформу, обеспечивать эффективную реализацию реформирования и модернизации современного музыкального образования в классах инструменталистов.
1. Антология мудрости. Москва: Вече, 2005.
2. Аристотель. Риторика. Поэтика. Москва: Лабиринт, 2000.
3. Назайкинский Е.В. Проблемы комплексного изучения музыкального произведения. Музыкальное искусство и наука. Москва: Музыка, 1978; Выпуск 3: 3 - 12.
4. Блок O.A. Исполнительская культура музыканта: аспекты анализа. Теория и методика профессионального образования в социально-культурной и музыкально-педагогической деятельности: коллективная монография. Москва: МГИК, 2018.
5. Землянский Б.Я. О музыкальной педагогике. Москва: Музыка, 1987.
6. Гольденвейзер O.A. O музыкальном искусстве: сборник статей. Москва: Музыка, 1975.
7. Методология педагогики музыкального образования (Научная школа Э.Б. Абдуллина). Сборник научных статей. Москва: МПГУ, 2007.
8. Волкова Е.В. Произведение искусства в мире художественной культуры. Москва: Искусство, 1988.
9. Шульпяков O^. Работа над художественным произведением и формирование музыкального мышления исполнителя. Санкт-Петербург: Композитор, 2005.
10. Медушевский В.В. Музыкальное произведение и его культурно-генетическая основа. Музыкальное произведение: сущность, аспекты анализа. Киев: Музична Украина, 1988.
11. Назайкинский Е.В. Звуковой мир музыки. Москва: Музыка, 1988.
12. Блок O.A. К вопросу об освоении музыкального произведения в пространстве «4D». Москва: Научтехлитиздат: Музыковедение. 2019; 6: 42 - 47.
13. Блок O.A. Педагогика и психология музыкального творчества: учебное пособие для вузов. Москва: МГИК, 2011.
References
1. Antologiya mudrosti. Moskva: Veche, 2005.
2. Aristotel'. Ritorika. Po'etika. Moskva: Labirint, 2000.
3. Nazajkinskij E.V. Problemy kompleksnogo izucheniya muzykal'nogo proizvedeniya. Muzykal'noe iskusstvo i nauka. Moskva: Muzyka, 1978; Vypusk 3: 3 - 12.
4. Blok O.A. Ispolnitel'skaya kul'tura muzykanta: aspekty analiza. Teoriya i metodika professional'nogo obrazovaniya v social'no-kul'turnojimuzykal'no-pedagogicheskojdeyatel'nosti: kollektivnaya monografiya. Moskva: MGIK, 2018.
5. Zemlyanskij B.Ya. O muzykal'noj pedagogike. Moskva: Muzyka, 1987.
6. Gol'denvejzer O.A. O muzykal'nom iskusstve: sbornik statej. Moskva: Muzyka, 1975.
7. Metodologiya pedagogiki muzykal'nogo obrazovaniya (Nauchnaya shkola 'E.B. Abdullina). Sbornik nauchnyh statej. Moskva: MPGU, 2007.
8. Volkova E.V. Proizvedenie iskusstva v mire hudozhestvennoj kultury. Moskva: Iskusstvo, 1988.
9. Shul'pyakov O.F. Rabota nad hudozhestvennym proizvedeniem i formirovanie muzykal'nogo myshleniya ispolnitelya. Sankt-Peterburg: Kompozitor, 2005.
10. Medushevskij V.V. Muzykal'noe proizvedenie i ego kul'turno-geneticheskaya osnova. Muzykal'noe proizvedenie: suschnost', aspekty analiza. Kiev: Muzichna Ukraina, 1988.
11. Nazajkinskij E.V. Zvukovoj mir muzyki. Moskva: Muzyka, 1988.
12. Blok O.A. K voprosu ob osvoenii muzykal'nogo proizvedeniya v prostranstve «4D». Moskva: Nauchtehlitizdat: Muzykovedenie. 2019; 6: 42 - 47.
