Реализация внутрипредметных связей курса математики при изучении элементов комбинаторики в школе Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ

УДК 372.8 ; 373.5.016:51

Бабенко Алена Сергеевна

кандидат педагогических наук Костромской государственный университет [email protected]

РЕАЛИЗАЦИЯ ВНУТРИПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ КУРСА МАТЕМАТИКИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ЭЛЕМЕНТОВ КОМБИНАТОРИКИ В ШКОЛЕ

После введения вероятностно-статистического материала в школьный курс математики и обсуждений проблемы о способе его изложения в школьных учебниках, возникает вопрос о необходимости укрепления внутрипред-метных связей между разделами школьной программы по математике для обеспечения целостности изучаемого предмета. В статье приведены примеры задач по комбинаторике, которые можно использовать при изучении темы «Факториал. Элементы комбинаторики» или при повторении различных тем основных линий школьного курса математики для реализации внутрипредметных связей.

Ключевые слова: внутрипредметные связи, изучение курса математики, элементы комбинаторики в школе.

На данном этапе развития образования перед учителями-предметниками стоит проблема решения одной из основных задач обучения - развитие способностей обучающихся и формирование их личностных качеств. Изучение вероятностно-статистической линии в школе позволяет решить поставленные задачи за счет того, что данный материал, как ни какой другой, приближен к повседневной жизни и применим в различных областях знаний.

В 2004 г. было принято решение о включении в государственный образовательный стандарт вероятностно-статистического материала, что достаточно серьезно обсуждалось в научных кругах, чему свидетельствует обширное количество статей по данному вопросу. Методика изучения вероятностно-статистического материала в школе была рассмотрена в различных научных исследованиях (Г.В. Дорофеева, А.Г. Мордковича, П.В. Семенова, Е.А. Бунимовича и др.).

Изучение материала вероятностно-статистической линии позволяет развивать умение применять полученные знания в нестандартных ситуациях за счет преемственности в изучении школьного курса математики и установления связей между его различными темами, то есть в ходе реализации вну-трипредметных связей курса математики.

Под внутрипредметными связями школьного курса математики будем понимать вслед за Л. А. Тереховой: «согласованность различных компонентов познавательной деятельности (знаний, умений, форм, методов и пр.), обеспечивающую целостность изучаемого предмета» [6]. В своем исследовании Л.А. Терехова отмечает, что усиление внутрипредметных связей курса математики при изучении вероятно-статистического материала позволяет приблизить математику к жизни, открыть связь математики с окружающим миром [6].

П.А. Сторчилов на основе анализа научных исследований различных педагогов и психологов выделяет следующие внутрипредметные связи, которые можно реализовать в школьном учебном

курсе: понятийные связи, тематические связи, локальные и глобальные связи, связи-аналогии, прямые и опосредованные связи [4].

С точки зрения П.А. Сторчилова, «одним из самых эффективных методов реализации внутри-предметных связей является решение задач» [5].

Таким образом, учителю необходимо для реализации внутрипредметных связей правильно отобрать материал, который раскрывает эти связи, выбрать формы, методы и приемы обучения, направленные на эффективное усвоение вероятностно-статистического материала.

В данной статье обратимся к одному из фрагментов вероятностно-статистического материала в школе - элементы комбинаторики. Элементы комбинаторики плотно вошли в школьный курс математики и изучаются на протяжении практически всего обучения учащихся в школе (с 7 по 11 класс). Материал по данной теме изучается фрагментарно и находится обособленно от всех остальных тем школьного курса алгебры. Представим схему взаимосвязи элементов комбинаторики с другими темами курса алгебры (см. рис. 1).

Приведем примеры математических задач по теме «Элементы комбинаторики», которые позволяют реализовать внутрипредметные связи курса математики.

Задание 1. Вычислите:

1Р2 * С4 ^ А4

0! 2!

Решение.

2!* 4! 4!

р2 * С2 + А2 2! * (4-2)! (4-2)!

1 + 0! \ 1 1

1 3! 2! 6 2

1 4! 3! 1 4! 2!*3*4 , 2!*3*4

' 2!* 2)! 2)! 1 ' 2!* 2! 2!

\\ 1 + 3 \ 4

К 6 6 6

© Бабенко А.С., 2017

Педагогика. Психология. Социокинетика ^ №4

125

Рис. 1. Схема взаимосвязи материала то теме «Элементы комбинаторики» и курса алгебры

12 +12

■ =Л/36 = 6.

