К вопросу геометрическою проектирования изделий со сложной формой поверхности Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

УДК 687.016:515.2 С. В. ПАВЛОВА

Восточно-Сибирский государственный технологический университет, г. Улан-Удэ

К ВОПРОСУ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ИЗДЕЛИЙ СО СЛОЖНОЙ ФОРМОЙ ПОВЕРХНОСТИ_________________________________________

В статье рассмотрены некоторые теоретические аспекты решения задач проектирования разверток поверхностей сложных форм с помощью задания вспомогательной торсовой поверхности.

Ключевые слова: поверхность, развертка, геометрическое моделирование, геодезическая кривая.

Как известно, одной из основных задач автоматизированного проектирования изделий индустрии моды является получение плоских шаблонов — деталей изделий со сложной поверхностью, к которым относятся одежда, обувь, головные уборы. Приближенная развертка заданного участка поверхности двойной кривизны складывается из элементарных геометрических фигур — условных разверток элементов поверхности, полученных в результате членения ее различным образом. Членение поверхности па отдельные участки осуществляется с помощью геодезических кривых, служащих исходными линиями развертывания. Дальнейшее развертывание полученных в результате членения участков произво-

дится с помощью аппроксимации исходной поверхности сложной формы плоскостью либо другой, развертывающейся поверхностью. Известно, что наи-лучшим посредником при подобном геометрическом моделировании являются торсовые поверхности [ I ].

В тех случаях, когда форма исходной поверхности не позволяет выполнение обычного членения на эле-ме!ггарные участки геодезическими линиями (напри мер, в местах сочленения разных по форме поверхностей), необходим другой подход [2, 3]. Ранее авторами было предложено теоретическое обоснование (2] и вычислительное проектирование [4] метода построения развертки для некоторого участка поверхности на основе построения негеодезической

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 («7) 2010

кривой и аппроксимации исходной поверхности торсовым посредником.

Указанный способ включает задачи построения вспомогательной торсовой поверхности, огибающей исходную поверхность по заданной кривой сложной конфигурации и, далее, развертывания на плоскость торсового посредника [3,5].

Вычислительный эксперимент, рассмотренный в работе |4|, позволил выделить из конгруэнции линейчатых поверхностей искомый вспомогательный торс, аппроксимирующий заданный участок поверхносги. Завершить процесс получения искомой развертки -плоского шаблона детали изделия — позволит решение задачи построения развертки выделенного линейчатого посредника. Решение задачи развертывания торсовой оболочки, в свою очередь, основано на свойстве инвариантности коэффициентов первой квадратичной формы поверхности. Развертывание должно производит!,ся с непрерывным уменьшением кручения и при сохранении кривизны развертываемой линии. В этом случае стрикционная линия торса вырождается в плоскую кривую, кручение которой равно нулю. Прямолинейные образующие торса, касательные к ребру возврата, останутся касательными и к плоской кривой. Таким образом, под разверткой торса обычно понимают его ребро возврата после изгибания поверхности на плоскость. В дальнейшем оно может использоваться как базовая линия для построения кривых на развертке. Указанные кривые ограничивают отсек торса в пространстве, т.е. определяют некоторый участок поверхности, далее модифицируемый в искомый шаблон детали изделия. При задании уравнения ребра возврата вспомогательного торса в параметрической форме, с длиной дуги 5 в качестве параметра уравнение торсовой поверхности 11 ), будет

*г = 7у(у'5)* И)

где V - параметр, величина которого определяет расстояние отточки касания образующей до произвольной точки на ней. Если выразить V как некоторую непрерывную функцию параметра, то уравнение некоторой линии, принадлежащей торсу, определяется формулой

г = ф)+ф) г'(г>).

