МОТИВАЦИОННЫМ РЕСУРС ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

13.00.02 - ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ И ВОСПИТАНИЯ (ПО ОБЛАСТЯМ И УРОВНЯМ ОБРАЗОВАНИЯ) (ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ), 13.00.08 - ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ (ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ) 13.00.02 - THEORY AND METHODS OF TRAINING AND EDUCATION (BY AREAS AND LEVELS OF EDUCATION) (PEDAGOGICAL SCIENCES), 13.00.08 - THEORY AND METHODOLOGY OF VOCATIONAL EDUCATION (PEDAGOGICAL SCIENCES)

УДК 372.851 КОВАЛЕВА Г.И.

доктор педагогических наук, доцент, профессор кафедры методики преподавания математики и физики, ИКТ, Волгоградский государственный социально-педагогический университет E-mail: [email protected] МИЛОВАНОВ Н.Ю.

кандидат педагогических наук, учитель, ГБОУ Школа №2048 города Москвы E-mail: [email protected]

UDC 372.851 KOVALEVA G.I.

Doctor of Education, Associate Professor, Professor of the Department of Methods of Teaching Mathematics and Physics, ICT, Volgograd State Socio-pedagogical University

E-mail: [email protected] MILOVANOV N.YU.

Candidate of Pedagogical Sciences, Teacher, School №2048

of Moscow

E-mail: [email protected].

МОТИВАЦИОННЫЙ РЕСУРС ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ

MOTIVATIONAL RESOURCE OF ADDITIONAL THEMES OF THE FLUXIONAL CALCULATION

OF THE MATHEMATIC SCHOOL COURSE

Проводя анализ Федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования по математике параллельно со школьными учебниками по алгебре и началам анализа можно отметить некоторые дополнительные темы дифференциального исчисления. Но возникает вопрос: зачем нужны дополнительные темы? Раскрывая их содержание через системы задач, можно показать прикладной характер темы «Производная функции». Но каким требованиям должна отвечать такая система задач?

Ключевые слова: математическое понятие, графическое представление понятия, система задач, математический анализ, функция, производная функции.

Conducting an analysis of the Federal State Educational Standard of Secondary Education in Mathematic in parallel with school algebra textbooks and the beginning of analysis, we can mention some additional themes offluxional calculation. But here appears a question: why do we need additional themes? Revealing their content through the task system, it is possible to show the applicable nature of the theme «Derivative offunction». But what conditions should such a system be in accord with?

Keywords: mathematical concept, graphical representation of the concept, task system, mathematical analysis, function, derivative of function.

Основными понятиями дифференциального исчисления являются функция и производная функции, которые связаны операцией дифференцирования. Содержание данного раздела в школьном курсе математики: понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной, уравнение касательной к графику функции, производные суммы, разности, произведения и частного, производные основных элементарных функций, производные сложной и обратной функций, вторая производная функции и ее физический смысл, применение производной к исследованию функций и построению графиков, использование производных при решении уравнений и неравенств, текстовых, физических и геометрических задач, задач на нахождение наибольших и наименьших значений, примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах, нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком.

Содержание объемное, однако, анализ учебников по алгебре и началам анализа показывает, что в современных УМК по математике представлены (в некоторых

учебниках и не одна) дополнительные темы.

Результат анализа учебников на наличие дополнительных тем дифференциального исчисления школьного курса математики следующих авторов: Алимов Ш.А. [1], Колмогоров А.Н. [3], Колягин Ю.М. [4], Мордкович А.Г. [5], Муравин Г.К. [6], Нелин Е.П. [7], Никольский С.М. [8], Шабунин М.И. [10], представлен в таблице (таблица 1).

На вопрос «Зачем нужны дополнительные темы дифференциального исчисления школьного курса математики?» можно получить типичный ответ: «Для подготовки учащихся, решивших получить специальность, требующая высокой математической компетентности».

Однако дополнительные темы можно использовать для мотивации изучения дифференциального исчисления школьного курса математики. Каким образом? Представив содержание через системы задач. Такой подход позволит сделать изучаемый материал доступным, а полученные знания структурированными. При этом такая система задач будет раскрывать прикладной характер изучаемых тем.

