Задание участка поверхности при проектировании изделий сложной формы из листового материала Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК: 687.016:515.2

С.В. Павлова, Т.В. Аюшеев

ЗАДАНИЕ УЧАСТКА ПОВЕРХНОСТИ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ИЗДЕЛИЙ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ ИЗ ЛИСТОВОГО МАТЕРИАЛА

Одной из основных задач проектирования и нения разных по форме поверхностей), необходим

конструирования изделий сложной формы, в ча- другой подход [2, 3]. Ранее авторами было пред-

стности в индустрии моды, является получение ложено теоретическое обоснование [2] и вычисли-

разверток и поверхностей - основы плоских шаб- тельное экспериментирование [4] метода построе-

лонов (деталей) изделий, изготавливаемых из лис- ния развертки для некоторого участка поверхно-

товых материалов. Приближенная развертка за- сти на основе построения негеодезической кривой

данного участка поверхности двойной кривизны и аппроксимации исходной поверхности торсовым

складывается из элементарных геометрических посредником.

фигур - условных разверток элементов поверхно- Указанный способ включает задачи модели-

сти, полученных в результате членения ее различ- рования поверхности сложной формы путем зада-

ным образом. Членение поверхности на отдельные ния составной поверхности из непрямоугольных

участки обычно осуществляется с помощью сис- порций [5], проектирования кривой сложной кон-

темы плоскостей, геодезических кривых, служа- фигурации на смоделированной поверхности, по-

щих исходными линиями развертывания и др. строения контуров участка поверхности вдоль

Дальнейшее развертывание полученных в резуль- полученной негеодезической кривой с помощью

тате членения участков производится с помощью геодезических параллелей, задания и развертыва-

аппроксимации исходной поверхности сложной ния на плоскость вспомогательной торсовой по-

формы плоскостью либо другой, развертываю- верхности, огибающей исходную поверхность по

щейся поверхностью. В тех случаях, когда форма заданной кривой сложной конфигурации.

исходной поверхности не позволяет выполнение Поверхности объектов сложной формы не мо-

обычного членения на элементарные участки гео- гут быть точно развернуты на плоскость, для них

дезическими линиями (например, в местах сочле- выполняют построение так называемых условных

С

\

■ * Г

К

■ I,

Рис. 1. С - базовая линия развертывания; Мх, М2, ... , Мп - узловые точки исходной кривой С; О - геодезические линии из узловых точек М, перпендикулярные кривой С; К - геодезические параллели - контуры

участка вокруг базовой кривой Ь; ё - ширина участка

Математическое моделирование

145

разверток. Особенно сложно строить развертки для кривых поверхностей «переменного вида», как в случае изделий индустрии моды. Для построения подобных разверток используются различные методы, преимущественно путем кусочной аппроксимации исходных поверхностей развертывающимися. Общий прием развертывания сложных по форме поверхностей состоит в том, что заданную поверхность разбивают на отдельные элементы и аппроксимируют их элементами вспомогательных поверхностей (преимущественно многогранных), которые затем и развертывают.

Предложенный в работе способ позволяет производить развертывание участков на основе проектирования на исходной поверхности изделия линий, не являющихся геодезическими линиями поверхности. Указанная кривая является осевой или базовой линией некоторого участка поверхности, подлежащего развертыванию.

Конструирование базовой кривой на заданной поверхности изделия выполнено с помощью кубического параметрического сплайна в наклонах (4) по цифровому массиву ее узловых точек.

гк(х)=а ,■ -1 и -Х )2(Х - ./+1) -

(1)

- а ](Х - j+1)2 и -Х)+

+^i,j-1 и -1)2 (2(Х - j+1)+1)+

+ 6 (X - j +1)2(20 - X) +1)

для j- 1 <Х <j, j= 1,2,... , I, бу - символ Кро-некера.

Контуры участка вокруг базовой кривой задаются путем построения ее геодезической параллели (рисунок 1). Геометрическая модель геодезической параллели на поверхности, заданной методом непрямоугольных порций, определена следующим образом. Из узловых точек базовой кривой проводятся геодезические линии.

Уравнения геодезической линии на поверхности имеют вид:

ё 2пГ

ds2 О 2уг

ds

+Г2

(2)

Здесь через Гу обозначены символы Кри-стоффеля, вычисляемые по формуле

у =(- .у {Ь-У • г ■/ [, Г2 ] ' М ]2 ,

i, ], У = 1,2

(квадратные скобки обозначают векторное произведение двух векторов, угловые скобки - смешанное произведение трех векторов).

Геодезическая линия должна проходить через точку М и должна быть перпендикулярна заданной на поверхности кривой, т. е.

ГГ (о) = Г ()

(о) (і)

= 0

(3)

ёъ ёХ

Эти равенства представляют собой начальные условия для системы уравнений (2). Условия (3) в явном виде имеют вид

иг (0) = иу (х ), Уг (0) = (х )

( \\

(4)

ОиГ(о)

ds

ОГк ( ) ёХ

а

ОГк (х )

ОХ

<°»г(о) = т ds

(х )

’ dХ

а

От к (х )

dХ

Найдя решение иГ (ъ) уг (ъ) системы уравнений (3), удовлетворяющее условиям (4), и подставив в него необходимое значение ширины искомого участка ъ=б, получим уравнение геодезической параллели, соответствующей этому б

и п (X,б) = и г (б), Vп (Х,б) = Уг (б) (5)

ОиГ \2 1 ОиГ 12 и

ds ] + 2 ГІ2 ds —L + Г2 ds 111 Г V ^ , J =0

ёиГ 12 ^ ОиГ 1 ґ Оуг

ds J + 2 Г12 ds ^ 1 Г + 22 Г V ds , J=0

(х, б)= Г (иП (х,4 (х, ^))

-°2°2

Это есть уравнение математической модели задания геодезической параллели базовой кривой, т.е. контуров искомого участка в способе построения разверток сложных поверхностей в индустрии моды [2, 4].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

и

2

и

п

1. Кривошапко, С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник [Текст] / С.Н. Кривошапко -М.: УДН, 1991. - 28° с.