Таким образом, во-первых, это задание можно дать при изучении темы «Элементы комбинаторики. Факториал» в 8-9 классах или при закреплении темы «Арифметический квадратный корень». Во-вторых, при решении данного задания раскрывается взаимосвязь между элементами комбинаторики. В-третьих, отрабатываются вычислительные навыки и умение вычислять факториал числа, сочетания, размещения и число перестановок. Кроме того, следует отметить, что можно также подобрать аналогичные задания при изучении показательной и логарифмической функций в 10-11 классах. В 10-11 классах можно предложить обучающимся многоэтапное математико-информационное задание для закрепления навыка нахождения значения рациональных, иррациональных и логарифмических выражений (см. примеры в работах [2; 3]).

Реализация внутрипредметных связей осуществляется за счет применения ранее пройденного материала по теме «Степень и корни» при решении заданий по теме «Факториал. Элементы комбинаторики».

Задание 2. Докажите, что для любого натурального п верно равенство:

( + 2)

(п2)

- = п4 + 3п + 2.

Решение.

(( + 2) ! (п2) !-(п2 + 1)(п2 + 2)

(п2)

(п2) !

= (п2 + 1)(п2 + 2 ) = п4 + 3п2 + 2.

Таким образом, равенство верно для любого натурального п.

Во-первых, это задание можно дать при изучении темы «Факториал» в 8-9 классах. Во-вторых, при решении данного задания учащиеся повторяют навыки тождественных преобразований, а именно сокращение выражений, раскрытие скобок.

Реализация внутрипредметных связей осуществляется за счет применения ранее пройденного материала по теме «Тождественные преобразования» при решении заданий по теме «Факториал».

Задание 3. При каких натуральных значениях п выполняется неравенство:

(п-4) !<(п-1)(п-6)!.

Решение.

Найдем сначала область допустимых значений (О.Д.З.): п - 4 > 0 и п - 6 > 0 на основании определения факториала, тогда п = 6, 7, 8, ...

Воспользуемся свойством факториала и получим (п-6) !(п-5)(п-4)<(п-1)(п-6)!.

Очень важно отметить, что (п - 6)!> 0, в силу определения факториала и поэтому на него можно сократить, при этом знак неравенства не поменяется.

(п - 5)(п - 4)< п-1, п2 - 10п + 21 < 0.

Решением данного неравенства является промежуток [3; 7]. В силу того, что это неравенство решается в натуральных числах, то получаем следующее множество значений п: {3; 4; 5; 6; 7}.

Вестник КГУ Л 2017

126

Реализация внутрипредметных связей курса математики при изучении элементов комбинаторики в школе

С учетом О. Д.З., получим ответ {6; 7}.

Таким образом, во-первых, это задание можно дать при изучении темы «Квадратные неравенства» в 9 классе. Во-вторых, при решении данного задания учащиеся повторяют навыки вынесения общего множителя за скобку, умение решать квадратные неравенства, метод интервалов. В-третьих, отрабатывается навык решения уравнений и неравенств в натуральных числах, что способствует формированию умения решать диафантовы уравнения и задачи олимпиадного уровня, столь необходимое для успешного выполнения задания 19 из единого государственного экзамена (см. подробнее [1]).

Реализация внутрипредметных связей осуществляется за счет применения ранее пройденного материала по теме «Факториал» при решении заданий по теме «Квадратные неравенства».

Задание 4. Решите систему уравнений:

1^-2у = Рз - 2,

[2С;+1 + Л\ = 12 - 0!.

Решение.

Найдем О.Д.З.: первое условие, вытекающее из первого равенства: 4 х - 2 у > 1, второе и третье условия, вытекающие из второго равенства: х +1 > х и у > 1.

Воспользовавшись формулами нахождения элементов комбинаторики, получим: (4х - 2 У)! = 3!-2 1!-(( - 2у -1)! ' ' (х +1)! + у!

2

■ = 12-1.

п = 4, 5, 6,

монотонно возрастает,

Реализация внутрипредметных связей осуществляется за счет применения ранее пройденного материала по теме «Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными» при решении заданий по теме «Элементы комбинаторики».

Задание 5. Докажите, что последовательность (п - 3)!<

Рп+1

ограничена. Найдите предел этой последовательности при п ^ да.

Решение.

Вначале следует преобразовать формулу общего члена последовательности на основе определения и свойства факториала, формул нахождения элементов комбинаторики:

п!

(п - 3)!-С Р,,

(п - 3)!-

4! -(п-4)!

(п +1)!

п - 3

24 (п +1) [ 24 6 (п +1)

Докажем, монотонность данной последовательности. Пусть п > к; п, к = 4,5,6,..., тогда найдем п-й и к-й члены последовательности:

1

1

1

_ _ а =____

24 6(п +1)' к 24 6(к +1)'

1

Рассмотрим разность п-го и к-го членов последовательности

(

х!-( +1 - х)! (у-1)!