© Ковалева Г.И., Милованов Н.Ю. © Kovaleva G.I., Milovanov N.Yu.

Таблица 1.

Анализ учебников по алгебре и началам анализа на наличие дополнительных тем дифференциального исчисления школьного курса математики

Дополнительная тема дифференциального исчисления школьного курса математики Алимов Ш.А. Колмогоров А.Н. Колягин Ю.М. Мордкович А.Г. Муравин Г.К. Нелин Е.П. Никольский С.М. Шабунин М.И.

Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба + + + + + +

Производные высших порядков + + +

Приближенные вычисления + +

Формула Тейлора +

Понятие о дифференциальных уравнениях + +

Каким требованиям должна отвечать система задач?

Первое требование - наличие проблемной задачи. Например, при изучении темы «Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба» учащимся уже известно, что производная функции позволяет ответить на вопрос о ее монотонности и наличие у нее экстремумов в конкретной точке. Благодаря этим знаниям, учащиеся могут построить график функции. Но необходимо сформулировать проблему - зачем изучать вторую производную функции? То есть необходимо начать изучение данной темы с такой функции, которая не имеет проблем в свойствах по первой производной, но вторая производная функции эту проблему поставит.

Такой функцией, к примеру, является у = (х2 -1) . Заметим, что данная функция определена для любого значения аргумента и является четной, то есть акцент следует перенести на симметрию относительно оси ординат. Проведем исследование функции по ее первой производной (таблица 2) и схематично построим график (рисунок 1).

У = (х2 -1)3 ^ у = 6х(х2 -1)2; у = 0 ^ х = 0 , х = ±1.

Таблица 2.

Исследование функции у = (х2 -1) по ее первой производной

(-»;-1) -1 (-1;0) 0 (0;1) 1 (1; +»)

У' - 0 - 0 + 0 +

У убывает убывает min возрастает возрастает

У \ 0 ь I X 1_ь>

тических приложений построения графиков функций. Это позволит убедиться в том, что график построен некорректно, поэтому необходимо рассмотреть причины несоответствия.

Для этого вводим понятия выпуклая функция на интервале, вогнутая функция на интервале и точка перегиба функции. Определения следует формулировать на основе их графического представления (таблица 3).

Таблица 3.

Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба

Понятие

Выпуклая функция на интервале

Вогнутая функция на интервале

Точка перегиба функции

Графическое представление понятия

f ( *0 )

f (Xo )

f ( Xo)

Определение понятия

Функция называется выпуклой на интервале, если в любой точке из этого интервала график функции лежит выше проведенной касательной к этому графику в заданной точке интервала.

Функция называется вогнутой на интервале, если в любой точке из этого интервала график функции лежит ниже проведенной касательной к этому графику в заданной точке интервала.

Это такая точка непрерывной функции, в которой существует касательная и при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот.

Рис. 1. Графикфункциипослеисследованияеепервой производной.

Как только получили график функции (рисунок 1), учащимся следует предложить проверить правильность его построения при помощи образовательных матема-

И получаем требования к выпуклости и вогнутости функции на интервале, наличие точек перегиба. Эти требования также выводим на основе графического представления рассматриваемых понятий.

Достаточное условие выпуклости функции: если на

У

л

X

У

х

X

л

-1

13.00.02 - ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ И ВОСПИТАНИЯ (ПО ОБЛАСТЯМ И УРОВНЯМ ОБРАЗОВАНИЯ) (ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ), 13.00.08 - ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ (ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ) 13.00.02 - THEORY AND METHODS OF TRAINING AND EDUCATION (BY AREAS AND LEVELS OF EDUCATION) (PEDAGOGICAL SCIENCES), 13.00.08 - THEORY AND METHODOLOGY OF VOCATIONAL EDUCATION (PEDAGOGICAL SCIENCES)

заданном интервале дважды дифференцируемая функция имеет положительную вторую производную, то на нем функция выпукла.

