CC BY
28
Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 22, 2011 3.
-\-
УДК 624.04'074.4:539.41:513.73
С.Н. Кривошапко, И.А. Мамиева
ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ТОРСОВ И ТОРСОВЫХ ОБОЛОЧЕК В УСЛОВИЯХ ДАГЕСТАНА
S.N. Krivoshapko, I,A. Mamiyeva.
THE OPPORTUNITIES OF APPLICATIONS OF TORSE SURFACES AND DEVELOPABLE SHELLS IN DAGESTAN
Торсовые тонкостенные конструкции имеют одно неоспоримое преимущество, они могут быть развернуты на плоскость без разрывов и складок. Это активно используется при проектировании корпусов судов, в сельскохозяйственном машиностроении, в самолетостроении, в трубопроводном транспорте при изготовлении различного рода переходников, в автодорожном строительстве и при проектировании противоэрозионных валов и в картографии, в промышленном и гражданском строительстве.
Ключевые слова: торсовая поверхность, торсовая оболочка, дифференциальная геометрия, судостроение, строительство, машиностроение.
The torse thin-walled structures have one beautiful advantage, they can be developed on a plane without any lap fold or break. This property is actively applied for design of ship hulls, in agricultural machine building, in aircraft construction, in pipe design for making the diverse transitions, in road building, in cartography, and in civil engineering.
Key words: torse, developable shell, differential geometry, ship building, civil engineering, machine building.
z 10-
Практически вся известная на сегодняшний день информация о геометрии торсовых поверхностей (торсов), о способах расчета торсовых оболочек на действие статических нагрузок, о методах построения разверток торсов и аппроксимации торсов складками содержится в монографии [1].
Поверхности цилиндрические, конические, торсовые, плоскость, поверхности многогранников относятся к классу поверхностей нулевой гауссовой кривизны, которые часто называют также развертывающимися поверхностями. Торсовая поверхность образовывается касательными прямыми к своему ребру возврата. Торсовая поверхность может быть развернута на плоскость всеми ее точками без складок и разрывов, при этом длины кривых и углы между любыми кривыми, принадлежащими поверхности, не изменяются.
В архиве авторов имеются более 400 наименований научных работ посвященных исследованию различных аспектов торсовых поверхностей и оболочек. Большое число работ опубликовано в последнее десятилетие, преимущественно по вопросам применения тонкостенных торсовых конструкций в машиностроении, судостроении и строительстве. Большая часть работ издана за рубежом. Чтобы понять преимущества и достоинства торсов рассмотрим кратко методы их конструирования и задания.
Способы конструирования торсовых поверхностей
По-видимому, первым обратил внимание на торсовую поверхность Архимед. Поверхность, образованная касательными
Рис. 1
-\-
прямыми к винтовой линии носит название винта Архимеда. Эту поверхность можно
получить также винтовым изгибанием предварительно разрезанной плоской кольцевой заготовки (рис. 1).
Французский математик Г. Монж в 1805 г. установил, что можно построить, по
крайней мере, одну развертывающуюся поверхность движением прямой линии по двум
произвольным кривым. Несмотря на то, что теоретическая часть конструирования торсов
Г. Монжем была разработана очень подробно, первые параметрические уравнения
торсовых поверхностей были получены только в 1982 г. [2] (рис. 2).
Н.Н. Рыжов в 1972 г. предложил каркасно-параметрический метод конструирования
торсовых поверхностей. В этом случае линейчатая поверхность задается уравнением
своего непрерывного каркаса у = кх +1, г = тх + п, где к, I, т, п - непрерывные функции от
одного и того же параметра. Установлено, что поверхность, заданная своими
прямолинейными образующими, будет торсовой при выполнении условия
ё1 ёп I' п'
— = —, или — = —, ёк ёт к' т'
где £¡1, с}к, ¿¡и, ¿/да - дифференциалы функций; Г,к',п',т'~ производные функций от одного параметра.
Конструирование торсов по двум заданным линиям кривизны разных семейств осуществляется на основании теоремы «Если задана прямая и пересекающая ее ортогональная кривая, то существует лишь единственная торсовая поверхность,
Рис. 2
Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 22, 2011_3. -\-
содержащая эти линии, для которой они являются линиями кривизны».
