CC BY
65УДК 372.8:51
Ю.А. Афоничева
НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
В статье рассматриваются вопросы, связанные с изучением темы «Показательные уравнения и неравенства» в средней школе; выявлены типичные ошибки учащихся; установлены причины их возникновения; определены возможные пути их устранения.
Ключевые слова: показательные уравнения, показательные неравенства, типичные ошибки учащихся, решение показательных уравнений и неравенств.
Стремительные процессы технологизации общества, информатизации всех отраслей экономики требуют высокого качества математических знаний и более широкого и интенсивного использования математических методов. Применение математических методов тесно связано с изучением показательных уравнений и неравенств, так как эта тема является своего рода обобщением и систематизацией линии уравнений и неравенств в средней школе.
В данной статье рассмотрим некоторые аспекты, связанные с темой «Показательные уравнения и неравенства», проанализируем возможные затруднения учащихся при изучении этой темы, определим пути повышения уровня знаний по данной теме. Целью данной работы является выявление данных ошибок учащихся, установление причин возникновения типичных ошибок, нахождение возможных путей их устранения.
Данный вид уравнений и неравенств является довольно сложным для понимания и усвоения учащимися. Проблемы, связанные с низким уровнем усвоения данной темы отражаются на результатах государственной итоговой аттестации и снижают общий уровень подготовки будущих абитуриентов.
Первая группа типичных ошибок: учащиеся не знают четкого алгоритма решения показательных уравнений и неравенств, делают неравносильные преобразования, вводят новые переменные и забывают возвращаться к обратной замене и т.д.
Вторая группа ошибок возникает из-за отсутствия обобщения и понимания межпредметных связей. Множество процессов и явлений в природе описываются показательной функцией, поэтому с решением показательных уравнений и неравенств учащиеся сталкиваются не только при изучении математики. Учащиеся часто не могут применить уже имеющиеся знания для решения задач из смежных областей. Они решают показательные уравнения и неравенства в контексте конкретных тем курса математики и не понимают, как можно использовать данные методы для решения задач из других областей.
К третьей группе ошибок можно отнести ошибки смешанного типа. При изучении данной темы учащиеся сталкиваются с большим количеством задач, которые в свою очередь, включают в себя операции со степенями, логарифмами. Данные задачи требуют от ученика не только знаний о показательных уравнениях и неравенствах, в них необходимо классифицировать уравнения и неравенства, применять соответствующие методы. Смешанные задания рассматриваются только в учебниках профильного уровня, поэтому ученики не могут успешно применять алгоритмы и методы решения, что влечет за собой ухудшение результатов ЕГЭ и общих знаний.
Проанализировав учебники «Алгебра и начала анализа» Ш.А. Алимова, Ю.М. Колягина, М.В. Ткачевой, Н. Е. Федоровой, М.И. Шабунина [1,2], Г.К. Муравина, О.В. Муравиной [4,5,6,7] базового и углубленного уровней с целью нахождения возможных типичных ошибок, мы констатируем следующее: причин возникновения ошибок при решении задач по теме «Показательные уравнения и неравенства» несколько. Выделим их:
- недостаточность примеров и задач, методов их решения по теме «Показательные уравнения и неравенства» в учебниках базового уровня;
- изложение теоретического материала в большей части идет в словесно-символьной форме, низкий процент использования графических схем, иллюстраций, алгоритмов;
- недостаточность в обобщении и систематизации знаний, которые будут использоваться учащимися для решения разных типов задач [8].
К сожалению, того объёма часов, выделенных на изучение данной темы, явно недостаточно для формирования целостных знаний и умений [3]. Как результат, проверка знаний итоговой аттестации по
© Афоничева Ю.А., 2019.
ISSN 2223-4047
Вестник магистратуры. 2019. № 2-1(89)
заданиям, включающим в себя решение уравнений, неравенств и их систем, показывает, что результаты овладения этими знаниями в большинстве случаев низкие. Данные задачи наиболее успешно решаются учащимися, изучающими математику на профильном уровне.
Для систематизации знаний учащихся необходимо составить типологию задач. В результате анализа соответствующей литературы, собственного педагогического опыта мы получили следующие типы задач.
Первый тип задач связан к простейшим операциям со степенью. Например, 4 = 1; 3х'+хЧ2 = 1;
1
*+— ?
3 2 • 3 = 1. Для решения таких задач необходимо систематизировать знания о свойствах степени.
Второй тип задач решается сведением к квадратному уравнению путем замены. Например, 25* + 6 • 5х + 5 = 0. В данном случае учащимся необходимы знания для решения квадратных уравнений.
Третий тип предполагает усложнение самой структуры уравнения или неравенства, включения в выражение иррациональностей и модулей. Примеры таких уравнений: 3= 3х; 3|х+1' = 32 |х|. Здесь учащимся необходимы знания об области определения функции, а также знания методов, основанных на разбиении координатной прямой на интервалы, решении задачи с учетом изменения значений функции на каждом из интервалов.