(2)

Задание уравнения ребра возврата вспомогательной торсовой поверхности определяет зависимость между координатами точек на посреднике гТР и ее развертке гЯУТ в виде

ГЯ УТ “ ^ (гтг ) •

(3)

Для разработки математической модели задания и развертывания торсовой поверхности на плоскость рассмотрена следующая последовательность рас-суждений. Торс задается своей стрикционной линией, задания которой достаточно для построения его развертки. Натуральные уравнения ребра возврата торсовой поверхности суть

к = к(Б), т — т(б) .

(4)

где к - кривизна, а / — кручение соответствующей пространственной кривой.

Пусть кривая (1) есть ребро возврата торсовой поверхносги, тогда

к = к(Б), г = 0

(5}

- натуральные уравнения плоского ребра возврата после развертывания торса на плоскость [ 1 ]. Уравне-

ния (5) получены из условия, что кривизна кривой на торсе есть инвариант изгибания, так как к = Нтц//Аб , где I//— угол смежности касательных к соответствующей пространственной кривой. Если уравнение ребра возврата задано в параметрической форме с длиной дуги л в качестве параметра, уравнение торсовой поверхности будет

гг=7г(у,5) = р(«)+^К5)1 (6)

где — текущий радиус-вектор ребра возврата:

/?($) = х(б)1 + у (я) у + г($) к, (7)

а единичный касательный вектор /(«), заданный в каждой точке ребра возврата, определяется но формуле

Цб) = /?'(*) = *'(*) I + уЬ) ] + г'(8)к

(8)

С учетом формул (7, 8) уравнение торсовой поверхности принимает вид уравнения

Гг(и,5) = [х(в) + V • х'(*)] Г + [у($)+ V • у'(з)] ] +

+ ^(®) + V • *'(«)] к , (9)

где V — параметр, величина которого определяет расстояние от точки касания образующей до произвольной точки на ней.

Если выразить V как некоторую непрерывную функцию параметра я и подставит!, ее значение в формулу (9), получим уравнение некоторой линии, принадлежащей торсу

X = х(з)+ [(б) х’(з) у = у(5)+/(я)у'(5) г = г($)+ f(s)z'(s) .

(Ю)

Согласно утверждению, что при изгибании торса на плоскос ть все его геодезические линии становятся прямыми, и теореме Джеллета [1 ], отрезок V сохраняет прямолинейность, а дуга я — кривизну в каждой точке. Координаты точек плоского ребра возврата связаны с координатами точек пространственной линии зависимостью

чо

X = СІ5,у=$8ІП |&(5)с{5

40

(Лб, (11)

где х, у — координаты точек плоского ребра возврата, а к — кривизна пространственного ребра возврата как функция длины его дуги.

Если за параметр взята дуга, кривизна кривой выражается формулой

(12)

При этом зависимость между координатами точек па торсовой поверхности и развертке получает вид

(13)

Ур = ^к^СІЗ 45 + У5Г/1 ^к(в)(І8

о Чп / 1.0

Хр - |/с(я)с/5 Іс/я + V соя]

о чо ) \0

Таким образом, система уравнений (13) задает последовательность развертывания вспомогательной поверхности на плоскость (б).

Формулы изометрического отображения торса на плоскость следующие:

x = X(lU uJx'2+y,2 + z'2X'(t) J[X'(t)]4[Y'(t)]2

(14)

Y = У(0+

u^jx'2 + у1 + z'2 Y'(t)

J[x'tt)Y+[r(t)Y

Криволинейные координаты и, £ произвольной точки М на поверхности торса определяют, с одной стороны, точку в пространстве посредством уравнений

x = x(t)+ux'(t). y = y(t)+uy’(t), z = z(t)+uz'(t),

(15)

а с другой — соответс твующую ей в изометрическом отображен и и точку М на плоскости развертки посредством уравнений (15). Если на поверхности торса задана линия своим внутренним уравнением

(16)

то ее уравнение на развертке получим подстановкой в (14) вместо него уравнения (15).

Таким образом, построение развертки торсового посредника позволит завершить методическое обоснование получения развер тки участка поверхности (5], построенного вокруг негеодезической кривой сложной формы.