На основании определения и свойства факториала преобразуем получившуюся систему в следующую:

14 х - 2 у = 4, [2(х +1) + у = 12.

Получили систему двух линейных уравнений, решение которой точка с координатами (3; 4). Значения х и у являются натуральными числами и удовлетворяют О. Д.З.

Таким образом, во-первых, это задание можно дать при изучении темы «Элементы комбинаторики» в 7-9 классах. Во-вторых, при решении данного задания учащиеся отрабатывают навыки решения систем линейных уравнений, умение применять один из методов нахождения решения системы (графический метод, метод подстановки или метод алгебраического сложения). В-третьих, формируется понимание важности О. Д.З. На бытовом уровне можно объяснить обучающимся, зачем необходимо накладывать О.Д.З. Например, по условию у > 1, поэтому если взять значение у меньше 1, то получим Л01 - это невозможно, так как не получиться выбрать один объект из нуля элементов. В-четвертых, отрабатывается навык решения уравнений в натуральных числах.

1

J___

24 6 (п +1) 1 ^

п - к

-> 0.

24 6 (к +1)^ 6 (п +1) (к +1)

Таким образом, получаем, что при п > к;

п, к = 4,5,6,... ап > ак, то есть последовательность монотонно возрастает.

Теперь докажем ограниченность последовательности.

г > 0, так как п - натуральное число;

6(п +1)"

0 <-1 -

1

1

24 6 (п +1) 24'

Из выше сказанного следует, что существует предел данной последовательности:

1ПП(п - 3)^ С- = ШП

п ^да р п^да

(

24 6 (п +1)

24.

Таким образом, во-первых, это задание можно дать при изучении темы «Предел последовательности» в 10 или 11 классе. Во-вторых, при решении данного задания учащиеся отрабатывают навыки доказательства, что последовательность монотонно возрастает и ограничена, умение находить предел последовательности, применение необхо-

Педагогика. Психология. Социокинетика ^ №4

127

димого и достаточного условия сходимости числовой последовательности. В-третьих, повторяются основные формулы комбинаторики и умение преобразовывать выражения, содержащие факториал.

Реализация внутрипредметных связей осуществляется за счет применения ранее пройденного материала по теме «Элементы комбинаторики» при решении заданий по теме «Предел последовательности».

Таким образом, для реализации внутрипред-метных связей курса математики при изучении элементов комбинаторики в школе необходимо подобрать задачи по соответствующей теме для повторения пройденного материала, такие задачи, в которых необходимо использование понятий, свойств и методов изученных в разделе «Элементы комбинаторики». При составлении заданий для реализации внутрипредметных связей требуется внимательно продумать решение задачи, чтобы в ходе ее решения необходимо было повторить ранее пройденный материал по теме «Элементы комбинаторики» и требовалось бы закрепить умения и навыки изучаемой темы (отработать определения, свойства или методы).

Библиографический список

1. Бабенко А.С., Марголина Н.Л., Матыци-на Т.Н. Анализ структуры заданий единого государственного экзамена по математике за 2016 год по Костромской области // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасо-

ва. Серия: Педагогика. Психология. Социокинети-ка. - 2016. - № 4. - С. 34-37.

2. Бабенко А.С. Формирование креативных качеств студентов с помощью многоэтапного ма-тематико-информационного задания «Системы трех дифференциальных уравнений» // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2013. - № 2. - С. 130-133.

3. Бабенко А.С., Кабанова А.Н., Мотылё-ва К.А. Использование многоэтапных математи-ко-информационных заданий в школьном курсе математики // Образовательная деятельность вуза в современных условиях: материалы междунар. науч.-метод. конф. (26-27 мая 2016 г.). - Караваево: Костромская ГСХА, 2016. - С. 16-19.

4. Сторчилов П.А. Реализация внутрипредмет-ных связей при обучении физике в школе на основе циклической модели построения содержания учебного курса: автореф. дис. ... канд. пед. наук. - Вологда, 2015. - 28 с.

5. Сторчилов П.А. О проблеме реализации вну-трипредметных связей при решении задач по физике // Современные проблемы науки и образования. - 2015. - № 2. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.science-education.ru/122-17865 (дата обращения: 15.08.2017).

6. Терехова Л.А. Элементы стохастики как средство укрепления внутрипредметных связей школьного курса математики: автореф. дис. ... канд. пед. наук. - Орел, 2008. - 19 с.

128

Вестник КГУ 2017