Четвертый тип задач требует доказательства и связан с использованием изученных свойств показательной функции. Пример таких заданий: Доказать, что при любом х верно 2х+2-х>2.
Выделенные типы задач по данной теме можно систематизировать и обобщить приемы их решения, использовать различные алгоритмы, схемы действий, планы решений. Таким планом решения может быть следующий алгоритм действий:
1. Необходимо добиться того, чтобы слева и справа в уравнении стояли одинаковые числа-основания, после чего можно приравнять показатели степеней и работать уже с новым, более простым уравнением. Это необходимо сделать с помощью тождественных преобразований. Убрать одинаковые основания можно только тогда, когда основания стоят без других множителей и слагаемых. Например: 6 6х-5 = 62х+1 ■ Шестерки убрать нельзя! Преобразование будет эквивалентным, убрать одинаковые основания мы можем только тогда, когда наше уравнение имеет канонический вид: а'<х) = а8<х)
2. Необходимо повторить и систематизировать правила действия со степенями, корнями. Данные знания понадобятся при решении такого вида уравнений: 32х - 27х+2 = 0. Правила действий со степенями с отрицательным показателем понадобятся в уравнениях: 5*2-6ж+5 = 0,004х-1. В таких уравнениях важно помнить, что в десятичной дроби тяжело распознать степень числа, поэтому всегда преобразовываем их к
обыкновенным. Правила действия с корнями будут необходимы в уравнениях вида: 0,25 • 45х-16 = (—) . В таких уравнениях важно помнить, что любой корень всегда можно преобразовать в степень с дробным показателем.
3. Любое положительное число в любой степени дает только положительное число, на данном элементарном преобразовании делается большое количество ошибок. Например, уравнения такого вида: 7017х
+ 50,3х+1 + з0,23х+2 = _ 5
4. Если представлено уравнение в виде суммы или разности одного и того же числа в разных степенях, то можно применить метод разложения на множители. Например, 5х+2 _ 5х+1 + 5х = 105.
5. Необходимо повторить и систематизировать знания по следующим темам: квадратные уравнения, дробно-рациональные уравнения, логарифмы. Например, уравнение 3х + 731-х = 10, используя ряд
21
преобразований, необходимо свести к дробно-рациональному: t + — = 10. Умножив обе части на t не равное 0, получим квадратное уравнение: ^ _ 10t + 21 = 0. При нахождении второго корня приходим к решению уравнения 3х = 7, где появляется необходимость использовать логарифм: х2 = log37.
6. Если мы видим, что в уравнении стоят одинаковые выражения с неизвестной, то можно воспользоваться методом замены переменной. Это будет полезно для следующего уравнения: 52х - 4 5х + 5 = 0.
7. В задачах повышенного уровня сложности часто применяется метод разложения на множители с использованием группировки. Например, 6х _ 92х _ 83х + 72 = 0.
8. Если перед нами представлено уравнение повышенного уровня сложности, где присутствуют одинаковые показатели и разные основания, то можно использовать почленное деление на показательное выражение. Например: 5 32х + 3 52х = 8 15х .
1
9. Не забывать про существование ОДЗ, например, в уравнении 2*-3 = 0,5х-1 необходимо учитывать то, что делить на 0 нельзя!
Для устранения ошибок, перечисленных выше, необходимо провести исследование и выяснить какая из причин возникновения ошибок является ключевой. Необходимо найти причинно-следственную связь между существующей ошибкой и соответствующей темой школьного курса математики.
Таким образом, в данной работе были выявлены типичные ошибки учащихся, установлены причины возникновения типичных ошибок, определены возможные пути их устранения.
Библиографический список
1.Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобр. учреждений: базовый и проф. уровни / Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин / под ред .А.Б. Жижченко - 4-е изд.- М.: Просвещение, 2011. - 368 с.
2.Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учебник для общеобр. учреждений: базовый и углубл. уровень / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2016. - 464 с.
3.Бурмистрова Т.А. Программы общеобр. учреждений. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс. - М.: Просвещение, 2009. - 159 с.
4.Муравин Г.К. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобр. учреждений / Г.К. Муравин. - М. : Дрофа, 2013. - 287 с.
5.Муравин Г.К. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : учеб. для общеобр. учреждений / Г.К. Муравин, О.В. Муравина. - М. : Дрофа, 2013. - 253 с.
6.Муравин Г.К. Алгебра и начала математического анализа. Углубл. уровень. 10 класс / Г.К. Муравин, О.В. Муравина - М. : Дрофа, 2013. - 318 с.
7.Муравин Г.К. Алгебра и начала математического анализа. Углубл. уровень. 11 класс / Г.К. Муравин, О.В. Муравина - М. : ДРОФА, 2014. - 318 с.
8.Кара-Сал Н.М. Использование системы заданий по теме «Показательные уравнения» для обобщения и систематизации знаний школьников //Вестник тувинского государственного университета - 2015. [Электронный ресурс]. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=26021082