Достаточное условие вогнутости функции: если на заданном интервале дважды дифференцируемая функция имеет отрицательную вторую производную, то на нем функция вогнута.

Необходимое условие существования точки перегиба: в точке, подозрительной на точку перегиба, вторая производная функции равна нулю или не существует.

Достаточное условие существования точки перегиба: если на интервале функция дважды дифференцируема, и при переходе через заданную точку интервала вторая производная функции меняет знак, то данная точка является точкой перегиба.

После получения вышеуказанных определений и требований следует вернуться к рассматриваемой функции и проанализировать ее на наличие точек перегиба и числовых промежутков выпуклости и вогнутости (таблица 4).

у' = 6х(х2 -1)2 ^ у" = (х2 -1)(30х2 - 6) ; у" = 0 ^ х = ±лД,2 , х = ±1.

Таблица 4.

Исследование функции у = (х2 -1) по ее второй производной

-1) -1 (-1; -.Д2) -л/02 (^7072^7072)

у" + 0 - 0 +

У выпукла точка перегиба вогнута точка перегиба выпукла

V02 (л/02; 1) 1 (1; +<ю)

у" 0 - 0 +

У точка перегиба вогнута точка перегиба выпукла

Рис. 2. Графикфункции послеисследованияеевторойпроизводной.

Таким образом, констатируем факт, что первая производная функции не смогла передать точность поведения графика функции, то есть необходим более глубокий анализ - выпуклость и вогнутость функции на интервале, и наличие точек перегиба. На этот вопрос и позволяет ответить вторая производная функции. На этом примере раскрывается смысл изучения данной темы (рисунок 2).

Далее следует рассмотреть те элементарные функции, которые были известны ранее, чтобы сделать вывод об их выпуклости и вогнутости на числовом промежутке и наличие точек перегиба, и только после этого переходить на сложные функции. В качестве при-

мера, можно рассмотреть функцию y = ln(х2 +1).

Следует отметить, что любая система характеризуется соподчинённостью элементов, их иерархией. Поэтому целесообразно рассматривать тему «Производные высших порядков» после изучения второй производной функции, так как вполне нормально, что у учащихся может возникнуть вопрос: а можно ли продолжать находить производные функции? Данная тема позволяет закрепить правила дифференцирования функции, так как если сначала задание может звучать: найдите производную пятого порядка функции y = x5 + 3x4 - 7x +1, то вполне разумно далее предложить найти производную, к примеру, третьего порядка функции y = x4cos x.

То есть в данной теме не обязательно предлагать учащимся вычислять производные «более высшего» порядка, а достаточно ограничиться, к примеру, производной третьего порядка, но, чтобы функция была составлена из произведения или частного элементарных функций.

Система задач на отработку техники дифференцирования может быть составлена по-разному. Одним из способов конструирования такой системы задач может являться метод «снежного кома», который предполагает при решении каждой задачи системы использование результата решения предыдущей задачи [2]. Приведем пример «снежного кома» для темы «Производные высших порядков»:

Пусть дана функция y = sin х + cos х.

1) Найдите производную функции.

п

2) Является ли точка х = — точкой перегиба функции?

3) Чему равна разность y - y

(IV )

?

4) Можно ли вывести общую формулу для нахождения производной данной функции п-го порядка?

Методически грамотное введение понятия производной функции как скорости её изменения опирается на графические представления - поведение касательной в каждой точке графика функции. Тем не менее, при изучении дополнительной темы «Приближенные вычисления», следует еще раз построить график функции и провести касательную в заданной точке, после чего предложить посчитать значение функции в точке, которая не так далека от заданной (находится в ее окрестности). Визуально будет понятно, что касательная будет иметь приближенно такое же значение, что и функция в заданной точке. Такой подход дает вывод формулы приближенного вычисления: у(х) « у(х0) + у'(х0) - Ах, где Ах - расстояние от заданной точки до точки x0, в которой удобнее считать значение функции.