Библиографический список

1. Кривошапко, С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: справочник |Текст| / С.Н. Кривошапко — М.: УДН, 1991. - 280 с.

2. Найханов, В.В. Построение разверток при проектировании одежды (Электронный ресурс) / В.В. Найханов, С.В. Павлова //Тр. междунар. конф. по компьютерной графике и ее приложениям «ГрафиКон-98» /7 — 11 сентября 1998 т. — М., 1998. —

1 электрон, опт. диск (СО-ЯОМ): цв.; 12 см.

3. Павлова. С.В. Моделирование процесса геометрического проектирования кривых и поверхностей изделий индустрии моды. (Текст) / С.В. Павлова // Естественные и технические науки. - 2008. - №5 (37). - С. 321 -323.

4. Павлова, С.В. К вопросу геометрического проектирования изделий индустрии моды [Текст] / С.В. Павлова, Т.В. Аюшеев, В.В. Найханов// Вестник ВСГТУ. — Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ. — 2009. - №3. - С. 77-83.

5. Павлова, С.В. Разработка системного комплекса средств геометрического моделирования для САПР изделий индустрии моды. |Текст] / С.В. Павлова // Естественные и технические науки. - 2008. - №2(34). - С. 430-433.

6. Скидан, И.А. Развертка торсов (Текст] / И.А. Скидан // Прикладная геометрия и инженерная графика. — Киев, 1988. — Выи. 46. - С. 35-37.

ПАВЛОВА Светлана Владимировна, старший преподаватель кафедры «Технология изделий легкой промышленности».

Адрес для переписки: e-mail:

Статья поступила в редакцию 17.12.2009 г.

© С. В. Павлова

Книжная полка

Волошин-Челпан, Э. К. Начертательная геометрия. Инженерная графика [Текст]: учеб. для вузов по хим.-технол. специальностям / Э. К. Волошин-Челпан; Моск. гос. акад. тонкой хим. технологии им. М. В. Ломоносова. — М. : Акад. проект, 2009. — 182 с. : рис., табл. — (Саиёеатия) (Фундаментальный учебник). — ISBN 978-5-8291-0998-1.

В учебнике даны все темы в соответствии с государственным общероссийским стандартом направления 550800, химическая технолога я и биотехнология ОПД.Ф.О! дисциплины «Начертательная геометрия. Инженерная графика» и разработанной на его основе примерной программой этой дисциплины.

Инженерная графика. Геометрические основы конструирования [Текст]: учеб. пособие для вузов по направлению подгот. «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» / В. Г. Григорьев [и др.]; Твер. гос. техн. ун-т. — 3-е изд., перераб. и доп. — Тверь: Изд-во ТГГУ, 2008. — 155 с. — ЮВЫ 978-5-7995-0418-2.

Материал по инженерной графике изложен без традиционного разделения на начертательную геометрию и черчение. Курсы объединены и направлены на развитие навыков активного конструирования.

Инженерная графика. Введение в конструирование [Текст]: учеб. пособие для вузов по направлению «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» / В. Г. Григорьев [и др.]; Твер. гос. техн. ун-т. — 2-е изд., перераб. и доп.— Тверь: Изд-во ТГТУ, 2009.— 108 с. — !5ВЫ 978-5-7995-0475-5.

Материал по инженерной графике изложен без традиционного разделения на начертательную геометрию и черчение. Курсы объединены и направлены на развитие навыков активного конструирования.

Инженер постоянно имеет дело с чертежами. При этом ему приходится не только читать чертежи, но и заниматься вопросами конструирования, когда поиск оптимальных решений идете использованием графических методов, а результат конструирования представляется в виде чертежа. Главное назначение данного пособия — подготовить к конструированию и рассмотрению графических моделей реальных технических изделий.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК ИМ 07) 2010 ИНЖЕНЕРНАЯ ГСОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА