CC BY
250
ЛИТЕРАТУРА
Кабиров, Н.Н. Визуализация понятия дифференцируемости функции одной переменной // Современные проблемы науки и пути их решения / Сб. научных статей. Выпуск 28. Ч. 3. - Уфа: НИЦ Омега Сайнс, 2016. - С. 3-6.
Яковенко, И.В. Инновационные и информационно-коммуникационные технологии в процессе обучения математическому анализу в вузе // Вестник Таганрогского государственного педагогического института, 2018. - № 2. - С. 245-250.
А.М. Кокарева, И.В. Яковенко МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
Аннотация. Статья посвящена методике решения уравнений с параметрами. Рассмотрены основные виды уравнений с параметрами, представлены этапы их анализа и решения на примере наиболее часто встречающихся в школьном курсе математики заданий.
Ключевые слова: уравнения с параметрами, методика решения, методика преподавания математики.
A.M. Kokareva, I.V. Yakovenko METHODS OF SOLVING EQUATIONS WITH PARAMETERS IN MATH CLASS
Abstract. The article is devoted to the method of solving equations with parameters. The main types of equations with parameters are considered, the stages of their analysis and solution are presented on the example of the most common tasks in the school course of mathematics.
Key words: equations with parameters, methods of solution, methods of teaching mathematics.
Уравнения с параметрами являются одними из самых трудных заданий школьного курса математики. Они требуют от учащихся серьезных знаний и навыков.
По данной теме можно найти различные методические рекомендации, раработки, однако в школьных учебниках структурированной информации по ней достаточно мало. Несмотря на это, в ЕГЭ по математике включено задание с параметрами и это вызывает сложности у большинства выпускников.
Рассмотрим подробнее уравнения с параметрами и основные методы их решения.
Параметром называется «независимая переменная величина, входящая в условие задачи или появляющаяся в процессе ее решения, «управляющая» решением задачи». Задача, условие которой содержит или в ходе решения которой появляется хотя бы одна независимая переменная, удовлетворяющая определению понятия «параметр», называется задачей с параметрами. [4,84]
Пример задания с параметром, которое содержится в ЕГЭ.
Задание 18. Найдите все значения я, при каждом из которых уравнение
64хб - (Зх + of + 4х2 - Зх = а
имеет больше одного корня.
Согласно статистическим данным, это задание относится к редко выполняемым заданиям (рис. 1).
Рис. 1. Данные по выполнению некоторых заданий ЕГЭ. Общее количество участников ЕГЭ по математике профильного уровня
• в 2016 -439 229 (18 - 2,3%),
• в 2017 -390 981 (18-2%),
• в 2018 - более 391тыс (18 - 1,2%).
Диаграмма позволяет наглядно определить, как мал процент участников ЕГЭ, выполняющих задания с параметрами (18), по сравнению с количеством участников, выполняющих остальные задания 2 части [14], [15], [16].
Проанализируем учебники 9, 10 и 11 классов на наличие материала по теме «Решение уравнений с параметром», чтобы выяснить, сколько часов отводится на изучение этой темы (табл. 1, 2, 3).
Таблица 1.
Изучение темы «Решение уравнений с параметром» в 9 кл.
Учебное пособие 9 класс
Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др. Алгебра. 9 класс. М.: 2014.
Никольский С.М., Потапов М.К. и др. Алгебра. Учебник для 9 класса. М.: 2014.
А. Г Мордкович, П. В. Семенов П. В. Алгебра 9 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / 12-е изд., стер. - М.: 2010
Мордкович А.Г., Николаев Н.П. Алгебра. 9 класс.: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений с углубленным уровнем изучения математики/ - 3-е изд., перераб. - М.: Мнемозина, 2008. 6ч
Таблица 2. Изучение темы «Решение уравнений с параметром» в 10 кл.
Учебное пособие 10 класс
Колягин Ю.М. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс (базовый и проф. уровни) 4-е изд. - М.: 2011.
Никольский С.М. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник. Базовый и профильный уровни. 8-е изд. - М.: Просвещение, 2009.
Мордкович А.Г., Семенов Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник (профильный уровень). П.В. 6-е изд., стер. - М.: 2009.
Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч.1. Учебник (базовый уровень) 14-е изд., стер. - М.: 2013. - 400 с.
Таблица 3. Изучение темы «Решение уравнений с параметром» в 11 кл.