Конструирование по заданному ребру возврата легко осуществить, если известно его уравнение в виде x = x(v), y = y(v), z = z(v). В этом случае векторное уравнение для торсовой поверхности можно представить в виде r = r(u, v) = p(v) + ul(v), где p(v) - текущий радиус-вектор ребра возврата:
p(v) = x(v)i + y(v)j + z(v)k;
l(v) - единичный касательный вектор, заданный в каждой точке ребра возврата.
Очень интересные формы можно получить, конструируя торсовые поверхности кинематическим методом [2]. Пусть некоторая поверхность Ф образована перемещением прямой линии к, принадлежащей плоскости Е. Плоскость Е в любом произвольном положении касается прямого кругового цилиндра с радиусом r . Будем называть параллелями ортогональные траектории семейства плоскостей Е, а меридианами -сечения поверхности Ф этими плоскостями, т.е. меридианы - это линии к. Таким образом, линейчатая поверхность Ф описывается прямой к при наматывании плоскости Е на направляющий цилиндр. Меридианы к являются линиями кривизны. Другое семейство линий кривизны совпадает с семейством параллелей, так как последние являются ортогональными траекториями к меридианам. Полученная поверхность Ф является поверхностью нулевой гауссовой кривизны, и, следовательно, торсовой поверхностью, которую называют линейчатой цилиндрической улиткой вращения или резной линейчатой поверхностью Монжа. Если расположить прямую к параллельно образующим цилиндра, то получится цилиндрическая поверхность с направляющей линией в форме эвольвенты круга радиусом r.
Аналогичные рассуждения приводят к заключению, что поверхность Ф, описываемая прямой линией к, лежащей на плоскости Е, которая касается в любом произвольном положении прямого кругового конуса, также является торсовой [1].
Новый подход к кинематическим методам конструирования торсовых поверхностей предложен А.М. Тевлиным в 1970 г. При использовании этого метода должен быть задан закон движения двух произвольных точек образующей прямой. Разработанный А.М. Тевлиным кинематический метод наиболее эффективен при графических построениях торсовых поверхностей.
Торсовую поверхность можно построить как огибающую однопараметрического семейства круговых конусов. Еще один метод дает возможность законструировать торс, опирающийся на пространственную замкнутую кривую.
И наконец, остановимся на образовании поверхностей одинакового ската. Поверхности одинакового ската - это линейчатые поверхности, имеющие постоянный угол а между своими прямолинейными образующими и соответствующими главными нормалями плоской направляющей кривой. Поверхности одинакового ската являются поверхностями нулевой гауссовой кривизны, в общем случае, с ребром возврата. Касательные к ребру возврата совпадают с прямолинейными образующими поверхности одинакового ската. Прямая круговая коническая поверхность также относится к поверхностям одинакового ската с направляющей окружностью. Цилиндрическую поверхность произвольного поперечного сечения можно считать поверхностью одинакового ската с а = ж/2.
Области применения торсовых конструкций и сооружений
Изучение и использование торсовых поверхностей имеет длинную историю. Благодаря произвольной форме ребра возврата, касательные к которому образуют торс, ему может быть придана разнообразная конфигурация. Множество способов конструирования торсовых конструкций позволяют придать им необходимую форму,
-\-
заданные технологические свойства и делают торсовую поверхность удобной для применения в различных отраслях производства и строительства.
Торсовые поверхности находят применение не только в машиностроении и строительстве, но и в создании скульптурных форм, что подтверждается Ильханом Команом [3]. Его развертывающиеся скульптурные формы, созданные в конце 1970-х и начале 1980-х годов, вызывают большой интерес у любителей «математического искусства».
Математическое описание с выводом уравнений торсов, обладающих развитой формой, дает возможность получить необходимую информацию для инженерного расчета оболочек из отсеков таких поверхностей с помощью ЭВМ.
В этом разделе рассмотрим возможности применения торсов и торсовых тонкостенных конструкций применительно к условиям Дагестана, где есть судоремонтная промышленность, сельскохозяйственное машиностроение, актуально дорожное строительство и сооружение противоселевых и иных валов в горных условиях, развивается гражданское строительство.
Применение тонкостенных торсовых конструкций в судостроении
Одним из важных факторов, способствующих уменьшению стоимости и сроков постройки судна, является рациональное проектирование упрощенных обводов корпуса. В судостроении торсовые поверхности формируются с использованием только вращающихся цилиндров или прессов. Термическая обработка используется лишь для исправления перекашиваний.
