CC BY
143
вышеупомянутых задач в системе компьютерного моделирования MathCAD. Помимо покадровой визуализации предложен алгоритм создания анимации, который может быть применен в процессе обучения бакалавров в рамках курса «Уравнения математической физики».
Исследование волновых уравнений в пакете MathCAD ускоряет процесс обучения, повышая скорость вычислений. Также увеличивается заинтересованность в процессе обучения, так как визуализация преподаваемого материала, делает его значительно понятнее и доступнее.
Необходимо также указать на существование межпредметной связи при использовании ви-зуализатора MathCAD. Так как MathCAD это язык программирования, то обучаясь на педагогических направлениях, далеких от программирования, у студентов появляется возможность изучить азы ввода, обработки и хранения данных, что в большей степени присуще инженерно-техническим специальностям. Таким образом применение данного пакета расширяет жизненный опыт студентов [4,5], при этом не усложняя процесс обучения, в виду того, что интерфейс программы интуитивно понятен и приспособлен для людей незнакомых с программированием вообще.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Владимиров, В.С. Уравнения математической физики: учебник для вузов / В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. -М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400 с.
2. Математическая физика. -URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_физика (дата обращения: 16.12.2017).
3. Очков, В.Ф. Mathcad 14 для студентов, инженеров и конструкторов / В.Ф. Очков. - СПб.: БХВ-Петербург, 2007. - 368 с.
4. Драгныш Н.В. Использование инновационных технологий для преподавания курса "Теория вероятностей и математическая статистика" // Дискуссия. 2010. № 8.- С. 80-83.
5. Драгныш Н. В. Использование методов имитационного моделирования для преподавания курса «теория вероятностей и математическая статистика» // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2011. № 12.- С. 26-29.
И.А. Пивина
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ЗНАК МОДУЛЯ
Аннотация. Рассмотрена линия модуля в учебниках Муравина Г.К., Муравиной О. В. Изложены общие методы решения уравнений и неравенств. Приведены примеры решения уравнений и неравенств с модулем с помощью данных методов.
Ключевые слова: уравнения, неравенства, аналитические методы, модуль числа в школе.
ЬА. Pivina
METHODS OF SOLVING EQUATIONS AND INEQUALITIES CONTAINING
THE MODULE MARK
Abstract. Considered line module in textbooks Muravin G. K., Muravina O. V. the most General methods of solving equations and inequalities. Examples of solving equations and inequalities with the module using these methods.
Key words: equations, inequalities, analytical methods, the module numbers in the school.
В курсе математики одним из центральных понятий, которому отведено достаточно большое внимание, является понятие «модуля действительного числа». Оно находит очень широкое применение в самых разных разделах математики, физики, технических науках, архитектуре, программировании, машиностроении. Абсолютная и относительная погрешность, модуль вектора, предел функции - вот далеко не полный перечень применения понятия «модуль действительного числа». Данная тема широко востребована в различных заданиях, встречающихся в ЕГЭ и итоговой аттестации.
С понятием «модуль» учащиеся знакомятся в 6 класса и продолжают работу вплоть до 11. В школьном курсе математики содержится много материала, связанного с уравнениями и неравенствами. Но, к сожалению, уравнениям и неравенствам с переменной под знаком модуля отведено мало времени на изучение. Что в свою очередь ведет к тому, что у учащихся возникают трудности при решении подобных заданий. Например, на изучение темы «Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля» выделено при базовом уровне 1 час в неделю, при профильном уровне 2 часа в неделю, а на «Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля» отводится 4 часа, на «Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля» 6 часов [3, 54]. Стоит отметить, что решение данных уравнений - эффективный способ повторения и закрепления навыков решения других видов уравнений: линейных, квадратных, дробно-рациональных, тригонометрических, показательных и логарифмических. В ходе решения уравнений и неравенств с
модулем можно изучить и отработать различные приемы решений, которые в дальнейшем применимы и в других математических материалах. Задачи с модулем участвуют в формировке логического мышления и математической культуры школьников. Для эффективного решения подобных заданий необходимо использовать исследовательский подход. Это объясняется тем, что большая часть заданий с модулем направлена на то, чтобы развить познавательную активность учащихся, сформировать у них потребность в самостоятельном приобретении знаний.
