CC BY
192
УДК 378.16
Аммосова Надежда Васильевна
Доктор педагогических наук, профессор кафедры высшей математики, академик Международной академии наук педагогического образования, Астраханский государственный университет, n_ammosova@mail.ru, Астрахань
Краснова Галина Геннадьевна
Старший преподаватель кафедры естественнонаучного и технологического образования Государственного автономного образовательного учреждения Астраханской области дополнительного профессионального образования (повышения квалификации) специалистов «Астраханский институт повышения квалификации и переподготовки», аспирант кафедры высшей математике Астраханского государственного университета (по специальности 13.00.02 «Теория и методика обучения и воспитания»), 6176@mail.ru, Астрахань
РЕАЛИЗАЦИЯ ПРЕЕМСТВЕННОСТИ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ В ОСНОВНОЙ И СТАРШЕЙ ШКОЛЕ (НА ПРИМЕРЕ ИЗУЧЕНИЯ УРАВНЕНИЙ)
Аннотация: Рассматривается вопрос о реализации принципа преемственности в обучении математике между основной и старшей школой. В статье на примере изучения раздела «Уравнения» описан один из вариантов обеспечения преемственности в курсе алгебры, использование которого позволит осуществить последовательное систематическое повторение, системное обобщение и углубленное изучение материала в старших классах на разных этапах его изучения.
Ключевые слова: преемственность в обучении математике, математическая подготовка учащихся, последовательность, углубленное изучение, систематизация, повторение, уравнения.
Ammosova Nadezhda Vasilievna
Doctor of pedagogical sciences, the professor of chair of higher mathematics, the academician of the International academy of Sciences pedagogical obrazovanija, the Astrakhan state university, n_ammosova@mail.ru, Astrakhan
Krasnova Galina Gennadievna
Senior teacher of department of natural-science and technological formation of the State independent educational institution of the Astrakhan region of additional vocational training (improvement of professional skill) of experts «The Astrakhan institute of improvement of professional skill and retraining», the post-graduate student of department of chair of higher mathematics of the Astrakhan state university (on a speciality 13.00.02 «Theory and a training and education technique»), 6176@mail.ru, Astrakhan
CONTINUITY REALIZATION IN TRAINING TO THE MATHEMATICIAN AT THE BASIC AND SENIOR SCHOOL
(ON THE EXAMPLE OF STUDYING OF THE EQUATIONS)
Abstract. The question on realization of a principle of continuity in training to the mathematician between the basic and senior school is considered. In article on an example of studying of section of “Equation” one of variants of maintenance of continuity in the algebra course which use will allow to carry out consecutive regular repetition both system generalization and profound studying of a material in the senior classes at different stages of its studying is described.
Keywords: continuity in training to the mathematician, mathematical preparation of pupils, sequence, profound studying, ordering, repetition, the equations.
В процессе обучения математике в ос- котором согласно принципу преемственно-
новной школе учащиеся приобретают опре- сти может базироваться их дальнейшее обу-
деленное количество опорных знаний и чение в старшей школе. Следовательно, если
умений, составляющих тот фундамент, на выпускник основной школы не имеет проч-
ной базы по математике, то он не готов к усвоению курса математики в старшей школе. В последнее время это является одной из причин снижения уровня математической подготовки учащихся в средней школе.
Сама природа образовательного процесса с его задачной структурой, свойствами ступенчатости и спиралевидности возводит в ранг организационного принципа требования преемственности, последовательности и систематичности. Каждый новый этап обучения должен быть связан с предшествующим, служить предпосылкой для последующего обучения. Связь и преемственность этапов обучения способствует доступности учебного материала, прочности его усвоения, познавательных способностей обучаемых, что, в свою очередь, обеспечивает системность в формировании знаний, умений и навыков у старшеклассников. Преемственность и последовательность в обучении позволяют разрешить противоречие между необходимостью формирования у будущих выпускников целостной системы математических знаний, умений, навыков и дискретным характером изучения учебного материала. Преемственность в содержании математической подготовки выступает как непрерывный процесс развертывания структурных компонентов содержания, плавный переход от одного этапа обучения к другому, постепенное усложнение содержания учебной информации, последовательная смена уровня требований к объему и глубине усвоения знаний, умений и навыков [2]. В этом случае каждая следующая ступень образовательной системы является естественным продолжением, развитием предыдущей, что характерно при спиралевидном расположении материала, а учащиеся имеют возможность постепенно и непрерывно расширять знания по конкретной учебной проблеме, не допуская разрывов.