13. Blok O.A. Pedagogika ipsihologiya muzykal'nogo tvorchestva: uchebnoe posobie dlya vuzov. Moskva: MGIK, 2011.
Статья поступила в редакцию 06.10.20
УДК 372.851
Guzairov G.M., Cand. of Sciences (Physics, Mathematics), senior lecturer, Orenburg State Pedagogical University (Orenburg, Russia),
E-mail: gafur.mustafin@mail.ru
DOUBLE SUBSTITUTION FOR SOLVING EQUATIONS. Double substitution is a method of solving equations, inequalities and problems with parameters containing equations and inequalities. This method is almost not presented in school textbooks of mathematics, problem books and reference books on elementary mathematics, but sometimes it turns out to be simpler than traditional methods for solving such problems commonly used in schools - exponentiation, factorization, and substitution. Here, double substitution will be applied to irrational equations. This method allows to do without raising the equation to a power, which in the case of
even powers, is an inequitable transformation of the equation. An even more convenient technique is double substitution in inequalities and problems with parameters, examples of which we will give in the following papers.
Key words: methods for solving equations, factorization, substitution, double substitution, irrational equations and inequalities.
Г.М. Гузаиров, канд. физ.-мат. наук, доц., Оренбургский государственный педагогический университет, г. Оренбург, E-mail: gafur.mustafin@mail.ru
двойная подстановка
в иррациональных уравнениях
Двойная подстановка - метод решения задач с параметрами, содержащими уравнения и неравенства. Этот метод почти не представлен в школьных учебниках математики, задачниках и справочниках по элементарной математике, но иногда оказывается проще, чем более традиционные методы решения таких задач, обычно применяемых в школе, - возведение в степень, разложение на множители и обычная подстановка. В настоящей работе будет показано применение двойной подстановки к иррациональным уравнениям. Этот метод позволяет обойтись без возведения уравнения в степень, что в случае четных степеней является неравносильным преобразованием уравнения. Еще более удобным приемом является двойная подстановка в неравенствах и задачах с параметрами, примеры которых мы приведем в следующих работах.
Ключевые слова: методы решений уравнений, разложение на множители, подстановка, двойная подстановка, иррациональные уравнения и неравенства.
В работе [1]были рассмотрены применения двойной подстановки к три- другимиметодамидоторыми обычнопользуются ишкольники. Наэтих примерах гонометрическ-пл нракнлнням.ВнастрящеЭррОоые евойнар ходсеатачтамрмрт Весл покенмны преиоуществд рвойны-й подтааноики йорамболееытааинтокны-неименоне к ирытнкыыооыиым ыравнениям. Приведенные здесь уравнения за- ми методами решения иррациональных уравнений. имствоыаныв рабоорхприверечи ого списка ы нтератхыл, где о ни были ре шены Начнем с несложной задачи из сборника материалов ЕГЭ [2, с. 129].
Задача 1. Решить уравнение
л/4 + х -->/5 - х = 3 (л)
Терио жо зарычи ярершороеяянири рошеср и и шрроонра руряо моыоСрд: рСдчнр кии нечинеюр я рпрооооонио кСомяри орпмяrиалт вненоний, зерон ивСеиоо-юряо рр рериреори норыинряхоонла прорCрывриыниоа - двукрылян ирзиеоениеа и риеррер, яирро мреинонио р риыорытнрам, нрр пряоо рошонио промчоннрыр риыорырнрыр уреинонио рроСуор ррСрре рррней. Дирйнео прояренрире рроСуор аоноо рррпрроиилт оойяриий. Решение. ОCрвнениа
u = л14 + х v = yj 5 - x (11)
где, по определению арифметического корня,
u > 0, v > 0. (1.2)
Избавившись в системе (1.1) от параметра х, получим уравнение связи для u , v
u2 + v2 = 9. (1.3)
Уравнение (1) в обозначениях (1.1) примет вид:
u = v + 3. (1.4)
Подставив (1.4) в (1.3), получим неполное квадратное уравнение
v2 + 3v = 0 (1.5)
с корнями vi = 0 , v2 = 3 - второй не удовлетворяет условию (1.2), а первый дает - х = 0, откуда х = 5, причем, Ul = v + 3 = 3 > 0, что также удовлетворяет условию (1.2).