Изучение понятия «модуль» имеет огромную практическую значимость, так как в ходе этого процесса нужно пользоваться рядом свойств математических объектов. К этим объектам относятся выражения, функции, их графики, уравнения и неравенства.
Ознакомление учащихся с темой «Модуль действительного числа» начинается в шестом классе. Затем с каждым годом область её применения все расширяется и расширяется. Учащиеся в процессе обучения часто сталкиваются с заданиями повышенной сложности, а в настоящее время любое задание повышенной сложности на нахождение решений уравнения или неравенств содержит в себе знак модуля. Поэтому изучение различных методов решения уравнений и неравенств является значимой частью школьной программы.
В учебнике Муравина Г.К., Муравина К.С., Муравиной О.В. «Алгебра» понятие модуля встречается в 7 классе параграфа 1 «Выражения» главы 1 в пункте «Сравнение чисел». Положения^, 15]:
• Расстояние от начала отсчета до точки, обозначающей данное число, называют модулем этого числа (от латинского «modus» - мера, величина).
• Т.к. противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета, то их модули равны.
• Модуль числа 0 считается равным 0: это число находится на «нулевом расстоянии» от самого себя.
• Как и любое расстояние между двумя точками, модуль не может быть отрицательным.
• Для любого числа а выполняется неравенство a > 0.
Но, к сожалению, данные положения не рассматриваются на примерах, не объясняются, а только перечисляются. Здесь имеется два задания среднего уровня сложности на сравнение величин, стоящих под знаком модуля, и множество разнообразных заданий повышенного уровня сложности. В пункте «Выражения с переменными» также имеются задания по теме, но в теоретической части информации необходимой нет. Далее модуль встречается в упражнениях пункта «Решение уравнений». Причем в ряде случаев уравнение рассматривается здесь как высказывание, истинность которого можно проверить при заданном значении переменной. Текстовых задач на модуль нет.
В пункте «Тождества и тождественные преобразования» главы 3 «Степень с натуральным показателем» появляются задания на доказательство тождественности равенства, содержащего знак модуля.
В 8 классе модуль встречается в пункте «Свойства арифметических квадратных корней». Рассматривается свойство Vä+= |a|[6,99], приводится доказательство и даются задания на его применение. Затем данное свойство используется при внесении и вынесении множителя из-под знака корня.
В 9 классе применяется геометрическая интерпретация понятия модуля в пункте «Абсолютная и относительная погрешности приближения» [7,29]. В «Решение неравенств методом интервала» [7,61]есть задания с модулем, которые относятся к уровню повышенной сложности. Геометрическая интерпретация модуля используется при графическом решении уравнений и их систем [7,110], а также при изучении конических сечений. Объясняется построение графика функции y = |x| [7,130]. Имеется ряд заданий на построение графика функции, содержащей модуль.
В учебнике 10 класса Муравина Г.К., МуравинойО.В.«Алгебра и начала математического анализа» [8]в 1 главе «Функции и графики» сразу же встречаются задания с модулем. В параграфе «Понятие функции» есть задание повышенного уровня сложности на нахождении области определения функции, содержащей переменную под знаком модуля. В параграфе «Непрерывность и монотонность функции» дается формулировка теоремы о промежуточном значении функции, непрерывной на отрезке, а затем задания на нахождение точек разрыва функции с модулем. В параграфе «Квадратичная и дробно-линейная функции. Преобразование графиков» рассматривается подробное построение элементарных графиков функций с модулем, а затем даются задания по этой тематике. В главе 2 «Степени и корни» в параграфе «Степенная функция y = х?при натуральном n» имеется задание на представление функции с модулем как суммы четной и нечетной функций. Далее понятие модуля встречается при изучении логарифмической и тригонометрических функций.
В 11 классе [9] данный термин используется при исследовании функций на непрерывность, изучении приделов функций, нахождении точек возрастания, убывания и экстремума. Также функции с модулем используются при изучении интеграла и первообразной, заданий с параметром. При решении уравнений, неравенств, содержащих модуль, и их систем используются такие методы как метод интервалов, замены переменной, равносильных преобразований, графический метод и метод областей. Также в этом учебнике рассматривается модуль комплексного числа.