Рассмотрим на примере изучения уравнений один из вариантов обеспечения преемственности в алгебре, использующий последовательное систематическое повторение материала на разных этапах его изучения.
Уравнения занимают центральное место в школьном курсе алгебры. Они имеют не только важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространствен-
ных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. В курсе алгебры уравнениям также отводится значительное место. По мере того, как вводятся новые виды выражений и изучаются их преобразования, расширяется и круг рассматриваемых уравнений.
При изучении любой темы уравнения могут быть использованы как эффективное средство мотивации, закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний, развития творческой математической деятельности учащихся. Операции над числами и свойства этих операций, функции и свойства функций, а также связанные с этими вопросами алгебраические преобразования в процессе изучения сразу же могут находить отражение в упражнениях на решение уравнений. Поэтому реализуя преемственность при изучении уравнений, необходимо обеспечить преемственность не только в самой содержательной линии, но и между уравнениями и изучением функций, числовых множеств, выражений и их преобразований.
При изучении раздела «Уравнения» необходимо учитывать два противоположных направленных процесса, сопровождающие обучение. Первый процесс - постепенное возрастание количества классов уравнений и приемов их решения, различных преобразований применяемых в решении. За счет увеличения объема материала изучение его новых фрагментов затрудняется наличием уже изученных. Второй процесс - установление разнообразных связей между различными классами уравнений, выявление все более общих классов, закрепление все более обобщенных типов преобразований, упрощение описания и обоснования решений. Для того чтобы оба этих процесса не вступали в противоречие, необходимо обобщить и систематизировать материал за курс основной школы с использованием принципа преемственности.
Для этого на уроках вводного повторения и при актуализации знаний учащихся перед изучением в 10 классе раздела «Уравнения» мы считаем целесообразным проанализировать развертывание основных аспектов знаний об уравнениях в курсе алгебры основной школы. Владея определенным багажом
знаний и умений, учащиеся могут самостоятельно или при помощи учителя провести их обобщение и систематизацию, что позволит составить целостное представление о развитии линии уравнений в курсе алгебры.
Теоретический материал, изученный в курсе основной школы по теме «Уравнения», поэтому необходимо повторить, систематизировать и обобщить используя принцип преемственности:
1) Основные понятия и термины: неизвестное число; уравнение (левая часть уравнения, правая часть уравнения, член уравнения); корень уравнения; что значит решить уравнение; линейное уравнение; основные свойства уравнений; квадратное уравнение; формулы корней квадратного уравнения; рациональное и иррациональное уравнение.
2) Основные теоретические сведения, используемые при решении уравнений.
Свойства арифметических действий: переместительное, сочетательное, распределительное.
Основные свойства уравнений:
1) любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный;
2) обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
3) условие равенства нулю произведения и частного двух чисел.
4) определение модуля числа.
Затем для удобства систематизации материала и создания условий для наглядного восприятия [3], мы предлагаем учащимся в процессе повторения составить следующую таблицу (речь идет об уравнениях с одним неизвестным), в которой они описывают основные классы функций, изученные ими в курсе алгебры 7-9 классов (таблица 1).
При заполнении этой таблицы учащиеся вспоминают изученные классы уравнений, алгоритмы и способы их решения, а также отмечают особенности решения каждого класса уравнений. На основании таблицы
Таблица 1
Основные классы уравнений
Уравнения Простейший вид Алгоритм решения Примечания
Линейное уравнение ах + в = 0, где а, в - некоторые числа Если а = 0, в = 0, то х-любое число. Если а = 0, в Ф 0, то корней нет. Если а Ф 0, то х = - в/а. Для приведения уравнения к простейшему виду необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, использовать правила переноса слагаемых из одной части уравнения в другую
Квадратное уравнение ах2 + вх + с = 0, где аф0, в, с - действительные числа В = в2 - 4ас Если Б > 0, -в + -Л) Т0-Ти= 2а Если В < 0, то корней нет. Если В = 0, то х= . Возможно решение уравнения с использованием теоремы Виета. Для решения неполных квадратных уравнений используется метод разложения на множители.
Дробно- рациональное уравнение (/СО = о им** Для приведения уравнения к простейшему виду необходимо все слагаемые перенести в левую часть уравнения и привести дроби к общему знаменателю. Также при решении данного уравнения можно предложить числитель приравнять к нулю, решить уравнение и сделать проверку.
Иррациональное уравнение {/СО = д: СО Основной способ решения - возведение обеих частей уравнения в квадрат. Можно не решать систему, а после возведения в квадрат и решения уравнения выполнить проверку.