Учебное пособие 11 класс
342
Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч.1. Учебник (базовый уровень) 14-е изд., стер. - М.: 2013. - 400 с. 3ч
Колягин Ю.М. и др. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс (базовый и проф. уровни) 2-е изд. - М.: 2010. 2ч
Никольский С.М. и др. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Учебник. Базовый и профильный уровни, 8-е изд. - М.: Просвещение, 2009. Базовый - 0ч Профильный - 7ч
Мордкович А.Г, Семенов П. В. Алгебра и начала математического анализа 11 класс. В 2ч. Ч. 1. Учеб. для учащихся общеобразоват. организаций (базовый и углубленный уровни) - 2-е изд., стер. - Мнемозина, 2014. Базовый - 3ч Профильный - 4ч ,5ч, 7ч
Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы.
1. Содержательно-методическая линия «Задачи с параметрами» и отводимые на ее изучение часы присутствуют только в учебниках алгебры профильного уровня.
2. На изучение задач с параметрами отводится в программе малое количество часов.
3. Ни в одном из рассмотренных учебников не даётся чёткого определения параметра, отсутствует четкая классификация типов заданий с параметрами, нет классификации видов уравнений с параметрами и алгоритма их решения.
Большинство учащихся легко решают линейные и квадратные уравнения без параметра, но те же уравнения с параметром вызывают у них затруднения. Чаще всего это объясняют разными степенями использования форм усвоения учебного материала в процессе обучения.
Первая форма - репродуктивная. Действия выполняются по образцу или алгоритму. Таким образом, учащийся просто воспроизводит ранее усвоенную информацию и в практически неизменном виде применяет ее для выполнения типовых действий.
Вторая форма усвоения учебного материала - продуктивная. Эта форма невозможна без репродуктивной формы усвоения учебного материала, но требует другого подхода к решению задач: необходимы четкое понимание теории метода и творческий подход. Учащийся не только воспроизводит ранее усвоенную информацию, применяет ее в деятельности, но и способен преобразовать ее для использования в нестандартных условиях.
Успешно усвоить материал по теме «Уравнения с параметрами» возможно только при реализации обеих форм. [13, 4]
Перечислим основные виды уравнений с параметром:
- линейные уравнения с параметрами;
- квадратные уравнения с параметрами;
- дробно-рациональные уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным;
- иррациональные уравнения с параметрами;
- тригонометрические уравнения с параметрами;
- показательные уравнения с параметрами;
- логарифмические уравнения с параметром.
Наиболее часто в учебной программе встречаются линейные, квадратные и логарифмические.
Все уравнения с параметрами можно решать следующими методами:
1 метод - аналитический,
2 метод - графический,
3 метод - решение относительно параметра. При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, а уравнение решается относительно той переменная, которую проще выразить. После упрощений возвращаются к рервоначальному смыслу переменных х и а и выписывают ответ.
Аналитический метод - метод прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Поэтому такой метод является более привычным для большинства учащихся старших классов.
Рассмотрим применение метода на некоторых примерах.
Параметризация квадратных уравнений.
В уравнениях вида ах2 + Ьх + с = 0 могут быть параметризированы:
1. свободный член (например, х2 -2х + <7 + 3 = 0);
2. коэффициент при переменной 1-ой степени (например, л-2 - 2х + ах + 3 = 0);
3. коэффициент при старшем члене (например, ах2 - 2х + 3 = 0);
4. коэффициенты при переменных разных степеней или свободный член (например, ах2 - (2 + а)х + 3 = 0). [14, 8]
Воспользуемся алгоритмом и решим задачу.
Стоить отметить, что для успешного решения квадратных уравнений с параметрами, учащиеся должны уверенно определять вид уравнения, уметь находить дискриминант уравнения и проводить его анализ.
Пример 1. Решите уравнение 2х2 — 4х + а + 6 = 0.
Этапы рассуждений Решение уравнения 2х2 — 4х + а + 6 = 0
Дискриминант I) = 16 — 4 ■ 2(а + 6) = -32 - 8а = —4 — а -4-а = 0 а = -4
ЕСЛИ а <-4 а >-4
ТО 2х2 -4х+а+6=0
УРАВНЕНИЕ квадратное
ТОГДА £>>0 х12 =4±^/-4- а £><0
ОТВЕТ х12 = 4 ±у/-4- а нет корней
Параметризация логарифмических уравнений.
Логарифмические уравнения могут быть параметризированы:
1. Уравнения, содержащие параметры в логарифмируемом выражении.