Аналитические и графические методы служат основой для решения уравнений и неравенств. Аналитическими являются метод интервалов и метод равносильных преобразований, а графическими - графический метод и метод областей. Рассмотрим аналитические методы решения уравнений и неравенств.
Метод интервалов основан на разбиении числовой прямой на промежутки, в которых, согласно определению модуля, его знак можно снять.
Достоинство данного метода состоит в том, что объем выполняемой работы достаточно
невелик.
Недостаток заключается в том, что необходимо находить концы интервалов. В ряде случаев возможна ситуация, заключающаяся в том, что соответствующее уравнение может либо вызвать затруднения при определении корней, либо вовсе окажется недоступным учащемуся на данном этапе обучения.
При использовании метода интервалов необходимо знать следующую теорему. Теорема 1. Функция, непрерывная на промежутке и необращающаяся на нем в нуль, сохраняет на этом промежутке свой знак [3, 47].
Другими словами, нули функции и границы промежутков ее непрерывности делят область определения функции на участки, где она сохраняет постоянный знак.
Суть данного метода решения состоит в следующем. Сначала необходимо найти корни всех подмодульных выражений и разбить числовую ось на промежутки знакопостоянства этих выражений. Далее, через последовательный перебор этих промежутков и одновременное избавление от всех модулей, решая обычное уравнение или неравенство, даем ответ. Рассмотрим метод интервалов на общем примере.
Решим уравнение, в которое входят три модуля от линейных выражений: х - а, х - Ь ,
х - с. Например, такое: |х - а +1 х - Ь +1 х - С = т.
Первый модуль равен х - а при х >а и равен а - х при х < а. Второй равен х - Ь или Ь - х на полупрямых х и х < Ь соответственно. По аналогии раскрывается и третий модуль. В пересечении образовавшиеся областидают 4 промежутка. Согласно теореме 1, уравнение после раскрытия модулей имеет на каждом промежутке один и тот же вид.
Таким образом, не имеет смысла рассматривать все восемь вариантов раскрытия модулей. Необходимо и достаточно изучить только четыре промежутка.
При решении уравнений, содержащих модули, методом интервалов применяют следующий алгоритм [1, 36]:
1. Найти нули подмодульных выражений.
2. Отметить полученные значения на числовой прямой.
3. Определить знак каждого модуля на каждом интервале.
4. Записать уравнения без модулей на каждом интервале и решить их.
5. Проверить принадлежность полученных корней своему интервалу.
6. Записать ответ.
Применим данный алгоритм на практике. Для более успешного усвоения алгоритма используем один из самых простых примеров.
Задание 1. Решить уравнение | х - 21 +1 х - 3| + |2х -8|= 9.
Решение.
1. Займемся нахождением значений переменной, при которых каждый из модулей обращается в нуль: х - 2 = 0, х1 = 2; х - 3 = 0, х2=3; 2 х - 8 = 0, хз=4.
2. Отметим данные значения на координаной прямой.
3. Рассматримисходное уравнение на каждом отдельновзятом промежутке и установим знак выражений, находящихся под модулями.
модулем на выбранном промежутке берем произвольное значение х из этого промежутка и подставляем в исходное выражение. Возможно несколько исходов. Во-первых, полученное значение может оказаться отрицательным. Тогда, согласно теореме 1, для всех х данного
1) При
определения знака каждого из выражений под
промежутка выражение останется отрицательным. Если же полученное числовое значение окажется положительно, то для любого значениях х принадлежащего этому промежутку,выражение останется положительным.
Пусть х = 0. Данное значение принадлежит промежутку (—¥;2]. Подставив х = 0 в выражение х - 2 , получим 0 - 2 = -2 < 0 . Следовательно, согласно теореме 1, все значения на этом промежутке при снятии знака модуля будут отрицательными. Получаем: - (х - 2).
При том же значении х выражение х - 3 будет 0-3 =-3<0. В этом случаезначение на промежутке (—¥;2] тоже будет отрицательным и «выйдет» из модуля со знаком «минус». Тогда,
снимая знак подуля, получим - (х - 3).
Выражение 2 х - 8 получит значение 2• 0 — 8--8<0 и «выйдет» из под модуля со
знаком «минус»: — (2х — 8).