Принципиальные теоретические положения по вопросу применения торсовых поверхностей при проектировании корпуса судна упрощенной формы изложил Г.Е. Павленко в 1948 году. Развертывающиеся поверхности представляют собой чрезвычайно гибкое средство для выполнения формы судна. Очертание ватерлиний оказывает решающее влияние на сопротивление воды, поэтому их надо выбирать в строгом соответствии с требованиями гидромеханики, а затем строить торсовую обшивку, проведенную через две любые заранее заданные кромочные линии, так как форма мидельшпангоута оказывает небольшое влияние. Она может варьироваться в широких
Рис. 3
пределах и выбираться на основании побочных соображений. В одной из своих работ Г.Е. Павленко в 1948 г. в качестве примера приведен теоретический чертеж судна, построенного из торсовых поверхностей (рис. 3). Аналогичный графический метод построения торсовых поверхностей, проходящих две любые заранее заданные кромочные линии, называемый методом Ульмана Килгора (Kilgore's Method), описывается в работе [4]. Корабельный архитектор Ульман Килгор из Мичиганского университета предложил его в 1967 году.
Особо широко развертывающиеся поверхности используются строителями яхт и лодок, работающими в домашних условиях с фанерой и алюминием [4]. Кроме того
-\-
усилия, которые необходимо приложить для формирования торсов, меньше, чем при
изготовлении поверхностей двойной кривизны. В статье [5] предложен простой метод изготовления типичных твердо-килевых лодок, состоящих из отдельных независимых панелей. Панели формируют днище, бока, палубу и переборки лодки, разделяя ее на конструктивные модули вместо конструктивных блоков. Все панели изготовляются в форме развертывающихся поверхностей и их стыки приходятся на прямолинейные образующие. Предложенная в этой статье система изготовления будет выгодна для стальных и алюминиевых маломерных судов и лодок.
Как показали исследования, судно с упрощенными обводами незначительно уступает по своим ходовым качествам судам обычной формы, особенно при умеренных скоростях. С целью проверки влияния упрощенных форм обводов на ходовые качества судна в Институте гидромеханики АН УССР испытаны различные буксировочные модели грузовых судов с обводами корпуса, спроектированными из развертывающихся поверхностей, которые во всех случаях до возникновения так называемой стенки сопротивления показали положительные результаты.
Проблема формирования корпусов судов из развертывающихся поверхностей в последние годы по-прежнему привлекает внимание многих инженеров и ученых, вносящих разнообразные усовершенствования в процессы проектирования [1]. Кроме того, имеются данные, что поверхности эвольвентного геликоида (рис. 1) находят применение при создании суперкавитирующих гребных винтов скоростных судов.
Применение тонкостенных торсовых конструкций в самолетостроении
Торсовые поверхности благодаря простоте образования нашли широкое применение в авиационной промышленности при задании сложных поверхностей. Наиболее часто встречается метод построения торсов путем движения прямой по двум направляющим исходным сечениям. Исходными сечениями могут быть расчетно-экспериментальные кривые типа профилей крыла и оперения или любые другие кривые. Они задаются в виде таблиц координат или другими методами, в том числе и кривыми второго порядка. Из наиболее ранних работ, посвященных применению тонкостенных торсовых конструкций в самолетостроении, можно привести брошюру Д.М. Орлова и др. (1959 г.).
Имеется модель вертолета, собранная из кусков торсовых поверхностей и дается набор плоских разверток этих кусков [6]. В этой же статье приводится компьютерная модель самолета F16 и дается картонная модель этого же самолета, которая представляет собой аппроксимацию компьютерной модели торсами. При моделировании не учитывалась толщина материала. Гершон Элбер (Gershon Elber) [6] считает, что учет толщины при моделировании реальных изделий должен стать темой будущих исследований.
Аналитические методы расчета позволяют сократить производственные площади, повысить точность построений, аналитически провести полную увязку поверхностей.
Применение тонкостенных торсовых конструкций в сельскохозяйственном
машиностроении
Впервые вопрос о применении тонкостенных торсовых конструкций в практике сельскохозяйственного машиностроения поднимался еще в 1927 году В.П. Горячкиным, который отмечал: «Линейчатые разгибающиеся поверхности, по-видимому, представляют особый интерес для отвалов. Преимущество таких поверхностей для отвалов заключается в следующем. При штамповании их не будут усаживаться или наоборот вытягиваться отдельные части поверхности. Поэтому такая поверхность будет более правильной без выпуклостей и углублений. А плавность поверхности имеет очень большое значение для отсутствия залипания отвалов. Пласт прилегания к такой поверхности движется только по ортогональным кривым однообразно вдоль каждой образующей».