2. Уравнения, содержащие параметры в основании.
3. Уравнения, содержащие параметры и в основании, и в логарифмируемом выражении. Представим наиболее часто встречающийся алгоритм действий:
1. Найти область допустимых значений.
2. Составить и решить уравнение (чаще всего выразить х через а).
3. Сделать перебор параметра с учетом ОДЗ.
4. Проверить, удовлетворяют ли найденные корни уравнения условиям ОДЗ.
5. Записать ответ. Рассмотрим на примере.
Пример 2. Решить при всех а: 1с^л.+1 (л"2 + а) — 2
Этапы рассуждений Решение уравнения (л"2 +а) = 2
ОДЗ х +1 > 0, х + 1 Ф 1, х2 + а > 0.
ТОГДА х2 + а = (х + 1)2 х2 + а = х2 + 2х +1 а 1 х =--- 2 2
С учетом ОДЗ х > -1 х Ф 0
а 1 ---> -1 2 2 а > -1 а 1 ---Ф 0 2 2 О ф 1
ОТВЕТ 1 . а 1 1. Если а > -1 иа^1,то х —--- 2 2 2. Если а <— 1 или ¿7 = 1. то корней нет
Пример 3. Решить при всех а: (х + 5 ) + X + 0,02 = О
Этапы рассуждений Решение уравнения (х + 5) + х + 0,02 = 0
ОДЗ а > 0, а Ф 1,
Гх + 5 >0 => х> 0 х > 0
ТОГДА 0,02х(х + 5) = 0 0,02х(х + 5) = 1 х2 +5х- 50 = 0 Л^ = —10 не удовлетворяет ОДЗ Х2 =5
ОТВЕТ 1. Если а>0и«^1,тох = 5 2. Если О < 0 или О = 1, то корней нет
Пример 4. Решить при всех а: (ах +1) = 1
Этапы рассуждений Решение уравнения (ах +1) = 1
ОДЗ а > 0, а Ф 1, ах +1 > 0
ТОГДА ах +1 = а ах = а -1 Х = 1-1 а
ОТВЕТ 1. Если а > 0 и«^1,то х = 1 —— а 2. Если о < 0 или О = 1, то корней нет
Пример 5. Решить уравнение: (а + 2)х2 + (4а - 1)х + (7 - 4а) = О
Решение.
Этапы решения:
1. Определить значения параметра, при которых уравнение не является квадратным.
2. Решить уравнение при этих значениях параметра.
3. Найти дискриминант уравнения в остальных случаях и проанализировать его значения.
4. Найти корни уравнения, учитывая поставленную форму условий. Переходим к каждому этапу.
1. Определить значения параметра, при которых уравнение не является квадратным.
В данном случае контрольным значением параметра является а = -2, т.к. при данном значении уравнение - линейное. При аФ-2 уравнение является квадратным.
2. Решить уравнение при этих значениях параметра. Рассмотрим линейное уравнение. При а = -2 уравнение примет вид: 2х + 15 = О
Из этого уравнения находим: х = -7,5 '
3. Найти дискриминант уравнения в остальных случаях. Рассмотрим квадратное уравнение при а Ф -2
Выделим такие значения, при которых дискриминант уравнения обращается в 0, т.к. такие значения влияют на качественное изменение уравнения, а значит также являются контрольными значениями.
И = (4а-1)2 -4(а + 2)(7- 4а) = \6сг - %а +1 - 2%а + \6сг -56 + Ъ2а = -4а-55 П = 0 о -4а -55 = 0 а = -13,75
4. Проанализировать решения уравнения в зависимости от значений дискриминанта. Если а <-13,75, то £><0
Если а > -13,75, а Ф -2, £> > 0
5. Найти корни уравнения, учитывая поставленную форму условий.
Если же а > -13,75 и а ф -2. то находим корни:
_ -(4д-1) + У-4Д-55
? —
2(а + 2)
112 18
Если а = -1 3 75. то £> = 0 и тогда х =--= -2 —
47 47
Ответ: 1) если а < —13,75 , то корней нет.