Ответ: х = 5.
Замечание. Среди преимуществ двойной подстановки в приведенной задаче - однократное возведение в квадрат на последнем этапе в более простом случае и необязательность нахождения ОДЗ, так как из (1.1) следуют равенства 4 + х = u ,5 — х = v - подкоренные выражения равны квадратам и неотрицательны. Эти преимущества двойной подстановки сохраняются и в следующем, немного более сложном, уравнении из [2, с. 129]. Задача 2. Решить уравнение
л/3х2 — 5х + 8 —V 3х2 — 5х +1 = 1. (2)
Решение. Обозначим
u =л/3х2 - 5х + 8 > 0, v = V3х2 - 5х +1 > 0, (21)
Избавившись в системе (2.1) от параметра х, получим уравнение связи для
u v
(2.2)
u2 -v2 = 7.
Уравнение (2) в обозначениях (2.1) примет вид: u = v +1 (2.3)
Подставив (2.3) в (2.2), получим линейное уравнение 2v +1 = 7, откуда
v = 3 и u = 4 . (2.4)
Обратные к (2.1) подстановки дают одно и то же квадратное уравнение
3х2 - 5х - 8 = 0. (2 5)
= 8
Г = -1 Х2 =4
Решив это квадратное уравнение, получим 1 , 3 - проверка не требуется. 8
Ответ: -1, 3 .
Задача 3. Решить уравнение
V х +1 + V 4х +13 = V 3х +12 Решение. Обозначим u = V4х +13 > 0 v = V3х +12 > 0
(3) (3.1)
откуда следует u v = х +1 и уравнение связи 4v 3u = 9 , а из (3) - уравнение
V2 2
u —v = v-u (3 2)
ОДЗ первого радикала дает х + 1 = u 2 -v 2 > 0, откуда u—v > 0 (так как u + v > 0) и u > v ; уравнение ^u 2 -v 2 = v-u дает v > u ; соединяя одно с другим, найдем u = v и х = -1 (из u —v = х +1). Ответ: х = — 1.
х = — 1 х = —4
Замечание. В [3, с. 287] приведено следующее краткое описание решения этого же уравнения: «Дважды возведя в квадрат, находим 1 , 2 . Проверкой устанавливаем, что подходит только первый корень». Как видим, двойная подстановка позволила обойтись без посторонних корней. Задача 4. Найти число действительных корней уравнения
-v/u2 — u —1 + V u2 + u + 3 = V 2u2 + 8 (4)
Решение. Обозначим
х = -\/u2 — u —1, y = Vu2 + u + 3 (х> 0, y > 0). (41)
Уравнение (4) в обозначениях (4.1) примет вид:
х + У = Jx2 + y2 + 6 xv = 3 ,„„,
■г V , откуда . (4.2)
Из (4.1) следуют также равенства: y2 + x2 = 2u2 + 2 y2 -x2 = 2u + 4
s и s , (4.3)
2 x2 + У2 - 2 У2 - x2 - 4 u2 =--- u = --
2 , 2 . (4.4)
В системе (4.4) легко избавиться от параметра u, но избегая неравносильных преобразований уравнений (возведения в квадрат второго уравнения системы для сравнения с первым), продолжим первое из равенств (4.3) с помощью второго:
2 2 =<-, 2 о = 4u2 + 4 = 4u2 -16 + 20 (2u - 4)(2u + 4)+ 20 (y2 - x2 - 8)(y2 - x2)+ 20 У + x — 2u + 2 — — — —
2 2 2 2
- откуда найдем
y4 - 2x2y2 + x4 -10y2 + 6x2 + 20 = 0 xy = 3
SS s , и, учитывая, что s , получим
x8 + 6x6 + 2x4 - 90x2 + 81 = 0 и y8 - 10y6 + 2y4 + 54y2 + 81 = 0. (4.5)
Подбором найдем, что равенства выполнены при х = 1 и у 9, и из (4.4) получим соответствующее значение параметра и = 2 - один из корней уравнения (4). Равенства х = 1 и у =9 понижают степень уравнений (4.5) делением «уголком»: х + 7х + 9х -81 = 0 и
у6 - у4 - 7 у2 - 9 = 0 „ . ху = 3
^ 7 7 . Второе из этих равенств с помощью формулы ^ приведем к виду
= 1 + 1_ + А = х5 + 7 х3 + 9 х у6 = у4 + 7у2 + 9 О у у3 у5 О у = 27
- последнее равенство задает возрастающую функцию (у > 0), ее график в первой координатной четверти (х — 0, у — 0) пересекается с графиком х = 3 в единственной точке, при известных ее координатах соответствующее значение параметра и (отрицательное и иррациональное) дало бы второе из равенств (4.4).
