CC BY
0УДК 37
Калачева Н.Ф.
магистрант
Мордовский государственный педагогический университет
им. М.Е. Евсевьева (г. Саранск, Россия)
ФОРМИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННОГО ПРИЕМА РЕШЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ У УЧАЩИХСЯ 10 - 11 КЛАССОВ
Аннотация: в статье рассматривается проблема формирования обобщенного приема решения показательных уравнений. Сформулирован обобщенный прием решения показательных уравнений, представлен блок задач для формирования данного приема на уроках алгебры и начал анализа.
Ключевые слова: уравнение, решение уравнения, показательные уравнения, приемы решения, обобщенный прием.
Процесс обобщения приемов решения уравнений подразумевает анализ различных методов и приемов, которые позволяют находить решения уравнений более эффективно и обобщенно. Существует множество методов решения уравнений, обобщение этих методов позволяет найти общие подходы к решению уравнений различных типов и сложности.
В научно-исследовательской литературе [1, 3] представлены составы обобщенных приемов решения линейных, квадратных, дробно-рациональных уравнений, также отдельно сформулированы обобщенные приемы решения некоторых видов уравнений с параметрами.
Анализ указанных обобщенных приемов установил, что первым пунктом обобщенного приема является установление вида уравнений, представляет ли данное уравнение простейшее. После этого отбираются все
необходимые тождественные и равносильные преобразования в зависимости от вида уравнений. Важно уметь правильно идентифицировать тип уравнения и выбрать соответствующий метод решения. Основными методами решения различных видов уравнения являются: разложение на множители, замена переменной, сведение к системе уравнений или неравенств, функционально-графический.
На основе анализа перечисленных приемов и методов решения задач, сформулируем обобщенный прием решения показательных уравнений, изучаемых в курсе алгебры 10-11 классов.
Обобщенный прием решения показательных уравнений.
1. Определить, является ли уравнение простейшим (а^(х) = ач(х)) и выполнить пункт 4, в противном случае - пункт 2,
2. Установить необходимые тождественные, равносильные преобразования (свойства степеней, уравнивание оснований степеней, логарифмирование, вынесение за скобки общего множителя, замена переменной) для приведения уравнения к простейшему виду и порядок их выполнения,
3. Привести уравнение к простейшему виду посредствам выбранных преобразований,
4. Основываясь на свойствах показательных функций выполнить переход от уравнения вида а^(х) = ач(х) к /(х) = д(х), если о/(х) = ач(х), а > 0, а ф 1, то /(х) = ц(х),
5. Найти корни уравнения, выполнить проверку найденного значения путем подстановки в исходное уравнение, записать ответ.
Процесс формирования обобщенных приемов организуется на основе подбора и создания соответствующих циклов задач [2]. Популярным в современной методике обучения математики является прием варьирования задач в виде блоков взаимосвязанных задач. Так, С. В. Арюткина [1] представила данный прием в виде четырех блоков. Рассмотрим данные блоки в контексте проблемы нашего исследования.
Представим циклы взаимосвязанных задач для формирования обобщенного приема решения показательных задач.
Цикл задач для формирования обобщенного приема показательных уравнений.
Вспомогательные задачи.
Задача 1. Какие их перечисленных ниже функций являются показательными, укажите их область определения:
а) у = 2х,
б) у = х2,
в) у = (72)*,
г) У = х,
д) у = 4
х+3
1
е) у = 0,4*-9,
ж) у = 3-х.
Задача 2. Представьте выражение в виде степени:
а) х5 • х8,
б) ш14: ш,
в) (а5 )13,
г) —.
Задача 3. При каких значениях х верно равенство:
а) 52 • 72 •х2: х = 35,
б) 63 • 43 •х3: х2 = 242,
в) 125 • (х3)2: 25: х5 = 15,
(х8)4-(х5)9 ' (х15)4-(х4)4 ■
Базисные задачи
Задача 4. Решите уравнения:
а) 4х2+зХ =1 ' 16
б) 5Х+3 - 3 • 5Х+1 - 10 • 5х = 4,
в) Эх+Х - 8 = 31-х,
г) 3 • 22х + 6х - 2 • 32х = 0,
_4Х+1 = 4Х + ^2х-1
22х--— = 0.
7 х+0,5
Тренировочные задачи
Задача 5. Решите показательные уравнения
1
а) 9х-2 _ 8 • 3х-1 = -5,
б) 3 • 9Х+1 _ 5 • 6Х+1 + 8 • 22х = 0,
в) 3|х| = 3'2-х1-1,
г) У2 •2У3 = 12,
д) 28-х + 73-х = 74-х + 23-х • 11,
Х+2
е) 3~ = 5Х+2.
Развивающие задачи.
Задача 6. Найдите такие значения переменной х, чтобы разность
Задача 7. При каких значениях параметра а уравнение имеет два различных корня 9х — 2 • (3а — 2) • 3х + 5а2 — 4а = 0?
Задача 8. Установите сколько решений имеет уравнение?
Решение предложенного цикла задач целесообразно проводить на уроках обобщения и систематизации, на занятиях элективного курса. Формирование обобщенных приемов решения уравнений следует постепенно начинать с 10 класса при изучении основных приемов и методов решения различных видов уравнений. При этом на первых этапах важным является усвоение и знание учащимися составов частных приемов решения каждого вида уравнений, умение рационально выбирать прием решения задачи.
выражений
й 22(х+^х2 2) и 5 • 2х+^х2 2 была равна числу 6.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Арюткина, С.В. О формировании обобщенных приемов математической деятельности у учащихся средней школы (на примере приемов решения квадратных уравнений с параметром) // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2009. № 11. С. 264-273;
2. Дорофеев, Г.В. О составлении циклов взаимосвязанных задач // Математика в школе. 1983. №6. С. 34-39;
3. Исаева, З.И. Обобщенные приемы учебной работы учащихся при решении дробно - рациональных уравнений // Новая наука: Стратегии и векторы развития. 2016. № 118-2. С. 56-59
Kalacheva N.F.
Mordovian State Pedagogical University (Saransk, Russia)
FORMATION OF GENERALIZED DECISION DECISIONS EQUATIONS FOR STUDENTS OF 10 - 11 CLASSES
Abstract: the article discusses the problem of forming a generalized technique for solving exponential equations. A generalized technique for solving exponential equations is formulated, a block of tasks is presented for the formation of this technique in algebra lessons and the beginnings of analysis.
Keywords: equation, solving equation, exponential equations, solving techniques, generalized technique.