2) если а = -2 , то х = -7,5
3) если а = -13,75, то х = _2 —
47
4) если
[от >-13,75 \а Ф-2
, то
-(4<з-1)± У~4<з-55 ' 2(я + 2)
Графические методы делают решение наглядным и позволяют в ряде случаев с большей по сравнению с аналитическими методами легкостью отсортировать «правильные» пути, ведущие к решению задачи. Часто это избавляет от необходимости выполнения определенного объема вычислений при исследовании тех возможностей, которые, в конечном счете, все равно не дадут положительного ответа. Однако для применения графических методов требуется умение выполнять дополнительное построение различных графиков, вести графические исследования, соответствующие данным значениям параметра, а эти навыки часто отсутствуют у учащихся. Поэтому метод для многих учащихся является более затруднительным.
Пример 6. Для каждого значения параметра а определите количество решений уравнения^2 + 3|х|-5| = а
Решение.
Количество решений уравнения |х2 +3|х| —5| =а равно количеству точек пересечения графиков функций |х2+3|х|-5| = а и у— а .
Стоить отметить, что график функции у = |х2 + 3 |х| — 5| строиться в 3 этапа. В конечном итоге он будет иметь вид:
Рис. 2. График функции у = х +3 х — 5
График функции у = а - это горизонтальная прямая.
X
1.2
Для нахождения решения уравнения необходимо найти количество точек пересечения этих двух функций.
-1.0
-5.0 — ——
-10 -9 -В -7 -б -5 -4 -Э -2 -1 О 1 2 3 4 5 6 7 5 9 10
Рис. 3. Графическое решение уравнения |л'2 + 3 — 5| = а .
Ответ: при а < 0- решений нет;
при а = 0и а >5- два решения; при а = 5-три решения; при 0 < а < 5- четыре решения.
Отметим, что подробный анализ и изучение методов решений уравнений с параметрами необходимо
учащимся как при подготовке к ЕГЭ, так и при подготовке к другим различным экзаменам, например, вступительным в вузы. Владение приемами решения задач с параметрами считается одним из основных критериев знаний разделов школьного курса математики.
ЛИТЕРАТУРА
1. Колягин, Ю.М., Ткачёва, М.В. и др. Алгебра. 9 класс. М.: 2014. -336 с.
2. Колягин, Ю.М. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс (базовый и проф.уровни) 4-е изд. - М.: 2011. - 368 с.
3. Колягин, Ю.М. и др. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс (базовый и проф.уровни)2-е изд. - М.: 2010. - 336 с.
4. Мирошин, В. В. Решение задач с параметрами. Теория и практика / В. В. Мирошин. - М.: Издательство «Экзамен», 2009. - 286 с.
5. Мордкович, А.Г., Николаев, Н.П. Алгебра. 9 класс.: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений с углубленным уровнем изучения математики / - 3-е изд., перераб. - М.: Мнемозина, 2008. - 255 с.
6. Мордкович, А. Г., Семенов, П. В. Алгебра 9 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / 12-е изд., стер. - М.: 2010. - 224 с.
7. Мордкович, А.Г., Семенов, П. В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник (профильный уровень). 6-е изд., стер. - М.: 2009. - 424 с.
8. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч.1. Учебник (базовый уровень) 14-е изд., стер. -М.: 2013. - 400 с.
9. Мордкович, А.Г, Семенов, П. В. Алгебра и начала математического анализа 11 класс. В 2ч. Ч. 1. Учеб. для учащихся общеобразоват. организаций (базовый и углубленный уровни) - 2-е изд., стер. - Мнемозина, 2014. - 311 с.
10. Никольский, С.М., Потапов, М.К. и др.Алгебра. Учебник для 9 класса. М.: 2014. - 335 с.
11. Никольский, С.М. и др.Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник. Базовый и профильный уровни. 8-е изд. -М.: Просвещение, 2009. - 430 с.
12. Никольский, С.М. и др. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Учебник. Базовый и профильный уровни, 8-е изд. -М.: Просвещение, 2009. - 464 с.
13. Фалилеева, М.В. Первые шаги в решении уравнений и неравенств с параметром: Учебное пособие / М.В. Фалилеева. - Казань: Казан. ун-т, 2014. - 111 с.
14. Ященко, И.В., Семенов, А.В., Высоцкий, И.Р. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2016 года по математике. М.: ФИПИ, 2016. - 42 с.
15. Ященко, И.В., Семенов, А.В., Высоцкий, И.Р. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2017 года по математике. М.: ФИПИ, 2017. - 41 с.
16. Ященко, И.В., Рослова, Л.О., Высоцкий, И.Р., Семенов А.В. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2018 года по математике. М.: ФИПИ, 2018. - 26 с.