Ответ: Уравнение имеет два действительных корня (и = 2 - один из них).
Замечание. В [3, с. 50] требовалось решить уравнение (4), ограничившись отысканием положительных корней. В решении [3, с. 305] возведением в квадрат
найден корень и = 2 и доказано, что других положительных корней уравнение не имеет. Задача 6. Найти все действительные корни уравнения
V х -1 + V х +1 = х • (5)
Решение. Обозначим
и = 31 х - 1 3 х + 1
' 2 , ' 2 , (5.1)
ясно, что У > и . Из (5.1) получим х = 2и +1, у = 2у 1, откуда вытекает уравнение связи
3 3 т
V - u — 1
Уравнение (5) перепишем в виде:
(5.2)
и + V = 2и +1 или и + V = 2у -1. (5.3)
Сложив два равенства (5.3), получим 2(и + = 2(и + у)(и 2 - и + У 2), откуда и + У = 0 (а) или и 2 - иу + У 2 = 1 (Ь)
3 -13 1
и3 =— V3 =- = 0
(a): и + У = 0, тогда с помощью (5.3) получим 2 , 2 , а с помощью (5.1) х = 0.
(b): и -иу + У = 1, тогда и + У =1 + иу - перепишем с помощью этого равенства (5.2) в виде и)(у + + и 1 и далее (у и )(1 +2иу) =1. возведя последнее равенство в квадрат, получим равносильное при 1 +2иу — 0 уравнение
(v2 -29S + S2)(l + 4S9 + 4s292)4 1 затем (l-S9)(l + 4s9 + 4S292)4 1
(c): 09 0 , тогда из (5.3) найдем
, затем
м 4 0,
9 4 1,
, откуда имеем 09 4 0 (c), или
s s
09 4 --09 4--
2 (d), или 2
(e).
S 4 -1,
9 4 0,
откуда из (5.1) x 4 1 или x 4 1.
(d):
Vs 2
09 4
. Тогда из (5.1) получим
откуда
V3
09 4--
(e): 2
Ответ: 0, + 1, ^ h +.
Тогда
x2 -1
x2 4 1 -
откуда
x 4+, 11 +
нет решений.
2
Замечание. В [4, с. 134] (5) решается возведением в куб и разложением на множители. Для отыскания двух иррациональных корней решается уравнение, сводящееся к квадратному неравносильным извлечением корня квадратного: в результате приходится совершать громоздкую проверку корней, в ходе которой используется, фактически, подстановка (5.1).
Задача 6. При всяком действительном значении параметра р найти число действительных решений уравнения
-1 + vi+7 = p .
Решение. Двойная подстановка (6.2) приводит уравнение к виду
x + y = p ,
x = 31 - t , y = 31 + t .