Уравнение на данном промежутке в конечном итоге приобретет вид: — (х — 2) — (х — 3) — (2х — 8) = 9. Решив его, найдем: х = 1.
Пришло время выяснить принадлежность нашего значения промежутку (—¥>2]. Значение, равное 1, входит в наш промежуток. Следовательно, решение найдено, но останавливаться еще рано. Теперь повторим ту же процедуру на других интервалах.
2) Выберем полуинтервал хЕ (2;3]. Пусть х = 2,5. Выражение х - 2 положительно, а два других отрицательны. Тогда х — 2 — (х — 3) — (2х — 8) = 9. Решив его, получим х = 0. Это
значение не входит в промежуток (2>3].
3) При х е (3; 4]. Пусть х = 3,5 . Получим, что выражения х — 2 и х — 3 положительны, а 2х — 8отрицательно. Тогдах — 2 + х — 3 — (2х — 8) = 9. После преобразования, получим: 3 = 9. Таким образом, решений на данном промежутке нет.
4) При х е(4; +¥). Все выражения на этом промежутке положительны. Тогда х — 2 + х — 3 + 2 х — 8 = 9, 4 х = 22, х = 5,5. Его корень входит в промежуток и является корнем исходного уравнения.
Ответ: х1 =1, х2 =5,5.
Методом равносильных преобразований решаются простейшие уравнения и неравенства. К простейшим уравнениям относятся уравнения, решаемые одним из нижеприведенных равносильных переходов [2, 37]:
1. \/(х)|= /(х) о /(х) > 0; | /(х)\= —/(х) о /(х) < 0;
У (х) = £ (х), / (х) = —£ (х);
£(х) > 0, У (х) = £ (х), / (х) = — £ (х);
\/(х) > 0,
I£(х) > 0; \/(х) > 0, 1 £(х) < 0;
2. 3.
\/(х) \=\ £(х)\О
4. \/(х)\= £(х) о
5.
6.
\/(х)\+\£(х)\= /(х) + £(х) О \/(х)\ + \£(х)\= /(х) — £(х) О
7. \ /(х)\+\£(х)\=\ /(х) + £(х)\ О /(х)£(х) > 0;
8. \ /(х) \ + \ £(х) \=\ /(х) — £(х)\ О /(х)£(х) < 0.
Рассмотрим данный метод на конкретных пимерах.
Задание 2. Решить уравнение
2
х2 + 2 х +1
х
2
х2 + 2 х +1
х
Решение. Используем равносильный переход
2
х^ + 2 х +1
х
22 х^ + 2 х +1 х^ + 2 х +1 Л
-о-> 0 о
х
х
х >0, х = -1.
Ответ: хЕ {-1 }и(0;+¥).
ие 3. Решить уравнени Решение. Используем
3 3
Задание 3. Решить уравнение | х + х —1|=| х — х +1|.
равносильный
3 3
х + х — 1 = х — х +1,
х3 + х — 1 = —(х3 — х + 1),
33 | х + х —1|=| х — х + 1|о
о
переход х = 0 х=1.
Ответ: хЕ {0;1}
Задание 4. Решить уравнение
х
х — 1
— х
+
х
х — 1
х
+
х
х —1 х —1
■ — х — 2.
Решение. Используем равносильный переход 5: 2
---х > 0.
х — 1 о [
х
-2 > 0.
х — 1 Ответ: х е [1; 2
х
х—1 2 — х
> 0,
о [
х—1
> 0.
х < 0,
х > 1, о 1 < х < 2. 1 < х < 2.
Задание 5. Решить уравнение
х + 4х
+
х
+9=|4х+9.
Решение. Используем равносильный переход 7: (х + 4х)(—х2 + 9) > 0 о о х(х + 4)(3 — х)(х + 3) > 0 о х е [—4; —3] и [0;3]
Ответ: х е [—4; —3^[0;3].
Решение неравенств с модулем во многом похоже на решение аналогичных уравнений. Отличие состоит в том, что при решении неравенства с модулем нужно очень внимательно совершать равносильные переходы и следить не только за тем, чтобы не приобрести новые решения, но и за тем, чтобы не потерять уже имеющиеся.