Вообще говоря, геометрический смысл производной функции - это и есть графическое представление данного понятия. Именно с него необходимо начинать изучение тем дифференциального исчисления школьного курса математики, так как через графическое пред-

ставление производной функции в точке можно вывести интуитивно понятное определение и свойства. Тема «Приближенные вычисления» не является исключением, а наоборот, позволяет показать прикладной характер изучения производной функции, при этом вывод формулы получен на основе графического представления последнего. Таким образом, при конструировании системы задач на данную тему, в нее следует включить задачи, решающиеся на основе графического представления производной функции.

Далее система задач нацелена на отработку алгоритма нахождения приближенного значения функции от некоторого аргумента: выделить функцию, определить х0 таким, чтобы удобно вычислялось значение функции в данной точке, найти Ах и вычислить приближенное значение у(х) при х, достаточно близких к х0, по формуле.

Пусть нам необходимо вычислить -^9,003. Очевидно, что учащимся удобно простое вычисление 79 = 3 , но требуется найти более точное приближенное значение. Поэтому обратимся к полученной формуле, считая, что первоначально задана функция у = , сле-

1 „п. 1 1 довательно, у = —-¡= и у (9) = —= = —. Подставим 2>/ х 2V х 6

полученные числа и получим, что:

,79,003 « 3 +1 • 0,003 = 3 + 0,0005 = 3,0005 6

Но одно из требований системы задач - усложнение. Поэтому следующей задачей будет вычисление

1 • ,0

-гт, а затем .

0,99640

Система задач, решаемая на уроке, должна заканчиваться «сложной» задачей, которая покажет, чему научились, а может быть даже «проблемной», которая станет пусковым механизмом освоения содержания следующих уроков или построения индивидуальной обра-

«0,001

зовательной траектории. Например, вычислить ^ , а дальше, чему равно е?

Ответить на данный вопрос позволяет тема «Формула Тейлора». Одна из тех редких тем, которая встречается в школьном курсе математики на углубленном уровне. В учебнике С.М. Никольского [8] формула Тейлора рассматривается в некоторой окрестности точки х = 0, и для функции /(х), дифференцируемой п раз в данной точке:

/(х) « /(0) + Л.х + ¿М.+...+ ¿^.^

1!

2!

(n -1)!

Формулу Тейлора можно отнести к более глубокому изучению приближенных вычислений в математике, а также закрепления вычисления производных функции высших порядков. Следует отметить, что формула Тейлора позволяет рассматриваемую функцию представить в виде многочлена, что и позволит найти ее приближенное значение в заданной точке.

Доктор педагогических наук, профессор, автор

учебников по теории и методике обучения математике Н.С. Подходова [9] рекомендует данную тему для изучения в качестве закрепления навыков применения аппарата математического анализа как для исследования функций, так и для решения прикладных задач.

После введения формулы следует рассмотреть конкретные примеры, которые продемонстрируют необходимость изучения данной темы для приближенных вычислений. Рассмотрим приближенное вычисление числа е.

e = e

■■e0 + —-1 + —-12 + —-13 + —-14 =

1

2

6

24

= 1 +1 +1 +1 + -1 = 2^ « 2,7 2 6 24 24

После этого целесообразно рассмотреть примеры приближенного вычисления значений тригонометрических функций.

Рассмотрим тему «Понятие о дифференциальных уравнениях». Данная тема может выступать в качестве закрепления всего раздела математического анализа школьного курса математики, так как включает в себя операции дифференцирования и интегрирования, а с другой стороны, является пропедевтикой к изучению интегрального исчисления - следующий изучаемый раздел начал математического анализа.

Изучение темы следует начать с рассмотрения тех физических и химических процессов, которые приводят к данному понятию. К примеру, в учебнике А.Н. Колмогорова [3] рассматриваются процессы, используемые второй закон Ньютона, показательного роста и показательного убывания, радиоактивного распада, гармонических колебаний, падения тел в атмосферной среде. В учебнике М.И. Шабунина [10], помимо вышеуказанных примеров дифференциальных уравнений, рассматривается геометрический смысл их решения и сообщается задача Коши, о нахождении конкретного решения.

