CC BY
27
Талалай Г.Е.
ФОРМИРОВАНИЕ ОБОБЩЁННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕНОСА НА БАЗЕ ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Конструируем поверхность обобщённого переноса с каркасом кривых в декартовых координатах Х¥2 так, чтобы любое сечение поверхности, плоскостями параллельными плоскости У02 описывалось уравнением:
Ч!)2 (1)
а, Ъ - параметры функции.
При изменении ординаты «х» параметры «а» и «Ь» меняются по определённому закону. Считаем, что функции а(х), Ь(х) непрерывные, имеют непрерывные первые и вторые производные. Установим следующее соответствие:
у'=ау (2)
а
Р
При этом преобразовании кривая (1) перейдёт в кривую:
2 Г ^ Л2
г
у Г1
— = а — или у —а а
ръ ' \рь
а
Получили кривую вида (1), но с новыми параметрами:
а) = а а; Ь} = {}Ъ
Следовательно введённое преобразование (2) удовлетворяет условиям постав-ленной задачи: получили обобщённую поверхность переноса с каркасом кривых вида (1). Связь между новыми и старыми параметрами можно записать:
а' _ 6'
а = —; /? = -
а о
Зная функции изменения параметров а(х) и Ь(х), можно построить одномерное семейство преобразований:
(3)
а(х0) Ь(х0)
где х0 - некоторая ордината х для исходного сечения.
1
Если известно семейство преобразований, то поверхность можно получить непрерывными преобразованиями исходного сечения х=х0 и, наоборот, задание поверхности эквивалентно заданию произвольного однопараметрического семейства преобразований вида (2) таких, что: а(хо)=1; РЫ=\\
Уравнение траекторий точек образующей получаем, подставляя в уравнение (2) выражения (3):
(4)
Ь(х0)
Уо , , ——г Ф)
Ф о)
Таким образом, получили непрерывный сетчатый каркас обобщённой поверхности переноса. В плоскостях, параллельных плоскости ¥01, линии каркаса описываются уравнением (1). Эти
плоские кривые назовём поперечным набором поверхности. Продольный набор поверхности описывается кривыми, заданными уравнением (4) - траекториями точек линии поперечного набора при х0, полученными в результате введённого преобразования.
Талалай Г.Е.
ФОРМИРОВАНИЕ ОБОБЩЁННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕНОСА НА БАЗЕ КВАДРАТНОГО ТРЁХЧЛЕНА
Конструируем поверхность обобщённого переноса с каркасом кривых в декартовых координатах XYZ так, чтобы любое сечение поверхности, плоскостями параллельными плоскости описывалось уравнением:
у = аг2 +Ьг + с (1)
а, Ь, с - параметры функции.
При изменении ординаты «х» параметры «а», «Ь», «с» меняются по определённому закону. Считаем, что функции а(х), Ь(х), с(х) непрерывные, имеют непрерывные первый и вторые производные.
Разобьём функцию на две' у = у] + у2
где: У1 = аг2; у2 = Ьг + с
Для функлйш ъибираеи уравиениа у^ = <&у ^
Преобразованная кривая запишется: = аа(г)2
я'
Новые параметры: а'= аа; откуда: а =—;
а
а(х)
Одномерное преобразование можно записать: а(х) =
Фо)
уЛхо)
Уравнение траекторий точек, описанной функцией ух будет: уг = а(х)
Фо)
Для функции у2 выбираем уравнение преобразования вида: у2,= + Т-При этом преобразовании опишется уравнением:
У 2 ~ 7
——- = Ьх + с; откуда; у2 = р>Ь/ + рс + у;
Р
Новые параметры: Ь,= рЬ: с'= (Зс + у:
. ь , ьх
Связь между новыми и старыми параметрами- р = —; у = с---с;
Ъ Ъ