-\-
В дальнейшем вопросы о расширении возможностей использования торсовых
поверхностей в качестве лемешно-отвальных рассматривались в десятках работ [1]. Создание плужных поверхностей в большинстве указанных работ основано на использовании двух парабол, расположенных в параллельных плоскостях.
К числу наиболее перспективных орудий для глубокого рыхлении можно отнести орудие, лемех которого образован левым и правым встречно-спаренными плугами, выполненными по торсовой поверхности с двумя кривыми второго порядка, расположенными в параллельных плоскостях [7]. Такой рабочий орган, снабженный вертикальными боковыми стойками, способен в безотвальном режиме производить не только глубокое рыхление, но и обычную глубокую вспашку. Испытания, проведенные в 1982-1984 гг. Киевским политехническим институтом совместно с Херсонским областным производственным объединением «Сельхозхимия», показали, что только орудия этого типа оказались пригодными для культивации солонцов с сохранением гумусового горизонта на поверхности обработанного пласта. Кроме того, применение развертывающихся лемешно-отвальных поверхностей позволит снизить энергозатраты при одновременном повышении качества вспашки.
Геометрический анализ существующих плужных поверхностей, проведенный В.Я. Булгаковым в 1971 г., показал, что значительная часть их, с геометрической точки зрения, может быть задана параметрами, число которых колеблется от семи до двенадцати.
Имеются исследования, где получены аналитические выражения двух возможных критериев оптимальности параметров отвальной поверхности, в качестве которых выбраны углы охвата и закручивания пласта, показаны перспективы применения торсов в качестве поверхностей рабочих органов сельхозмашин-разделителей, сепарирующих поверхностей, расстилочных столов.
Поверхность развертывающегося геликоида (рис. 1) широко используется в сельскохозяйственном машиностроении в виде приспособлений для транспортировки сыпучих, соломистых и полужидких грузов.
На небольшую высоту (примерно полметра) воду можно поднимать, как это делается в некоторых арабских странах, при помощи винта Архимеда (рис. 1). Один конец его опускается в воду, из другого вода выливается в арык.
Применение торсовых поверхностей в автодорожном строительстве, при сооружении противоэрозийных валов и в картографии
В автодорожном строительстве торсовые поверхности находят применение в качестве геометрических моделей откосов насыпи при подъеме и закруглении дороги. Эти поверхности могут проектироваться как поверхности одинакового ската. За направляющую кривую принимается бровка дорожного полотна.
Одним из эффективных средств борьбы с водной эрозией почв является сооружение противоэрозионных валов на склонах. Стремление к совмещению границ полей с валами приводит к криволинейной форме границ полей, причем на топографической поверхности получается система параллельных (эквидистантных) кривых линий. Известные геометрические свойства поверхности одинакового ската позволяют использовать торсовые поверхности для аппроксимации топографических поверхностей.
Имеются компьютерные программы «DEVELOPABLE-MESH» и «UNFOLD program», с помощью которых по отдельным разрозненным числовым отметкам строятся развертывающиеся поверхности, аппроксимирующие геологические структуры с заданной степенью точности [8]. Предложенная в статье [8] методика была применена в реальных условиях (Red Mountain area in the Ventura basin).
Развертывающиеся поверхности привлекаются для составления картографических проекций, когда поверхность Земли проецируется на развертывающуюся поверхность, которая затем разворачивается на плоскость. Как отмечают авторы статьи [9] вопросы развертывания поверхностей на плоскость имеют давнюю историю, но в картографии эта
123
-\-
задача уже полностью решена, в то время как в промышленности многие вопросы
остаются пока нерешенными.
Применение тонкостенных торсовых конструкций в промышленном и гражданском
строительстве
В наш век инновационных идей создаются конструкции и изделия, немыслимые с точки зрения недалекого прошлого. Архитекторы и инженеры-механики требуют создания и исследования новых форм и поверхностей, описываемых аналитическими уравнениями, для внедрения их в различные отрасли науки, техники и строительства.