Цель изучения данной темы может варьироваться. Условно можно выделить три варианта:

1) пропедевтика изучения интегрального исчисления. В данном случае, задание может звучать так: проверьте, что функция у(0 = 2соб 4 является решением дифференциального уравнения у" +16 у = 0;

2) закрепление дифференциального и интегрального исчислений: решите дифференциальное уравнение у'" = х3 + 4 х + ех;

3) раскрытие межпредметной связи: Одно тело имеет температуру 200°, а другое - 100°. Через 10 мин остывания этих тел на воздухе с температурой 0° первое тело остыло до температуры 100°, а второе - до 80°. Через сколько минут температуры тел сравняются?

Подводя итог, следует заметить, что раздел математического анализа, такой как дифференциальное исчисление, содержит множество дополнительных тем. Но не при всяком их изучении будет раскрыт прикладной характер темы «Производная функции». Раскрытие последует только тогда, когда будет сконструирована система

0

0

0

0

13.00.02 - ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ И ВОСПИТАНИЯ (ПО ОБЛАСТЯМ И УРОВНЯМ ОБРАЗОВАНИЯ) (ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ), 13.00.08 - ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ (ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ) 13.00.02 - THEORY AND METHODS OF TRAINING AND EDUCATION (BY AREAS AND LEVELS OF EDUCATION) (PEDAGOGICAL SCIENCES), 13.00.08 - THEORY AND METHODOLOGY OF VOCATIONAL EDUCATION (PEDAGOGICAL SCIENCES)

задач. Поэтому необходима трансформация содержания дополнительных тем дифференциального исчисления в систему задач, с конкретными структурами: включение проблемных задач с последующим решением через анализ графического представления производной функ-

ции; соподчиненность задач внутри системы с использованием ранее полученных результатов; наличие задач метапредметной направленности; усложнение задач внутри системы.

Библиографический список

1. Алимов Ш.А. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Москва: Просвещение, 2018. 463 с.

2. Ковалева Г.И. Теория и методика обучения математике: конструирование систем задач. Волгоград: Перемена, 2008. 156 с.

3. КолмогоровА.Н. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Москва: Просвещение, 2018. 384 с.

4. КолягинЮ.М. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Москва: Просвещение, 2018. 384 с.

5. МордковичА.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Москва: Мнемозина, 2018. 256 с.

6. Муравин Г.К. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Москва: Дрофа, 2018. 253 с.

7. Нелин Е.П. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Москва: Илекса, 2018. 432 с.

8. Никольский С.М. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Москва: Просвещение, 2018. 464 с.

9. ПодходоваН.С. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов. Москва: Дрофа, 2005. 416 с.

10. ШабунинМ.И. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2018. 384 с.

References

1. Alimov SH.A. Algebra and the beginning of mathematical analysis. 10-11. Moscow: Enlightenment, 2018. 463 p.

2. Kovaleva G.I. Theory and methodology of teaching mathematics: designing systems of tasks. Volgograd: Change, 2008. 156 p.

3. KolmogorovA.N. Algebra and the beginning of mathematical analysis. 10-11. Moscow: Enlightenment, 2018. 384 p.

4. Kolyagin Yu.M. Algebra and the beginning of mathematical analysis. 11. Moscow: Enlightenment, 2018. 384 p.

5. MordkovichA.G. Algebra and the beginning of mathematical analysis. Grade 10. Moscow: Mnemozina, 2018. 256 p.

6. Muravin G.K. Algebra and the beginning of mathematical analysis. 11. Moscow: Drofa, 2018. 253 p.

7. Nelin E.P. Algebra and the beginning of mathematical analysis. 11. Moscow: Ilex, 2018. 432 p.

8. Nikolsky S.M. Algebra and the beginning of mathematical analysis. 11. Moscow: Enlightenment, 2018. 464 p.

9. PodkhodovN.S. Method and practice of teaching mathematics. Course of lectures: manual for universities. Moscow: Bustard, 2005. 416 p.

10. ShabuninM.I. Mathematics. Algebra. The beginning of mathematical analysis. Moscow: BINOM. Knowledge lab, 2018. 384 p.