К простейшим неравенствам отнеосятся неравенства, которые решаются одним из нижеприведенных равносильных переходов [1, 103]:
[ /(х) < %(х), {/(х) > — %(х); [ /(х) < %(х), 1/ ( х) >— % ( х);
1. |/(х)|< %(х)о-
2. |/(х)|<%(х)о-
3. | /(х) |>| %(х) |о /2(х) > %2 (х) о (/(х) — %(х))(/(х) + %(х)) > 0;
4. | /(х) |<| %(х) |о /2(х) < %2(х) о (/(х) — %(х))(/(х) + %(х)) < 0.
Решим простейшие неравенства с модулем. Задание 6. Решить неравенство |81х4 —16 |> 81х4 —16. Решение. Используем равносильный переход
2 2
| 81х4 —161> 81х4 —16 о 81х4 —16 < 0 о — < х
3 3
1
3
Ответ: х е
2 2 3 ; 3,
Задание 7. Решить неравенство \ х2 —1\<\ х +1 \. Решение. Воспользуемся равносильным переходом 4:
\ х2 — 1 \<\ х + 1\о (х2 — 1)2 — (х +1)2 < 0 о (х2 — х — 2)(х2 + х) < 0 о
0 < х < 2, х = —1.
Ответ: хЕ {—1}и[0;2].
Задание 8. Решить неравенство \
х~
х — 1
5 \> х3 + х + 8.
но
Решение. Как видно, в данном случае с помощью перехода к равносильной системе мож-значительно упростить решение. Получим
х —х—1
—5\> х3 + х+8 о
х3 — х—1
х3 — х—1
—5 > х3 + х+8, —5 <—х3 — х—8;
о
о
х — х — 1
х — х — 1
> х* + х +13,
о
< — х* — х — 3;
х3 — х — 1 > х3 + х +13, х 3 — х — 1 < — х 3 — х — 13,
х3 — х — 1 < — х3 — х — 3,
33 х — х — 1 > х + х + 3;
о
х < —7, х <—^6, Г х < —1, 1 х < —2;
о
о
х
<—36,
ох
х < — 2;
<— 36.
Ответ: х Е
о;—
Существует множество методов решения уравнений и неравенств с модулем, но ни один из них не является универсальным. Для того, чтобы получить наилучшие результаты, нужно добиваться того, чтобы ученик овладел как можно большим количеством методов решения, оставляя за собой право выбора наиболее эффективного в каждом конкретном случае.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Азаров, А. И. Математика для старшеклассников: методы решения алгебраических уравнений, неравенств и систем:
пособие для учащихся учреждений, обеспечивающих получение общего среднего образования/ А. И. Азаров, С. А. Барвенов. — Мн.: Аверсэв, 2004. — 448 с.
2. Виноградова, Л.В. Методика преподавания математики в средней школе: учебное пособие для вузов /Л. В. Виноградо-
ва.— Ростов-на-Дону: Феникс, 2005. —248 с.
3. Голубев, В.Г. Школа решения нестандартных задач. Занятие 5. Сумма модулей //Математика. — 2005. — № 12.
4. Игудисман, О.К. Математика на устном экзамене. 2-е изд. — М.: Айрис-Пресс, 2002. — 254 с.
5. Муравин Г.К. Алгебра. 7 кл.: учебник для общеобразовательных учреждений / Г.К. Муравин, О.В. Муравина, К.С.
Муравин. -М.: Дрофа, 2013.—285 с.
6. Муравин Г.К. Алгебра. 8 кл.: учебник для общеобразовательных учреждений / Г.К. Муравин, О.В. Муравина, К.С.
Муравин. - М.: Дрофа, 2014. — 256 с.
7. Муравин Г.К. Алгебра. 9 кл.: учебник для общеобразовательных учреждений/ Г.К. Муравин, О.В. Муравина, К.С.
Муравин. - М.: Дрофа, 2014. —315 с.
8. Муравин Г.К. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического
анализа (базовый уровень). 11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений /Г.К. Муравин, О.В. Муравина.-М.: Дрофа, 2015. — 285 с.
9. Муравин Г.К. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа
(базовый уровень). 11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / Г.К. Муравин, О.В. Муравина.- М.: Дрофа, 2013. — 256 с.