Архитектор и инженер Феликс Кандела (Felix Candela) писал: «Было бы трагично, если в умах молодой генерации архитекторов победило производство кубических структур на прямоугольном плане, которое воспринималось бы как синоним всей архитектуры». Другой знаменитый архитектор и инженер Э. Торроха говорит: «Лучшим сооружением является то, надежность которого обеспечивается главным образом за счет его формы, а не за счет прочности его материала. Последнее достигается просто, тогда как первое, наоборот, с большим трудом. В этом заключается прелесть поисков и удовлетворение от открытий». Конструктивные решения безопорного пространства обеспечивают максимальные уровни гибкости производства, т.е. возможность трансформации внутреннего пространства здания и его внешнего развития, перестановки и замены оборудования и т.д. Однако в связи с трудностями технического воплощения оболочек двойной кривизны достигаемая гибкость производственного здания не всегда экономически оправдана.
Применение торсовых оболочек может давать в ряде случаев положительный эффект, благодаря отмеченным ранее их свойствам. Торсовые железобетонные оболочки позволяют использовать для армирования рулонные или плоские арматурные сетки, а опалубка может быть выполнена из прямолинейных или листовых элементов, которые можно изготовить в заводских условиях, а затем установить в проектное положение. Практика показывает, что иногда выгоднее применить большую площадь поперечного сечения элемента, но добиться более выгодного варианта раскроя.
Отметим также возможность применения торсовых поверхностей при изготовлении тентовых покрытий. Приняв за основу формы тентовой конструкции торс, можно избежать трудностей при раскрое ограждающих конструкций. Установив опорный контур, систему балок, совпадающих с прямолинейными образующими торсовой поверхности, и связи, можно получить пространственный жесткий каркас, который затем накрывается тентовым ограждением.
В статье Ж. Глаезера (Georg Glaeser) «Красота развертывающихся поверхностей» [10] говорится, что на практике торсы наиболее востребованы авангардной архитектурой, где используются гладкие поверхности и где особенно учитываются ограничения на
стоимость здания. Несколько торсов, объединенных вместе, могут создать новую структуру.
Центр информационных технологий в архитектуре «CITA» (Швеция), работая над проектом «The Research devA CITA», продолжает разрабатывать новые, более эффективные пути создания и проектирования сложных поверхностей на основе развертывающихся. На своем сайте этот Центр отмечает, что торсовые поверхности относительно легко производить, а комбинация из
-\-
разных торсов с ребром возврата позволяет создавать объекты высокой степени сложности, которые, в свою очередь, расширяют возможности по пространственному экспериментированию в архитектуре. В центре считают, что потенциал торсовых поверхностей в архитектуре до конца еще не раскрыт.
В технической литературе предложено несколько решений зданий и сооружений из торсовых оболочек. В частности, один из авторов статьи С.Н. Кривошапко предложил гараж с торцами в виде двух плоских парабол (рис. 4), лежащих в пересекающихся плоскостях.
Для архитекторов определенный интерес могут представлять сооружения, состоящие из нескольких однотипных торсов, перекрывающих четырехугольный план, которые соприкасаются соответствующими сторонами.
Пример конструирования поверхности составной оболочки на прямоугольном плане представлен в работе В.Я. Булгакова (1976 г.). Конструирование осуществлено по двум парам парабол, лежащим в параллельных плоскостях. Здесь же предложена поверхность оболочки из четырех отсеков торса четвертого порядка при заданном шестиугольном контуре плана. Каждый отсек опирается на две параболы, горизонтальную прямую и кривую продольной плоскости симметрии. Имеется пример конструирования симметричной оболочки из четырех отсеков торса четвертого порядка при квадратной форме плана. Внутренняя опорная кривая отсеков состоит из двух симметричных участков двух конгруэнтных парабол, имеющих общую касательную прямую в центре плана.
Рассматривается возможность конструирования торсовых поверхностей, опирающихся на плоские и неплоские арки с растяжками, совпадающими с прямолинейными образующими конструируемых торсов. Растяжки рекомендуется располагать в нормальных плоскостях арки. Одинаковые усилия в растяжках, расположенных по обе стороны от соприкасающихся плоскостей арки, возникают при равенстве углов наклона двух растяжек к соприкасающейся плоскости в соответствующей точке.
Совместное использование развертывающегося (рис. 1) и прямого геликоидов в одной винтовой железобетонной лестнице, впервые осуществлено в Музее-панораме «Сталинградская битва» (г. Волгоград). Винтовая лестница, нижняя поверхность которой есть торс-геликоид (рис. 1), используется для подъема посетителей с первого этажа на обзорную площадку.