учащиеся систематизируют классы уравнений, изученные в курсе алгебры основной школы, и выделяют общие приемы решения этих классов уравнений (преобразование уравнения для приведения его к простейшему виду). Например: путем тождественных преобразований выражений в левой и правой частях уравнения (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и т.д.) и использования свойств уравнений; заменой переменных и подстановкой; разложением на множители; с использованием свойств и графиков функции; сведением к системе уравнений и неравенств.
Заполнив таблицу и выделив общие приемы решения рассмотренных классов уравнений, учащиеся убеждаются, что раздел «Уравнения» богат по содержанию, по способам и приемам решения уравнений.
Далее учителю предоставляется возможность ввести новые классы уравнений, тем самым показывая, что изучение раздела «Уравнения» не стоит на месте, а получает дальнейшее развитие в курсе алгебры 10 класса.
Например, учитель может попросить учащихся составить соответствие между изученными классами функций и определенными классами уравнений. Ученики без труда составляют такое соответствие: линейная функ-ция-линейное уравнение, квадратичная функция-квадратное уравнение, обратная пропорциональность-дробно-рациональное уравнение, функция - иррациональное уравнение. Далее учитель предлагает продолжить это соответствие для изученных в 10 классе функций: тригонометрические функции-
тригонометрические уравнения, показательная функция-показательные уравнения, логарифмическая функция-логарифмические уравнения, степенные функции-иррацио-нальные уравнения. Затем на конкретных примерах учитель показывает, что есть такие уравнения, с которыми ранее учащиеся не
встречались (например, 23х-4 = 7). Так учащиеся приходят к мысли, что в 10 классе происходит расширение классов уравнений. При этом ясно, что каждый новый класс уравнений будет изучаться по такой же схеме, что и в курсе основной школы, с использованием знакомой терминологии и приемов решения.
На протяжении изучения раздела «Уравнения» старшеклассники продолжают заполнять таблицу «Основные классы уравнений» по мере знакомства с новыми классами. А также систематизируют способы решения новых классов уравнений: алгебраический метод (метод замены переменной и подстановки), использование формул тождественных преобразований, функциональный, графический, метод решения однородных уравнений. Таким образом, к концу изучения раздела у учащихся происходит обобщение и систематизация по теме «Уравнения» за весь курс изучения алгебры. На одном из уроков, завершающих изучение уравнений, целесообразно представить схему, где показаны внутрипредметные связи по теме «Уравнения» курса средней школы (табл.2), из которой видно, что целостная система знаний возможна лишь при взаимном проникновении знаний по алгебре за курс основной школы и основными понятиями алгебры старших классов.
Таким образом, изучение каждого класса уравнений на новом витке спирали позволяет осуществить повторение ранее изученного на более высоком уровне, устанавливая причинно-следственные связи, находя общее между объектами и явлениями, ранее казавшимися далекими друг от друга, выявляя различия между объектами и явлениями, ранее казавшимися сходными. Основой для этого выступает принцип преемственности.
«Последовательное осуществление преемственности придаёт обучению перспективный характер, при котором отдельные темы рассматриваются не изолированно
Таблица 2
Внутрипредметные связи по теме «Уравнения»
Уравнения
Алгебраические Трансцендентные
Линейные (основная школа) Тригонометрические Показательные Логарифмические (старшая школа)
Нелинейные (основная+старшая): квадратные, дробно-рациональные, иррациональные, уравнения высших степеней
друг от друга, а в той взаимосвязи, которая позволяет изучение каждой текущей темы строить не только с опорой на предыдущие знания, но и широкой ориентировкой на последующие темы» [1, с. 26]. Обучение с соблюдением преемственности воспитывает действенность, активность знаний и умений, способность использовать их при решении теоретических и практических задач.
Библиографический список
1. Аммосова Н. В. Реализация преемственности в процессе обучения математике при переходе из начального в среднее звено общеобразовательной школы: учебное пособие. - Астрахань: Изд-во Астрах. обл. ин-та усовершенствования учителей,2005. - 78 с.
2. Балакирева Э. В. Преемственность как условие обеспечения непрерывного педагогического образования // Проблемы и перспективы взаимодействия вузов Санкт-Петербурга с регионами России в контексте реформирования образования: Материалы IV межрегиональной научно-практической конференции. - СПб., 2001. -С. 181-182.
3. Резник Н. А. Методические основы обучения математике с использованием средств развития визуального мышления. - М., 1997. - 500 с.