2. Найханов, В.В. Построение разверток при проектировании одежды [Электронный ресурс] / В.В. Найханов, С.В. Павлова // Тр. междунар. конф. по компьютерной графике и ее приложениям «Графи-Кон-98»/ 7-11 сентября 1998 г. - М., 1998. - 1 электрон. опт. диск (СБ-КОМ): цв.; 12 см.

3. Павлова, С.В. Моделирование процесса геометрического проектирования кривых и поверхностей

изделий индустрии моды. [Текст] / С.В. Павлова // Естественные и технические науки, 2008. - № 5 (37) -С. 321-323.

4. Павлова, С.В. К вопросу геометрического проектирования изделий индустрии моды [Текст] / С.В. Павлова, Т.В. Аюшеев, В.В. Найханов // Вестник ВСГТУ. - Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2009. - № 3 -С.77-83.

5. Павлова, С.В. Описание виртуальной модели изделия в индустрии моды с позиции геометрического моделирования формы. [Текст] / С.В. Павлова, Аюшеев Т.В. // Вестник ВСГТУ. - Улан-Удэ, 2007.

- № 3 - С.32-35.

□ Авторы статьи:

Аюшеев Тумэн Владимирович

- докт.техн.наук., зав. каф.«Инженерная и компьютерная графика» Восточно-Сибирского государственного технологического университета, г. Улан-Удэ E-mail: [email protected]

Павлова Светлана Владимировна

- ст. преп. каф. «Технология изделий легкой промышленности» ВосточноСибирского государственного технологического университета, г.

Улан-Удэ, E-mail: [email protected]

УДК: 687.016:515.2 С.В. Павлова, Т.В. Аюшеев К ВОПРОСУ РАЗВЕРТЫВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

Как известно, одной из основных задач автоматизированного проектирования изделий индустрии моды является получение плоских шаблонов - деталей изделий со сложной поверхностью, к которым относятся одежда, обувь, головные уборы. Приближенная развертка заданного участка поверхности двойной кривизны складывается из элементарных геометрических фигур - условных разверток элементов поверхности, полученных в результате членения ее различным образом. Членение поверхности на отдельные участки осуществляется с помощью геодезических кривых, служащих исходными линиями развертывания. Дальнейшее развертывание полученных в результате членения участков производится с помощью аппроксимации исходной поверхности сложной формы плоскостью либо другой, развертывающейся поверхностью. Известно, что наилучшим посредником при подобном геометрическом моделировании являются торсовые поверхности [1].

В тех случаях, когда форма исходной поверхности не позволяет выполнение обычного членения на элементарные участки геодезическими линиями (например, в местах сочленения разных по форме поверхностей), необходим другой подход [2, 3]. Ранее авторами было предложено теоретическое обоснование [2] и вычислительное проектирование [4] метода построения развертки для некоторого участка поверхности на основе построения негеодезической кривой и аппроксимации исходной поверхности торсовым посредником. Указанный способ включает задачи построения вспомогательной торсовой поверхности, огибающей исходную поверхность по заданной кривой сложной конфигурации, и, далее, развертывания на плоскость торсового посредника [3, 5].

Вычислительный эксперимент, рассмотрен-

ный в работе [4], позволил выделить из конгруэнции линейчатых поверхностей искомый вспомогательный торс, аппроксимирующий заданный участок поверхности. Завершить процесс получения искомой развертки - плоского шаблона детали изделия - позволит решение задачи построения развертки выделенного линейчатого посредника. Последовательность геометрического процесса развертывания участка поверхности сложной формы представлена на рисунке.

Решение задачи развертывания торсовой оболочки, в свою очередь, основано на свойстве инвариантности коэффициентов первой квадратичной формы поверхности. Развертывание должно производиться с непрерывным уменьшением кручения и при сохранении кривизны развертываемой линии. В этом случае стрикционная линия торса вырождается в плоскую кривую с нулевым кручением. Прямолинейные образующие торса, касательные к ребру возврата, останутся касательными и к плоской кривой. Таким образом, под разверткой торса обычно понимают его ребро возврата после изгибания поверхности на плоскость.

В дальнейшем оно может использоваться как базовая линия для построения кривых на развертке. Указанные кривые ограничивают отсек торса в пространстве, т.е. определяют некоторый участок поверхности, далее модифицируемый в искомый шаблон детали изделия. При задании уравнения ребра возврата вспомогательного торса в параметрической форме, с длиной дуги ъ в качестве параметра уравнение торсовой поверхности [1], будет

тт = тт (V, Ъ) (1)

где V - параметр, величина которого определяет расстояние от точки касания образующей до произвольной точки на ней. Если выразить V как некоторую непрерывную функцию параметра, то