(6)
(6.1) (6.2)
3 3 3 3
Найдем х =1-1, у = 1 +1, формулу связи между переменными х и у : х + у = 2 и явное выражение у , как функции аргумента х :
= V 2 - x
(6.3)
3— 3
Эта функция является непрерывной и убывающей на R как композиция возрастающей у = \ 1 + / и убывающей t = 1 - х . График этой функции имеет
наклонную асимптоту y = kx + b , коэффициенты которой могут быть вычислены с помощью известных требований к асимптотам: lim -= 1 ,
kx + b
lim (y - (kx + b)) = 0 , откуда и находим уравнение асимптоты
x^<x>
y = -x . (6.4)
Впрочем, ученику, не знающему приведенных формул для асимптот, или даже не знакомому с понятием асимптоты, можно сделать следующие пояснения «на пальцах»:
3 3
= \ 2 - x = - x • 3
2
1 --
при больших по модулю х .
Графики (6.3) и (6.4) не пересекаются (система из этих уравнений не имеет решений): график (6.3) лежит выше графика (6.4), что проверяется, например, по
точкам (0; ) графика (6.3) и (0;0) графика (6.4). На рисунке изображены график (6.3), ее асимптота, а также касательная в точке К(1,1) - наиболее удаленной от асимптоты точке графика.
Заметим, что график (6.3) симметричен относительно прямой у = х , т.к. (6.3)
3 3 „
равносильно уравнению х + у = 2 , инвариантному при одновременной замене х на у и у на х (эта симметрия использовалась, например, при отыскании точки К). Графиком уравнения (6.1) является прямая, параллельная асимптоте, а при разных значениях параметра р мы имеем семейство параллельных прямых с
угловым коэффициентом k = -1; геометрический смысл параметра состоит в том, что р это точка, в которой прямая х + у = р пересекает ось У . Асимптота является прямой этого семейства с р = 0 , касательная в точке К также является прямой этого семейства с р = 2 (это граничное значение параметра находится подстановкой в уравнение х + у = р координат точки К). Заметив, что увеличение р приводит к сдвигу прямой семейства вверх, можно по рисунку сказать, что система (6.1), (6.3) при р < 0 не имеет решений, при р е (0,2) имеет два решения, при р = 2 имеет одно решение, при р > 2 не имеет решений.
Ответ: уравнение (6) не имеет решений при
p е (-«5,0] U (2,+ю)
, имеет одно решение при р = 2 , имеет два различных решения при р е (0,2)
Замечание. В задачнике [5, с. 27,29-30] уравнение (6) решается традиционным возведением в куб, что в действительной области является равносильным преобразованием, в отличие от возведения в четную степень. Но затем там анализируется полученное решение с помощью двойной подстановки (6.2). При этом анализе выясняется, что лишние корни все-таки появились! Мы переформулировали эту задачу в виде традиционной задачи № 18 из вариантов ЕГЭ профильного уровня. Но теперь решим уравнение (6), чтобы показать, что двойная подстановка не приводит к посторонним корням.
Задача 7. Решить уравнение (6).
Решение. Предварительные описания сделаны выше. Рассмотрим систему
33
х + у = р и х + у = 2 .