Целесообразно применять торсовые тонкостенные конструкции для перехода с одного сечения на другое в пылегазовоздухопроводах, что позволит уменьшить металлоемкость изготовления, улучшить компоновку и уменьшить аэродинамическое сопротивление трасс. Свойство торсовой поверхности развертываться на плоскость всеми ее точками без искажения длин, разрывов и складок можно использовать для построения разверток, выполнения раскроя и заготовок. Наличие прямолинейных образующих позволяет упростить технологию сварочных работ при сборке изделия.
Применение торсовых конструкций в машиностроении
Как неоднократно подчеркивалось, способность торсовой поверхности развертываться на плоскость и постоянство касательной плоскости вдоль одной прямолинейной образующей являются главными достоинствами торсов. Первое качество торсов позволяет значительно упростить технологию построения разверток, выполнения раскроя и заготовок. Второе качество является существенным в вопросе упрощения технологического процесса изготовления детали, поверхность которой является торсовой, так как в этом случае поверхность детали можно обрабатывать в прямолинейном направлении вдоль всей образующей, что дает эффект при работе на строгательных или фрезерных станках.
-\-
Торсы могут быть геометрическими моделями технических конструкций из листового
материала. Наибольшие выгоды можно получить от применения торсов при проектировании и производстве сложных фасонных частей трубопроводов.
И.А. Скидан и А.М. Скирда предложили способ конструирования шнековой поверхности угольной центрифугальной машины УЦМ-2000 и ее стыка с барабаном на основе математической модели торса с ребром возврата на круговом конусе (рис. 2). Предложенный метод проектирования шнековой поверхности и ее стыка с барабаном позволил получить плоскую заготовку для каждого захода шнека из одного куска. Предложенные решения реализованы в виде комплексов программ автоматизированного конструирования шнеков, позволяющего по значениям конструктивных параметров шнека получить на графопостроителе за 35 мин следующую документацию для одного варианта:
- ортогональные проекции шнековой поверхности,
- развертки витков шнека с нанесением семейства прямолинейных образующих,
- развертку барабана с нанесением линии канавки.
Определенный интерес представляет изучение развертывающихся поверхностей Е, проходящих через некоторую кривую С, проведенную на круглом цилиндре S . Прямолинейные образующие поверхности Е совпадают с прямолинейными образующими цилиндра S при наложении Е на S при фиксированной кривой С. По данной кривой С на круглом цилиндре можно найти соответствующие развертывающиеся поверхности Е. Решение задачи сводится к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Рассмотренная постановка задачи связана с проблемой изготовления упаковочной тары в форме цилиндрической трубки.
Торсовую поверхность можно видеть в очертании лопатки осевого вентилятора шахтного проветривания, формы червяков, винтов транспортера, буровых машин.
Развертывающийся геликоид используется в доменных печах в качестве направляющей поверхности в газоходах.
Имеются работы В.С. Люкшина, где очень подробно разбираются вопросы применения развертывающихся геликоидов (рис. 1) к образованию режущих инструментов и, в частности, описывается обработка эвольвентной винтовой поверхности по методу обкатки.
Использование торсовых поверхностей в текстильной промышленности
Графический метод построения разверток с помощью вспомогательного направляющего конуса А.А. Богушко перевел на язык ЭВМ и создал алгоритм построения разверток характерных участков поверхностей в автоматизированном процессе конструирования одежды [1]. Использование торсовых поверхностей для планирования раскроя одежды рассматривается также в статье [11]. Е.А. Баландина разработала метод и алгоритм построения развертки геометрической модели поверхности тела человека с использованием способа аппроксимации отсеками торсов, применительно к проектированию изделий легкой промышленности.
Библиографический список
1. Кривошапко, С.Н. Геометрия линейчатых поверхностей с ребром возврата и линейная теория расчета торсовых оболочек [Текст]/ С.Н. Кривошапко. - М.: Изд-во РУДН, 2009. - 358 с.
2. Кривошапко, С.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей [Текст] / С.Н. Кривошапко, В Н. Иванов. - М.: «ЛИБРОКОМ», 2010. - 560 c.
3. Ilhan Koman Foundation For Arts & Cultures, "Ilhan Koman - Retrospective", Yapi-Kredi Cultural Activities, Arts and Publishing, Istanbul, Turkey, 2005.
