CC BY
10Вычислительная алгебра и методы аппроксимации 17
Секция 1. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА И МЕТОДЫ
аппроксимации
Аспекты вычисления детерминантов матриц и их распределений по определителям
Н. А. Антипин
Московский технололический университет (МИРЭА) Email: [email protected] DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10029
В статье рассматривается данные, полученные с помощью алгоритмов, разработанных с использованием встроенных и невстроенных типов данных в стандартных языках программирования. Приводится распределения матриц из 0 и 1 по детерминантам для 8-го порядка - пересчетом детерминантов всех матриц, для матриц порядка с 9-го по 11-й точечно (используется метод Монте-Карло и ищутся лишь отдельные детерминанты, без указания количества для данного порядка). Также с помощью алгоритмов для невстроенных типов данных была получена матрица 64-го порядка с отношением количества 0 к 1 - 1:3, с определителем равным простому числу, а также ее обратная. Анализировались вычисления детерминантов для матриц более высоких матриц - 128 и 256. Результаты данных вычислений могут быть полезны при передаче информации в открытых сетях, а также в естественных теоретических и инженерных науках.
Список литературы
1. Антипин Н. А. Теоретические и практические аспекты матриц из нулей и единиц // Альманах мировой науки, 2018 г, № 1(21). С. 6-35.
2. Антипин Н. А. Разреженные матрицы из нулей и единиц // Перспективы развития науки и образования: Сборник научных трудов, 2017 г. С. 6-10, ISBN 978-5-9500654-2-2.
3. Антипин Н. А. Макеев В. Н., Манеев Р. Ю., Федулов Ф. А. Теоретико-числовые аспекты шифра Хилла для матриц различного порядка //Альманах мировой науки, 2016 г, № 1-1(4). С. 6-10.
Формальная спецификация и верификация стандартных математических функций
И. С. Ануреев1, Е. В. Бодин', Д. А. Кондратьев1, А. В. Промский1, Н. В. Шилов2, С. О. Шилова, Б. Л. Файфель3
'Институт систем информатики им. А. П. Ершова СО РАН 2АНО ВО Университет Иннополис
3Саратовский государственный технический университет
Email: [email protected]
DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10030
Цель проекта "Платформенно-независимый подход к формальной спецификации и верификации стандартных математических функций" - инкрементальный комбинированный подход к спецификации и верификации машинных реализаций математических функций (таких как , , и так далее). Платформенно-независимый подход предполагает простую аксиоматизацию машинной арифметики в терминах вещественной арифметики (т. е. арифметики поля вещественных чисел), но не фиксируя ни основание системы счисления, ни формата машинного слова. Инкрементальный подход в данном случае означает, что спецификация и верификация начинается с рассмотрения наиболее "простого" случая - элементарной спецификации и верификации простого алгоритма, работающего с вещественными числами, а заканчивается - модификацией элементарной спецификации и алгоритма для машинной арифметике и верификацией этого алгоритма, работающего в машинной арифметике. А комбинированный подход означает, что для элементарного случая мы проводим "ручную" верификацию (с ручкой и бумагой), затем выполняем ручную верификацию алгоритма, работающего в машинной арифметике, используя верификацию для элементарного случая в качестве "конспекта", а заканчиваем - верификацией с использованием автоматизированной системы построения/поиска доказательства для того, что бы исключить апелляцию к "очевидности" в ручной верификации. В настоящей работе платформенно-независимый инкрементальный комбинированный подход применяется для спецификации и верификации функции квадратного корня sqrt и тригонометрических функций cos и sin, вычисляющих
18
Секция 1
аппроксимацию с определяемым пользователем точностью (ошибкой) в арифметике с фиксированной и плавающей запятой.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 17-01-00789).
Список литературы
1. Muller J.-M. Elementary Functions: Algorithms and Implementation. Birkhauser, 2005.
2. Muller J.-M. et al. Handbook of Floating-Point Arithmetic. 2nd eddition, Birkhauser, 2018.
3. Harrison J. Formal Verification of Square Root Algorithms // Formal Methods in System Design. 2003. V. 22, №2. P. 143-153.
4. Кулямин В. В. Стандартизация и тестирование реализаций математических функций, работающих с числами с плавающей точкой // Программирование. 2007. Т. 33, № 3. С. 1-29.
5. Шилов Н. В., Кондратьев Д. А., Ануреев И. С., Бодин Е. В., Промский А. В. Платформенно-независимая верификация квадратного корня // Моделирование и анализ информационных систем. 2018. Т. 25, № 6. C. 637-666.
6. Shilov N. V., Faifel B.L., Shilova S.O., Promsky A.V. Towards platform-independent specification and verification of the standard trigonometry functions. [Электрон. ресурс]. URL: https://arxiv.org/abs/1901.03414 (дата обращения: 01.04.2019).
Об алгоритмах отыскания наименьшего расстояния между системами точек в пространстве
И. А. Блатов, Е. В. Катаева
Поволжский государственный университет телекоммуникаций а информатика
Email: [email protected]
DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10031
Пусть в пространстве заданы два конечных множества M и N, каждое из которых состоит из n точек. Рассматривается задача отыскания такого положения этих множеств в пространстве и паросочетания их вершин, чтобы сумма квадратов попарных расстояний между ними была минимальной.
Если оптимальное паросочетание уже установлено, то поставленная задача решается за O(n) операций с помощью алгоритма Кабша [1]. Полный перебор всевозможный паросочетаний требует рассмотрения n! случаев. Если положение систем точек в пространстве фиксировано, то наилучшее паросочетание может быть найдено с помощью венгерского алгоритма [2] за O(n3) действий. В настоящее время неизвестен алгоритм отыскания наилучшего паросочетания и соответствующего минимального расстояния за полиномиальное время. В докладе рассматриваются алгоритмы на основе сочетания венгерского алгоритма и алгоритма Кабша, позволяющие приближенно найти решение задачи с заданной точностью за полиномиальное время.
Список литературы
1. W. Kabsch. A solution of the best rotation to relate two sets of vectors. Acta Crystallographica, 32:922-923, 1976. 2. H.W. Kuhn. The Hungarian Method for the Assignment Problem. Naval Research Logistics, 52(1):7-21, 2005.
Сравнение двух подходов к выбору начального приближения при решении нестационарного уравнения теплопроводности с учетом фазовых переходов
В. С. Гладких, А. В. Петухов
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН
Email: [email protected]
DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10032
Численное моделирования нестационарных тепловых полей с учетом фазовых переходов является трудоемкой задачей. Основные временные затраты приходятся на решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), получаемых путем дискретизации исходной задачи. Одним из способов сокращения времени решения СЛАУ является выбор начального приближения. В данной работе рассматриваются два подхода для нахождения начального приближения: метод предиктор-корректор и выбор оптимальной линейной комбинации из нескольких решений, полученных на предыдущих временных шагах. Сравнение времен работы представлены для численного моделирования трехмерных те-