Преобразуем второе уравнение по формуле суммы кубов и подставим в него первое:
x2 -1
S9 =
4
4
x
3
X
72' 2Ï
plx - xy + y 1= 2 . При p = 0 равенство не выполнится ни при каких значениях x, y , поэтому
x2 - xy + y2 = — x2 - x(p - x) + (p - x)2 = —
p , или p , или
x - px +
p3 - 2 3 p
( p *0 )
Найдем дискриминант последнего уравнения:
D =
8 - p3 3p
Неравенство D - 0 легко решается относительно параметра методом интервалов:
8 - p3
> 0
D>0 О 3p О p е(0;2]. При этих значениях параметра имеем корни
X! = P -1 2
8 - p3 p F x2 = — + 2 2
12 p
8 - p3 12 p
Обратную подстановку произведем по формуле
t = 1 - x3
(
t1 = 1 - x1 = 1 -
8 - p3 12 p
3
p +
8 - p3 12 p
Т = Т X = X
Равенство 1 2 достигается при том же значении параметра, что и 1 2-
при
p = 2
1 -
Ответ:
8 - p3 12 p
при р е (°'2], но при р 2 имеем двойной корень Т _ 0 ; при других значениях параметра уравнение не имеет реше-
Приведенных примеров достаточно в качестве иллюстраций того факта, что двойная подстановка при решении иррациональных уравнений имеет следующие преимущества: 1) избавляет от неравносильного преобразования уравнения - возведения в четную степень, заменяя это возведением в степень чисел: найденных значений промежуточных переменных, 2) избавляет от необходимости находить ОДЗ, заменяя систему неравенств для ОДЗ более простыми условиями: радикал четной степени принимает только неотрица-
тельные значения, 3) позволяет варьировать два уравнения связи между введенными переменными: исходным уравнением и получающимся из двойной подстановки исключением исходной переменной, 4) позволяет привлекать графические методы решений уравнений, заменяя уравнения связи между промежуточными переменными их графиками в декартовой системе координат Указанные преимущества оказываются еще более существенными при решении неравенств.
Библиографический список
1. Гузаиров Г.М., Мунасыпов Н.А., Сафарова А.Д., Черемисина М.И. Двойная подстановка в тригонометрических уравнениях. Мир науки, культуры, образования. 2020; № 3 (82): 283 - 286.
2. ЕГЭ 2017. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. Москва: Издательство «Экзамен», 2017.
3. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы. Москва: Мир и Образование, ОНИКС-ЛИТ, 2013.
4. Лидский В.Б., Овсянников Л.В., Тулайков А.Н., Шабунин М.И., Федосов Б.В. Задачи по элементарной математике. Москва: Наука, 1973.
5. Прасолов В.В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу: учебное пособие. Москва: МЦНМО, 2007.
References
1. Guzairov G.M., Munasypov N.A., Safarova A.D., Cheremisina M.I. Dvojnaya podstanovka v trigonometricheskih uravneniyah. Mir nauki, kul'tury, obrazovaniya. 2020; № 3 (82): 283 - 286.
2. EG'E 2017. Matematika. Profil'nyj uroven'. Tipovye testovye zadaniya. Moskva: Izdatel'stvo «'Ekzamen», 2017.
3. Skanavi M.I. Sbornikzadach po matematike dlya postupayuschih vo VTUZy. Moskva: Mir i Obrazovanie, ONIKS-LIT, 2013.
4. Lidskij V.B., Ovsyannikov L.V., Tulajkov A.N., Shabunin M.I., Fedosov B.V. Zadachipo 'elementarnojmatematike. Moskva: Nauka, 1973.
5. Prasolov V.V. Zadachi po algebre, arifmetike i analizu: uchebnoe posobie. Moskva: MCNMO, 2007.
Статья поступила в редакцию 29.09.20
0
3
2
нии.
УДК 070+7.097
Karimova K.R., postgraduate, Kazan (Volga Region) Federal University (Kazan, Russia),
E-mail: karkarimova@gmail.com
BUSINESS TOPICS ON THE TELEVISION OF TATARSTAN. In the article the researcher considers the specifics of the coverage of business topics on Tatarstan TV channels broadcasting from Kazan. The choice of the subject of research is due to the need for scientific understanding of local television experience in working with business topics against of a high level of television viewing in the republic and an insignificant numbers of scientific researches of this phenomenon. The region has a high demand for business media, which is reflected in the leading positions of business Internet media in the ratings of media citation in the region. Accordingly, the online business media places particular emphasis on the business agenda. In this regard, it is important to research the peculiarities of the coverage of business topics by local TV channels, which are inferior in terms of citation to online business media.
Key words: business media, business media of Tatarstan, television of Tatarstan, entrepreneurship.
К.Р. Каримова, аспирант, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань,
E-mail:karkarimova@gmail.com
